第05講 有理數(shù)減法（2個知識點+7個考點+易錯分析）解析版

第05講有理數(shù)減法（2個知識點+7個考點+易錯分析）

模塊一思維導(dǎo)圖串知識1.掌握有理數(shù)減法的運算法則,理解減法法則與加法法

模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）則的關(guān)系,體會轉(zhuǎn)化的思想方法

模塊三核心考點舉一反三2.能熟練地進行有理數(shù)的減法運算,會進行有理數(shù)的加

模塊四小試牛刀過關(guān)測減混合運算,會解決簡單的實際問題，

3.能將和式中的括號和加號省略,并利用加法運算律進

行相關(guān)計算

知識點1.有理數(shù)的減法法則（重點）

（1）有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)．即：a﹣b＝a+（﹣b）

（2）方法指引：

①在進行減法運算時，首先弄清減數(shù)的符號；

②將有理數(shù)轉(zhuǎn)化為加法時，要同時改變兩個符號：一是運算符號（減號變加號）；二是減數(shù)的性質(zhì)符號

（減數(shù)變相反數(shù)）；

【注意】：

在有理數(shù)減法運算時，被減數(shù)與減數(shù)的位置不能隨意交換；因為減法沒有交換律．

減法法則不能與加法法則類比，0加任何數(shù)都不變，0減任何數(shù)應(yīng)依法則進行計算．

【例1】計算：(1)(－32)－(+5)；(2)(+2)－(－25)．

【答案與解析】法一：

法二：（1）原式=－32－5=－32+（－5）=－37；（2）原式=2+25=27

第1頁共33頁.

11

【變式1-1】計算：(1)7.2－(－4.8)；(2)－3－5.

24

解析：先根據(jù)有理數(shù)的減法法則，將減法轉(zhuǎn)化為加法，再根據(jù)有理數(shù)的加法法則計算即可．

解：(1)7.2－(－4.8)＝7.2＋4.8＝12；

1111113

(2)－3－5＝－3＋(－5)＝－(3＋5)＝－8.

2424244

方法總結(jié)：進行有理數(shù)減法運算時，將減法轉(zhuǎn)化為加法，再根據(jù)有理數(shù)加法法則進行計算．要特別注意減數(shù)

的符號．

【變式1-2】上海某天的最高氣溫為6℃，最低氣溫為－1℃，則這一天的最高氣溫與最低氣溫的差為()

A．5℃B．6℃C．7℃D．8℃

解析：由題意得6－(－1)＝6＋1＝7(℃)，故選C.

方法總結(jié)：要根據(jù)題意列出算式，再運用有理數(shù)的減法法則解答．

【變式1-3】已知有理數(shù)a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，試判定a－b的符號．

解析：判斷a，b差的符號，可能不好理解，不妨把它轉(zhuǎn)化為加法a－b＝a＋(－b)，利用加法法則進行判定．

解：因為b＜0，所以－b＞0.又因為a<0，a－b＝a＋(－b)，所以a與－b是異號兩數(shù)相加，那么它們和的

符號由絕對值較大的加數(shù)的符號決定，因為|a|＞|b|，即|a|＞|－b|，所以取a的符號，而a＜0，因此a－

b的符號為負(fù)號．

方法總結(jié)：此類問題如果是填空或選擇題，可以采用“特殊值”法進行判斷，若是解答題，可以將減法轉(zhuǎn)化

為加法通過運算法則來解答．

知識點2.有理數(shù)的加減混合運算（難點）

（1）有理數(shù)加減混合運算的方法：有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法．

（2）方法指引：

①在一個式子里，有加法也有減法，根據(jù)有理數(shù)減法法則，把減法都轉(zhuǎn)化成加法，并寫成省略括號的和的

形式．

②轉(zhuǎn)化成省略括號的代數(shù)和的形式，就可以應(yīng)用加法的運算律，使計算簡化．

12

【例2】計算：(1)－9.2－(－7.4)＋9＋(－6)＋(－4)＋|－3|；

55

2222

(2)－14＋11－(－12)－14＋(－11)；

315315

2113

(3)－－(－)＋(－)．

3838

解析：本題根據(jù)有理數(shù)加減互為逆運算的關(guān)系把減法統(tǒng)一成加法，省略加號后，運用加法運算律，簡化運

算，求出結(jié)果．其中互為相反數(shù)的兩數(shù)先結(jié)合；能湊成整數(shù)的各數(shù)先結(jié)合．另外，同號各數(shù)先結(jié)合；同分

母或易通分的各數(shù)先結(jié)合．

12

解：(1)－9.2－(－7.4)＋9＋(－6)＋(－4)＋|－3|＝－9.2＋7.4＋9.2＋(－6.4)＋(－4)＋|－3|＝－

55

9.2＋7.4＋9.2－6.4－4＋3＝(－9.2＋9.2)＋(7.4－6.4)－4＋3＝0＋1－4＋3＝0；

第2頁共33頁.

222222222222

(2)－14＋11－(－12)－14＋(－11)＝－14＋11＋12－14－11＝(－14＋12)＋(11－11)

315315315315331515

－14＝－2＋0－14＝－16；

21132113211311

(3)－－(－)＋(－)＝－＋－＝(＋)＋(－－)＝1＋(－)＝.

38383838338822

方法總結(jié)：(1)為使運算簡便，可適當(dāng)運用加法的結(jié)合律與交換律．在交換加數(shù)的位置時，要連同前面的符

號一起交換．(2)注意同分母分?jǐn)?shù)相加，互為相反數(shù)相加，湊成整數(shù)的數(shù)相加，這樣計算簡便．(3)當(dāng)一個算

式中既有小數(shù)又有分?jǐn)?shù)時，一般要統(tǒng)一，具體是統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)還是小數(shù)，要看哪一種計算簡便．

【變式2-1】計算：+1?+1+?3??63.

5454

【答案】6.1

【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減混合運算進行計算即可求解．

【詳解】解：+1?+1+?3??63

5454

1133

=??+6

5454

1331

=?+6+?

5544

21

=?+6+

52

=?0.4+6+0.5

=6.1．

【點睛】本題考查了有理數(shù)的加減混合運算，掌握有理數(shù)的加減的運算法則是解題的關(guān)鍵．

【變式2-2】．計算下列各式：

1111

(1)(?3)+(+7)?8(2)3+(?0.5)+(?3.2)+5．

2352

25

【答案】(1)?，(2)5

6

【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的加減運算法則計算，即可解答；

（2）利用加法的結(jié)合律和交換律，即可解答．

11125

【詳解】（1）原式=(?3)+(+7)?8+(?)+=?4?=?；

2366

（2）原式=3.2+(?3.2)+(?0.5)+5.5=5．

【點睛】本題考查了有理數(shù)的加減混合運算法，解決本題的關(guān)鍵是利用加法運算律進行簡算．

【變式2-3】列式計算：

1

（1）?3減去?5與2.5的和所得差是多少？

2

（2）3，?5，?6的和比這三個數(shù)和的絕對值大多少？

【答案】（1）0；（2）-16

【分析】（1）先列出算式，再根據(jù)有理數(shù)的加法和有理數(shù)的減法運算法則進行計算即可得解；

（2）先列出算式，再根據(jù)有理數(shù)的加法和有理數(shù)的乘方的定義以及有理數(shù)的減法運算法則和絕對值的性質(zhì)

進行計算即可得解．

【詳解】解：（1）(?3)??51+2.5

2

第3頁共33頁.

=(?3)?(?3)

=(?3)+3

=0；

（2）[3+(?5)+(?6)]?|3+(?5)+(?6)|

=(?8)?8

=(?8)+(?8)

=?16．

【點睛】本題考查了有理數(shù)的減法，絕對值的性質(zhì)，有理數(shù)的加法，熟記運算法則并準(zhǔn)確列出算式是解題

的關(guān)鍵．

【變式2-4】計算：

（1）－3.72－1.23+4.18－2.93－1.25+3.72；

（2）11－12+13－15+16－18+17；

111

（3）3.76-39-5+68-4.76-2+1

362

5113

（4）3.46+4--3.87-2+1.54+3.37+

6344

1355

（5）-3+5+4-6；

24618

13

（6）2.25+3-2+1.875

84

【解析】（1）觀察各個加數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)－3.72與3.72互為相反數(shù)，把它們分為一組；

4.18、－2.93與－1.25的和為0，把它們分為一組可使計算簡便．

解：－3.72－1.23+4.18－2.93－1.25+3.72

＝(－3.72+3.72)+(4.18－2.93－1.25)－1.23

＝0+0－1.23＝－1.23

（2）把正數(shù)和負(fù)數(shù)分別分為一組．

解：11－12+13－15+16－18+17

＝(11+13+16+17)+(－12－15－18)

＝57+(－45)＝12

（3）仔細(xì)觀察各個加數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)兩個小數(shù)的和是－1，兩個整數(shù)的和是29，三個分?jǐn)?shù)通分后也不難算．故

把整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)分別分為一組．

111

解：3.76-39-5+68-4.76-2+1

362

111

=(3.76-4.76)+(5-2+1)+(-39+68)=-1+(-6)+29=22

362

第4頁共33頁.

5

（4）3.46和1.54的和為整數(shù),把它們分為一組；－3.87與3.37的和為－0.5，把它們分為一組；4與

6

113

-易于通分，把它們分為一組；-2與同分母，把它們分為一組．

344

5113

解：3.46+4--3.87-2+1.54+3.37+

6344

5113

=(3.46+1.54)+(-3.87+3.37)+(4-)+(-2+)

6344

11

=5+(-0.5)+4+(-1)=4.5+3=7.5

22

（5）先把整數(shù)分離后再分組．

1355

解：-3+5+4-6

24618

1355

=-3-+5++4+-6-

24618

1355

=(-3+5+4-6)+(-++-)

24618

-18+27+30-10

=0+

36

29

=

36

注：帶分?jǐn)?shù)中的整數(shù)與分?jǐn)?shù)分離時，如果這個數(shù)是負(fù)數(shù)，那么分離得到的整數(shù)與分?jǐn)?shù)都是負(fù)數(shù)，例如

11

-3=-3-．

22

（6）如果按小數(shù)、整數(shù)分組，效果似乎不是很好．可先將小數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)一后再考慮分組．

13

解：2.25+3-2+1.875

84

=(2.25-2.75)+(3.125+1.875)

=-0.5+5=4.5

知識點3.省略加號的和式的寫法讀法

（1）把算式中的減法轉(zhuǎn)化為加法；

（2）去括號時注意符號，能省掉的“+”號要省掉；

（3）多觀察，巧妙利用運算律簡便計算．

【例3】將下列式子寫成省略括號和加號的形式，并用兩種讀法將它讀出來．

(－13)－(－7)＋(－21)－(＋9)＋(＋32)

解析：先把加減法統(tǒng)一成加法，再省略括號和加號；讀有理式，式子中第一項的符號，要作為這一項的符

第5頁共33頁.

號讀出正負(fù)來，式子中的符號就讀作加或減．

解：(－13)－(－7)＋(－21)－(＋9)＋(＋32)＝－13＋7－21－9＋32.

讀法①：負(fù)13、正7、負(fù)21、負(fù)9、正32的和；

讀法②：負(fù)13減去負(fù)7減去21減去9加上32.

方法總結(jié)：注意掌握括號前是“＋”號時，將括號連同它前邊的“＋”號去掉，括號內(nèi)各項都不變；括號前

是“－”號時，將括號連同它前邊的“－”去掉，括號內(nèi)各項都要變號．

【變式3-1】有理數(shù)的加減混合運算可以統(tǒng)一成加法運算，如算式“?20?(?9)+(?8)+10”可以看成

________這4個數(shù)的和．

【答案】?20+9+(?8)+10

【分析】根據(jù)減法運算法則進行解答即可．

【詳解】解：?20?(?9)+(?8)+10=?20+9+(?8)+10．

故答案為：?20+9+(?8)+10．

【點睛】本題主要考查了有理數(shù)減法運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的想法．

【變式3-2】把(?4)?(+13)+(?5)?(?9)寫成省略加號和括號的形式是___________；讀作：___________

或___________．

【答案】?4?13?5+9﹣4﹣13﹣5+9負(fù)4減13減5加9負(fù)4、負(fù)13、負(fù)5、9的和

【分析】首先把減法改為加法，省略括號和前面的加號即可．

【詳解】解：(?4)?(+13)+(?5)?(?9)

=(?4)+(?13)+(?5)+(+9)

=?4?13?5+9；

讀作：負(fù)4減13減5加9或負(fù)4、負(fù)13、負(fù)5、9的和．

故答案為：?4?13?5+9﹣4﹣13﹣5+9；負(fù)4減13減5加9；負(fù)4、負(fù)13、負(fù)5、9的和．

【點睛】此題考查有理數(shù)的加減混合運算混合運算的簡寫方法，注意簡寫前后符號的變化，讀法按兩種意

義去讀．

易錯點1:混淆有理數(shù)減法中的運算符號和性質(zhì)符號

【例4】.計算：-7-5-11．

莉莉的解法如下：

-7-5-11

=-(7-5)-11

=-2-11

=-(2-11)

=-(-9)

=9．

請問莉莉的解法正確嗎？如果不正確，請寫出正確解法．

【答案】莉莉的解法不正確，詳見解析，-23

第6頁共33頁.

【分析】錯誤，運算法則運用錯誤，寫出正確的解題過程即可．

【詳解】莉莉的解法不正確．

正確解法：-7-5-11=(-7)+(-5)+(-11)=(-12)+(-11)=-23．

【點睛】此題考查了有理數(shù)的減法法則，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵

易錯點2：錯用運算律

【例5】．（23-24七年級上·福建三明·階段練習(xí)）錯用運算律，可能會導(dǎo)致計算的結(jié)果出錯

例如有同學(xué)計算5-3.2+0.2時，得到的結(jié)果為1.6，這位同學(xué)的計算過程如下：

解：5-3.2+0.2①

=5-3.2+0.2②

=5-3.4③

=1.6④

以上計算過程中，開始出現(xiàn)錯誤的那一步對應(yīng)的序號是.

【答案】②

【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減運算和添括號法則可作出判斷．

【詳解】解：5-3.2+0.2

=5-3.2-0.2

=5-3

=2，

第②步括號內(nèi)沒變符號導(dǎo)致錯誤，即開始出現(xiàn)錯誤的那一步對應(yīng)的序號是②，

故答案為：②．

【點睛】本題考查有理數(shù)的加減，添括號法則，解題的關(guān)鍵是掌握添括號法則：所添括號前面是“+”號，括

到括號里的各項都不改變正負(fù)號；所添括號前面是“-”號，括到括號里的各項都改變正負(fù)號，添括號和去括

號的過程正好相反，添括號是否正確，可以用去括號檢驗一下．

考點1：有理數(shù)的加減混合運算

1．計算：

?1??1?

(1)-2.125+?+3÷+?+5÷+-3.2；

è5?è8?

2?1??2??1?

(2)0-21+?+3÷-?-÷-?+÷；

3è4?è3?è4?

?1?1

(3)?-7÷+-3.37+6+2.125+-0.25+-2.63．

è8?4

【答案】(1)3；

第7頁共33頁.

(2)-18；

(3)-5．

?1??1?

【詳解】（1）解：-2.125+?+3÷+?+5÷+-3.2

è5?è8?

=-2.125+5.125+3.2-3.2

=3；

2?1??2??1?

（2）解：0-21+?+3÷-?-÷-?+÷

3è4?è3?è4?

?22??11?

=?-21+÷+?3-÷

è33?è44?

=-21+3

=-18；

?1?1

（3）解：?-7÷+-3.37+6+2.125+-0.25+-2.63

è8?4

=-7.125+2.125+-3.37-2.63+6.25-0.25

=-5-6+6

=-5．

2．計算：

(1)-15++7--3；

?3??1??2?

(2)+0.125-?-3÷+?-3÷-?-10÷-+1.25．

è4?è8?è3?

【答案】(1)-5

1

(2)10

6

【詳解】（1）解：原式=-15+7+3

=-5；

312

（2）解：原式=0.125+3-3+10-1.25

483

13121

=+3-3+10-1

84834

?11??31?2

=?-3÷+?3-1÷+10

è88?è44?3

12

=-3+2+10

23

1

=10．

6

3．（2023秋·江蘇·七年級專題練習(xí)）閱讀下面的計算過程，體會“拆項法”

第8頁共33頁.

5?2?3?1?

計算：-5+?-9÷+17+?-3÷

6è3?4è2?

?5231??3?3

解：原式=-5-9+17-3+?--+-÷=0+?-1÷=-1

è6342?è4?4

?3??1?3?1?

啟發(fā)應(yīng)用，用上面的方法完成下列計算：?-3÷+?-1÷+2-?2÷

è10?è2?5è2?

7

【答案】-4

10

3131

【分析】將原式利用“拆項法”得出原式=-3-1+2-2+(--+-)，再根據(jù)有理數(shù)的加減運算法

10252

則計算可得．

?3??1?3?1?

【詳解】解：?-3÷+?-1÷+2-?2÷

è10?è2?5è2?

3131

=-3-1+2-2+(--+-)

10252

7

=-4+(-)

10

7

=-4．

10

【點睛】題目主要考查有理數(shù)的加減混合運算，理解題干中的“拆項法”是解題關(guān)鍵．

考點2：絕對值與有理數(shù)的減法的綜合問題

4．有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡式子：a-c-a-b+2a=______．

【答案】-c-b

【詳解】由數(shù)軸可得：c＜a＜0＜b，

∴a-c＞0，a-b＜0，2a＜0，

∴|a-c|-|a-b|+|2a|

=a-c+a-b-2a

=-c-b．

故答案為：-c-b．

5.已知|x-4|+|y+2|=0，求x-y的值．

【答案】x-y=6

【詳解】∵|x-4|+|y+2|=0，|x-4|30，|y+2|30，

∴x-4=0，y+2=0，

解得x=4，y=-2，

∴x-y=4-(-2)=6．

第9頁共33頁.

6.在有些情況下，不需要計算出結(jié)果也能把絕對值符號去掉，例如：

6+7=6+7，6-7=7-6，7-6=7-6，-6-7=6+7．

(1)根據(jù)上面的規(guī)律，把下列各式寫成去掉絕對值符號的形式；

①|(zhì)7-21|=______；

1

②|-+0.8|=______；

2

77

③-=______；

1718

115015011

(2)用合理的方法計算：-+---.；

555755722

11111111

(3)用簡單的方法計算：-+-+-+?+-．

32435420212020

177

【答案】(1)①21-7；②0.8-；③-；

21718

1

(2)-

5

2019

(3)

4042

【詳解】（1）①|(zhì)7-21|=21-7；

11

②-+0.8=0.8-；

22

7777

③|-|=-；

17181718

177

故答案為：①21-7；②0.8-；③-；

21718

150111501

（2）原式=-+--

557525572

150150111

=(-)+(-)-

557557225

1

=-；

5

11111111

（3）原式=-+-+-+...+-

23344520202021

11

=-

22021

2019

=．

4042

7.某檢修小組從A地出發(fā)，在東西向的馬路上檢修線路，如果規(guī)定向東行駛為正，向西行駛為負(fù)，一天中十

次行駛紀(jì)錄如下（單位：km）．

第10頁共33頁.

第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次第八次第九次第十次

-10-3+4-2-8+16-2+12+8-5

(1)最后他們是否回到出發(fā)點A？若沒有，則他們停留在A地的什么方向？距離A地多遠(yuǎn)？

(2)在第_________次紀(jì)錄時距A地最遠(yuǎn)．

(3)若每千米耗油0.08升，問共耗油多少升？

【答案】(1)他們沒有回到出發(fā)點A，停留在A地東邊10km處

(2)五

(3)共耗油5.6升

【詳解】（1）解：-10-3+4-2-8+16-2+12+8-5=10km．

答：他們沒有回到出發(fā)點A，停留在A地東邊10km處；

（2）解：第一次：-10=10；

第二次：-10-3=13；

第三次：-10-3+4=9；

第四次：-10-3+4-2=11；

第五次：-10-3+4-2-8=19；

第六次：-10-3+4-2-8+16=3；

第七次：-10-3+4-2-8+16-2=5；

第八次：-10-3+4-2-8+16-2+12=7；

第九次：-10-3+4-2-8+16-2+12+8=15；

第十次：-10-3+4-2-8+16-2+12+8-5=10．

∴在第五次紀(jì)錄時距A地最遠(yuǎn)．

故答案為：5；

（3）解：?é-10+-3++4+-2+-8++16+-2++12++8+-5?ù′0.08

=70′0.08

=5.6（升）．

答：共耗油5.6升．

考點3.利用有理數(shù)減法求數(shù)軸上兩點間的距離

8．“數(shù)形結(jié)合”是重要的數(shù)學(xué)思想．如：|3-(-2)|表示3與-2差的絕對值，實際上也可以理解為3與-2在

數(shù)軸上所對應(yīng)的兩個點之間的距離．進一步地，數(shù)軸上兩個點A，B所對應(yīng)的數(shù)分別用a，b表示，那么A，

B兩點之間的距離表示為AB=|a-b|．利用此結(jié)論，回答以下問題：

第11頁共33頁.

(1)數(shù)軸上-2和5這兩點之間的距離為．

(2)若x表示一個實數(shù)，|x+2|+|x-4|的最小值為．

(3)直接寫出所有符合條件的x，使得|x-2|+|x+5|=9，則x的值為．

【答案】(1)7

(2)6

(3)-6或3

【詳解】（1）|(-2)-5|=7．

故答案為：7；

（2）|x+2|+|x-4|表示x到-2和4的距離之和，

當(dāng)x<-2時，|x+2|+|x-4|>6；

當(dāng)-2￡x￡4時，|x+2|+|x-4|=6；

當(dāng)x>4時，|x+2|+|x-4|>6，

故|x+2|+|x-4|最小值為6．

故答案為：6；

（3）|x-2|+|x+5|=9表示x到-2和4的距離之和等于9，

-5￡x￡2時，|x-2|+|x+5|=7，

當(dāng)x<-5時，x=-5-1=-6；

當(dāng)x>2時，x=2+1=3．

故答案為-6或3．

9.已知數(shù)軸上A、B兩點所對應(yīng)的數(shù)分別是1和3，P為數(shù)軸上任意一點，對應(yīng)的數(shù)為x．

（1）則A、B兩點之間的距離為________；

（2）式子|x-1|+|x-3|+LL+|x-2017|+|x-2019|的最小值為________．

【答案】2；510050．

【詳解】（1）A、B兩點之間的距離為3-1=2，

故答案為：2；

（2）由已知條件可知，|x-a|表示數(shù)x到數(shù)a的距離，

只有當(dāng)x到1的距離等于x到2019的距離時，式子即可取最小值，

1+2019

\當(dāng)x==1010時，|x-1|+|x-3|++|x-2017|+|x-2019|取最小值，

2LL

最小值為：|1010-1|+|1010-3|+LL+|1010-2017|+|1010-2019|

=1009+1007+1005+L1+1+L+1005+1007+1009

=2′(1009+1007+1005+L1)

第12頁共33頁.

(1009+1)′505

=2′

2

=510050

10.數(shù)學(xué)實驗室：點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A、B

兩點之間的距離AB＝|a﹣b|；利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問題：

①數(shù)軸上表示1和﹣5的兩點之間的距離是．

②數(shù)軸上表示x和﹣2的兩點之間的距離表示為．?dāng)?shù)軸上表示x和7的兩點之間的距離表示為．

③若x表示一個有理數(shù)，則|x﹣2|+|x+4|的最小值＝．

④若x表示一個有理數(shù)，且|x+1|+|x﹣4|＝5，則滿足條件的所有整數(shù)x的和是．

⑤若x表示一個有理數(shù)，且|x﹣3|+|x+1|＝8，則滿足條件的x的所有值是．

【分析】①利用數(shù)形結(jié)合思想和題干中的結(jié)論解答即可；

②利用數(shù)形結(jié)合思想和題干中的結(jié)論解答即可；

③利用數(shù)形結(jié)合思想和題干中的結(jié)論解答即可；

④利用數(shù)形結(jié)合思想和題干中的結(jié)論將滿足條件的所有整數(shù)一一列舉，并把它們相加即可得出結(jié)論；

⑤利用數(shù)形結(jié)合思想和題干中的結(jié)論結(jié)合絕對值的意義解答即可．

【解答】解：①數(shù)軸上表示1和﹣5的兩點之間的距離是|1﹣（﹣5）|＝6，

故答案為：6；

②數(shù)軸上表示x和﹣2的兩點之間的距離表示為|x+2|，

數(shù)軸上表示x和7的兩點之間的距離表示為|a﹣7|，

故答案為：|x+2|；|x﹣7|；

③∵|x﹣2|+|x+4|是表示x的點到表示2，﹣4兩點的距離之和，

∴當(dāng)x在2和﹣4之間時，|x﹣2|+|x+4|的值最小，最小值為|2﹣（﹣4）|＝6，

故答案為：6；

④∵|x+1|+|x﹣4|＝5是表示x的點到表示﹣1，4兩點的距離之和為5，

又表示﹣1，4兩點的距離之和為5，

∴數(shù)x在﹣1和4之間，

∵x為整數(shù)，

∴滿足條件的所有整數(shù)x的值為：﹣1，0，1，2，3，4，

∴滿足條件的所有整數(shù)x的和是﹣1+0+1+2+3+4＝9，

故答案為：9；

⑤∵|x﹣3|+|x+1|＝8是表示x的點到表示﹣1，3兩點的距離之和為8，

又∵3﹣（﹣1）＝4，

∴表示x的點可能在3的右側(cè)或在﹣1的左側(cè)，

即x＞3或x＜﹣1．

第13頁共33頁.

當(dāng)x＞3時，

∵|x﹣3|+|x+1|＝8，

∴x﹣3+x+1＝8，

解得：x＝5；

當(dāng)x＜﹣1時，

∵|x﹣3|+|x+1|＝8．

∴3﹣x﹣x﹣1＝8，

解得：x＝﹣3，

綜上，滿足條件的x的所有值是5和﹣3．

故答案為：5和﹣3．

【點評】本題主要考查了有理數(shù)的減法，絕對值，數(shù)軸，利用數(shù)形結(jié)合的方法解答是解題的關(guān)鍵．

考點4：利用數(shù)軸信息進行有理數(shù)的加減運算

11．郵遞員騎車從郵局出發(fā)，先向西騎行2km到達(dá)A村，繼續(xù)向西騎行3km到達(dá)B村，然后向東騎行9km

到達(dá)C村，最后回到郵局．

(1)以郵局為原點，以向東方向為正方向，以1個單位表示1km，在該數(shù)軸上表示A，B，C三個村莊的位置；

(2)C村離A村有多遠(yuǎn)？

(3)郵遞員一共騎行了多少千米？

【答案】(1)答案見解析

(2)6千米

(3)18千米

【詳解】（1）解：

（2）解：C村離A村的距離為4--2=6(km)；

（3）解：郵遞員一共行駛了2+3+9+4=18（千米）．

12.如圖，是北京S1線地鐵的分布示意圖，其中橋戶營、四道橋、金安橋、蘋果園四站在同一條直線上．如

果在圖中以正東為正方向建立數(shù)軸，橋戶營站、蘋果園站表示的數(shù)分別是-4，2，那么金安橋站表示的數(shù)

是___________．

第14頁共33頁.

【答案】0

【詳解】∵橋戶營站、蘋果園站表示的數(shù)分別是-4，2，

∴橋戶營站與蘋果園站的距離是2-（-4）=6，

∵橋戶營站與蘋果園站之間共有三個單位長度，

∴每個單位長度表示6?3=2，

∴金安橋表示的數(shù)是2-2=0，

故答案為：0．

13．A，B兩個動點在數(shù)軸上同時做勻速運動，運動方向不變，它們的運動時間和在數(shù)軸上的位置所對應(yīng)的

數(shù)記錄如表．

(1)根據(jù)題意，填寫下列表格：

時間（秒）057

A點在數(shù)軸上的位置100___________

B點在數(shù)軸上的位置___________1220

(2)A、B兩點在___________秒時相遇，此時A、B點對應(yīng)的數(shù)是___________；

(3)在A、B兩點上分別安裝一個感應(yīng)器，感應(yīng)距離為3至8（即當(dāng)兩點距離大于等于3，小于等于8時會一

直發(fā)出震動提示，距離太遠(yuǎn)或太近都不提示）．

①A、B兩點開始運動后，經(jīng)過幾秒感應(yīng)器開始發(fā)出提示？第一次提示持續(xù)多長時間？

②A、B兩點開始運動后，經(jīng)過幾秒感應(yīng)器開始發(fā)出第二次提示？

【答案】(1)見解析

(2)3；4

55

(3)①A、B兩點開始運動后，經(jīng)過秒感應(yīng)器開始發(fā)出提示，第一次提示持續(xù)秒；②A、B兩點開始運動后，

36

經(jīng)過3.5秒感應(yīng)器開始發(fā)出第二次提示

【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，得出點A、B運動速度和方向，求出點A在7秒時的位置和點B在0秒

時的位置即可；

（2）根據(jù)A、B兩點間的距離和A、B運動速度求出A、B兩點相遇時間；根據(jù)A、B兩點在0秒時的位置，

結(jié)合運動速度和方向，求出相遇時，A、B點對應(yīng)的數(shù)即可；

（3）①根據(jù)A、B兩點間的距離和A、B運動速度，結(jié)合題意列出算式計算即可得出開始運動到發(fā)出第一次

提示的時間；算出第一次持續(xù)振動過程中通過的單位長度，然后根據(jù)兩個點的速度求出持續(xù)振動時間即可；

②根據(jù)A、B運動速度，開始運動到第二次振動需要運動的總路程，算出時間即可．

【詳解】（1）解：∵0秒時，點A在數(shù)軸上的位置為10，

5秒時，點A在數(shù)軸上的位置為0，

10-0

∴點A向左運動，且運動速度為=2個單位/秒，

5

第15頁共33頁.

∴7秒時，點A在數(shù)軸上的位置為10-2′7=-4；

∵5秒時，點B在數(shù)軸上的位置為12，

7秒時，點B在數(shù)軸上的位置為20，

20-12

∴點B向右運動，且運動速度為=4個單位/秒，

7-5

∴0秒時，點B在數(shù)軸上的位置為20-4′7=-8，

時間（秒）057

A點在數(shù)軸上的位置100-4

B點在數(shù)軸上的位置-81220

（2）解：根據(jù)解析（1）可知，點A向左運動，每秒運動2個單位，點B向右運動，每秒運動4個單位，

則A、B兩點相遇時間為：

10--8

=3（秒）；

2+4

相遇時A、B兩點對應(yīng)的數(shù)為10-2′3=4；

故答案為：3；4．

（3）解：①當(dāng)A、B兩點相距8個單位時，發(fā)出提示，

10--8-85

∴感應(yīng)器開始發(fā)出提示的時間為：=（秒）；

2+43

∵當(dāng)A、B兩點相距3個單位時，停止發(fā)出提示，

∴持續(xù)8-3=5個單位，

55

∴第一次提示持續(xù)時間為=（秒），

2+46

55

即A、B兩點開始運動后，經(jīng)過秒感應(yīng)器開始發(fā)出提示，第一次提示持續(xù)秒；

36

②∵當(dāng)A、B兩點相遇后，再相距3個單位開始第二次提示，

10--8+3

∴A、B兩點開始運動后，到第二次發(fā)出提示的時間為：=3.5（秒），

2+4

A、B兩點開始運動后，經(jīng)過3.5秒感應(yīng)器開始發(fā)出第二次提示．

【點睛】本題主要考查了數(shù)軸上的動點問題，數(shù)軸上兩點之間的距離，解題的關(guān)鍵是根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)得

出A、B兩點運動的速度和方向．

考點5：新定義運算問題

第16頁共33頁.

14．（23-24七年級上·新疆阿克蘇·期末）規(guī)定符號a,b表示兩個數(shù)中較小的一個，規(guī)定符號a,b表示兩

é23ù

個數(shù)中較大的一個，例如：2,1=1，2,1=2，則-2,3+-,-的值為（）

?ê34?ú

81179

A．-B．-C．D．

3434

【答案】A

【分析】

本題考查了新定義，有理數(shù)的加減；

é23ù2

根據(jù)新規(guī)定求出-2,3=-2,-,-=-，然后計算即可．

?ê34?ú3

é23ù2

【詳解】解：由題意得：-2,3=-2,-,-=-，

?ê34?ú3

é23ù28

∴-2,3+-,-=-2-=-，

?ê34?ú33

故選：A．

15．閱讀材料尋找共同存在的規(guī)律：有一個運算程序a⊕b＝n可以使（a+c）⊕b＝n+c，a⊕（b+c）＝

n﹣2c，如果1⊕1＝2，那么2020⊕2020＝．

【答案】﹣2017

【詳解】解：由（a+c）⊕b＝n+c，a⊕（b+c）＝n﹣2c可得出，（a+c）⊕b＝a⊕b+c＝n+c，a⊕（b+c）＝

a⊕b﹣2c＝n﹣2c，

∵1⊕1＝2，

∴（1+2019）⊕1＝1⊕1+2019＝2+2019＝2021，即2020⊕1＝2021．

又∵2020⊕（1+2019）＝2020⊕1﹣2×2019＝2021﹣2×2019＝2021﹣4038＝﹣2017，

∴2020⊕2020＝﹣2017．

16.設(shè)x表示不大于x的最大整數(shù)，如3.2=3,-2=-2，

（1）6.9=___________；

（2）-7.1--3=__________；

【答案】6-5

【詳解】解：（1）由：x表示不大于x的最大整數(shù)，

可得：6.9=6；

故答案為：6；

（2）解：-7.1=-8,-3=-3，

∴-7.1--3=-8--3=-5；

故答案為：-5．

第17頁共33頁.

考點6：有理數(shù)的加減在實際生活中的應(yīng)用

17．（2023秋·江蘇鹽城·七年級統(tǒng)考期末）當(dāng)前，手機移動支付已經(jīng)成為新型的消費方式，中國正在向無現(xiàn)

金社會發(fā)展．下表是媽媽元旦當(dāng)天的微信零錢支付明細(xì)：則元旦當(dāng)天，媽媽微信零錢最終的收支情況是

（）

微信轉(zhuǎn)賬+50.00

掃二維碼付款-75.00

微信紅包+66.00

便民菜站-18.00

A．收入23元B．支出23元C．收入116元D．支出93元

【答案】A

【分析】根據(jù)收入記作“+”，支出記作“-”，收入與支出之和就是結(jié)余錢數(shù)，然后計算得出結(jié)果．

【詳解】解：50-75+66-18

=-25+66-18

=23（元），

∴元旦當(dāng)天，媽媽微信零錢最終的收支情況是收入23元．

故選：A．

【點睛】本題考查了正負(fù)數(shù)的表示方法以及有理數(shù)的加減運算．正確理解正數(shù)與負(fù)數(shù)的相反意義是解題的

關(guān)鍵．

18．小明同學(xué)將2B鉛筆筆尖從原點O開始沿數(shù)軸進行連續(xù)滑動，先將筆尖沿正方向滑動1個單位長度完成

第一次操作，再沿負(fù)方向滑動2個單位長度完成第二次操作；又沿正方向滑動3個單位長度完成第三次操

作；再沿負(fù)方向滑動4個單位長度完成第四次操作，…，以此規(guī)律繼續(xù)操作，經(jīng)過第99次操作后筆尖停留

在點P處，則點P對應(yīng)的數(shù)是（）．

A．0B．-10C．-25D．50

【答案】D

【詳解】解：規(guī)定正方向為正、負(fù)方向為負(fù)，則

1-2+3-4+L+99=1-2+3-4+L+97-98+99=-49+99=50，

故選：D．

19．某地的國際標(biāo)準(zhǔn)時間是指該地與格林尼治的時差．以下為同一時刻5個城市的國際標(biāo)準(zhǔn)時間（正數(shù)表

示當(dāng)?shù)貢r間比格林尼治時間早的時數(shù)，負(fù)數(shù)表示當(dāng)?shù)貢r間比格林尼治時間遲的時數(shù)）：

城市倫敦北京東京多倫多紐約

國際標(biāo)準(zhǔn)時間0+8+9-4-5

第18頁共33頁.

(1)倫敦時間中午12點時，北京的當(dāng)?shù)貢r間是_________點，紐約的當(dāng)?shù)貢r間是_________點：

(2)某人在北京首都機場乘坐中午12點整的航班飛往倫敦，若飛行時間為12小時，則此人到達(dá)倫敦時，倫

敦的當(dāng)?shù)貢r間是幾點?（以上時刻均用24小時制作答）

【答案】(1)20，7

(2)16點

【詳解】（1）12+8=20（時），12+(-5)=7（時）；

答：北京的當(dāng)?shù)貢r間是20點，紐約的當(dāng)?shù)貢r間是7點；

（2）12+12-8

=16（時）；

答：倫敦的當(dāng)?shù)貢r間是16點．

20．為了慶祝中華人民共和國成立72周年，空軍航空開放活動在其機場舉行，某特技飛行隊做特技表演時，

其中一架J31型飛機起飛0.5km后的高度（上升記為正）變化為：+2.5km，－1.2km，+1.1km，－1.4km．

(1)求該飛機完成這四個表演動作后離地面的高度；

(2)已知飛機平均上升1km需消耗5L燃油，平均下降1km需消耗3L燃油，那么這架飛機在做完這四個表

演動作過程中，一共消耗了多少升燃油？

【答案】(1)1.5km

(2)25.8升

【詳解】（1）解：0.5+2.5-1.2+1.1-1.4=1.5（千米）；

答：飛機完成這四個表演動作后離地面的高度1.5千米；

（2）解：(2.5+1.1)′5+(1.2+1.4)′3

=3.6′5+2.6′3

=18+7.8

=25.8（升)，

答：一共消耗了25.8升燃油．

21．小穎大學(xué)暑假期間在某玩具廠勤工儉學(xué)．廠里規(guī)定每周工作6天，每人每天需生產(chǎn)A玩具30個，每周

生產(chǎn)180個．下表是小穎某周實際的生產(chǎn)情況（增產(chǎn)記為正、減產(chǎn)記為負(fù)）：

星期一二三四五六

增減產(chǎn)值＋9-7-4＋8-1＋6

(1)根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知小穎星期二生產(chǎn)玩具_(dá)__________個；

(2)根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知小穎本周實際生產(chǎn)玩具_(dá)__________個；

(3)該廠規(guī)定：每生產(chǎn)一個玩具可得工資5元，若超額完成任務(wù)，則超過部分每個另獎3元，少生產(chǎn)一個則

倒扣2元；工資采用“每日計件工資制”或“每周計件工資制”．小穎本周應(yīng)選擇哪種工資形式更合算？請說明

理由．

第19頁共33頁.

【答案】(1)23

(2)191

(3)選擇每日計件工資制更合算，見解析

【詳解】（1）小穎星期二生產(chǎn)玩具30-7=23（個）；

故答案為：23；

（2）本周實際生產(chǎn)玩具：30′6+(+9-7-4+8-1+6)=191（個）；

故答案為：191；

（3）每日計件工資制：

5′191+(9+8+6)′3-(7+4+1)′2

=955+69-24

=1000（元），

每日計件工資制，小穎本周的工資總額是1000元；

每周計件工資制：

5′191+(191-180)′3=988（元），

每周計件工資制，小穎本周的工資總額是988元；

988<1000，

∴小穎應(yīng)選擇每日計件工資制更合算．

考點7:規(guī)律探究創(chuàng)新題

22．（23-24七年級上·浙江金華·期末）觀察前三個圖形，利用得到的計算規(guī)律，得到第四個圖形的計算結(jié)

果為（）

A．-3B．-5C．5D．9

【答案】D

【分析】根據(jù)前三個圖形得到規(guī)律：左上角與右下角的兩數(shù)之和減去右上角與左下角的兩數(shù)之和，即可得

到答案．此題考查了有理數(shù)的加減混合運算，根據(jù)圖形，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：由題意可得，

1+4-2+3=5-5=0，

2+4--2+3=6-1=5，

-3+5--1+6=2-5=-3，

∴-3+5--1-6=2+7=9，

故選：D．

第20頁共33頁.

1111

23．觀察下列各式的特征：|7-6|=7-6；|6-7|=7-6；-=-；

2525

1111

-=-，根據(jù)規(guī)律，解決相關(guān)問題：

5225

（1）把下列各式寫成去掉絕對值符號的形式（不能寫出計算結(jié)果）；

①|(zhì)7-21|=_____________；

77

②-=___________．

1718

（2）當(dāng)a>b時，|a-b|=___________；當(dāng)a<b時，|a-b|=__________．

（3）有理數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖，則化簡|a-2|的結(jié)果為___________

A．a(chǎn)-2B．a(chǎn)+2C．2-a