高等數(shù)學習題答案同濟第六版下

第八章多元函數(shù)微分法及其應用

第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念

本節(jié)主要概念，定理，公式和重要結論

理解多元函數(shù)的概念，會表達函數(shù)，會求定義域；

理解二重極限概念，注意lim/（乂y）=A是點（x,y）以任何方式趨于（見,為）；

（工力-＞（與.九）

注意理解本節(jié)中相關概念與一元函數(shù)中相應內(nèi)容的區(qū)分與聯(lián)系。

習題8-1

1.求下列函數(shù)表達式：

⑴f(x,y)=x、'+p,求，(孫x+y)

解：f(xy,x+y)=xyx+-+U+

22

(2)f(x+y9x-y)=x-y,求f(x,y)

解：f(x+y,x-y)=(x-y)(x+y)=f(x,y)=xy

2,求下列函數(shù)的定義域，并繪出定義域的圖形:

4x

(1)z=ln(x+y-1)+—j=GV

x+y-\>0

x+y>\

解：*\-x2-y2>0=>*

x2+y2<1]

x>0

(2)z=ln(x2-2y+1)

解：x2-2y+l>0

(3)/(x,y)=ln(l-|x|-|y|)

解：l-|x|-|y|>O=>|x|+|y|<l

3.求下列極限：

⑴]im與匕？

?y)T(O,l)

解：lim孚=1

(x,yW(O.I)x~+y

⑵加2-V^

(x,y)->(0,0)xy

I——后丈一1現(xiàn)

角星一:lim2」盯+勺=-2lim--------=-2lim—=

(x,y)T(O,O)xy(x,y)->(0.0)孫(x,y)->(0,0)xy4

他一2-，孫+44一(孫+4)-11

—>：lrim----------=lim-------.=lim-----,——

—o,o)xy(x,>')-xo,o)^(2+y/xy+4)(””(。⑨(2+J孫+4)4

/\g、sin(xy)(\^x2y2+1-1

⑻Qrlim(2+x)—江1(A4)vlim-~~；；-

yx->0+yL

解一：Hm(2+%)型空=lim[(2+x)型空燈=3

(x>>>)->(1.0)y(x.y)->(I.O)xy

解二：lim(2十八)sEQy)=|i)n(2+A)—=lim(24-A)A=3

(A.yW(I.O)y(x,yTLO)y(x,y)^(l.O)

/4\..J42y2+1—]

⑷hm-----------

10Y24-v-

Jx~y-+\-\1xy1y、八

解一:vlim——z--：——=—hm----r=—hrm(zx22?—~~7)=0

Tx~+y~2Fr+y-2Tx~+y-

y->0/>->0/)T0/

俯—Jx2y2+1x2y2x2y1

用不一:lim------=hm---------/---=lim/，---------T=0

:二：x+>洲(f+曠2)(—2),2+1+])'Jfy2+i+ix+丁

4.證明下列函數(shù)當(x,y)f(0,0)時極限不存在：

⑴?。?色

郵]?~y21-冗2一22%21-22

用牛：hmr—―=lim-=-----=-^-=-----

22x227

y=kxx+Jy~^0x4-kx1+Z

⑵f(x,y)=

x2y2+(x-y)2

224

解:lim-)-----=lim^r=l

xy+(x-yyx

5.下列函數(shù)在何處是間斷的？

(1)z=——

x-y

解：x=y

2

⑵z=y+2x

y2-2x

解：y2=2x

第二節(jié)偏導數(shù)

本節(jié)主要概念，定理，公式和重要結論

1.偏導數(shù)：設z=f（x,y）在（/,丁0）的某一鄰域有定義，則

/(x+zk,y)-/Uy)

A(x,y)=lim(t0(r()

00Ax

/*(),%+4)-/(%,%)

<.（見，%）=購

/1v-

人（%,打）的幾何意義為曲線在點加（%,為"（%,先））處的切線對冗

iy=%

軸

的斜率.

于（x,y）在任意點（x,y）處的偏導數(shù)fx（x,y）、（x,y）稱為偏導函數(shù)，簡稱偏

導數(shù).求人（x,y）時，只需把），視為常數(shù)，對x求導即可.

2.高階偏導數(shù)

z=/（x,y）的偏導數(shù)，（人，_y）,（人,y）的偏導數(shù)稱為二階偏導數(shù)，二階偏導數(shù)

的偏導數(shù)稱為三階偏導數(shù)，如此類推.二階偏導數(shù)依求導次序不同，有如下

4個：

警，褒，乏,三，其中后兩個稱為混合偏導數(shù).

dx2dy2dxdydydx

若兩個混合偏導數(shù)皆為連續(xù)函數(shù)，則它們相等，即可交換求偏導數(shù)的次

序.高階混合偏導數(shù)也有類似結果.

習題8-2

L求下列函數(shù)的一階偏導數(shù):

(1)z=—+xy

y

Andz1dzX

w：—=-+y，—=--r+x

oxyoyy

(2)z=arctan—

X

1-y-ydz1

解：s-----——=-----------1_x

dx]+(馬2/\+產(chǎn)?一[+山2xx2+y2

XX

⑶z=ln(x+^x2+y2)

現(xiàn)不：—=---;-----.(1+/-------)='/------

&X+y]x2+y2"2+y2舊+/

22

(4)u=ln(x+)2+z)

2x

解:222，/―，?>、

x+y+zozr+y~+z~

'yz-J

(5)w=Jedt

xz

dddu.du.,2,2戶

解:M=—ze",—=zey,—=yey--xe~

dydz)

y

(6)z=sin—cos—

yx

iXyy.x.yduxxy\.x.y

解4=—cos—cos士+Ssin-sin—,—=——rcos—cos-----sin—sin—

yyxx~yxdyy~yxxyx

⑺z=(1+xy)x+y(8)u=8cos(6-(p)

1x++y/=（1+1x+y

解：—=(1+xy)^+'[ln(l+xy)4-嚕孫嚴阿+砌+x]

dx\+xy

(8)u=e"。cos(8-(p)

解：—=e*"［cos（e-e）-sin（0-8）］,5=*。，一（夕一p）+sin（夕一夕）］

dOd（p

2.求下列函數(shù)在指定點處的一階偏導數(shù)：

(1)z=x2+(y-l)arcsin求Z.(O,1)

.2

解：z(O,l)=lim—=0

r&->0AX

(2)z=x2ey+(x-1)arctan—,求z(1,0)

x

解：z(1,0)=lim------=-1

yAy-*oAy

3,求下列函數(shù)的高階偏導數(shù)：

(1)z=xln(xy),求翳，

oxdyoxdy

hjr?dz....dzx

用車：—=ln(A^)+l,-=—

oxoyy

z\2/c、vemd2zd2z

(02)z—cos(x+2y),——，——,----,-----

■dx2dy2dxdydydx

解：—=-2cos(x+2^)sin(x+2y)=-sin2(x+2y)

dx

/\「r+戶,忐dzdz

(Q3)z=e'dt,求--,---

Jxdx2dxdy

解：—=2xZ+?=2(1+2?)Z+?-e\—=4xyex2+yi

dxdx~dxdy

xiy-xy32，壬n

4.設f(x,y)=爐+產(chǎn)"+V,求人,(0,0)和人(0,0).

0X2+J2=0

布刃八、1-/(-,0)一/(0,0)0-0八

解：f(0,0)=hm-------------=rhm----=0

Av->oAt->o\Y

5.設z=e(，寸,求證x2—+y2—=2z

dxdy

解：絲汾濘

dxx~dyy~

6.設1=+y2+工2,證明言+言+*=F

證明：包=x

bxyjx2+y2+z2

由輪換對稱性，裳=勺1熹=口

dyrozr

第三節(jié)全微分

本節(jié)主要概念，定理，公式和重要結論

1.全微分的定義

若函數(shù)z=/(x,y)在點(仆,九)處的全增量Az表示成

則稱z=f(x,y)在點(%,%)可微，并稱AAx+BAy=Adx+Bdy為z=f(xyy)在點

(x0,y0)的全微分，記作dz?

2.可微的必要條件：若z=在(%o，)，o)可微，則

(1)f(x,y)在(%,%)處連續(xù)；

⑵/(x,y)在(%,%)處可偏導，且A=/式工0，%)，8=/).(%,%),從而

dz=fx(/，:Vo)公+fy(xo，No)力?

一般地，對于區(qū)域。內(nèi)可微函數(shù)，dz=fx(xyy)dx+fy(x,y)dy.

3.可微的充分條件：若z=f(x,y)在島,丫0)的某鄰域內(nèi)可偏導，且偏導數(shù)在

(%，％)處連續(xù)，則z=f(x9y)在(%,光)可微。

注：以上定義和充分條件、必要條件均可推廣至多元函數(shù)。

習題8—3

1.求下列函數(shù)的全微分

(1)z=lnJx2+y2(2)z=arctan~~~~

\-xy

2

解：dzUdln(x+/)=l^^=^^

22x+yx+y

(2)z=arctan———

1-xy

J__dn

解：dz=-----

x-y.2\-xy

1+(\-xyf

(3)z=/inxy>0

解：dz=d^inr,nv=esinv,nvd(sinx\ny)=ysinv(cosxln)dx+—dy)

y

(4)u=.z

G十y

/_____,_____;777d2_z^i^

{r+y-dzzd,：r+y_y/x+y

解：dw=d]：

x~+yx2+y2

⑸u=產(chǎn)+)5)

解：du=&?+???)=^(^+/+?)d[Xx2+j+z2)]

所以d〃=de'O?)=爐*+f2)[=?f+y2+z?)必+2"dy+2xzdz)]

(6)u=xyz

解：d〃=dx'*=de"'="Nin%乃由Tzlnxdy+ylnxdz)

x

2.求函數(shù)z=ln(l+/+/2),當x=l,y=2時的全微分.

解：dz=2(汕”呼

1+x+y

3.求函數(shù)z—q，當工二2,丁=10_0.1,/)，——0.2時的全增量與全微分.

Xd?>dY2xQ1

解：dz="=>dz|(21)=~^~°-=-0.125

4.研究函數(shù)/(乂￥)=卜7+*5抽號了a，y),(。。)在點(0。處的可微性.

0(x,y)=(0,0)

1

解由于lim于(x,y)=lim(x2+y2)sin=0=/(0,0),所以f(x,y)在點(0,0)連

x+y

y->0y->0

件▽，小小r/(M0)-/(0,0)4rsin*-01

續(xù),乂/(°,0)=hm---------------=lim--------....=limAxsm--=0

△soAxAX->OAXAX->OAX2

又f(Z,Ay)-/(0,0)=(At2+Ay2)sinJ

Ax+Ay

/(Ar,Ay)—f(0,0)-￡(O,O)Ar—6(O,O)Ay22

所以J^x+^ysin----7

NAx2+Ay2

所以f(x,y)在點(0,0)處可微

5.計算J(1.02)3+(1.97)3的近似值.

解：令/?y)=&+y3,則d/(x,y)=￥：：+，,

2獷+y3

再設(%，%)=(1，2),=0.02,A)=-0.03

則J(1.02)3+(1.97)3=/(x0,y0)+df

6.已知邊長x=6m,y=8m的矩形，如果x邊增加5cm,而y邊減少10cm,求

這個矩形的對角線的長度變化的近似值.

解：對角線長為f(x,y)=冊+)3,則y)=個+處，

所以/(6.05,7.9)工/(6,8)+"1(68)=所2+82+6x0,：-8：0.1=io_粵=9.95

5/6-+8-1。

第四節(jié)多元復合函數(shù)的求導法則

本節(jié)主要概念，定理，公式和重要結論

復合函數(shù)的求導法則(鏈式法則)如下：

1.設〃=8(x,y),u=在(x,y)可偏導，z=/(〃》)在相應點有連續(xù)偏導數(shù)，

則2=f［(p(x,y),叭x,y)］在(x,y)的偏導數(shù)為

2.推廣:

⑴多個中間變量：設〃=°(x,y),v=y),卬="x,y),Z=/Q,HW)則

z=/［p(x,y\叭x,y),以乂y)］且

⑵只有一個中間變量:設〃二奴x,y),z=/(x,y,w)則z=/|x,y,/(x,y)］且

(3)只有一個自變量：設〃=畋),,w=co(t)則z=八8。)，〃《)，以且

習題8—4

1.求下列復合函數(shù)的一階導數(shù)

⑴z=eRx=sinr,y=P

解：包=包出+包曳=efcosr-2e。3r2=(cos.6產(chǎn))網(wǎng)?

drdxdtdydr

(2)z=arcsin(x-y),x=3f,y=4-

解.dz_dz盤+dzdy_312產(chǎn)_3-12/2

dfdxdtdydr^-(x-y)2^-(x-y)2yl\-t2(3-4t2)2

(3)z=arctan(x>?)?y=ex

解.dz二3zdy?8z=加，1y二(x+De」

drdydxdx1+(xy)2I+(xy)21+x2e2x

e"'(y—z).

⑷u=-----己---,y=asmxfz=cosx

解dw_3〃+3〃dy+8"dz_〃/(y-z)+acosx+sinx

?dxdxdvdz(be1+a2\+a2\+a2

2.求下列復合函數(shù)的一階偏導數(shù)

(1)z=w2+v2,〃=x+y,v=x-y

a

解：一=2w+2v=2(〃+v)=4x

dx

(2)z=x2Iny,x=—,y=3s-2t

解：—=2x-lny+3—=24-ln(3s-2t)+3——=$[2ln(3s-2r)+—]

dstyt2r(3s-2t)t23s-2t

3.求下列復合函數(shù)的一階偏導數(shù)(/是C⑴類函數(shù))

⑴Z=/(/-y2,二)

解：噂=2渣+加明，后=_24+旄咤

oxdy

⑵z=f(xy,y)

解:旨=講,

oxdy

(3)zy

f(x2-y2)

解：包=4孚)dzf+2y2r

dxf2

⑷〃=刈+zf(-)

X

A7Jdu,-yyzf'dz犁,1zf'

解：-=,+^-=y--,-=X+Zf，-=X+-

4.設〃=/*,孫孫z)且/具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求當罷

oxdxoz

解:曰"=/'+力+以，

OX

5.已知z=4g)+2洌3，其中f8有二階連續(xù)導數(shù)，求合，要

xyexdxdy

解：g=/+「W+2yd」=/_2r.+2”

oxx~yx

6.設z=f(孫，)+gg),其中7,g有連續(xù)二階偏導數(shù)，求生

yxcxoy

解：旨=w+，H+g'?—T=yf\+~fi-"】g'

oxyxyx

第五節(jié)隱函數(shù)的求導公式

本節(jié)主要概念，定理，公式和重要結論

1.一個方程的情形

(1)若方程F(x,y)=O確定隱的數(shù)y=y(x),則包=-生.

dxFy

(2)若方程尸(x,y,z)=O確定隱函數(shù)z=z(x,y),J?1]—=--;—

dxF2dy

2.方程組的情形

(1)若(睽孀:確定"加)，z=z3,則

e(F,G)e(F,G)

dy_d(x,z)dz_d(yyx)

dx~3(F,G)'dx~d(F,G).

8(y,z)3(y,z)

(2)若(lF(x,y,〃,u)=0確定=w(x,y)則

[G(x,y,w,v)=0\v=v(x,y)''

次F,G)況F,G)a(F,G)況F,G)

dud(x,v)du_8(%u).dv_d(u,x)dv_d(u,y)

瓦二d(￡G)，dy~a(F,G)，dx—?尸,G)，◎，—d(￡G)

d(u,v)d(u,v)d(u,v)d(u,v)

習題8—5

1.求下列方程所確定的隱函數(shù)y=y(x)的一階導數(shù)理

dx

(1)x2+xy-ev=0

解:2xdx+ydx+xdy-eydy=0=>(ey-x)dy=(2x+y)dx=>—=2’.)

dxe--x

(2)siny+ex-xy1=0

解:sinydy+exdx-y2dx-2xydy=0=>(siny-2xy)dy=(y2-ex)dx

⑶/=y*

解：yInx=xl”nInxdy+—dx=lnydx+±dy=>xylnxdy+y2dx=xyInydx+x2dy

x

(4)Iny/#+y2_arcuuit

x

解：也后不…三當聯(lián)一.嗎四=與絆

xx+y1+()*x+y

X

2.求下列方程所確定的隱函數(shù)z=z(x,y)的一階偏導數(shù)空當

dxdy

(1)z3-2xz+y=0

解：z3-2xz+y=0n3z2dz-2zdx-2xdz+dy=0n(3z2-2x)dz=2zdx-dy

(2)3sin(x+2y+z)=x+2y+z

解:3sin(x+2y+z)=%+2y+z=3cos(x+2y+z)(dx+2dy+dz)=dLr+2dy+dz

(3)-=ln-

zy

解;x=zlnz—zlny—>dx=(1+Inz)dz—Inydz——dy

dz1dzz

=>y(l+lnz-lny)dz=ydx+zdy,--=--------------=--------------

dx[+\nz-\ny1dyy(l+lnz-lny)

(4)x+2y+z-2-yfxyz=0

解：x+2y+z-2jxyz=0=>dr+2dy+dz--==(yzdx+xzdy+xydz)=0

gz"

3.求下列方程所確定的隱函數(shù)的指定偏導數(shù)

⑴設爐-盯z=0,求富

解：ez—xyz=0=>ezdz-yzdx-xzdy—xydz=0=>(e:-xy)dz=yzdx+xzdy

⑵設z3-3孫Z"3,求孺

oxdy

解：z3-3xyz=/=3z2dz-3(yzdx-xzdy-xydz)=0=>(z2-xy)dz=yzdx+xzdy

⑶設F+''sin(x+z)=l,求票

dxdy

解：ex+ysin(x+z)=1nev+vsin(x+z)(dx+dy)+ex+ycos(x+z)(dx+dz)=0

(4)設z+lnz-fZZ”。，求棄

bdxdy

解：z+lnz-f'e'Jr=0=>(1+—)dz-e~^dx+e~y2dy=0

Jyz

4.設〃=孫2%3,而z=z(x,y)是由方程/+y2+z2=3孫z所確定的隱函數(shù),求

du\

*|皿

解：u=xy2z3=>du=y2z3dx+2xyz^dy+3xy2z2dz

Xx2+y2+z2=3xyzn2xdx+2ydy+2zdz=3(yzdx+xzdy+xydz)

dz|g/)=-W-dy，du|(w)=dx+2d)，+3dz|(w)

所以引仙=-2

5.求由下列方程組所確定的隱函數(shù)的導數(shù)或偏導數(shù)

(1)設卜=，+/求包店

^lx2+2/+3z2=20"dx'dx

dz=---dr

dz=2xdr+2ydydz-2ydy=2xdrl+3z

解：＜=<

2xdx+4)dy+6zdz=03zdz+2ydy=-xdr

dy=一

2y(l+3z)

M

⑵設x=e+wsinv求dududvdv

y=eu-MCOSV'dx'dy'dx'dy

dr=(e"+sinv)d?+ucosvdv

解：，

dy=(e"-cosv)dw+usinvdu

6.^,x=eucosv,y=elisinv,z=wv,求包，包

dxdy

uu

ATJdx=e"cosvdu-esinvdvdu=e~(cosvdx-sinvdy)

M-：=>-

dy=e"sinvdw+eucosvdv[dv=e-M(-sinvdx+cosvdy)

乂dz=vdu+ndv=ve~u(cosvdv-sinvdy)+ue~u(-sinvdx+cosvdy)

所以=二e-H(vcosv-wsinv),—=eu(wcosv-vsinv)

dxdy

7.設y=/(//),而，是由方程F(x,y/)=0所確定的的函數(shù)，其中f,F都具

有一階連續(xù)偏導數(shù).試證明

解：由y=/(x"),dy=/；W+月dz

又F(x,yyt)=0nF^dx+g'dy+F^t=0n5=--(丹心+gdy)

所以型二版H

dx瑞，+f；F；

~第六節(jié)多元函數(shù)微分學的幾何應用

本節(jié)主要概念，定理，公式和重要結論

1.空間曲線的切線與法平面設點Mo(Xo，yo，Zo)￡「，

⑴參數(shù)方程情形：若廠:x=x(t),y=y(r),z=z(r),

則切向量為丁=(/(%),y"o),z4));其中/4)+)/2&)+z”&)w0;

切線方程為%一演一丁一九一Z—0

f〈o)y'(%)z&)

法平面方程為)(x-x0)+y'(t())(y-y0)+z'&)(z—z0)=0.

產(chǎn)(％y,z)=o

⑵一般方程情形：若「:

G(xfy9z)=0

況F,G)3(F,G)G(F,G)

則切向量為T=居(。0):

8(y,z)'d(z,x)'d(x,y)”(飛.加飛)

伉“(0，)，口?%)

。

切線方程為y-y0z-z

e(F,G)@(F,G)認F,G)

a(y,z)/a(z?)3(x,y)%

8(F,G)/、/(F，G)

法平面方程為+

(y-yo)~7；—r(z-zo)=O.

3(y,z)/a*,y)

Mo

2.空間曲面的切平面與法線設點^/。(公，兒"。)-

(1)隱式方程情形若Z:F(x,y,z)=0,

則法向量為〃={瑪(Mo)，尸v(M0),K(M))}=VF(A/0X*0);

切平面為Fv(Mo)(x-xo)4-Fv(Mo)(y-yo)+F2(A/oXz-zo)=O;

法線為Xf二yf二z.Zo

FV(M())-FV(M())-FZ(MO)

⑵顯式方程情形若2:z=/(x,y),

則法向量為〃={2式/,%),2).(>0，%),-1},

切平面為z-z0=zx(x0,y0)(x-x0)+zv(x0,y0)(y-y0)；

法線為口=y-y。=三.

2/x0,y0)zy(x0,y0)-1

⑶參數(shù)方程情形若E:x=v),y=y(〃,v),z=z(w,v),

則法向量”;i:=(瀉，消，票用小0),

X.V.Z.L).〃?)3)兒.

a(y,z)S(z,x)a(x,y)

切平面為(x-x)+(z-z)=O

0(y-y0)+o

d(u,v)(?0-v0)d[u,v)d(u9v)(?0-v0)

法線為J—%?yf?z-z。

d(y,z)3(z,x)e(x,y)

a(〃4)d(u,v)a(〃,u)

習題8—6

1.求曲線“手,y=壬"=尸對應”1的點處的切線和法平面方程.

解:匯=(T(1'2。Iz=(T，)

切線:x-2_2_z-l

-418

法平面：-4(x-2)+y-1+8(z-l)=0=>-4x+^+8z=^

2.求下列曲面在指定點處的切平面與法線方程

(1)e~—z+xy=3,點(2,1,0)

z

解：n=(y9x9e-l)l(2J,0)=(1,2,0)

切平面：x-2+2(y-l)=0=>x+2y=4

法線:x-2y-\z

⑵矢，方‘點"先"。)

解：、咨聿，f(…產(chǎn)凈矍，一6

切平面：—y-(x-xo)+—^-(y-j0)(z-z0)=0

abc

即與(…。)+贄(y』)—

ab~cc

法線.X7oJ一%=z_z。=a“X7o)-/(y_)，o).c(z_Zo)

2^-2^__12x0_2y0~-1

a2b2c

3.求出曲線工=心y=d,2=/上的點，使在該點的切線平行于平面工+2丁+2=6.

解：設曲線x=r,y=?,z=r在點(x,y,z)|,的切向量為￡=(3/,2兀1)

平面x+2y+z=6的法向量為〃=(1,2』)，由題意可知

所以,該點為(-工--

2793

4.求橢球面31+V+z2=9上平行于平面A2y+z=0的切平面方程.

解：設曲面3/+y2+z?=9在點(%,%,Z。)處的法向量為7,則

n=(3x0,y0,z0),由題意可知,學吟=§

1—21

令乎=^=B=rnxo=:,yo=2zo=r,又34+y；+z；=9,所以

1—ZIJ

L+4/2+/=9=16/=27nz=±3百，代入得

34

所以切平面方程為-+°>/5)+36(z-^G)=0

442244

或-3>/5(x+2G)+3石(y-35/5)-3G(z+3G)=o

442244

即x-2y+z-4>/3=0或x-2y+Z+4A/5=0

5.試證曲面五+6+正=1上任何點處的切平面在各坐標軸上的截距之和等

于L

證明：設P(x,y,z)為曲面6+、5+八=1上任一點，則曲面在該點處的法向量

為

3=(J)，那么切平面的方程為：(X-x)+J=(y-y)+；(Z-z)=O

\lxy/yyjz\!xy]y，z

即3x+-J=y+；z=4+4+G=i，該平面在三個坐標軸上的截距為

VXy]yyJZ

4x,y/y,J~z,故4+4+爪=1

6.求曲線V=2w,z2=m-/在點(工0,九/0)處的切線和法平面方程.

解：曲線V=2nvc,z2=m-x在點(與，兒4)處的切向量為￡=(1,2,-」)

所以切線的方程為』=/('—%)=2z°(z-z。)

1tn-1

,——z—z

法平面為x-x。+—(>y0)(o)=0，即x+—y——^―z=xQ+in-^-

y。2zOJo2z°2

第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度

本節(jié)主要概念，定理，公式和重要結論

1.方向?qū)?shù)

(1)定義設z=f(x,y)在點P(x,y)的某鄰域內(nèi)有定義，/是任一零向量，

et=(ayb),則/(x,y)在點P處沿1的方向?qū)?shù)定義為

笠表示函數(shù)/(x,y)在點P處沿方向I的變化率.

dl

⑵計算公式

若/*/)在點P0,y)處可微，則對任一單位向量與=(“/),有

^-=fx(x,y)a￥fyXx9y)b(此也為方向?qū)?shù)存在的充分條件)?

dl

2.梯度

(1)定義設/(x,y)￡C⑴，則梯度grad/(x,y)為下式定義的向量：

grad/(x,y)(或可(%,丁))=(工。/)"?,沙?

⑵方向?qū)?shù)與梯度的關系

(3)梯度的特征刻畫

梯度是這樣的一個向量，其方向為f(x,y)在點處增長率最大的一

個方向；其模等于最大增長率的值.

習題8—7

1.求下列函數(shù)在指定點的處沿指定方向/的方向?qū)?shù)

(l)z=x2+/,M0(l,2),/為從點(1,2)到點(2,2+6)的方向

解：方向I為7=(1,6)=吟鳥，而氫2)=2,氧,2)=4

22oxoy

所以爭。？=品(1.2)cosa+^1(1,2)cos"=2；+4?等=1+2石

(2)u=xarctan—,Af(l,2,-2),I=(1,1-1)

z0

解：l=Q,l,—D=也吟，冬一爭

mduyduxzdu-xy

而瓦二詆.7詼=三方'益="7

所以登卜2-2)=-?cosa-；cos//-(cosy=-卷;r

2.求函數(shù)z=ln(x+y)在拋物線V=4x上點(1,2)處，沿著這拋物線在該點

處偏向x

軸正向的切線方向的方向?qū)?shù).

解：拋物線)，2=4x在點(1,2)處的切向量為，=(1,個兒⑵=(1/)=拒(等，等)

3.求函數(shù)〃=4+z3-xyz在點(1,1,2)處沿方向角為。=工/=巳/=工的方向的

343

方向?qū)?shù).

解：方—2)=說1皿8S0+及小

4.設f(x,y)具有一階連續(xù)的偏導數(shù)，已給四個點A(1,3),B(3,3),C(1,7),￡)(6J5),

若f(x,y)在點A處沿而方向的方向?qū)?shù)等于3,而沿北方向的方向?qū)?shù)等于

26,求在點4處沿而方向的方向?qū)?shù).

解：荏=(2,0)=2(1,0),AC=(0,4)=4(0,1),AD=(5,12)=13(—,—)

grjdf(xy).df.df.々“5M122

所以r9二一Icosa+W「cos^=3—+26—=25+—

dADoxdy131313

222

5.^f(x9y,z)=x+2y+3z+xy+3x-2y-6z,求grad/(0,0,0)及grad/(1,1,1)

解：gradf(0,0,0)=(2x+y+3,4y+x-2,6z-6)|(0A0)=(3,-2,-6)

6.問函數(shù)〃=A/Z在點p(],_],2)處沿什么方向的方向?qū)?shù)最大？并求此方向?qū)?/p>

數(shù)的最大值.

解：沿梯度方向的方向的方向?qū)?shù)最大

第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法

本節(jié)主要概念，定理，公式和重要結論

1.極大(小)值問題

必要條件.若/(x,y)在點(與，丫。)有極值且可偏導，則

力(％，%)=力。0，>0)=0?

使偏導數(shù)等于零的點(%,%)稱為/的駐點(或穩(wěn)定點).駐點與不可偏導點都

是可疑極值點，還須用充分條件檢驗.

充分條件.設z=/(x,y)在區(qū)域￡)內(nèi)是。⑵類函數(shù)，駐點(/，先止。，記

(1)當八=4。-32>0時，/(%,光)是極值，且A>0(v0)是極小(大)值；

(2)當AvO時,/(々，先)不是極值；

(3)當△=()時，還需另作判別.

2.最大(小)值問題

首先找出f（x,y）在。上的全部可疑極值點（設為有限個），算出它們的函

數(shù)值，并與。的邊界上了的最大.最小值進行比較，其中最大、最小者即為了

在D上的最大、最小值.

對于應用問題，若根據(jù)問題的實際意義，知目標函數(shù)F（x,y）在。內(nèi)一定達

到最大（?。┲?，而在。內(nèi)f（x,y）的可疑極值點唯一時，無須判別，可直接

下結論：該點的函數(shù)值即為了在。內(nèi)的最大（?。┲?

3.條件極值（拉格朗日乘子法）

求目標函數(shù)z=f（x,y）在約束方程以x,y）=O下的條件極值，先作拉格朗日函數(shù)

L(x,y,2)=f(x,y)+2奴x,y)f

然后解方程組L=0,4=0出=0,則可求得可疑極值點（Xo，y0）.

對于二元以上的函數(shù)和多個約束條件，方法是類似的。

習題8—8

1.求下列函數(shù)的極值

2x2

(1)f(xty)=e(x+y+2y)

講(x,y)

=2e2x(x+y2+2y)+e2x=e2x(2x+2y2+4^+1)=01

dxx=—

解：，n2

5(x,y)

=e2x(2y+2)=0y=-l

_d2f(x,y)

r2e2x=2e,B2-AC=-2e2<0,A=e>0

故f(x,y)在處取得極大值/(1,-D=e(l+l-2)=-l<?

(2)/(x,y)=3x2y+y3-3x2-3y2+2

解：&n”y-l)=0=尸，尸,-1

22

<M=3X+3/-6)-0U+/-2y=01y=0,2[y=\

可疑極值點有四個,即0(0,0),A(0,2),B(1,