第01講 正數(shù)和負(fù)數(shù)、有理數(shù)5個知識點+3個考點+5個易錯分析（原卷版）

第01講正數(shù)和負(fù)數(shù)、有理數(shù)

(5個知識點+3個考點+5個易錯分析）

模塊一思維導(dǎo)圖串知識1.借助生活中的實例體會引入負(fù)數(shù)的必要性，并能用

模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）正、負(fù)數(shù)表示生活中具有相反意義的量。

模塊三核心考點舉一反三2.會判斷一個數(shù)是正數(shù)是負(fù)數(shù)

模塊四小試牛刀過關(guān)測3.理解有理數(shù)的意義，并能對有理數(shù)進(jìn)行分類。

4.能用正、負(fù)數(shù)解決有關(guān)實際問題，增強應(yīng)用意識。

知識點1：正數(shù)、負(fù)數(shù)的定義（重點）

1.正數(shù)

像2%,4,3.5這樣大于0的數(shù)叫做正數(shù).有時,為了明確表達(dá)意義,在正數(shù)的前面加上“+”(正)號.如+2,+0.7。

2.負(fù)數(shù)

像-3,-2.7%,-4.5這樣在正數(shù)前加上符號“-”(負(fù))的數(shù)叫做負(fù)數(shù)

3.“0”的特性

0既不是正數(shù),也不是負(fù)數(shù).0是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界

第1頁共12頁.

【例1】下列各數(shù)中，哪些是正數(shù)？哪些是負(fù)數(shù)？

12549

3.2，-，，-1，+2.009，-108，+，81．

23625

【變式】任意寫出個正數(shù)和個負(fù)數(shù)，并分別把它們填入相應(yīng)的集合里．

方法總結(jié)：對于正數(shù)和負(fù)數(shù)不能簡單地理解為：帶“＋”號的數(shù)是正數(shù)，帶“－”號的數(shù)是負(fù)數(shù)，要看其本

質(zhì)是正數(shù)還是負(fù)數(shù).0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，后面會學(xué)到＋(－3)不是正數(shù)，－(－2)不是負(fù)數(shù)．

知識點2：用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量（重點）

1.日常生活中,表示相反意義的量的常用詞語:

收入盈利上升零上增加向東(南)…

支出虧損下降零下減少向西(北)…

2.具有相反意義的量的規(guī)定

為了區(qū)別具有相反意義的量,用正數(shù)和負(fù)數(shù)分別表示具有相反意義的量,若規(guī)定其中的一種量為正(可任意

選擇),則它的相反意義的量為負(fù).習(xí)慣上把“前進(jìn)、上升、收人、零上”等規(guī)定為正,把“后退、下降、支

出、零下”等規(guī)定為負(fù).

【例2】.下列各對量中，表示具有相反意義的量的是（）

A購進(jìn)50kg蘋果與賣出-50kg蘋果

B高出海平面786m與低于海平面230m

C向東走-9m和向西走10m

D飛機上升100m與飛機前進(jìn)100m

【變式】如果某水庫警戒水位150米記作0米，那么151米記作，148米記作．

方法總結(jié)：用正、負(fù)數(shù)表示相反意義的量時，要抓住基準(zhǔn)，比基準(zhǔn)量多多少記為“＋”的多少，少多少記為

“－”的多少．另外，通常把“零上、上升、前進(jìn)、收入、運進(jìn)、增產(chǎn)”等規(guī)定為正，與它們意義相反的量

表示為負(fù)．

第2頁共12頁.

知識點3：對“0”的認(rèn)識

1.表示沒有

例如,0個蘋果,意思是沒有蘋果

2.表示數(shù)時起到占位的作用

如10605中的兩個0,分別占的是十位和千位

3.表示某種量的基準(zhǔn)

例如,0℃不是表示沒有溫度,而是表示在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,水開始結(jié)冰的溫度

4.表示某些數(shù)量的分界

0既不是正數(shù),也不是負(fù)數(shù),是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界.例如在攝氏溫度計上，“0”是零上溫度與零下溫度的分界

5.表示起點

例如,在米尺上,刻度的起點為“0”

【例3】下列對“0”的說法正確的個數(shù)是()

①0是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界點；②0只表示“什么也沒有”；③0可以表示特定的意義，如0℃；④0是正數(shù)；

⑤0是自然數(shù)．

A．3B．4C．5D．0

【變式】判斷題

（l）0是自然數(shù)，也是偶數(shù)（）。

（2）0可以看成是正數(shù)，也可以看成是負(fù)數(shù)（）。

（3）溫度0℃就是沒有溫度（）。

方法總結(jié)：“0”的意義不要單純地認(rèn)為表示“沒有”的含義，其實“0”表示的意義非常廣泛，比如：冰水

混合物的溫度就是0℃，0是正、負(fù)數(shù)的分界點等．

知識點4：有理數(shù)的相關(guān)概念（重點）

1.整數(shù)

正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù),如-3,-2,0,1,2,3等

2.分?jǐn)?shù)

正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù),如+1-,0.18,-1.35,-分?jǐn)?shù)都可以化為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的形式,同時有

限小數(shù)和限循環(huán)小數(shù)又都可以化為分?jǐn)?shù).無限不循環(huán)小數(shù)不能轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù).

3.有理數(shù)

整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，“有理數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，

4.幾個常用數(shù)學(xué)名詞的含義

(1)正整數(shù):既是正數(shù),又是整數(shù)的數(shù)

(2)負(fù)整數(shù):既是負(fù)數(shù),又是整數(shù)的數(shù)

第3頁共12頁.

(3)正分?jǐn)?shù):既是正數(shù),又是分?jǐn)?shù)的數(shù)

(4)負(fù)分?jǐn)?shù):既是負(fù)數(shù),又是分?jǐn)?shù)的數(shù)

(5)非負(fù)數(shù):正數(shù)和0.

(6)非正數(shù):負(fù)數(shù)和0.

(7)非負(fù)整數(shù)(也叫自然數(shù)):正整數(shù)和0.

(8)非正整數(shù):負(fù)整數(shù)和0.

(9)正有理數(shù):正整數(shù)和正分?jǐn)?shù)

(10)負(fù)有理數(shù):負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)

(11)非正有理數(shù):0、負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)

(12)非負(fù)有理數(shù):0、正整數(shù)和正分?jǐn)?shù)

452

【例4】下列各數(shù)：－，1，8.6，－7，0，，－4，＋101，－0.05，－9中，()

563

A．只有1，－7，＋101，－9是整數(shù)

B．其中有三個數(shù)是正整數(shù)

C．非負(fù)數(shù)有1，8.6，＋101，0

44

D．只有－，－4，－0.05是負(fù)分?jǐn)?shù)

55

方法總結(jié)：當(dāng)有理數(shù)只含有單個符號時，帶負(fù)號的數(shù)即為負(fù)數(shù)．然后再區(qū)分是整數(shù)還是分?jǐn)?shù)．

【變式】下列說法中正確的是（）

A．0不是有理數(shù)B．有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)

C．在有理數(shù)中有最小的數(shù)D．若a是有理數(shù)，則-a一定是負(fù)數(shù)

知識點5：有理數(shù)的分類（重點、難點）

1.有理數(shù)的分類：

ìì正整數(shù)ìì正整數(shù)

???正有理數(shù)í

?整數(shù)í零??正分?jǐn)?shù)

???

按意義分：有理數(shù)í?負(fù)整數(shù)；按符號分：有理數(shù)í零．

??

ì正分?jǐn)?shù)ì負(fù)整數(shù)

?分?jǐn)?shù)?負(fù)有理數(shù)

?í?í

??負(fù)分?jǐn)?shù)??負(fù)分?jǐn)?shù)

注意：（1）零既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，零是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界；

（2）零和正數(shù)統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)；零和負(fù)數(shù)統(tǒng)稱為非正數(shù)．

（3）如果一個數(shù)是小數(shù)，它是否屬于有理數(shù)，就看它是否能化成分?jǐn)?shù)的形式，所有的有限小數(shù)和無限循環(huán)

小數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù)的形式，因而屬于有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)，不能化成分?jǐn)?shù)形式，因而不屬于有理

數(shù)．

2.集合

把滿足一定條件的所有數(shù)放在一起,就組成了一個集合,簡稱數(shù)集

第4頁共12頁.

1333

【例5】把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合內(nèi)．－10，8，－7，3，－10%，，2，0，3.14，－67，，0.618，

241017

－1，0.3080080008…

正數(shù)集合{…}；

負(fù)數(shù)集合{…}；

整數(shù)集合{…}；

分?jǐn)?shù)集合{…}．

1522

【變式1】把以下各數(shù)填入相應(yīng)的集合里：-3.14，4.3，+72，0，，-6，-7.3，-12，0.4，-，，

367

26．

(1)正數(shù)集合：{…}；

(2)負(fù)數(shù)集合：{…}；

(3)正整數(shù)集合：{…}；

(4)負(fù)整數(shù)集合：{…}；

(5)非負(fù)數(shù)集合：{…}．

122

【變式2】把下列的數(shù)填入相應(yīng)的集合中：7，0.618，-3，-1，0，30%，+1006，

27

正分?jǐn)?shù)集合：（）；

非負(fù)整數(shù)集合：（）；

負(fù)分?jǐn)?shù)集合：（）．

【變式3】把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合里．

1

1，－0.20，3，325，－789，0，－23.13，0.618，－2004．

5

非正數(shù)集合：{…}；

非負(fù)數(shù)集合：{}；

非正整數(shù)集合：{…}；

非負(fù)整數(shù)集合：{}；

非正有理數(shù)集合：{…}；

非負(fù)有理數(shù)集合：{}．

方法總結(jié)：在填數(shù)時要注意以下兩種方法：

(1)逐個考察給出的每一個數(shù)，看它是什么數(shù)，是否屬于某一集合；(2)逐個填寫相應(yīng)集合，從給出的數(shù)中找

出屬于這個集合的數(shù)，避免出現(xiàn)漏數(shù)的現(xiàn)象．

第5頁共12頁.

易錯點01對“0”的含義理解不準(zhǔn)確

小學(xué)階段開始學(xué)習(xí)數(shù)的時候,0表示沒有,學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)后,0除了表示“沒有”外,還是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界

易錯點02對負(fù)數(shù)表示的意義理解不清

具有相反意義的兩個量,若一個量規(guī)定為正,用正數(shù)表示,則另個量就為負(fù)，用負(fù)數(shù)表示

易錯點03用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量時忽略了量的單位

易錯點04誤認(rèn)為凡帶有正號的數(shù)就是正數(shù)，凡帶有負(fù)號的數(shù)就是負(fù)數(shù)

正數(shù)前面的“+”號有時可以省略,省略“+”號后仍是正數(shù);但是帶有“+”號或省略“+”號的數(shù)不一定是

正數(shù),帶有“-”號的數(shù)不一定是負(fù)數(shù).

易錯點05不能正確理解有理數(shù)的分類而出錯

有理數(shù)的兩種分類不能混淆,要特別注意避免因忽略0而引起

考點一：正數(shù)、負(fù)數(shù)的實際應(yīng)用

考查題型一：用正數(shù)、負(fù)數(shù)記錄成績

例1.某班級抽查了10名同學(xué)的期末成績，以80分為基準(zhǔn)，超出的分?jǐn)?shù)記為正數(shù)，

不足的分?jǐn)?shù)記為負(fù)數(shù)，記錄的結(jié)果如下（單位：分）：+8、﹣3、+12、﹣7、﹣10、﹣3、﹣

8、+1、5、+10．這10名同學(xué)中，

【變式1-1】某班級抽查了10名同學(xué)的期末成績，以80分為基準(zhǔn)，超出的分?jǐn)?shù)記為正數(shù)，不足的分?jǐn)?shù)記為

負(fù)數(shù)，記錄的結(jié)果如下（單位：分）：+8、﹣3、+12、﹣7、﹣10、﹣3、﹣8、+1、5、+10．這10名

同學(xué)中，

(1)最高分是多少？

(2)最低分是多少？

第6頁共12頁.

【變式1-2】某班級抽查了10名同學(xué)的期末成績，以80分為基準(zhǔn)，超出的分?jǐn)?shù)記為正數(shù)，不足的分?jǐn)?shù)記為

負(fù)數(shù)，記錄的結(jié)果如下（單位：分）：+8、﹣3、+12、﹣7、﹣10、﹣3、﹣8、+1、5、+10．這10名同學(xué)

中，

(1)最高分是多少？

(2)最低分是多少？

(3)10名同學(xué)的平均成績是多少？

【變式1-3】下表是某班5名同學(xué)某次數(shù)學(xué)測試成績，根據(jù)信息回答問題：

姓名王芳劉兵張沂李聰江文

成績8984

與全班平均分之差+20-6-2

(1)把表格補充完整；

(2)若不低于平均分的成績是合格，求5名同學(xué)的合格率?

考查題型二：用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示誤差范圍

例2.如圖所示的是圖紙上一個零件的標(biāo)注，Φ30±0.02表示這個零件直徑的標(biāo)準(zhǔn)尺寸是30mm，實

際合格產(chǎn)品的直徑最小可以是29.98mm，最大可以是（）

A．30mmB．30.03mmC．30.3mmD．30.04mm

第7頁共12頁.

【變式2-1】一種面粉的質(zhì)量標(biāo)識為“25±0.25kg”，則下列面粉中合格的是（）

A．25.30kgB．24.80kgC．25.51kgD．24.70kg

【變式2-2】“牛?！憋嬃瞎镜囊环N飲料包裝上有“500±30mL”字樣，其中500表示標(biāo)準(zhǔn)容量是500m

L，+30表示最多不超過30mL，那么-30表示．

【變式2-3】某飲料公司的一種瓶裝飲料外包裝上有“500±30(mL)”字樣，請問“500±30(mL)”是什么含

義？質(zhì)檢局對該產(chǎn)品抽查5瓶，容量分別為503mL，511mL，489mL，473mL，527mL，問抽查產(chǎn)品的容量是否

合格？

方法總結(jié)：解決此類問題的關(guān)鍵是理解“500±30(mL)”的含義，即500是標(biāo)準(zhǔn)，“＋”表示比標(biāo)準(zhǔn)多，

“－”表示比標(biāo)準(zhǔn)少．

考點二：與正數(shù)、負(fù)數(shù)相關(guān)的表格信息題

例3.某年，一些國家的服務(wù)出口額比上年的增長率如下：

美國德國英國中國日本意大利

-3.4%-0.9%-5.3%2.8%-7.3%7.0%

這一年，上述六國中哪些國家的服務(wù)出口額增長了？哪些國家的服務(wù)出口額減少了？哪國增長率最高？哪

國增長率最低？

【變式3-1】（2023秋?臺州期末）近年來，國家越來越重視新能源汽車的發(fā)展，為積極響應(yīng)國家推廣節(jié)能

減排的政策，王老師家買了一輛新能源汽車．王老師連續(xù)一星期記錄了每天行駛的路程（每天以20km為基

準(zhǔn)，超出記為正，不足記為負(fù)），如表：

星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日

路程(km)-3-4+20+7+35+23

（1）該汽車行駛路程最多的一天是，這一天的實際行駛路程是km．

（2）若該新能源汽車每行駛100km耗電量為15度，每度電約為0.5元，求王老師這一星期開新能源汽車的

電費．

第8頁共12頁.

【變式3-2】今年的“十?一”黃金周是7天的長假，徐州市呂梁風(fēng)景區(qū)在7天假期中每天旅游人數(shù)變化如

表（正號表示人數(shù)比前一天多，負(fù)號表示比前一天少）

日期1日2日3日4日5日6日7日

人數(shù)變化+1.1﹣0.6+0.2﹣0.4﹣0.2+0.4﹣0.5

單位：萬人

若9月30日的游客人數(shù)為0.1萬人，問：

（1）10月4日的旅客人數(shù)為萬人；

（2）七天中旅客人數(shù)最多的一天比最少的一天多萬人？

（3）如果每萬人帶來的經(jīng)濟收入為50萬元，則黃金周七天的旅游總收入為多少萬元？

【變式3-3】“十一”黃金周期間，某超市家電部大力促銷，收銀情況如下表，下表為當(dāng)天與前一天的營業(yè)

額的漲跌情況（上漲為正，下跌為負(fù)，單位：萬元）．已知9月30日的營業(yè)額為26萬元：

10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日

+4+3+20﹣1﹣3﹣5

（1）家電部黃金周內(nèi)哪天收入最高，為多少萬元？哪天收入最低，為多少萬元？

（2）家電部黃金周內(nèi)平均每天的營業(yè)額是多少萬元？（精確到0.01萬元）

考點三：正數(shù)、負(fù)數(shù)的規(guī)律探究題

例4.觀察下列數(shù)列，填上空缺的數(shù)．

（1）1，-1，2，-2，3，______，______，______；

（2）1，-2，3，-4，5，______，______，______．

14．桌子上放有6枚正面朝上的硬幣，每次翻轉(zhuǎn)其中的4枚，至少翻轉(zhuǎn)次能使所有硬幣都反面朝

上．

第9頁共12頁.

【變式4-1】．觀察下面各數(shù)列，研究它們各自的變化規(guī)律，并接著填出后面的兩個數(shù)．

（1）1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，，；

（2）2，-4，6，-8，10，-12，14，-16，，；

（3）1，0，-1，0，1，0，-1，0，1，0，-1，0，1，0，，.

【變式4-2】（1）有一列數(shù)：1，-2，-3，4，-5，-6，7，-8，…．那么接下來的3個數(shù)分別

是，，；

1234

（2）有一列數(shù)：，，，，…．那么接下來的第7個數(shù)是．

251017

【變式4-3】觀察下面依次排列的一列數(shù)，請接著寫出后面的3個數(shù)，你能說出第10個數(shù)、第105個數(shù)、

第2015個數(shù)嗎？

(1)一列數(shù)：1，－2，3，－4，5，－6，______，______，______，…；

111

(2)一列數(shù)：－1，，－3，，－5，，____，____，____，….

246

方法總結(jié)：解答探索規(guī)律的問題，應(yīng)全面分析所給的數(shù)據(jù)，特別要注意觀察符號的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)字排列

的特征．

一、單選題

2

1．（23-24七年級上·廣東汕頭·期末）在-2，+3.5，0，-，-0.7中分?jǐn)?shù)有（）個．

3

A．1B．2C．3D．4

2．（23-24七年級上·河南許昌·期中）在十月份結(jié)束的杭州亞運會女子舉重49公斤級比賽中，朝鮮選手

李盛金創(chuàng)造該組賽會記錄和世界記錄，以總成績216公斤奪冠，中國選手蔣惠花以總成績213公斤拿到銀

牌，泰國選手素乍龍以總成績199公斤獲得銅牌．若將216公斤記為+1，則199公斤可記為（）

A．+1B．-17C．-16D．+17

3．（23-24七年級上·廣東廣州·期中）初中一年級女生仰臥起坐滿分標(biāo)準(zhǔn)為50個，個數(shù)為54個記為+4

個，則個數(shù)為46個應(yīng)記為（）

A．-8個B．-4個C．4個D．+46個

二、填空題

4．大米包裝袋上10±0.1kg的標(biāo)識表示此袋大米重量的范圍是．

5．（23-24七年級上·廣東肇慶·期末）某廠家生產(chǎn)一種袋裝食品的標(biāo)準(zhǔn)重量是500克，質(zhì)檢員把每袋超

出的部分記作正數(shù)，不足的部分記作負(fù)數(shù)，質(zhì)檢員隨機測得袋食品質(zhì)量為501克，則記作．

6．（23-24七年級下·福建福州·期中）某蓄水池的標(biāo)準(zhǔn)水位記為0m，若+0.08m表示水面高于標(biāo)準(zhǔn)水位

0.08m，則水面低于標(biāo)準(zhǔn)水位1.2m，可記為m．

第10頁共12頁.

三、解答題

2

7．如圖，兩個圈分別表示正數(shù)集和整數(shù)集，請你從-3，9，0，-10%，3.14，，1300這些數(shù)中，選擇適

7

當(dāng)?shù)臄?shù)填入圖中相應(yīng)的位置．

3

8．把下列各數(shù)按要求分類填在相應(yīng)的大括號內(nèi)：-11，-，-9，0，+12，-6.2，-p，-4%．

5

(1)整數(shù)集合：｛｝

(2)分?jǐn)?shù)集合：｛｝

(3)非負(fù)整數(shù)集合：｛｝

(4)負(fù)有理數(shù)集合：｛｝

9．（2023秋?荔灣區(qū)期末）某學(xué)校校運會開幕式上舉行火炬?zhèn)鬟f儀式，共安排了12名火炬手跑完全程，平

均每人傳遞里程為60米．以60米為基準(zhǔn)，其中實際里程超過基準(zhǔn)的米數(shù)記為正數(shù)，不足的記為負(fù)數(shù)，并

將其稱為里程波動值．下表記錄了部分火炬手的里程波動值．

棒次123456789101112

里程波動值26-53-2