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文檔簡介
青海省玉樹州2025屆高三下學期聯(lián)合考試數(shù)學試題注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.下列圖形中,不是三棱柱展開圖的是()A. B. C. D.2.命題“”的否定為()A. B.C. D.3.設,分別為雙曲線(a>0,b>0)的左、右焦點,過點作圓的切線與雙曲線的左支交于點P,若,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.4.關(guān)于圓周率π,數(shù)學發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法,如著名的浦豐實驗和查理斯實驗.受其啟發(fā),我們也可以通過設計下面的實驗來估計的值:先請全校名同學每人隨機寫下一個都小于的正實數(shù)對;再統(tǒng)計兩數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對的個數(shù);最后再根據(jù)統(tǒng)計數(shù)估計的值,那么可以估計的值約為()A. B. C. D.5.已知函數(shù),集合,,則()A. B.C. D.6.已知向量,是單位向量,若,則()A. B. C. D.7.已知函數(shù),,若對,且,使得,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.8.復數(shù)滿足,則復數(shù)等于()A. B. C.2 D.-29.已知的值域為,當正數(shù)a,b滿足時,則的最小值為()A. B.5 C. D.910.過直線上一點作圓的兩條切線,,,為切點,當直線,關(guān)于直線對稱時,()A. B. C. D.11.已知,是橢圓的左、右焦點,過的直線交橢圓于兩點.若依次構(gòu)成等差數(shù)列,且,則橢圓的離心率為A. B. C. D.12.已知斜率為2的直線l過拋物線C:的焦點F,且與拋物線交于A,B兩點,若線段AB的中點M的縱坐標為1,則p=()A.1 B. C.2 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列的首項,函數(shù)在上有唯一零點,則數(shù)列|的前項和__________.14.函數(shù)的定義域是___________.15.直線(,)過圓:的圓心,則的最小值是______.16.已知函數(shù)為奇函數(shù),,且與圖象的交點為,,…,,則______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,,,平面底面,為的中點,是棱上的點且,,,.求證:平面平面以;求二面角的大小.18.(12分)已知函數(shù).(1)若在上為單調(diào)函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍:(2)若,記的兩個極值點為,,記的最大值與最小值分別為M,m,求的值.19.(12分)已知,,分別為內(nèi)角,,的對邊,若同時滿足下列四個條件中的三個:①;②;③;④.(1)滿足有解三角形的序號組合有哪些?(2)在(1)所有組合中任選一組,并求對應的面積.(若所選條件出現(xiàn)多種可能,則按計算的第一種可能計分)20.(12分)在數(shù)列中,已知,且,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設,數(shù)列的前項和為,證明:.21.(12分)已知函數(shù),.(1)討論的單調(diào)性;(2)若存在兩個極值點,,證明:.22.(10分)設函數(shù).(1)時,求的單調(diào)區(qū)間;(2)當時,設的最小值為,若恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
根據(jù)三棱柱的展開圖的可能情況選出選項.【詳解】由圖可知,ABD選項可以圍成三棱柱,C選項不是三棱柱展開圖.故選:C【點睛】本小題主要考查三棱柱展開圖的判斷,屬于基礎題.2、C【解析】
套用命題的否定形式即可.【詳解】命題“”的否定為“”,所以命題“”的否定為“”.故選:C【點睛】本題考查全稱命題的否定,屬于基礎題.3、C【解析】
設過點作圓的切線的切點為,根據(jù)切線的性質(zhì)可得,且,再由和雙曲線的定義可得,得出為中點,則有,得到,即可求解.【詳解】設過點作圓的切線的切點為,,所以是中點,,,.故選:C.【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)、雙曲線定義、圓的切線性質(zhì),意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學計算能力,屬于中檔題.4、D【解析】
由試驗結(jié)果知對0~1之間的均勻隨機數(shù),滿足,面積為1,再計算構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對,滿足條件的面積,由幾何概型概率計算公式,得出所取的點在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積,即可估計的值.【詳解】解:根據(jù)題意知,名同學取對都小于的正實數(shù)對,即,對應區(qū)域為邊長為的正方形,其面積為,若兩個正實數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊,則有,其面積;則有,解得故選:.【點睛】本題考查線性規(guī)劃可行域問題及隨機模擬法求圓周率的幾何概型應用問題.線性規(guī)劃可行域是一個封閉的圖形,可以直接解出可行域的面積;求解與面積有關(guān)的幾何概型時,關(guān)鍵是弄清某事件對應的面積,必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量,把變量看成點的坐標,找到試驗全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形,以便求解.5、C【解析】
分別求解不等式得到集合,再利用集合的交集定義求解即可.【詳解】,,∴.故選C.【點睛】本題主要考查了集合的基本運算,難度容易.6、C【解析】
設,根據(jù)題意求出的值,代入向量夾角公式,即可得答案;【詳解】設,,是單位向量,,,,聯(lián)立方程解得:或當時,;當時,;綜上所述:.故選:C.【點睛】本題考查向量的模、夾角計算,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運算求解能力,求解時注意的兩種情況.7、D【解析】
先求出的值域,再利用導數(shù)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)值域,由方程有兩個根求參數(shù)范圍即可.【詳解】因為,故,當時,,故在區(qū)間上單調(diào)遞減;當時,,故在區(qū)間上單調(diào)遞增;當時,令,解得,故在區(qū)間單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.又,且當趨近于零時,趨近于正無窮;對函數(shù),當時,;根據(jù)題意,對,且,使得成立,只需,即可得,解得.故選:D.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究由方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍的問題,涉及利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)值域的問題,屬綜合困難題.8、B【解析】
通過復數(shù)的模以及復數(shù)的代數(shù)形式混合運算,化簡求解即可.【詳解】復數(shù)滿足,∴,故選B.【點睛】本題主要考查復數(shù)的基本運算,復數(shù)模長的概念,屬于基礎題.9、A【解析】
利用的值域為,求出m,再變形,利用1的代換,即可求出的最小值.【詳解】解:∵的值域為,∴,∴,∴,當且僅當時取等號,∴的最小值為.故選:A.【點睛】本題主要考查了對數(shù)復合函數(shù)的值域運用,同時也考查了基本不等式中“1的運用”,屬于中檔題.10、C【解析】
判斷圓心與直線的關(guān)系,確定直線,關(guān)于直線對稱的充要條件是與直線垂直,從而等于到直線的距離,由切線性質(zhì)求出,得,從而得.【詳解】如圖,設圓的圓心為,半徑為,點不在直線上,要滿足直線,關(guān)于直線對稱,則必垂直于直線,∴,設,則,,∴,.故選:C.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,考查直線的對稱性,解題關(guān)鍵是由圓的兩條切線關(guān)于直線對稱,得出與直線垂直,從而得就是圓心到直線的距離,這樣在直角三角形中可求得角.11、D【解析】
如圖所示,設依次構(gòu)成等差數(shù)列,其公差為.根據(jù)橢圓定義得,又,則,解得,.所以,,,.在和中,由余弦定理得,整理解得.故選D.12、C【解析】
設直線l的方程為x=y(tǒng),與拋物線聯(lián)立利用韋達定理可得p.【詳解】由已知得F(,0),設直線l的方程為x=y(tǒng),并與y2=2px聯(lián)立得y2﹣py﹣p2=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點C(x0,y0),∴y1+y2=p,又線段AB的中點M的縱坐標為1,則y0(y1+y2)=,所以p=2,故選C.【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的相交弦問題,利用韋達定理是解題的關(guān)鍵,屬中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由函數(shù)為偶函數(shù),可得唯一零點為,代入可得數(shù)列的遞推關(guān)系式,再進行配湊轉(zhuǎn)換為等比數(shù)列,最后運用分部求和可得答案.【詳解】因為為偶函數(shù),在上有唯一零點,所以,∴,∴,∴為首項為2,公比為2的等比數(shù)列.所以,.故答案為:【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的零點,同時也考查了由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項,考查了數(shù)列的分部求和,屬于中檔題.14、【解析】
由于偶次根式中被開方數(shù)非負,對數(shù)的真數(shù)要大于零,然后解不等式組可得答案.【詳解】解:由題意得,,解得,所以,故答案為:【點睛】此題考查函數(shù)定義域的求法,屬于基礎題.15、;【解析】
求出圓心坐標,代入直線方程得的關(guān)系,再由基本不等式求得題中最小值.【詳解】圓:的標準方程為,圓心為,由題意,即,∴,當且僅當,即時等號成立,故答案為:.【點睛】本題考查用基本不等式求最值,考查圓的標準方程,解題方法是配方法求圓心坐標,“1”的代換法求最小值,目的是湊配出基本不等式中所需的“定值”.16、18【解析】
由題意得函數(shù)f(x)與g(x)的圖像都關(guān)于點對稱,結(jié)合函數(shù)的對稱性進行求解即可.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù),函數(shù)關(guān)于點對稱,,函數(shù)關(guān)于點對稱,所以兩個函數(shù)圖象的交點也關(guān)于點(1,2)對稱,與圖像的交點為,,…,,兩兩關(guān)于點對稱,.故答案為:18【點睛】本題考查了函數(shù)對稱性的應用,結(jié)合函數(shù)奇偶性以及分式函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的對稱性是解決本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、證明見解析;.【解析】
推導出,,從而平面,由此證明平面平面以;以為原點,建立空間直角坐標系,利用法向量求出二面角的大小.【詳解】解:,,為的中點,四邊形為平行四邊形,.,,即.又平面平面,且平面平面,平面.平面,平面平面.,為的中點,.平面平面,且平面平面,平面.如圖,以為原點建立空間直角坐標系,則平面的一個法向量為,,,,,設,則,,,,,在平面中,,,設平面的法向量為,則,即,平面的一個法向量為,,由圖知二面角為銳角,所以所求二面角大小為.【點睛】本題考查面面垂直的證明,考查二面角的大小的求法,考查了空間向量的應用,屬于中檔題.18、(1);(2)【解析】
(1)求導.根據(jù)單調(diào),轉(zhuǎn)化為對恒成立求解(2)由(1)知,是的兩個根,不妨設,令.根據(jù),確定,將轉(zhuǎn)化為.令,用導數(shù)法研究其單調(diào)性求最值.【詳解】(1)的定義域為,.因為單調(diào),所以對恒成立,所以,恒成立,因為,當且僅當時取等號,所以;(2)由(1)知,是的兩個根.從而,,不妨設,則.因為,所以t為關(guān)于a的減函數(shù),所以..令,則.因為當時,在上為減函數(shù).所以當時,.從而,所以在上為減函數(shù).所以當時,.【點睛】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的綜合應用,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力,屬于難題.19、(1)①,③,④或②,③,④;(2).【解析】
(1)由①可求得的值,由②可求出角的值,結(jié)合題意得出,推出矛盾,可得出①②不能同時成為的條件,由此可得出結(jié)論;(2)在符合條件的兩組三角形中利用余弦定理和正弦定理求出對應的邊和角,然后利用三角形的面積公式可求出的面積.【詳解】(1)由①得,,所以,由②得,,解得或(舍),所以,因為,且,所以,所以,矛盾.所以不能同時滿足①,②.故滿足①,③,④或②,③,④;(2)若滿足①,③,④,因為,所以,即.解得.所以的面積.若滿足②,③,④由正弦定理,即,解得,所以,所以的面積.【點睛】本題考查三角形能否成立的判斷,同時也考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形,以及三角形面積的計算,要結(jié)合三角形已知元素類型合理選擇正弦定理或余弦定理解三角形,考查運算求解能力,屬于中等題.20、(1);(2)見解析.【解析】
(1)由已知變形得到,從而是等差數(shù)列,然后利用等差數(shù)列的通項公式計算即可;(2)先求出數(shù)列的通項,再利用裂項相消法求出即可.【詳解】(1)由已知,,即,又,則數(shù)列是以1為首項3為公差的等差數(shù)列,所以,即.(2)因為,則,所以,又是遞增數(shù)列,所以,綜上,.【點睛】本題考查由遞推公式求數(shù)列通項公式、裂項相消法求數(shù)列的和,考查學生的計算能力,是一道基礎題.21、(1)見解析;(2)見解析【解析】
(1)求得的導函數(shù),對分成兩種情況,討論的單調(diào)性.(2)由(1)判斷出的取值范圍,根據(jù)韋達定理求得的關(guān)系式,利用差比較法,計算,通過構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)證得,由此證得,進而證得不等式成立.【詳解】(1).當時,,此時在上單調(diào)遞減;當時,由解得或,∵是增函數(shù),∴此時在和單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.(2)由(1)知.,,,不妨設,∴,,令,∴,∴在上是減函數(shù),,∴,即.【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,考查利用導數(shù)證明不等式,考查分類討論的數(shù)學思想方法,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法,屬于中檔題.22、(1)的增區(qū)間為,減區(qū)間為;(2).【解析】
(1)求出函數(shù)的導數(shù),由于參數(shù)的范圍對導數(shù)的符號有影響,對參數(shù)分類,再研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)由(1)的結(jié)論,求出的表達式,由于恒成立,故求出的最大值,即得實數(shù)的取值范圍
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