第06講 有理數(shù)的乘法（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)+4個(gè)考點(diǎn)+易錯(cuò)分析）原卷版

第06講有理數(shù)的乘法

（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)+4個(gè)考點(diǎn)+易錯(cuò)分析）

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)1.了解有理數(shù)乘法的意義,掌握有理數(shù)的乘法法則及多

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）個(gè)有理數(shù)相乘的符號(hào)法則,會(huì)進(jìn)行有理數(shù)的乘法運(yùn)算.

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三2.理解有理數(shù)的乘法運(yùn)算律,并會(huì)運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算

模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)3.理解有理數(shù)的倒數(shù)的意義,會(huì)求一個(gè)有理數(shù)的倒數(shù)

4.能利用有理數(shù)的乘法解決實(shí)際問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)1.有理數(shù)的乘法法則（重點(diǎn)）

有理數(shù)的乘法

（1）有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘．

（2）任何數(shù)同零相乘，都得0．

【例1】計(jì)算：

(1)5×(－9);(2)(－5)×(－9)；

(3)(－6)×(－9);(4)(－6)×0；

11

(5)(－)×.

34

第1頁(yè)共15頁(yè).

1

【變式1-1】計(jì)算：-′5等于．

5

2?3?

【變式1-2】′?-÷=___________；

5è4?

3?2?

【變式1-3】計(jì)算：2′?-÷=_________．

8è19?

知識(shí)點(diǎn)2.倒數(shù)的概念

（1）倒數(shù)：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)．

11

一般地，a?=1（a≠0），就說(shuō)a（a≠0）的倒數(shù)是．

??

（2）方法指引：

①倒數(shù)是除法運(yùn)算與乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化的“橋梁”和“渡船”．正像減法轉(zhuǎn)化為加法及相反數(shù)一樣，非常重

要．倒數(shù)是伴隨著除法運(yùn)算而產(chǎn)生的．

②正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)，而0沒(méi)有倒數(shù)，這與相反數(shù)不同．

【規(guī)律方法】求相反數(shù)、倒數(shù)的方法

求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)時(shí)，只需在這個(gè)數(shù)前面加上“﹣”即可

求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)求一個(gè)整數(shù)的倒數(shù)，就是寫(xiě)成這個(gè)整數(shù)分之一

求一個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，就是調(diào)換分子和分母的位置

注意：0沒(méi)有倒數(shù)．

【例2】求下列各數(shù)的倒數(shù)．

32

(1)－；(2)2；(3)－1.25；(4)5.

43

【變式2-1】．（23-24七年級(jí)上·廣東江門(mén)·期中）若一個(gè)數(shù)的倒數(shù)是-0.25，則這個(gè)數(shù)是（）

A．-4B．4C．-0.25D．0.25

【變式2-2】2024春·廣東珠?！て吣昙?jí)開(kāi)學(xué)考試）一個(gè)數(shù)的倒數(shù)是它本身，那么這個(gè)數(shù)是（）

A．0B．0或1C．1或-1D．0或±1

【變式2-3】（23-24七年級(jí)上·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）一個(gè)數(shù)的相反數(shù)是-0.1，則這個(gè)數(shù)的倒數(shù)

是．

知識(shí)點(diǎn)3.多個(gè)有理數(shù)相乘（難點(diǎn)）

多個(gè)有理數(shù)相乘的法則：

①幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶

數(shù)個(gè)時(shí)，積為正．

②幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0．

第2頁(yè)共15頁(yè).

（4）方法指引：

①運(yùn)用乘法法則，先確定符號(hào)，再把絕對(duì)值相乘．

②多個(gè)因數(shù)相乘，看0因數(shù)和積的符號(hào)當(dāng)先，這樣做使運(yùn)算既準(zhǔn)確又簡(jiǎn)單．

【例3】計(jì)算：

(1)－2×3×(－4)；

(2)－6×(－5)×(－7)；

(3)0.1×(－0.001)×(－1)；

(4)(－100)×(－1)×(－3)×(－0.5)；

(5)(－17)×(－49)×0×(－13)×37.

【變式3-1】（2023秋·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：

?1?

(1)-2′-7′+5′?-÷；

è7?

?7?

(2)-0.25′?-÷′4′-18．

è9?

【變式3-2】（23-24七年級(jí)上·浙江金華·階段練習(xí)）計(jì)算：

5?1?

(1)′-1.2′?-÷；

4è9?

?3??1??8?

(2)?-÷′?-÷′?-÷；

è7?è2?è15?

第3頁(yè)共15頁(yè).

知識(shí)點(diǎn)4.有理數(shù)的乘法運(yùn)算律（難點(diǎn)）

乘法結(jié)合律：(a×b)×c＝a×(b×c)；

乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c.

【例4】計(jì)算：

53

(1)(－＋)×(－24)；

68

45

(2)(－7)×(－)×.

314

?111?

【變式4-1】（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算?1-++÷′-12，運(yùn)用哪種運(yùn)算律可避免通分

è234?

（）

A．加法交換律和加法結(jié)合律B．乘法結(jié)合律C．乘法交換律D．分配律

?13?

【變式4-2】計(jì)算：-6′?-÷=．

è62?

?131?

【變式4-3】計(jì)算：?-+÷′-12

è2412?

222

【例5】計(jì)算：－32×＋(－11)×(－)－(－21)×.

333

【變式5-1】（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）用適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行簡(jiǎn)便的計(jì)算：

31?1?

54′--54′+54′?-÷

42è4?

第4頁(yè)共15頁(yè).

【變式5-2】簡(jiǎn)便運(yùn)算

1?1??1?

-5′+7′?-÷+-12′?-÷

32è32?è32?

【變式5-3】（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）簡(jiǎn)便計(jì)算

15

-48′0.125+48′+-48′

84

易錯(cuò)點(diǎn)利用分配律時(shí)出錯(cuò)

【例6】．（23-24七年級(jí)上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）閱讀下面題目的運(yùn)算過(guò)程，并解決下列問(wèn)題．

17′25-6′25+7′(-2)-13′25

解：原式=17′25-6′25-13′25+7′(-2)①

=(17-6-13)′25+7′(-2)②

=(-2)′25+7′(-2)③

=-50-14④

=-36⑤

(1)上述計(jì)算過(guò)程，在第步出現(xiàn)錯(cuò)誤，本題運(yùn)算的正確結(jié)果是．

?3??2?4

(2)結(jié)合上述解法給你的啟發(fā)，計(jì)算：5′?-÷--9′?-÷+-5′．

è7?è3?7

第5頁(yè)共15頁(yè).

【變式6-1】．（22-23七年級(jí)上·廣西南寧·期中）運(yùn)算律是解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)，在運(yùn)算中有重要的作

用，充分運(yùn)用運(yùn)算律能使計(jì)算簡(jiǎn)便高效．

?5?

例如：?-125÷?-5．

è7?

?5?51?5?115111

解：?-125÷?-5=125′=?125+÷′=125′+′=25+=25．

è7?75è7?557577

?32?1

(1)計(jì)算：?--÷?，A同學(xué)的計(jì)算過(guò)程如下：

è23?6

?32??3?2

原式=?--÷′6=?-÷′6+′6=-9+4=-5．

è23?è2?3

請(qǐng)你判斷A同學(xué)的計(jì)算過(guò)程是否正確，若不正確，請(qǐng)你寫(xiě)出正確的計(jì)算過(guò)程．

4?3?3

(2)請(qǐng)你參考例題，用運(yùn)算律簡(jiǎn)便計(jì)算（請(qǐng)寫(xiě)出具體的解題過(guò)程）：999′118+333′?-÷-999′118．

5è5?5

【變式6-2】（2023秋·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）學(xué)習(xí)有理數(shù)的乘法后，老師給同學(xué)們一道這樣的題目：計(jì)算

24

39′-5，看誰(shuí)算的又快又對(duì)．

25

9999994

小瑞很快給出了他的解法：原式=-′5=-=-199．

2555

小晨經(jīng)過(guò)思考后也給出了他的解法：

?24?

原式=?39+÷′-5

è25?

=39′-5+（）

=-195+

=．

(1)請(qǐng)補(bǔ)全小晨的解題過(guò)程，并在括號(hào)里寫(xiě)出他用了什么運(yùn)算原理?

(2)你還有不同于小瑞、小晨的解法嗎?

15

(3)用你認(rèn)為最合適的方法計(jì)算：29′-8

16

第6頁(yè)共15頁(yè).

考點(diǎn)1：相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的綜合應(yīng)用

a＋b

1.已知a與b互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，m的絕對(duì)值為6，求－cd＋|m|的值．

m

2．（23-24七年級(jí)上·陜西西安·期末）已知a的倒數(shù)是-3，b的絕對(duì)值是最小的正整數(shù)，且a>b，求a-b

的相反數(shù)．

a+b

3．（23-24七年級(jí)上·云南昆明·期中）若a與b互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，m=1，求+2m2-3cd

4m

的值．

4．（23-24七年級(jí)上·新疆克孜勒蘇·階段練習(xí)）請(qǐng)根據(jù)圖示的對(duì)話解答下列問(wèn)題．

已知a與2互為相反數(shù)

1

b與-互為倒數(shù)

3

(1)a=______，b=______．

(2)已知m-a+b+n=0，求mn的值．

第7頁(yè)共15頁(yè).

5．（23-24七年級(jí)上·廣東廣州·期末）（1）如果a，b互為相反數(shù)（a，b均不為0），c，d互為倒數(shù)，

ba+bb

m=4，則=______，求-cd+′m的值；

a2024a

1

（2）若實(shí)數(shù)a，b滿足a=3，b=5，且a<b，求a+b的值．

3

6．（23-24七年級(jí)上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期末）已知a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，m的絕對(duì)值等于4，

p是數(shù)軸上原點(diǎn)表示的數(shù)．

(1)分別直接寫(xiě)出a+b，cd，m，p的值；

a+b

(2)p-cd++m的值是多少？

cd

考點(diǎn)2：有理數(shù)乘法的新定義問(wèn)題

7.若定義一種新的運(yùn)算“*”，規(guī)定a*b＝ab－3a.求3*(－4)的值．

8．（22-23七年級(jí)上·甘肅蘭州·期中）已知x，y為有理數(shù)，如果規(guī)定一種運(yùn)算“*”，x*y=xy+1，則2*5*-3

的值是（）

A．-30B．-29C．-33D．-32

100!

9.若“！”是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)，并且1!=1，2!=2′1=2，3!=3′2′1=6?則=．

99!

?3??4?

10．（23-24七年級(jí)上·河南周口·期中）若“※”是新規(guī)定的某種運(yùn)算符號(hào)，設(shè)a※b=2a-3b，則?-÷※?-÷

è4?è3?

的值為．

第8頁(yè)共15頁(yè).

11．（22-23七年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）七年級(jí)小梅同學(xué)在學(xué)習(xí)完第二章《有理數(shù)》后，對(duì)運(yùn)算產(chǎn)生了

濃厚的興趣，她借助有理數(shù)的運(yùn)算，定義了一種新運(yùn)算“?”，規(guī)則如下：a?b=a′b+2′a-b．

(1)求-1?-3的值；

(2)求-4??é2?-5?ù-3的值．

考點(diǎn)3:運(yùn)用有理數(shù)的乘法運(yùn)算解決實(shí)際問(wèn)題

12.我市旅游局發(fā)布統(tǒng)計(jì)報(bào)告：國(guó)慶期間，溱湖風(fēng)景區(qū)在7天假期中每天接待游客的人數(shù)變化如下表(正數(shù)

表示比前一天多的人數(shù)，負(fù)數(shù)表示比前一天少的人數(shù)).

10月10月10月10月10月10月10月

日期

1日2日3日4日5日6日7日

人數(shù)變化

單位：萬(wàn)＋1.2＋0.8＋0.2－0.2－0.6＋0.2－1

人

若9月30日的游客人數(shù)為0.6萬(wàn)人，10月1日～10月3日門(mén)票為每人150元，10月4日～10月5日

門(mén)票為每人120元，10月6日～10月7日門(mén)票為每人100元，問(wèn)國(guó)慶期間溱湖風(fēng)景區(qū)門(mén)票收入是多少元？

13.某果農(nóng)把自家果園的草莓包裝后再進(jìn)行銷售，原計(jì)劃每天賣10箱，但由種種原因，實(shí)際每天的銷售量與

計(jì)劃量相比有所增減，下表是某個(gè)星期的銷售情況（超額記為正，不足額記為負(fù)，單位：箱）

星期一二三四五六日

與計(jì)劃量的差值+4-3-2+7-6+18-5

(1)根據(jù)表格可知，銷售量最多的一天比最少的一天多賣出__________箱；

(2)本周實(shí)際銷售總量超過(guò)或不足計(jì)劃數(shù)量多少箱？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由；

(3)若每箱草莓的售價(jià)為65元，已知果園有3個(gè)工人，每人每天的開(kāi)支為80元，賣出每箱草莓需支出包裝

費(fèi)5元，那么該果農(nóng)本周共獲利多少元？

第9頁(yè)共15頁(yè).

14．（2023秋·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）某自行車廠一周計(jì)劃生產(chǎn)700輛自行車，平均每天生產(chǎn)100輛，由于

各種原因?qū)嶋H每天生產(chǎn)量與計(jì)劃量相比有出入．下表是某周的生產(chǎn)情況（超產(chǎn)為正、減產(chǎn)為負(fù)）：

星期一二三四五六日

增減+5-2-4+13-10+16-9

(1)根據(jù)記錄可知前四天共生產(chǎn)輛；

(2)產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)輛；

(3)該廠實(shí)行計(jì)件工資制，每周生產(chǎn)一輛自行車給工人60元，超額完成任務(wù)超額部分每輛再獎(jiǎng)15元，少生

產(chǎn)一輛扣20元，那么該廠工人這一周的工資總額是多少元？

考點(diǎn)4：有理數(shù)乘法的規(guī)律探究

15．（23-24七年級(jí)上·江蘇連云港·階段練習(xí)）【閱讀】我們學(xué)習(xí)了有理數(shù)的加法法則與有理數(shù)的乘法法

則．在學(xué)習(xí)此內(nèi)容時(shí)，掌握了法則，同時(shí)也學(xué)會(huì)了分類思考．

【探索】

（1）若ab=8，則a+b的值為：①正數(shù)，②負(fù)數(shù)，③0．你認(rèn)為結(jié)果可能是；（填序號(hào)）

（2）若a+b=-6，且a、b為整數(shù)，則ab的最大值為；

【拓展】

（3）數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)有理數(shù)a、b，若ab<0，試比較a+b與0的大?。?/p>

第10頁(yè)共15頁(yè).

16．（23-24七年級(jí)上·湖南岳陽(yáng)·期中）觀察下列各式：

11111111

第1個(gè)等式：-1′=-1+=-；第2個(gè)等式：-′=-+=-；

22223236

11111

第3個(gè)等式：-′=-+=-；……

343412

(1)根據(jù)上述規(guī)律寫(xiě)出第5個(gè)等式：；

(2)第n個(gè)等式：；（用含n的式子表示）

?1??11??11??11?

(3)計(jì)算：?-1′÷+?-′÷+?-′÷+××××××+?-′÷．

è2?è23?è34?è20222023?

一、單選題

1．（23-24七年級(jí)上·吉林松原·階段練習(xí)）下列運(yùn)算結(jié)果為正數(shù)的是（）

A．(-5)′(-2)B．(-4)′0

?9??1?

C．3′?-÷D．(-8)′?-÷′(-6)．

è2?è3?

2．（23-24七年級(jí)上·安徽淮北·階段練習(xí)）下列計(jì)算結(jié)果最大的是（）

A．(-1)′3′4′(-2)B．(-5)′(-3)′4′(-2)

C．2′(-6)′(-8)′(-4)D．2024′(-13)′(-14)′0

3．（23-24七年級(jí)上·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）下列算式中，積為負(fù)數(shù)的是（）

12

A．0′-5B．4′0.5′10C．1.5′-2D．-2′′-

53

二、填空題

1

4．（23-24七年級(jí)上·浙江·期末）計(jì)算：-′9=．

3

5．（22-23七年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）絕對(duì)值小于3.5的整數(shù)的積為．

6．（23-24七年級(jí)上·廣東深圳·期中）對(duì)于任意有理數(shù)a，b，規(guī)定a#b=ab+1，如

-3#5=-3′5+1=-14，則-2#-7=．

7．（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：-3.14′35.2+6.28′-23.3-1.57′36.4=．

第11頁(yè)共15頁(yè).

三、解答題

?355?

8．（23-24七年級(jí)上·湖南常德·期中）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：-24′?--÷

è4812?

9．（23-24七年級(jí)上·四川眉山·階段練習(xí)）

?1??1??1??1??1??1??1??1?

?1-÷′?1+÷′?1-÷′?1+÷′?1-÷′?1+÷′L′?1-÷′?1+÷．

è2?è2?è3?è3?è4?è4?è99?è99?

10．（23-24七年級(jí)上·重慶忠縣·階段練習(xí)）已知-x=20，y=5，

(1)若x>y，求x+y的值；

(2)若xy<0，求x+y的值．

11．（22-23七年級(jí)上·河南許昌·階段練習(xí)）請(qǐng)你參考黑板中老師的講解用運(yùn)算律簡(jiǎn)便計(jì)算：

(1)999′15

4?1?3

(2)999′118+999′?-÷-999′18

5è5?5

第12頁(yè)共15頁(yè).

12．（23-24七年級(jí)上·浙江紹興·階段練習(xí)）小明騎摩托車從咖啡店出發(fā)，在東西向的大道上送咖啡．如果

規(guī)定向東行駛為正，向西行駛為負(fù)，一天中小明的五次行駛記錄如下（單位：km）：-7，+8，-4，+6，

-5．

(1)求第五次咖啡送完時(shí)小明在咖啡店的什么方向？距離多少千米？

(2)若摩托車每千米耗油量為0.2升，小明從出發(fā)送第一次咖啡到送完五次咖啡后返回咖啡店共耗油多少升？

13．（23-24七年級(jí)上·天津?qū)幒印て谥校┏鲎廛囁緳C(jī)小張某天下午的營(yíng)運(yùn)都是在一條東西走向的大道上，如

果規(guī)定向東為正，向西為負(fù)，那么這天下午小張的行車路程（單位：千米）如下：+11，-2，+15，-12，

+10，-11，+5，-15，+18，-16

(1)當(dāng)小張將最后一位乘客送到目的地時(shí)，他離出車地點(diǎn)多少千米？

(2)若每千米的營(yíng)運(yùn)額為5元，則小張這天下午的總營(yíng)運(yùn)額為多少元？

(3)在(2)的條件下，如果營(yíng)運(yùn)成本為每千米1.5元，那么這天下午小張盈利元．

14．（23-24七年級(jí)上·廣東湛江·期中）如果a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，x的絕對(duì)值是2，y是數(shù)

a+b

軸負(fù)半軸上到原點(diǎn)的距離為1的數(shù)，求代數(shù)式+x2-cd+y2023的值．

x

?75?

15．計(jì)算：?--1÷′(-24)．

è126?

曉莉的計(jì)算過(guò)程如下：

75

解：原式=′(-24)-′(-24)-1′(-24)①

126

=-14-20-24②

=-58．③

請(qǐng)問(wèn)曉莉的計(jì)算過(guò)程正確嗎？如果不正確，請(qǐng)指出開(kāi)始出錯(cuò)的步驟，并寫(xiě)出正確的計(jì)算過(guò)程．

第13頁(yè)共15頁(yè).

?3??2?

16.計(jì)算：?-2÷′?-÷．

è8?è