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文檔簡介

2025屆黑龍江省哈爾濱市第六中學高考數學一模試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.“角谷猜想”的內容是:對于任意一個大于1的整數,如果為偶數就除以2,如果是奇數,就將其乘3再加1,執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入,則輸出的()A.6 B.7 C.8 D.92.已知為實數集,,,則()A. B. C. D.3.為了得到函數的圖象,只需把函數的圖象上所有的點()A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度4.若,,則的值為()A. B. C. D.5.設且,則下列不等式成立的是()A. B. C. D.6.在空間直角坐標系中,四面體各頂點坐標分別為:.假設螞蟻窩在點,一只螞蟻從點出發(fā),需要在,上分別任意選擇一點留下信息,然后再返回點.那么完成這個工作所需要走的最短路徑長度是()A. B. C. D.7.著名的斐波那契數列:1,1,2,3,5,8,…,滿足,,,若,則()A.2020 B.4038 C.4039 D.40408.若復數滿足(是虛數單位),則()A. B. C. D.9.阿波羅尼斯(約公元前262~190年)證明過這樣的命題:平面內到兩定點距離之比為常數的點的軌跡是圓.后人將這個圓稱為阿氏圓.若平面內兩定點,間的距離為2,動點與,的距離之比為,當,,不共線時,的面積的最大值是()A. B. C. D.10.已知集合,集合,則().A. B.C. D.11.復數的共軛復數對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.從拋物線上一點(點在軸上方)引拋物線準線的垂線,垂足為,且,設拋物線的焦點為,則直線的斜率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知是夾角為的兩個單位向量,若,,則與的夾角為______.14.已知二項式ax-1x6的展開式中的常數項為-16015.已知是等比數列,若,,且∥,則______.16.給出下列等式:,,,…請從中歸納出第個等式:______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知等腰梯形中(如圖1),,,為線段的中點,、為線段上的點,,現將四邊形沿折起(如圖2)(1)求證:平面;(2)在圖2中,若,求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)在平面直角坐標系中,曲線,曲線的參數方程為(為參數).以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求曲線、的極坐標方程;(2)在極坐標系中,射線與曲線,分別交于、兩點(異于極點),定點,求的面積19.(12分)設為實數,已知函數,.(1)當時,求函數的單調區(qū)間:(2)設為實數,若不等式對任意的及任意的恒成立,求的取值范圍;(3)若函數(,)有兩個相異的零點,求的取值范圍.20.(12分)已知向量,.(1)求的最小正周期;(2)若的內角的對邊分別為,且,求的面積.21.(12分)已知函數,其中.(1)討論函數的零點個數;(2)求證:.22.(10分)近年來,隨著“霧霾”天出現的越來越頻繁,很多人為了自己的健康,外出時選擇戴口罩,在一項對人們霧霾天外出時是否戴口罩的調查中,共調查了人,其中女性人,男性人,并根據統(tǒng)計數據畫出等高條形圖如圖所示:(1)利用圖形判斷性別與霧霾天外出戴口罩是否有關系并說明理由;(2)根據統(tǒng)計數據建立一個列聯表;(3)能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為性別與霧霾天外出戴口罩的關系.附:

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

模擬程序運行,觀察變量值可得結論.【詳解】循環(huán)前,循環(huán)時:,不滿足條件;,不滿足條件;,不滿足條件;,不滿足條件;,不滿足條件;,滿足條件,退出循環(huán),輸出.故選:B.【點睛】本題考查程序框圖,考查循環(huán)結構,解題時可模擬程序運行,觀察變量值,從而得出結論.2、C【解析】

求出集合,,,由此能求出.【詳解】為實數集,,,或,.故選:.【點睛】本題考查交集、補集的求法,考查交集、補集的性質等基礎知識,考查運算求解能力,是基礎題.3、D【解析】

通過變形,通過“左加右減”即可得到答案.【詳解】根據題意,故只需把函數的圖象上所有的點向右平移個單位長度可得到函數的圖象,故答案為D.【點睛】本題主要考查三角函數的平移變換,難度不大.4、A【解析】

取,得到,取,則,計算得到答案.【詳解】取,得到;取,則.故.故選:.【點睛】本題考查了二項式定理的應用,取和是解題的關鍵.5、A【解析】項,由得到,則,故項正確;項,當時,該不等式不成立,故項錯誤;項,當,時,,即不等式不成立,故項錯誤;項,當,時,,即不等式不成立,故項錯誤.綜上所述,故選.6、C【解析】

將四面體沿著劈開,展開后最短路徑就是的邊,在中,利用余弦定理即可求解.【詳解】將四面體沿著劈開,展開后如下圖所示:最短路徑就是的邊.易求得,由,知,由余弦定理知其中,∴故選:C【點睛】本題考查了余弦定理解三角形,需熟記定理的內容,考查了學生的空間想象能力,屬于中檔題.7、D【解析】

計算,代入等式,根據化簡得到答案.【詳解】,,,故,,故.故選:.【點睛】本題考查了斐波那契數列,意在考查學生的計算能力和應用能力.8、B【解析】

利用復數乘法運算化簡,由此求得.【詳解】依題意,所以.故選:B【點睛】本小題主要考查復數的乘法運算,考查復數模的計算,屬于基礎題.9、A【解析】

根據平面內兩定點,間的距離為2,動點與,的距離之比為,利用直接法求得軌跡,然后利用數形結合求解.【詳解】如圖所示:設,,,則,化簡得,當點到(軸)距離最大時,的面積最大,∴面積的最大值是.故選:A.【點睛】本題主要考查軌跡的求法和圓的應用,還考查了數形結合的思想和運算求解的能力,屬于中檔題.10、A【解析】

算出集合A、B及,再求補集即可.【詳解】由,得,所以,又,所以,故或.故選:A.【點睛】本題考查集合的交集、補集運算,考查學生的基本運算能力,是一道基礎題.11、A【解析】

試題分析:由題意可得:.共軛復數為,故選A.考點:1.復數的除法運算;2.以及復平面上的點與復數的關系12、A【解析】

根據拋物線的性質求出點坐標和焦點坐標,進而求出點的坐標,代入斜率公式即可求解.【詳解】設點的坐標為,由題意知,焦點,準線方程,所以,解得,把點代入拋物線方程可得,,因為,所以,所以點坐標為,代入斜率公式可得,.故選:A【點睛】本題考查拋物線的性質,考查運算求解能力;屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

依題意可得,再根據求模,求數量積,最后根據夾角公式計算可得;【詳解】解:因為是夾角為的兩個單位向量所以,又,所以,,所以,因為所以;故答案為:【點睛】本題考查平面向量的數量積的運算律,以及夾角的計算,屬于基礎題.14、2【解析】

在二項展開式的通項公式中,令x的冪指數等于0,求出r的值,即可求得常數項,再根據常數項等于-160求得實數a的值.【詳解】∵二項式(ax-1x)令6-2r=0,求得r=3,可得常數項為-C63故答案為:2.【點睛】本題主要考查二項式定理的應用,二項展開式的通項公式,二項式系數的性質,屬于基礎題.15、【解析】若,,且∥,則,由是等比數列,可知公比為..故答案為.16、【解析】

通過已知的三個等式,找出規(guī)律,歸納出第個等式即可.【詳解】解:因為:,,,等式的右邊系數是2,且角是等比數列,公比為,則角滿足:第個等式中的角,所以;故答案為:.【點睛】本題主要考查歸納推理,注意已知表達式的特征是解題的關鍵,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2).【解析】

(1)先連接,根據線面平行的判定定理,即可證明結論成立;(2)在圖2中,過點作,垂足為,連接,,證明平面平面,得到點在底面上的投影必落在直線上,記為點在底面上的投影,連接,,得出即是直線與平面所成角,再由題中數據求解,即可得出結果.【詳解】(1)連接,因為等腰梯形中(如圖1),,,所以與平行且相等,即四邊形為平行四邊形;所以;又為線段的中點,為中點,易得:四邊形也為平行四邊形,所以;將四邊形沿折起后,平行關系沒有變化,仍有:,且,所以翻折后四邊形也為平行四邊形;故;因為平面,平面,所以平面;(2)在圖2中,過點作,垂足為,連接,,因為,,翻折前梯形的高為,所以,則,;所以;又,,所以,即,所以;又,且平面,平面,所以平面;因此,平面平面;所以點在底面上的投影必落在直線上;記為點在底面上的投影,連接,,則平面;所以即是直線與平面所成角,因為,所以,因此,,故;因為,所以,因此,故,所以.即直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題主要考查證明線面平行,以及求直線與平面所成的角,熟記線面平行的判定定理,以及線面角的求法即可,屬于??碱}型.18、(1),;(2).【解析】

(1)先把參數方程化成普通方程,再利用極坐標的公式把普通方程化成極坐標方程;(2)先利用極坐標求出弦長,再求高,最后求的面積.【詳解】(1)曲線的極坐標方程為:,因為曲線的普通方程為:,曲線的極坐標方程為;(2)由(1)得:點的極坐標為,點的極坐標為,,點到射線的距離為的面積為.【點睛】本題考查普通方程、參數方程與極坐標方程之間的互化,同時也考查了利用極坐標方程求解面積問題,考查計算能力,屬于中等題.19、(1)函數單調減區(qū)間為;單調增區(qū)間為.(2)(3)【解析】

(1)據導數和函數單調性的關系即可求出;(2)分離參數,可得對任意的及任意的恒成立,構造函數,利用導數求出函數的最值即可求出的范圍;(3)先求導,再分類討論,根據導數和函數單調性以及最值得關系即可求出的范圍【詳解】解:(1)當時,因為,當時,;當時,.所以函數單調減區(qū)間為;單調增區(qū)間為.(2)由,得,由于,所以對任意的及任意的恒成立,由于,所以,所以對任意的恒成立,設,,則,所以函數在上單調遞減,在上單調遞增,所以,所以.(3)由,得,其中.①若時,則,所以函數在上單調遞增,所以函數至多有一個零點,不合題意;②若時,令,得.由第(2)小題,知:當時,,所以,所以,所以當時,函數的值域為.所以,存在,使得,即,①且當時,,所以函數在上單調遞增,在上單調遞減.因為函數有兩個零點,,所以.②設,,則,所以函數在單調遞增,由于,所以當時,.所以,②式中的,又由①式,得.由第(1)小題可知,當時,函數在上單調遞減,所以,即.當時,(?。┯捎?所以得,又因為,且函數在上單調遞減,函數的圖象在上不間斷,所以函數在上恰有一個零點;(ⅱ)由于,令,設,,由于時,,,所以設,即.由①式,得,當時,,且,同理可得函數在上也恰有一個零點.綜上,.【點睛】本題考查含參數的導數的單調性,利用導數求不等式恒成立問題,以及考查函數零點問題,考查學生的計算能力,是綜合性較強的題.20、(1);(2)或【解析】

(1)利用平面向量數量積的坐標運算可得,利用正弦函數的周期性即可求解;(2)由(1)可求,結合范圍,可求的值,由余弦定理可求的值,進而根據三角形的面積公式即可求解.【詳解】(1)∴最小正周期.(2)由(1)知,∴∴,又∴或.解得或當時,由余弦定理得即,解得.此時.當時,由余弦定理得.即,解得.此時.【點睛】本題主要考查了平面向量數量積的坐標運算、正弦函數的周期性,考查余弦定理、三角形的面積公式在解三角形中的綜合應用,考查了轉化思想和分類討論思想,屬于基礎題.21、(1)時,有一個零點;當且時,有兩個零點;(2)見解析【解析】

(1)利用的導函數,求得的最大值的表達式,對進行分類討論,由此判斷出的零點的個數.(2)由,得到和,構造函數,利用導數證得,即有,從而證得,即.【詳解】(1),∴當時,,當時,在上遞增,在上遞減,.令在上遞減,在上遞增,,當且僅當時取等號.①時,有一個零點;②時,,此時有兩個零點;③時,,令在上遞增,,此時有兩個零點;綜上:時,有一個零點;當且時,有兩個零點;(2)由(1)可知:,令在上遞增,.【點睛】本小題主要考查利用導數研究函數的零點,考查利用導數證明不等式,考查分類討論的數學思想方法,考查化歸與轉化的數學思想方法,屬于中檔題.22、(1)圖形見解析,理由見解析;(2)見解析;(3)犯錯誤的概率不超過的前提下認為性別與霧霾天外出戴口罩有關系【解析】

(1)利用等高條形圖中兩個深顏色條的高比較得

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