第6講高二數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)能力競(jìng)賽專題訓(xùn)練-等差數(shù)列

第6講高二數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)能力競(jìng)賽專題訓(xùn)練—等差數(shù)列

【題型目錄】

模塊一：易錯(cuò)試題精選

模塊二：培優(yōu)試題精選

模塊三：名校競(jìng)賽試題精選

【典型例題】

模塊一：易錯(cuò)試題精選

1.在等差數(shù)列｛%｝中，％=-11,見=一3記7；=6%..4(〃=1,2...),則數(shù)列｛7；｝()

A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)

C.無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D.無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)

【答案】C

【分析】根據(jù)題意求出根據(jù)等差數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)符號(hào)得到數(shù)列｛Z｝的單調(diào)性.由此可求得結(jié)果.

【詳解】解：依題意可得公差1=牛二3==〃=2,q=4+(〃—l)d=—11+2〃—2=2〃—13,

5-14

所以當(dāng)〃工6時(shí)，an<0,當(dāng)〃27時(shí)，%>0,

因?yàn)獒?一11<0,7；=-llx(-9)=99>0,7；=-llx(-9)x(-7)=-693<0,

7；=-llx(-9)x(-7)x(-5)=3465>0,4=3465x(-3)=-10395<0,

7；,=-10395x(-1)=10395>0,

2

又當(dāng)“N6時(shí)，Tn=a.a2a3a4a5a6q>0,且多-空」包=—=2〃-11N1,即7；,所以當(dāng)〃之6時(shí)，

數(shù)列｛1｝單調(diào)遞增，

所以數(shù)列｛1｝無最大項(xiàng)，數(shù)列｛1｝有最小項(xiàng)Z=T0395.

故選：C

2.數(shù)列｛《｝滿足，”=，,“+2(weN\〃22),%=1,其前〃項(xiàng)和為S“，若2022Vs”<2035,則〃=()

A.47B.46C.45D.44

【答案】C

【分析】由題意可知數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，進(jìn)而可得S“=/,從而有2022<2035，

求解困可

【詳解】數(shù)列｛““｝滿足凡=勺_1+2（〃￡、"，n>2）,即可-《1=2,%=1,

所以數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，

所以S”=〃6+「d=n2,

又2022Vs“<2035,則2022</<2035，

因?yàn)椤?]936<2022<452=2025<2035<2116=462>

又且2（）22v/v2035，

所以〃=45,

故選：C

3.1934年，東印度（今孟加拉國(guó)）學(xué)者森德拉姆（Sundaram）發(fā)現(xiàn)了“正方形篩子”如下圖，則其第10行

第11列的數(shù)為（）

47101316…

712172227…

1017243138…

1322314049…

1627384960…

A.220B.241C.262D.264

【答案】B

【分析】觀察可得第一列成等差數(shù)列，然后再觀察每一行的特點(diǎn)，即可得到第10行第11列的數(shù).

【詳解】第一列的數(shù)字為的7,10,13,16,K可得為等差數(shù)列,公差d=3,

貝ijan+（w——4+3（n—1）—3w+l

則第10行的第一個(gè)數(shù)字為%=3x10+1=31

然后第一行的數(shù)字是加3遞增，第二行的數(shù)字是加5遞增，第三行的數(shù)字是加7遞增，…

則第"行的是加3+2（N-l）遞增，

則第K）行是力口3+2（10-1）=21遞增

所以第10行第11列的數(shù)為31+21（11-1）=241

故選:B

4.已知等差數(shù)列｛6,｝（公差不為零）和等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和分別為％如果關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程

2023/-5皿/+石。23=0有實(shí)數(shù)解，那么以下2023個(gè)方程V—=0（i=l,2,3,…,2023）中，有實(shí)數(shù)解的

方程至少有（）個(gè)

A.1009B.1010C.1011D.1012

【答案】D

【分析】設(shè)出兩個(gè)等差數(shù)列的公差，由等差數(shù)列的性質(zhì)得到。溫-4九I?N。，要想無實(shí)根,要滿足d-M<0,

結(jié)合根的判別式與基本不等式得到4<。和A^v。至多--個(gè)成立，同理可證：&<0和A2m<0至多?個(gè)

成立，……，劣0”<0和A@3<0至多一個(gè)成立，且金）”0,從而得到結(jié)論.

【詳解】由題意得：5^-4x2023^>0,

其中SQ=2023（。；+八）=2023.2，小,=2023（*+*）=2023%?，

代入上式得：a[i2-4432-0，

要想犬-4/+〃=0（，=1,2,3,,2023）方程無實(shí)數(shù)解，則?！彼耍?/p>

顯然第1012個(gè)方程有解，

設(shè)方程/4=0與方程一一生⑼=0的判另IJ式分別為4和△血3，

則+△2023=（〃；-44）+（d023-%儂）24；+砥23-4伯+%23）

之^1^￡_4佃+如3）=^^-%2=2（*2-44。步0，

等號(hào)成立的條件是％=限.

所以4Vo和至多一個(gè)成立，同理可證：△2Vo和AMZ〈。至多一個(gè)成立，

....<0和「⑼3Vo至多一個(gè)成立，且AQO,

綜上，在所給的2023個(gè)方程中，無實(shí)數(shù)根的方程最多1011個(gè)，有實(shí)數(shù)根的方程至少1012個(gè).

故選：D.

5.已知兩個(gè)等差數(shù)列2,6,10,...?198及2,8,14,…，200,將這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大

的順序組成一個(gè)新數(shù)列，則這個(gè)新數(shù)列的各項(xiàng)之和為（）

A.1460B.1472

C.1666D.1678

【答案】C

【分析】根據(jù)題意求出兩個(gè)數(shù)列，相同的項(xiàng)組成的數(shù)列，求出項(xiàng)數(shù)，然后求出它們的和即可.

【詳解】有兩個(gè)等差數(shù)列2,6,10，…,198及2,8,14.........200,

由這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，2,14,26,38,50,…，182,194是兩個(gè)

數(shù)列的相同項(xiàng).

共有1峰94上-2+1=17個(gè)，也是等差數(shù)列，

2+194

它們的和為:一xl7=1666,

2

這個(gè)新數(shù)列的各項(xiàng)之和為1666.

故選：C.

〃

6.已知分別是等差數(shù)列㈤｝與低｝的前〃項(xiàng)和，且S寧二2比+1三（〃=12）,則有廣韋二（）

HR414323

A?詬B-780.瓦0.瓦

【答案】B

【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得：b3m將所求的式子化簡(jiǎn)，再利用等差數(shù)列前〃項(xiàng)和即可求

解.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛么｝是等差數(shù)列，所以％+%=/+九，

又因?yàn)镾.Z分別是等差數(shù)列｛%｝與出｝的前〃項(xiàng)和，且寧=/二工（〃=1,2,）,

yj%+/=4o+4=4+/=&=2x20+1=4[

T4+九力6+九4+%4+%T第4x20-278,

故選：B.

7.（多選題）己知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為J，則下列說法正確的是（）

A.若S“=2〃2-3,則｛可｝是等差數(shù)列

B.若｛勺｝是等差數(shù)列，且6=5,%+4。=2,則數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和S。有最大值

C.若等差數(shù)列｛4｝的前10項(xiàng)和為170,前10項(xiàng)中，偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為9：8,則公差為2

D.若｛4｝是等差數(shù)列，則三點(diǎn)（10,強(qiáng)）、（20,穿）、卜0,祟）共線

【答案】BCD

【分析】根據(jù)等差數(shù)列及等差數(shù)列前〃項(xiàng)和S”的性質(zhì)，逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】A項(xiàng)，〃=1時(shí)，4=1=-1,

〃之2時(shí)，a“=S"-Si=4〃-2

〃=1時(shí)，4=2工-1,所以，｛叫不是等差數(shù)列；

B項(xiàng)，由已知可得，4=1，又%=5

423

所以，d=——<0,q=3~>0.所以，S”有最大值；

C項(xiàng)，由已知可得，偶數(shù)項(xiàng)和為90,奇數(shù)項(xiàng)和為80,兩者作差為5d=10,所以d=2；

D項(xiàng)，設(shè)三點(diǎn)分別為4,B,C,—=^H■——?則需"=4+31,=?)+—</,—=?1+—d.

UlMIUUUuiMlUU1

則AB=(10,54),5C=(10,5d),4B=BC，所以三點(diǎn)共線.

故選：BCD.

8.(多選題)S。為等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和，公差d>0,若。3%%T05,且」一+」一+」一二；,則()

aaaa

41a55i37'

A.6=5

B.Sg=90

C.對(duì)于任意的正整數(shù)〃，總存在正整數(shù)用，使得勺=S”

D.一定存在三個(gè)正整數(shù)加，〃，k,當(dāng)加〈女時(shí)，廿，2%,2%三個(gè)數(shù)依次成等差數(shù)列

【答案】AC

【分析】對(duì)等式一匚+一匚+」一二;左邊同分，結(jié)合％%%=105即可求出的,從而判斷A選項(xiàng)；再結(jié)合公

差d>0即可求出生和的,從而求出4％、Sn,從而對(duì)B和C進(jìn)行判斷；對(duì)于選項(xiàng)D,根據(jù)等差中項(xiàng)的

性質(zhì)表示出m、〃、欠二者的關(guān)系，根據(jù)方程成立的條件即可判斷.

1111+a.+a,3as1

【詳解】由---+----+----=亍得----------="5=5,故A正確；

c

a3a5a5a7a3h'1057

S9=―———=96=9x5=45,故B錯(cuò)誤；

aia^a-j=105,a3aj=21,結(jié)合％+%=26=10及d>0可得：=3,%=7,

故=an=a5+(n-5)d=n,Sn=—->則4=S”即為"=〃(”+。,

7—322

???〃是正整數(shù)，，當(dāng)W也是正整數(shù)，故對(duì)于任意的正整數(shù)〃，總存在正整數(shù)機(jī)，使得勺=，，故C正確;

2%,24,2,成等差數(shù)歹U。2?2"=2"'+2?o2n+,-m=1+2k~m

???21a,2""m均為偶數(shù)，，等式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，左右不可能相等，故D錯(cuò)誤；

故選：AC.

9.（多選題）設(shè)數(shù)列｛為｝是公差為d等差數(shù)列，S.為其前〃項(xiàng)和，4<（）,且％2。=5如3,貝IJ（）

A.d>0B.。2022=。C.S5Vs6D.5202l>$2022為S”的最小值

【答案】ABD

【分析】根據(jù)題干條件找出％和d的等量關(guān)系，分析出4和d的符號(hào)后逐一判斷即可.

【詳解】根據(jù)$2020=$2023可知,々2021+“2022+“2023=°,由等差中項(xiàng)可得，。2021+“2021+“2023=°=3a2022,即0022=。?

故B正確；

%<0,=0=4+20214,故d=一蠢>0,故A正確；

?,<0,d>0可知,等差數(shù)列單調(diào)遞增.01-2=0.說明4（14〃42021,〃WZ）都是負(fù)數(shù).故S2⑷最小,又

。2022=。，于是§2021MS.,它們均是最小值，故D正確；

據(jù)剛才分析，，<0,而S6-S5=《<0,故C錯(cuò)誤.

故選：ABD

10.（多選題）公差為d的等差數(shù)列｛/｝前〃項(xiàng)和為S”，若S10<S8<S9,則下列選項(xiàng)，正確的有（）

A.d>0B.q>0時(shí)，〃的最大值為9

C.S,,有最小值D.S”>0時(shí)，〃的最大值為17

【答案】BD

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的單調(diào)性以及前〃項(xiàng)和的函數(shù)性質(zhì)，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.

【詳解】對(duì)A：由SioVavR可得%+4?<。，%>。，4o〈O，=al0-a9<0,A錯(cuò)誤；

對(duì)B：由A得，數(shù)列為單調(diào)減數(shù)列，一且6>0,4。<0,故。“>0時(shí)，〃的最大值為9,B正確；

對(duì)C：由A得，d<0,故S.=3〃2+（可一：）〃是關(guān)于/1的開口向下的二次函數(shù)，其有最大值沒有最小值，C

錯(cuò)誤；

對(duì)D：因?yàn)閿?shù)列｛〃.｝的前9項(xiàng)均為正數(shù)，且S1?=17%>。，&=9（6+48）=9（q+%）<0，

故S”>0時(shí)，〃的最大值為17,D正確；

故選：BD.

11.（多選題）等差數(shù)列｛q｝的各項(xiàng)4>0,設(shè)其前〃項(xiàng)和為（〃wN*）且工=，2,則以下命題正確的是

)

A.S0的值不可能為0：

B.當(dāng)S.cO時(shí)，〃的最小值為18

C.等式4+%++?！?。|+。2++%7_”恒成立(〃<17)

D.當(dāng)S.值最大時(shí)，〃的值為9

【答案】BC

【分析】由條件S§=幾結(jié)合等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式確定數(shù)列｛勺｝的首項(xiàng)q和公差d的關(guān)系，再結(jié)合通項(xiàng)

公式和前凡項(xiàng)和公式依次判斷各選項(xiàng)即可.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d，因?yàn)?5=幾，所以5卬+等4=124+竺/"，所以％+84=0,

即6=0,所以S7=17《+巴普d=17(4-8d)=0.A錯(cuò)誤：因?yàn)镾“=，町+一『口"二|「一/d’令S“<0.

所以(與又《>0，4+81=0,所以d<0,所以〃—17>0,又/teN",所以當(dāng)S“<0時(shí)，〃的

最小值為18,B正確，因?yàn)镾”=〃q+當(dāng)5d=('d<0,所以當(dāng)〃=8和〃=9時(shí)，S”值最大,

D錯(cuò)誤，因?yàn)镾”=(q)〃d,所以當(dāng)〃<17時(shí)，=即

4+%++《=4+/++47-“，C正確;

故選：BC.

12.已知數(shù)列｛%｝中，6=1,2q+/4,=(〃+1)4-〃/+1,則通項(xiàng)公式％=.

【答案】

【分析】對(duì)已知條件變形，可得工為等差數(shù)列.

4

【詳解】由已知為小。=但+^^一:町山顯然。#。，

兩端同時(shí)除以^---=2,又，=1

4+1ana\

所以，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.

所以，—=l+2(w-l)=2w-l.

所以,

2n-\

n

故答案為:

2n-\

:，且2=-!-+-!-(〃61<,〃之2),則4023=

13.若各項(xiàng)均不為零的數(shù)列血｝滿足4=1，/

aa

2nn-\."?]

]

【答案】

2023

2112),可知，，，為等差數(shù)列，從而可以求出,’的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可

【分析】由一=—+—neN：〃之

勺%%lan

求出。2023的值.

【詳解】由2=」—+」—(〃€N=〃N2),得」-----=-----—(/：€N\n>2|,

可%%.」%勺4%

，,,為等差數(shù)列.

乂4=1,4=3，

,11.

所以d=------=1,

54

1

???一=〃，

凡

1

1

??a

202a-2023

故答案為:

2023

14.已知數(shù)列應(yīng)｝滿足a。q=2-24,〃為正整數(shù)，則可=.

__〃十I

【答案】芯

\-aI11

【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可得知=1■一?進(jìn)而變形得1——1——=1，可知;一為等差數(shù)列，進(jìn)而可求.

1-4.11-q*-an\U-anJ

2

【詳解】當(dāng)〃=1時(shí)，4=2-24?4

當(dāng)〃N2時(shí)，由的2q=2-2可得4，%=2-2%，

兩式相除得：^n>2,故.二7」—，

I—-1-%1-4，

進(jìn)而得丁^—丁匚:1，?>2,因此［J-］為等差數(shù)列，且公差為1,首項(xiàng)為3,

1-4.1一凡“|1-?J

故土=3+（入I）?4=翟

故答案為：型=

n+2

15.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S"，若S”=〃2+2%-6,則〃“=.

【答案】2〃+3

【分析】由勺與S”的關(guān)系消去Sf，得到aj勺遞推公式，再由等差數(shù)列的性質(zhì)求得公差d,即可求得其通項(xiàng).

【詳解】當(dāng)〃=1時(shí)，q=l+2.1-6,則6=5；

當(dāng)〃22時(shí)，5小=5—1)2+〃_/6,

兩式相減,整理得%=方”_「2〃+1,

設(shè)公差為d,則4一勺一]=d=q-]-2〃+1,即5+(〃-2)d=2〃+d-l.

所以d=2,

所以q,=2〃+3.

故答案為：2〃+3.

16.已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為,，若旦=］則得■=.

【答案】214

45

s7：（《+%）

【分析】根據(jù)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式，得?..U=~^--------，再根據(jù)等差中項(xiàng)得到4+%=24,4+%=2%,

九?％+%）

整體代入即可得到答案.

2

【詳解】等差數(shù)列｛4｝的前月項(xiàng)和為S”一=4,

“8J

S-5(4+%)714

一X-=

5,5y(?!+?i5)15仆15345

故答案為：弓14.

45

17.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有一道題:“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩二，七七

數(shù)之剩二，問物兒何?”根據(jù)這一數(shù)學(xué)思想，所有被3除余2的正整數(shù)按從小到大的順序排列組成數(shù)列｛q｝,

所有被5除余2的正整數(shù)按從小到大的順序排列組成數(shù)列低｝,把數(shù)列乩｝與也｝的公共項(xiàng)按從小到大的

順序排列組成數(shù)列｛q｝，則數(shù)列｛[｝的第10項(xiàng)是數(shù)列｛2｝的第項(xiàng).

【答案】28

【分析】根據(jù)給定的條件，求出數(shù)列｛%｝,也”｝的通項(xiàng)公式，再推導(dǎo)出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)即可計(jì)算作答.

【詳解】依題意，數(shù)列｛%｝,也｝的通項(xiàng)公式分別為q=3〃-1也=5〃-3,令4二%/〃ebP,

即有弘一1=56一3,則3=2=2小—”；2,因此/n+2=3p,p￡N*,即m=3p-2,pwN*,有Cp=b3P々，

于是得數(shù)列｛cn｝的通項(xiàng)為c“=&_2=5(3〃-2)-3=15〃-13,c10=137,由5〃-3=137得：〃=28,

所以數(shù)列匕｝的第10項(xiàng)是數(shù)列｛〃｝的第28項(xiàng).

故答案為：28

18.已知數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)都不相同,口4=1949,4=2021.4一即€｛4,-3｝(2?i?kiw不?則正整數(shù)。

的最大值和最小值之和為.

【答案】164

【分析】由2021=1949+72,分析可知當(dāng)《一?”=4時(shí)，女取最小值；當(dāng)a,-qT=4和4-a“=-3交替出現(xiàn)

時(shí)，A2的最大值和最小值，相加可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?=1949,4=2021,力-1w｛T3｝(24i-),

則4=2021—1949=72,且72=4x18,

則當(dāng)4一。1=4時(shí)，女取最小值，

此時(shí)，數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，且其公差為4,則融=q+4仕-1)=1949+4(2-1)=2021,

解得A=19,所以，k的最小值為19；

當(dāng)4-《7=4和=-3交替出現(xiàn)時(shí)，女取最大值，

因?yàn)?949+72(4-3)=2021,所以，2的最大值為2x72+1=145.

因此，正整數(shù)％的最大值和最小值之和為145+19=164.

故答案為：164.

19.設(shè)等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)之和S”滿足梟-55=20,那么％=.

【答案】4

【分析】由已知，將幾-55=20變?yōu)椋?%+%+q+4。=2(),然后借助等差中項(xiàng)的知識(shí)轉(zhuǎn)化為54=20,

即可完成求解.

【詳解】由已知，差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)之和兀滿足九-55-20,

即％+%+6+49+%）=20,由等差中項(xiàng)的知識(shí)可知2%=%+%=%+4,

所以M=20=/=4.

故答案為：4.

20.記S”為數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和，”為數(shù)列⑸｝的前〃項(xiàng)積，已知2szi+仇=2,則4=.

【答案】專

【分析】由題意可得丁2二2廠+1,從而得到｛丁2｝是等差數(shù)列，進(jìn)一步得〃=三，，再求出I=土1=,利用

"岫bnn+2n+2

%=S/S.\求得知=（〃+］；〃+2）即可求出答案.

【詳解】解：因?yàn)槊?￡?邑?，?§.，

所以自=5=4,bn_1=ScS2-Sn.,（n>2）,所以S“=3（〃之2）,

Dn-\

22

又因?yàn)?S.+b“=2,當(dāng)〃=1時(shí)，得q=大，所以〃=g=q=Q,

b22

當(dāng)時(shí)，2x廣+"=2,即丁=*+1,

如“%

所以值］是等差數(shù)列，首項(xiàng)為（=3,公差d=l,

也Ja

2

所以（=3+（〃-1）x1=〃+2,

22

所以a=T，滿足4=3，

n+23

即￡=一^，

n+2

2

所以，$?耳產(chǎn)/萬（心2）,

兩式相除得斗二"蘭，當(dāng)〃=1時(shí)也成立，

n+2

所以5~=羔（〃之2）,

所以4=S”-S”_|一-77=\9,

n+2n+\（〃+1）（〃+2）

所以4=---=—.

逸9x1090

故答案為：表.

21.已知數(shù)列｛賁｝("WN)是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.

⑴求％:

2〃=1,

⑵若J=?m2〃之2.求數(shù)列在”｝的前“項(xiàng)和S”.

【答案】⑴仆=〃2

⑵2+2hw

【分析】⑴由于數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為1,則可求得爭(zhēng)即得勺；

(2)按照裂項(xiàng)求和求S0即可.

【詳解】(1)解：???｛2｝是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，

則?=1+〃,

可得?！?/.

(2)解：???q=2,

〃22時(shí)，cn=In-^-=21n=2[inw-In(?-1)],

：?S”"1+C2+…+c”

=2+2[ln2-lnl+ln3-ln2++ln?-ln(n-l)J=2+21nw.

22.已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S”，S4=4S2?2“=24+L(〃eN.).

(1)求｛為｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)數(shù)列也｝滿足4+勖3+Q用-泗*),記數(shù)列卜1)"例?邯前〃項(xiàng)和為心求

I/+1.

【答案】(1)6=2〃-1：

—心一,n=2k,Z:GN+

2〃+l

(2)1=，

生匚,〃=2"l/eN

2〃+l

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列及其前〃項(xiàng)和的基本量，求得首項(xiàng)和公差，即可求得結(jié)果；

（2）利用下標(biāo)的縮減，求得“，再討論〃的奇偶性，用裂項(xiàng)求和法求，即可.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d,由S」=4S2,可得總+64=4（24+4）,即24=d：

又因?yàn)槌觥?2q+l,取〃=1,所以勺=2%+1,即q+l=d：

故可得q=W=2.故應(yīng)｝的通項(xiàng)公式為a“=2〃-l.

（2）由4+34++（2n-\）bn=n,

當(dāng)7122時(shí)，b[+3Z?2++（2n—3）Z?n_|=/2—1,

上述兩式作差可得我=丁二（〃22）,又4=1滿足上式，

2〃—1

綜上”『擊（〃eN）

所以（-D-乎=（-Dn=<-,）n<rLT+TT7）.

4+]（2〃-1）（2〃+1）2n-\2n+\

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)7；=-（1+<）+（；+3-（!+3+--（不二+八）+（；7二+37）.

335572〃-32H-12n-l2〃+1

.丁1,12〃

..H-----=------.

”2〃+12〃+1

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，4=一。+3+4+3-（!+；）+一（八十丁二）

335572M-1+1

.T[12〃+2

〃2〃+12/?+1

——,n=2kkeN*

IfT2〃+1y

故n=\2n+2,,..,

---------,n=2K-1,A:eN

2〃+l

23.設(shè)｛《,｝是集合｛2'+210?s<r且s"eZ｝中所有的數(shù)從小到大排列成的數(shù)列，即

q=30=5必=6M4=9,%=1。4=12「.將數(shù)列｛q｝各項(xiàng)按照上小下大，左小右大的原則寫成如下的三

角形數(shù)表:

3

56

91012

⑴寫出這個(gè)三角形數(shù)表的第四行、第五行各數(shù)；

（2）求“l(fā)oo?

【答案】（1）第四行的數(shù)依次為17、18、2。、24,第五行的數(shù)依次為33、34、36、40、48,

（2）16640

【分析】（1）4=3,%=5,4=6,4=9,4=10,4=12,,結(jié)合集合的屬性列舉求解；

（2）由⑴三角形數(shù)的規(guī)律為第〃行：2"+2°,2"+21."2"+2i,此數(shù)列有1+2+3+...+〃=智工項(xiàng)求解.

【詳解】（1）解：第一行：2'+2%

第二行：22+2°,22+2,,

第三行：23+2°,23+2,,23+22,

第四行：24+20,24+2l24+22,2、23,

第五行：25+2°,25+2,,25+2\25+23,25+24,

故第四行的數(shù)依次為17、18、20、24,

第五行的數(shù)依次為33、34、36、40、48,

（2）由（1）三角形數(shù)的規(guī)律為第〃行：2"+2°,2"+2；..,2"+2f

止匕數(shù)列有1+2+3+...+〃=^^項(xiàng)，

設(shè)4oo在第i行，

則比史4

22

解得i=14,

所以4oo在第14行中的第9個(gè)數(shù)，

則40G=2"+28=16640.

c17

24.已知數(shù)列血｝的前〃項(xiàng)和為5?,且/

Woo

⑴求應(yīng)｝的通項(xiàng)公式;

⑵設(shè)"=[叫求數(shù)列也｝的前100項(xiàng)和，其中團(tuán)表示不小于x的最小整數(shù)，ftn[0.15]=l,[-2.4]=-2.

【答案】⑴4=-；〃+1，〃cN；

4

⑵T125.

【分析】（1）利用S”與%的關(guān)系即可求的｛q｝的通項(xiàng)公式；

（2）求出｛2｝的前幾項(xiàng),找到也｝的規(guī)律，從而可求其前100項(xiàng)和.

c17I7

【詳解】（1）—=w+—??-S=~—^2

n88n88

173

，4=Sc,F—=一；

11884

oooo4

〃=1時(shí)，q=-;〃+1也成立，

：.an=-^-/l+L72GN*.

/c、311cl1

⑵4=屋6=5，%*%=。，%=一屋％=-/，

3.”

%=一屋?8=-l?，4OO=-24,

.,.⑷=&]=⑷=1,同=⑷=[&]=⑷=。，…,

[^]=[^7]=[^8]=[^9]=-23?[^oo]=~24-

???數(shù)列｛4｝的前100項(xiàng)和7；00=1x3+但E|"*X4—24=—1125.

25.設(shè)等差數(shù)列｛叫滿足q=l,4>0（〃tN*）,其前〃項(xiàng)和為S。，若數(shù)列｛后｝也為等差數(shù)列，則凡=；

s

T的最大值是.

an

【答案】2/1-1121

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛《J的公差為d，則2展■=可得2反2=1+國(guó)茄，解得d，再利用等差

數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式可得為，S;進(jìn)而得出.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則2底=6+后，

2j2+d=l+j3+3d，解得d=2,

an-2n-\

?5.+2=(〃+10)x1+3+1?5+9)」2=(〃+IO)?,u>(2n-l)2.

I-八21

二.基=(〃+」=J旦y，

a：(2〃-I)?(2n-l)42M-1

令，=g>0,則》=；(l+，)2,在f>0時(shí)單調(diào)遞增，，=碧單調(diào)遞減,

2〃一1%42〃一1

S

所以，當(dāng)〃=1時(shí)該式最大，此時(shí)黃?的為121.

故答案為：2n-l；121.

26.已知數(shù)歹U｛q｝滿足q=La向記"二%”，則4=；"=

【答窠】23〃-1##一1+3〃

【分析】根據(jù)題設(shè)中的遞推文系可得=4+3,進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解即可.

【詳解】解：由題設(shè)可得4=%=4+1=2也=%=/+1=生+2+1=5,

又%U2=°2上+1+1，4*.1=。2氏+2，(A:eN),

所以，。2"2=。2*+3,(AwN*)

所以，4+1=4+3,即以］一d=3,

所以包｝為等差數(shù)列，公差為3,首項(xiàng)為2

所以，bn=2+(n-l)x3=3n-l.

故答案為：2：3w-l

27.數(shù)列｛4｝與也｝均為等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和分別為S”與7；,若率=鋁，則豈詈=，

使得/為整數(shù)的〃值個(gè)數(shù).

【答窠】|2

【分析】利用等差數(shù)列的基本性質(zhì)可得出豈魯二祟，即可得出然組的值；計(jì)算得出*=3—-；,

偽+九2弓4+%bn〃+1

可知4能被刀+1整除,求出」的可能取值,可得出結(jié)輪.

a2+aio_4+。21_21(%+41)_2s2]_3x21+18

【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得~4+為-26+.J―可-21+3

3

殳=也=4+%=伽-1)(4+*)=2s2n7=3(2〃-1)+1=6〃-2

么一叱一4十%_1一(2〃一1)(4+%_J_2&_1_2〃+2-2〃+2

3〃-13(?+1)-44

=----=----------=3-----,

〃+1M+lfl+\

若為為整數(shù)，且〃+1N2,故4能被〃+1整除，故〃+1=2或4,解得〃=1或3,

所以，使得去為整數(shù)的〃值個(gè)數(shù)為2.

n

故答案為：g;2.

模塊二：培優(yōu)試題精選

1.己知數(shù)列1,1,2,I,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16...,設(shè)N為項(xiàng)數(shù)，求滿足條件“N>100且該

數(shù)列前N項(xiàng)和為2的整數(shù)帚”的最小整數(shù)N的值為()

A.110B.220C.330D.440

【答案】D

【分析】通過分析數(shù)列性質(zhì)可列出不等式即可求得最小整數(shù)N的值.

【詳解】觀察可知：該數(shù)列可看成：第一行是2°，第二行是2°,21

第三行是2°,2N，以此類推,項(xiàng)數(shù)分別為1,2,3…,

前2行數(shù)和為1+2+3++&="?,

則5(笑J2)=1+(1+2)++(1+2++2*-')=2"|-2-2,

要使氣辿>100,則A214,

要使前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冢，

所以：Z+2是之后的等比數(shù)列1,2,425部分的和，

即：A+2=l+2++2i=2'—1,

所以&=2,一3214,

則￡25,此時(shí)左=2$-3=29,

對(duì)應(yīng)滿足的最小條件7=笠99x上30+5=440.

故選：D

2.數(shù)列｛可｝滿足。n=(2疝￡-1,+明〃eN',則數(shù)列應(yīng)｝的前80項(xiàng)和為()

A.1640B.1680C.2100D.2120

【答案】A

【分析】利用周期性以及等差數(shù)列進(jìn)行求解.

2-

【詳解】設(shè)/5)=2sin-—l,因?yàn)閟in?的周期為T=

222

所以/(〃)=2sin￡-1的周期為T=2.

又/(1)=1,〃2)=-1,所以當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，/(?)=1,

所以當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，/(〃)=T.

又%+i=/(〃)見+〃，所以。2=4+1，％=—％+2=—。]+1,

，=%+3=-4+4,于是得到q+/+%+《=6,同理可求出

%I%I%I%=14,agI?10I?(1Ia12=22...?

設(shè)2=*+*+*+*則數(shù)列出｝是以6為首項(xiàng)，8為

公差的等差數(shù)列，所以數(shù)列｛4｝的前80項(xiàng)和為數(shù)歹式d｝的前20項(xiàng)和

20x6+”也竺=1640.故B,C,D錯(cuò)誤.

2

故選：A.

3.已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S”，且滿足2sin(%+2)—應(yīng)—5=0,2^(^+2)-^-7=0,則

下列結(jié)論正確的是()

A.5*22=2022,且“5>“2018B.^2022="2022,且4<°2018

C.^=-4()44,且%>。刈8D.5.2=4044，且%V。刈8

【答案】C

【分析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)F(x)=2sinx-3x,確定函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)/(6+2),/(4劉8+2)

的關(guān)系即可確定答案.

【詳解】設(shè)函數(shù)/a)=2sinx-3x,則八幻為奇函數(shù)，且r(x)=2cosx-3<0,所以f(x)在&上遞減，由己

知可得24"為+2)—3(/+2)=—1,2sin(02018+2)—3(/18+2)=1,有/(火+2)=—1,/(%)18+2)=1,所

以+2)〈/(4愎+2),且/(4+2)=-/(4[8+2),所以見+2>“2QI8+2=6>“2018,且

%+2=一（4.8+2），所以6+々刈8=-4，$2022==1011（%+々刈8）=-4044.

故選：C.

4,設(shè)等差數(shù)列｛勺｝的前〃項(xiàng)和為S”，首項(xiàng)q〉0,公差d<0,若對(duì)任意的〃cN',總存在使

S2k_i=（2k-\）Sn,貝必—9〃的最小值為（）

A.-74B.-64C.-53D.-43

【答案】C

【分析】首先根據(jù)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式得到4=1,令〃=2,化簡(jiǎn)得到k-2=多，又因?yàn)椋N"所

a

1「，21V1425

以A=l,得△=-%,再利用等差數(shù)列前"項(xiàng)和公式得到=],利用二次函數(shù)的性質(zhì)

即可得到答案.

【詳解】由題意得QD（廠味）=（2J電

則得24=（2心1電,即％=S〃，

令〃=2得4=§2，即4+（Z—l）d=2q+d①，即得氏-2=3.

a

因?yàn)槭醉?xiàng)4>0,公差d<0,則得左一2=々<0,即Av2.

a

又因?yàn)樽骳N1所以2=1,代入①得1=-4.

當(dāng)d=-q時(shí)，由4=S，得4一（Bq=叫一

/"52""

Bflk=（n~1）（n~2）+l,所以攵-9〃=,〃2一名〃+2

222

因此當(dāng)〃=10或II時(shí)，4-9〃的最小值為-53.

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式，根據(jù)題意化簡(jiǎn)得到1=-4,從而得到

k=（〃-）；〃-2）+1為解決本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.

5.已知函數(shù)/'（X）是定義在R上的單調(diào)增函數(shù)且為奇函數(shù)，數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，若前2022項(xiàng)和小于零,

則/X2+f32）+L+/（。2022）的值（）

A.恒為正數(shù)B.恒為負(fù)數(shù)C.恒為0D.可正可負(fù)

【答案】B

t分析】由題意可得/(0)=0,且當(dāng)|x>0,/*)>0；當(dāng)xv0,f(x)<0.設(shè)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和為S”，則S2022<0,

aaa

則q+W022<。，則n+2O23-n<。(13區(qū)2011,〃￡N)，由f(n)</(一生023~”)=~f^2023-n)即可判斷

/(?1)+/(?2)+L+/(，022)值的正負(fù).

【詳解】，函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)且是增函數(shù)，

/(0)=0,且當(dāng)x>0,/(x)>0：當(dāng)x<0,/U)<0.

設(shè)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和為S。，由題可知s耽2<0,

則(4+〃22)x2022<0,即％+a2022V0,則a“+/023-”<°(19?011,?eN*).

2

所以4<~a2O23-n'

結(jié)合函數(shù)/(X)在R上的單調(diào)增和奇函數(shù)性質(zhì)，可得/K)<八-。-)=-八/23.“)，

所以/3”)+/(/但”)<0

+

：.fW+f(a2)+L+/(。2022)=[/(4)+/(?2O22)]+"a)+f(?2O2l)]+L+I)/(?1012)]<0：

綜上，/(4)+〃。2)+匕+f(/o22)的值恒為負(fù)數(shù).

故選：B.

6.已知數(shù)列;，I，|,1,p《〃項(xiàng)記為勺，則滿足q=5且〃A20的〃的最小值為

()

A.47B.48C.57D.58

【答案】C

【分析】將數(shù)列的項(xiàng)分組，設(shè)滿足〃N20的?！?5首次出現(xiàn)在第加組的笫x個(gè)數(shù)的位置上，由此列式

---+——^20,求得m27,結(jié)合一；-----=5,x=——,x,7?GN,即口J求得答案.

261+x-l6

【詳解】將數(shù)列分組為(；)，(p^),(p|,1),(p5)，…，

設(shè)滿足〃220的q=5首次出現(xiàn)在第6組的第x個(gè)數(shù)的位置上，

...m+1-x_m+1XT

貝IJ------=5,x=----,x,mGN,

x6

此時(shí)數(shù)歹ij共有項(xiàng)數(shù)為I+2+3++(〃?_l)+x=(\[D'〃+x之20,

即得叫加+笑L20,解得加之