高中數(shù)學(xué)第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換8.1向量的數(shù)量積8.1.1向量數(shù)量積的概念素養(yǎng)練含解析新人教B版必修第三冊

PAGEPAGE6第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換8.1向量的數(shù)量積8.1.1向量數(shù)量積的概念課后篇鞏固提升基礎(chǔ)鞏固1.已知|b|=3,a在b方向上的投影的數(shù)量是32,則a·b為(A.3 B.92 C.2 D.答案B2.(多選)下列命題中是真命題的是()A.|a·b|=|a|·|b|B.a·b=0?a=0或b=0C.|λa|=|λ|·|a|D.λa=0?λ=0或a=0答案CD3.設(shè)非零向量a,b,c滿意|a|=|b|=|c|,a+b=c,則<a,b>等于()A.150° B.120° C.60° D.30°解析如圖所示.因?yàn)閨a|=|b|=|c|,所以△OAB是等邊三角形.所以<a,b>=120°.答案B4.如圖,已知正六邊形P1P2P3P4P5P6,下列向量的數(shù)量積中,最大的是()A.P1P2C.P1P2解析設(shè)正六邊形的邊長為a,則P1P2·P1PP1P2·P1P5答案A5.在△ABC中,已知|AB|=|AC|=4,且AB·AC=8,則△ABC的形態(tài)為答案等邊三角形6.已知平面對(duì)量a,b滿意|a|=1,|b|=2,a與b的夾角為π3,以a,b為鄰邊作平行四邊形,則此平行四邊形的兩條對(duì)角線中較短的一條對(duì)角線的長度為.答案37.若四邊形ABCD滿意AB+CD=0,且AB·BC=0,試推斷四邊形解因?yàn)锳B+CD=所以AB=DC,即AB∥DC,且所以四邊形ABCD為平行四邊形.又因?yàn)锳B·BC=0,所以AB⊥BC,即所以四邊形ABCD為矩形.8.已知在△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,若|c|=m,|b|=n,<b,c>=θ.(1)試用m,n,θ表示S△ABC;(2)若c·b<0,且S△ABC=154,|c|=3,|b|=5,則<c,b>為多少解(1)S△ABC=12AB·AC·sin∠CAB=12mnsin(2)因?yàn)镾△ABC=154=12|b||c|所以154=12×3×5sinθ.所以sinθ=12.因?yàn)閏·b<0,所以θ為鈍角.所以θ=150°,即<c,實(shí)力提升1.下列命題中,正確命題的個(gè)數(shù)是()①AB+BA=0②0·AB=0④0·AB=0A.1 B.2 C.3 D.4解析由兩相反向量的和為零向量知命題①正確;由于兩向量的數(shù)量積結(jié)果為一實(shí)數(shù)知命題②錯(cuò)誤,正確結(jié)果應(yīng)為0;由向量的減法運(yùn)算法則知AB-AC=CB,由向量數(shù)乘的意義知0·AB=0,命題④錯(cuò)誤,即正確命題的個(gè)數(shù)是1,故選A.答案A2.有4個(gè)式子:①0·a=0;②0·a=0;③0-AB=BA;④|a·b|=|a||b其中正確式子的個(gè)數(shù)為()A.4 B.3 C.2 D.1解析因?yàn)橄蛄砍艘詫?shí)數(shù)仍舊為向量,所以0·a=0,式子①正確,②錯(cuò)誤;由AB+BA=所以0-AB=BA,式子③由|a·b|=|a||b||cosθ|,得|a·b|=|a||b|不肯定成立,式子④錯(cuò)誤.故選C.答案C3.(多選)對(duì)于非零向量a,b,c,下列命題正確的是()A.若a·b=b·c,則a=bB.若a⊥b,則a·b=(a·b)2C.若a∥b,則a在b上的投影的數(shù)量為|a|D.若λ1a+λ2b=0(λ1,λ2∈R,且λ1·λ2≠0),則a∥b解析對(duì)于選項(xiàng)A,若a·b=b·c,則(a-c)·b=0,故A錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B,若a⊥b,所以a·b=0,則a·b=(a·b)2,故B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,若a∥b,則a在b上的投影的數(shù)量為±|a|,故C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,若λ1a+λ2b=0(λ1,λ2∈R,且λ1·λ2≠0),推出a=-λ2λ1b,由平行向量基本定理可知a∥b,故D正確.綜上可知:選項(xiàng)BD正確,答案BD4.以下四個(gè)命題中,正確的是()A.若OP=12OA+13OBB.若{a,b,c}為空間的一個(gè)基底,則{a+b,b+c,c+a}構(gòu)成空間的另一個(gè)基底C.|(a·b)c|=|a|·|b|·|c|D.△ABC為直角三角形的充要條件是AB·AC解析因?yàn)镺P=1所以P,A,B三點(diǎn)不肯定共線,因?yàn)閧a,b,c}為空間的一個(gè)基底,所以a,b,c不在同一個(gè)平面,因此a+b,b+c,c+a也不在同一個(gè)平面,從而{a+b,b+c,c+a}構(gòu)成空間的另一個(gè)基底,因?yàn)閨(a·b)c|=|a·b||c|=|a|·|b|·|c|·|cos<a,b>|,所以|(a·b)c|=|a|·|b|·|c|不恒成立,因?yàn)椤鰽BC為直角三角形時(shí)角A不肯定為直角,即AB·AC=0不肯定成立,所以D綜上可知選B.答案B5.已知|a|=5,|b|=3,且a·b=-12,則向量a在向量b上的投影的數(shù)量等于()A.-4 B.4 C.-125 D.解析向量a在向量b上的投影的數(shù)量等于a·b|b|=答案A6.在邊長為4的菱形ABCD中∠BAD=120°,則AD在AB方向上的投影的數(shù)量為(A.23 B.-23 C.-2 D.2解析由題意知向量AD和AB的夾角為120°,所以AD在AB方向上的投影的數(shù)量為|AD|cos120°=4×-12=-2.答案C7.已知△ABC的外接圓半徑為1,圓心為O,滿意AO=12(AB+AC),且|AB|=A.12 B.-12 C.32 D解析由AO=AB+AC2可知O為BC中點(diǎn),所以△ABC為直角三角形,由|AB|=1,|BC|=2,可得∠ABC=60°,BA與BC的夾角為θ=60因此BA在BC上的投影的數(shù)量為|BA|cos60°=1×12=答案A8.已知|a|=4,e為單位向量,當(dāng)a,e的夾角為2π3時(shí),a在e上的投影的數(shù)量為(A.2 B.-2 C.23 D.-23解析a在e上的投影的數(shù)量為|a|cos<a,e>=|a|a·e|a||e|=a·e|答案B9.已知向量b的模為1,且b在a方向上的投影的數(shù)量為32,則a與b的夾角為(A.30° B.60° C.120° D.150°解析由題意知|b|cosθ=cosθ=32∵θ∈[0,π],∴θ=30°.故選A.答案A10.已知平面對(duì)量a,b的夾角為π3,|a|=4,|b|=2,則a在b方向上的投影的數(shù)量為(A.2 B.-2 C.4 D.-4解析由題意得a·b=|a||b|cosπ3=4×2×12=4.a在b方向上的投影的數(shù)量為|a|cos<a,b>=4×cosπ3=2.答案A11.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,BC=CD=DA=2,若E為BC的中點(diǎn),則AC·AE=(A.3 B.3 C.23 D.12解析由題意可知△ABC為直角三角形,∠ACB=90°,AC=23,依據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義可得AC·AE故選D.答案D12.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,則AB·CB=(A.-2 B.0 C.1 D.2解析由向量的投影的幾何意義及圖像可知:AB在CB方向上的投影的數(shù)量為|BC|=1,由向量數(shù)量積的幾何意義得AB·CB=|BC|2=1答案C13.如圖,AB為圓O的一條弦,且|AB|=4,則OA·AB=(A.4 B.-4 C.8 D.-8解析設(shè)AB的中點(diǎn)為M,連接OM,則OM⊥AB,OA·AB=2AM·OA=2|AM|·|OA|·cos(π-∠OAB)=-2×2·|AO|·cos∠OAB=-4|AM|=-8答案D14.(雙空)已知向量a,b滿意|a|=2,|b|=4,且a·b=42,則a與b的夾角為.若向量c,d滿意c為單位向量,c·d=4,<c,d>=π3,則|d|=.解析設(shè)向量a與b的夾角為θ,則cosθ=a·b|a||b|=422×4=22,又因?yàn)棣取蔥0,π],所以θ=π4.因?yàn)閏為單位向量,所以|c|=1,由向量數(shù)量積公式得c·d=|c|·|d|·cos<c,d>,得答案π415.在四邊形ABCD中,AB=DC,且AC·BD=0,則四邊形ABCDA.菱形 B.矩形C.直角梯形 D.等腰梯形解析∵AB=∴AB與DC平行且相等,∴四邊形ABCD為平行四邊形.又AC·BD=0,∴AC⊥即平行四邊形ABCD的對(duì)角線相互垂直,∴平行四邊形ABCD為菱形.故選A.答案A16.已知|a|=2|b|=2,且向量a在向量b方向上的投影的數(shù)量為-1.(1)求a與b的夾角θ;(2)求(a-2b)·b;(3)當(dāng)λ為何值時(shí),向量λa+b與向量a-3b相