山東省煙臺(tái)市萊州市一中2025屆高考數(shù)學(xué)倒計(jì)時(shí)模擬卷含解析

山東省煙臺(tái)市萊州市一中2025屆高考數(shù)學(xué)倒計(jì)時(shí)模擬卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知是虛數(shù)單位，若，，則實(shí)數(shù)（）A．或 B．-1或1 C．1 D．2．已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，其中三視圖的長(zhǎng)、寬、高分別為，，，且，則此三棱錐外接球表面積的最小值為（）A． B． C． D．3．在三棱錐中，，，，，點(diǎn)到底面的距離為2，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．4．已知數(shù)列滿足：，則()A．16 B．25 C．28 D．335．小張家訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人可能在早上之間把報(bào)送到小張家，小張離開(kāi)家去工作的時(shí)間在早上之間.用表示事件：“小張?jiān)陔x開(kāi)家前能得到報(bào)紙”，設(shè)送報(bào)人到達(dá)的時(shí)間為，小張離開(kāi)家的時(shí)間為，看成平面中的點(diǎn)，則用幾何概型的公式得到事件的概率等于（）A． B． C． D．6．已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)在過(guò)且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的漸近線方程為（）A． B． C． D．7．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A．45 B．42 C．25 D．369．一個(gè)四棱錐的三視圖如圖所示（其中主視圖也叫正視圖，左視圖也叫側(cè)視圖），則這個(gè)四棱錐中最最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度是（）．A． B． C． D．10．從拋物線上一點(diǎn)(點(diǎn)在軸上方)引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，且，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，則直線的斜率為（）A． B． C． D．11．復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則()A．i B．﹣2i C．2i D．﹣i12．已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)_______14．已知，若的展開(kāi)式中的系數(shù)比x的系數(shù)大30，則______．15．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，的面積為，則_______，_______．16．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)且斜率為的直線交橢圓于，若三角形的面積等于，則該橢圓的離心率為_(kāi)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓，上、下頂點(diǎn)分別是、，上、下焦點(diǎn)分別是、，焦距為，點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）若為橢圓上異于、的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作與軸平行的直線，直線與交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，判斷是否為定值，說(shuō)明理由.18．（12分）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答.已知等差數(shù)列的公差為，等差數(shù)列的公差為.設(shè)分別是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）某學(xué)生為了測(cè)試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問(wèn)題設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)，并獲得了煤氣開(kāi)關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與燒開(kāi)一壺水所用時(shí)間的一組數(shù)據(jù)，且作了一定的數(shù)據(jù)處理（如下表），得到了散點(diǎn)圖（如下圖）.表中，.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)更適宜作燒水時(shí)間關(guān)于開(kāi)關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類(lèi)型？（不必說(shuō)明理由）（2）根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；（3）若單位時(shí)間內(nèi)煤氣輸出量與旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)成正比，那么，利用第（2）問(wèn)求得的回歸方程知為多少時(shí)，燒開(kāi)一壺水最省煤氣？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)值分別為，20．（12分）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，，，（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式﹔（2）設(shè)，求證：.21．（12分）已知不等式的解集為.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）已知存在實(shí)數(shù)使得恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.22．（10分）設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

由題意得，，然后求解即可【詳解】∵，∴.又∵，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題2、B【解析】

根據(jù)三視圖得到幾何體為一三棱錐，并以該三棱錐構(gòu)造長(zhǎng)方體，于是得到三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，進(jìn)而得到外接球的半徑，求得外接球的面積后可求出最小值．【詳解】由已知條件及三視圖得，此三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)位于長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)，即為三棱錐，且長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，∴此三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，且球半徑為，∴三棱錐外接球表面積為，∴當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，三棱錐外接球的表面積取得最小值為．故選B．【點(diǎn)睛】（1）解決關(guān)于外接球的問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住外接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離都等于球的半徑，同時(shí)要作一圓面起襯托作用．（2）長(zhǎng)方體的外接球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，對(duì)于一些比較特殊的三棱錐，在研究其外接球的問(wèn)題時(shí)可考慮通過(guò)構(gòu)造長(zhǎng)方體，通過(guò)長(zhǎng)方體的外球球來(lái)研究三棱錐的外接球的問(wèn)題．3、C【解析】

首先根據(jù)垂直關(guān)系可確定，由此可知為三棱錐外接球的球心，在中，可以算出的一個(gè)表達(dá)式，在中，可以計(jì)算出的一個(gè)表達(dá)式，根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系可構(gòu)造等式求得半徑，進(jìn)而求出球的表面積．【詳解】取中點(diǎn)，由，可知：，為三棱錐外接球球心，過(guò)作平面，交平面于，連接交于，連接，，，，，，為的中點(diǎn)由球的性質(zhì)可知：平面，，且．設(shè)，，，，在中，，即，解得：，三棱錐的外接球的半徑為：，三棱錐外接球的表面積為．故選：.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球的表面積的求解問(wèn)題，求解幾何體外接球相關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠利用球的性質(zhì)確定外接球球心的位置.4、C【解析】

依次遞推求出得解.【詳解】n=1時(shí)，，n=2時(shí)，，n=3時(shí)，，n=4時(shí)，，n=5時(shí)，.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查遞推公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.5、D【解析】

這是幾何概型，畫(huà)出圖形，利用面積比即可求解.【詳解】解：事件發(fā)生，需滿足，即事件應(yīng)位于五邊形內(nèi)，作圖如下：故選：D【點(diǎn)睛】考查幾何概型，是基礎(chǔ)題.6、D【解析】

根據(jù)為等腰三角形，可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，又由的斜率為可得出關(guān)系，即可求出漸近線斜率得解.【詳解】如圖，因?yàn)闉榈妊切?，，所以?，又，，解得，所以雙曲線的漸近線方程為，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.7、D【解析】

將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)得,,即可得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,即可得出結(jié)果.【詳解】，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,考查共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)與平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng),難度容易.8、D【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,進(jìn)而代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式即可.【詳解】由題,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和.9、A【解析】

作出其直觀圖，然后結(jié)合數(shù)據(jù)根據(jù)勾股定定理計(jì)算每一條棱長(zhǎng)即可.【詳解】根據(jù)三視圖作出該四棱錐的直觀圖，如圖所示，其中底面是直角梯形，且，，平面，且，∴，，，，∴這個(gè)四棱錐中最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度是．故選．【點(diǎn)睛】本題考查了四棱錐的三視圖的有關(guān)計(jì)算，正確還原直觀圖是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．10、A【解析】

根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出點(diǎn)坐標(biāo)和焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入斜率公式即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意知，焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程，所以，解得，把點(diǎn)代入拋物線方程可得，，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，代入斜率公式可得，.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力；屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)部為0，虛部不為0，求出，即得.【詳解】∵為純虛數(shù)，∴，解得..故選：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的分類(lèi)，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

根據(jù)題意求得參數(shù)，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】依題意，得，故，故，，，則.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查推理論證能力，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】

直接根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求出?！驹斀狻恳罁?jù)點(diǎn)到直線的距離公式，點(diǎn)到直線的距離為。【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用。14、2【解析】

利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，求得的值．【詳解】展開(kāi)式通項(xiàng)為：且的展開(kāi)式中的系數(shù)比的系數(shù)大，即：解得：（舍去）或本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

由已知及正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得，從而求得，結(jié)合范圍，即可得到答案運(yùn)用余弦定理和三角形面積公式，結(jié)合完全平方公式，即可得到答案【詳解】由已知及正弦定理可得，可得：解得，即，由面積公式可得：，即由余弦定理可得：即有解得【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用正弦定理、余弦定理和面積公式解三角形，題目較為基礎(chǔ)，只要按照題意運(yùn)用公式即可求出答案16、【解析】

由題得直線的方程為，代入橢圓方程得：，設(shè)點(diǎn)，則有，由，且解出，進(jìn)而求解出離心率.【詳解】由題知，直線的方程為，代入消得：，設(shè)點(diǎn)，則有，，而，又，解得：，所以離心率.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，三角形面積計(jì)算與離心率的求解，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2），理由見(jiàn)解析.【解析】

（1）求出橢圓的上、下焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用橢圓的定義求得的值，進(jìn)而可求得的值，由此可得出橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，求出直線的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由此計(jì)算出直線和的斜率，可計(jì)算出的值，進(jìn)而可求得的值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題意可知，橢圓的上焦點(diǎn)為、，由橢圓的定義可得，可得，，因此，所求橢圓的方程為；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，得，直線的斜率為，所以，直線的方程為，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為，所以，，，因此，.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解，同時(shí)也考查了橢圓中定值問(wèn)題的求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.18、（1）；（2）【解析】

方案一：（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式列方程組，求出和，從而寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由第（1）題的結(jié)論，寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)，采用分組求和、等比求和公式以及裂項(xiàng)相消法，求出數(shù)列的前項(xiàng)和.其余兩個(gè)方案與方案一的解法相近似.【詳解】解：方案一：（1）∵數(shù)列都是等差數(shù)列，且，，解得，綜上（2）由（1）得：方案二：（1）∵數(shù)列都是等差數(shù)列，且，解得，.綜上，（2）同方案一方案三：（1）∵數(shù)列都是等差數(shù)列，且.，解得，，.綜上，（2）同方案一【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查了分組求和、等比求和及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬于中檔題.19、（1）選取更合適；（2）；（3）時(shí)，煤氣用量最小.【解析】

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖的特點(diǎn)，可得更適合；（2）先建立關(guān)于的回歸方程，再得出關(guān)于的回歸方程；（3）寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系，利用基本不等式得出最小值及其成立的條件.【詳解】（1）選取更適宜作燒水時(shí)間關(guān)于開(kāi)關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類(lèi)型；（2）由公式可得：，，所以所求回歸直線方程為：；（3）根據(jù)題意，設(shè)，則煤氣用量，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即時(shí)，煤氣用量最小.【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)題意求回歸方程，利用線性回歸方程的求法得解，結(jié)合基本不等式求最值.20、（1）證明見(jiàn)解析，；（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）由，作差得到，進(jìn)一步得到，再作差即可得到，從而使問(wèn)題得到解決；（2），求和即可.【詳解】（1），，兩式相減：①用換，得②②—①，得，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列，又，∴，，公差，所以.（II）.【點(diǎn)睛】本題考查由與的關(guān)系求通項(xiàng)以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道容易題.21、（1）；（2）4【解析】

（1）分類(lèi)討論，求解x的范圍，取并集，得到絕對(duì)值不等式的解集，即得解；（2）轉(zhuǎn)化原不等式為：，利用均值不等式即得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)不等式可化為當(dāng)時(shí)，不等式可化為；當(dāng)時(shí)，不等式可化為；綜上不等式的解集為.（2）由（1）有，，，，即而當(dāng)且僅當(dāng)：，即，即時(shí)等號(hào)成立∴，綜上實(shí)數(shù)最大值為4.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式的求解與不等式的恒成立問(wèn)題，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.22、(1)