第07講 有理數(shù)的乘方（人教版）（原卷版）

第07講有理數(shù)的乘方

【人教版】

·模塊一乘方的意義

·模塊二有理數(shù)的混合運(yùn)算

·模塊三課后作業(yè)

模塊一乘方的意義

有理數(shù)的乘方:

（1）求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪.

（2）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；0的任何正整數(shù)次冪都是0.

（3）a2是重要的非負(fù)數(shù)，即a2≥0；若a2+|b|=0a=0,b=0.

【考點(diǎn)1有理數(shù)的乘方的意義】

【例1.1】（2023七年級(jí)·全國(guó)·課堂例題）算式6×6×?×6可以表示為（）

10個(gè)6

A．610B．6×10C．6+10D．106

【例1.2】（2023七年級(jí)·河北廊坊·階段練習(xí)）(?3)5表示的意義是（）

A．?5乘3B．5個(gè)?3相乘C．5個(gè)?3相加D．3個(gè)?5相乘

3333

【例1.3】（七年級(jí)全國(guó)課堂例題）把×××寫成乘方的形式為，讀

2023··4444

作．

【變式1.1】（2023七年級(jí)·天津北辰·期中）對(duì)于算式(?3)4，正確的說法是（）

A．3是底數(shù)，4是指數(shù)B．3是底數(shù)，4是冪

C．﹣3是底數(shù)，4是冪D．﹣3是底數(shù)，4是指數(shù)

【變式1.2】（2023七年級(jí)·陜西渭南·期中）冪?43中的底數(shù)是s，指數(shù)是t，則??2?的值為．

【變式1.3】（2023七年級(jí)·河南信陽·期末）求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，事實(shí)上乘方的計(jì)算也

是轉(zhuǎn)化為乘法進(jìn)行計(jì)算，將式子?53寫成乘法算式的形式為．

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【考點(diǎn)2有理數(shù)乘方的運(yùn)算】

【例2.1】（2023·浙江杭州·二模）?33=（）

A．?9B．9C．?27D．27

2

【例2.2】（2023七年級(jí)·遼寧營(yíng)口·期末）在?(?2)，?32，?|?4|，?2，(?1)2024中，負(fù)數(shù)共有個(gè)．

5

【例2.3】2023七年級(jí)·浙江·專題練習(xí)）計(jì)算：

(1)(?1)2023=；

(2)(?0.2)2=；

2

1

=；

(3)?2

4

1

=．

(4)?12

【變式2.1】（2023七年級(jí)·安徽蕪湖·期中）不超過(?2.1)2的最大整數(shù)是．

【變式2.2】（2023七年級(jí)·四川德陽·階段練習(xí)）下列計(jì)算中正確的是（）

233

382426327

A．?2=?B．??=C．?=D．?=?

327393275125

【變式2.3】（2023七年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）火眼金睛（尋找錯(cuò)誤并糾正）

3

計(jì)算：4．

3

【陷阱】________．

【考點(diǎn)3利用計(jì)算器計(jì)算有理數(shù)的乘方】

【例3.1】（2023七年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）用計(jì)算器求25的值時(shí)，按鍵順序是()

A．B．

C．D．

【例3.2】（2023七年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）利用計(jì)算器，按照下列步驟按鍵，顯示結(jié)果為()

A．?10B．?32C．?2.5D．?7

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【例3.3】（2023七年級(jí)·河北唐山·期中）通過計(jì)算器計(jì)算發(fā)現(xiàn)：112=121，1112=12321，11112

=1234321……，按照以上的規(guī)律計(jì)算11111112的結(jié)果是（）

A．123454321B．1234564321

C．1234567654321D．123456787654321

【變式3.1】（2023七年級(jí)·山東煙臺(tái)·期中）若用課本上的計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，按鍵順序如下，則計(jì)算結(jié)果是．

【變式3.2】（2023·山東臨沂·一模）用型號(hào)為“大雁牌???570”的計(jì)算器計(jì)算(?2)10，按鍵順序正確的是

（）

A．((?)2)10=B．((?)2)×10=

C．(?)2??10=D．((?)2)??10=

【變式3.3】（2023七年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）用計(jì)算器計(jì)算：

（1）(?11)6；（2）167；（3）8.43；（4）(?5.6)3．

【考點(diǎn)4冪的性質(zhì)】

【例4.1】（2023七年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）任何一個(gè)有理數(shù)的偶次冪必是（）

A．負(fù)數(shù)B．零或正數(shù)C．正數(shù)D．零或負(fù)數(shù)

【例4.2】（2023七年級(jí)·陜西咸陽·期中）在(?5)4,(?5)5,?(?5)6,?|?(?5)7|中，負(fù)數(shù)有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【例4.3】（2023七年級(jí)·江蘇南京·階段練習(xí)）已知?為正整數(shù)，計(jì)算(?1)2??(?1)2?+1的結(jié)果是（）

A．1B．-1C．0D．2

【變式4.1】（2023七年級(jí)·河南漯河·階段練習(xí)）當(dāng)整數(shù)?為時(shí)，(?1)?=?1；若?是正整數(shù)，則

(?1)?+(?1)?+1=．

【變式4.2】（2023七年級(jí)·山東臨沂·階段練習(xí)）l米長(zhǎng)的小棒，第1次截止一半，第2次截去剩下的一半，

如此下去，第5次后剩下的小棒長(zhǎng)為（）米

．1．1．1．1

A12B32C64D128

【變式4.3】（2023七年級(jí)·山東淄博·階段練習(xí)）已知a＝110，b＝（﹣2）6，c＝（﹣3）5，則a，b，c的大

小關(guān)系為（）

A．a(chǎn)＜b＜cB．a(chǎn)＜c＜bC．c＜b＜aD．c＜a＜b

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【規(guī)律方法綜合練】

【題型1】（2023七年級(jí)·浙江杭州·期末）如果?2013+?2013=0，那么下列等式一定成立的是（）

A．(?+?)2013=0B．(???)2013=0C．(???)2013=0D．(|?|+|?|)2013=0

【題型2】（2023七年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）（1）計(jì)算0.12,12,102,1002，觀察這些結(jié)果，底數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左

（右）移動(dòng)一位時(shí)，平方數(shù)小數(shù)點(diǎn)有什么移動(dòng)規(guī)律？

（2）計(jì)算0.13,13,103,1003．觀察這些結(jié)果，底數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左（右）移動(dòng)一位時(shí)，立方數(shù)小數(shù)點(diǎn)有什么移

動(dòng)規(guī)律？

（3）計(jì)算0.14,14,104,1004．觀察這些結(jié)果，底數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左（右）移動(dòng)一位時(shí)，四次方數(shù)小數(shù)點(diǎn)有什么

移動(dòng)規(guī)律？

【題型3】（2023七年級(jí)·全國(guó)·課堂例題）求出下列各組中兩個(gè)算式的值，找出兩個(gè)算式之間的關(guān)系．

33

11

（）×3與；

1222×2

33

11

（）×3與；

2?34?3×4

（3）(?1)4×24與(?1×2)4；

（4）(?5)2×42與(?5×4)2．

利用所得規(guī)律計(jì)算：(?0.25)2023×42024．

【拓廣探究創(chuàng)新練】

【題型1】（2023七年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）下列各數(shù)中，數(shù)值相等的有（）

216

①32與23；②?23與(?2)3；③?(?0.1)3與0.001；④?22與(?2)2；⑤?32與(?3)2；⑥4與；⑦(?1)11

525

與?1．

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【題型2】（2023七年級(jí)·黑龍江齊齊哈爾·期中）如果n是正整數(shù)，那么?[1?(?1)?]的值（）

A．一定是零B．一定是正偶數(shù)C．一定是正奇數(shù)D．是零或正偶數(shù)

【題型3】（2023七年級(jí)·河南開封·期末）式子：|?|，?+1，?2?1，?2，?2+1，(???)3的值一定為正數(shù)的

有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．以上答案都不對(duì)

模塊二有理數(shù)的混合運(yùn)算

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有理數(shù)的混合運(yùn)算:

混合運(yùn)算的順序：①先乘方，再乘除，最后加減；②同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；③如有括號(hào)，先做括

號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行.

【考點(diǎn)1有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方混合運(yùn)算】

【例1.1】（2023七年級(jí)·山東聊城·期中）在數(shù)學(xué)課上，老師讓甲、乙，丙、丁四位同學(xué)分別做了一道有理

數(shù)運(yùn)算題，你認(rèn)為做對(duì)的同學(xué)是（）

甲：9?32÷8=0÷8=0

乙：24?(4×32)=24?4×6=0

3222

丙：÷=×=36×?12×=16

(36?12)2(36?12)333

2

?。?÷×3=9÷1=9

(?3)3

A．甲B．乙C．丙D．丁

【例1.2】（2023七年級(jí)·河北滄州·期中）右面是一個(gè)“數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)”的示意圖．若?=4，則輸出結(jié)果為

（）

A．?80B．?75C．85D．?85

1

【例1.3】（七年級(jí)山東濰坊期中）如圖，把面積為的正方形進(jìn)行分割，觀察其規(guī)律，可得算式+

2023··12

23478

11111

+++…++再加上（）后，結(jié)果就是．

222221

1111

A．B．C．D．

25262728

【變式1.1】（2023七年級(jí)·山西朔州·階段練習(xí)）在式子“?23○(?1)2中”的“○”內(nèi)填入下列運(yùn)算符號(hào)，計(jì)算后

結(jié)果最大的是（）

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A．+B．-C．×D．÷

2

49

【變式1.2】（七年級(jí)陜西商洛期末）計(jì)算：?3+×?(?3.2)÷0.4．

2023··334

5

【變式1.3】（七年級(jí)廣東廣州開學(xué)考試）一段鐵絲，第一次剪下全長(zhǎng)的，第二次剪下的長(zhǎng)度與第一

2023··9

次剪下的長(zhǎng)度的比是9:20，還剩7米，這段鐵絲全長(zhǎng)（）

A．12米B．24米C．32米D．36米

【規(guī)律方法綜合練】

【題型1】（2023七年級(jí)·北京·期末）按如圖所示的程序進(jìn)行計(jì)算，如果把第一次輸入的數(shù)是20，而結(jié)果不

大于100時(shí)，就把結(jié)果作為輸入的數(shù)再進(jìn)行第二次運(yùn)算，直到符合要求為止，請(qǐng)求出最后輸出的結(jié)果．

【題型2】（2023·四川達(dá)州·七年級(jí)期末）在我國(guó)古書《易經(jīng)》中有“上古結(jié)繩而治”的記載，它指“結(jié)繩記事”

或“結(jié)繩記數(shù)”．如圖，一遠(yuǎn)古牧人在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿6進(jìn)1，用來記錄他所放牧的羊的

只數(shù)，由圖可知，他所放牧的羊的只數(shù)是（）

A．1234B．310C．60D．10

【題型3】（2023七年級(jí)·全國(guó)·課堂例題）觀察下面三行數(shù)：

第一行數(shù)：2,?4,8,?16,32,?64,?；

第二行數(shù)：0,?6,6,?18,30,?66,?；

第三行數(shù)：1,?2,4,?8,16,?32,?．

(1)第一行數(shù)按什么規(guī)律排列？

(2)第二行、第三行數(shù)與第一行數(shù)分別有什么關(guān)系？

(3)取每行數(shù)的第8個(gè)數(shù)，計(jì)算這三個(gè)數(shù)的和．

【拓廣探究創(chuàng)新練】

【題型1】（2023七年級(jí)·新疆克孜勒蘇·期末）現(xiàn)定義兩種新運(yùn)算“△”和“⊙”，對(duì)任意有理數(shù)a，b，規(guī)定：

?△?=?+??1，?⊙?=????2，例如：1△(?1)=1+(?1)?1=?1，1⊙(?1)=1×(?1)?12=?2，

那么(2)⊙[8△(3)]=．

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【題型2】（2023七年級(jí)·山東聊城·期中）閱讀材料：求1+2+22+23+24+?+22013的值．

解：設(shè)?=1+2+22+23+24+?+22012+22013，將等式兩邊同時(shí)乘2得：

2?=2+22+23+24+25+?+22013+22014

將下式減去上式得2???=22014?1即?=22014?1

即1+2+22+23+24+?+22013=22014?1

請(qǐng)你仿照此法計(jì)算：

(1)1+2+22+23+24+?+22024

(2)1+3+32+33+34+?+3?（其中?為正整數(shù)）．

【題型3】（2023七年級(jí)·浙江·專題練習(xí)）閱讀下列材料，并解決后面的問題．

材料：一般地，?個(gè)相同的因數(shù)?相乘：?·?...?記為??．如23=8，此時(shí)，3叫做以2為底8的對(duì)數(shù)，記為

?

?個(gè)

?

log28（即log28=3)．一般地，若?=?(?>0且?≠1，?>0)，則?叫做以?為底?的對(duì)數(shù)，記為log??（即

4

log??=?)．如3=81，則4叫做以3為底81的對(duì)數(shù)，記為log381（即log381=4)．

問題：

(1)計(jì)算以下各對(duì)數(shù)的值：log24=；log216=；log264=．

(2)通過觀察（1），請(qǐng)直接寫出log24、log216、log264之間滿足的等量關(guān)系是．

(3)請(qǐng)你求出log696+log681的值：

模塊三課后作業(yè)

1．（2023七年級(jí)·安徽安慶·期末）下列說法正確的是（）

A．?28的底數(shù)是?2B．25表示5個(gè)2相加

3

C．(?3)3與?33意義相同D．?2的底數(shù)是2

3

2．（2023七年級(jí)·全國(guó)·課堂例題）當(dāng)?＜0時(shí)，下列式子：①?2023<0；②?2023=?(??)2023；③?2024=

(??)2024；④?2023=??2023中，成立的有（）

A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④

3．（2023七年級(jí)·浙江溫州·期中）小明的????文檔中有一個(gè)如圖1的實(shí)驗(yàn)中學(xué)????，他想在這個(gè)????文

檔中用1000個(gè)這種????，設(shè)計(jì)出一幅如圖2樣式的圖案．他使用“復(fù)制?粘貼”（用鼠標(biāo)選中????，右鍵點(diǎn)

擊“復(fù)制”，然后在本????文檔中“粘貼”)的方式完成，則他需要使用“復(fù)制?粘貼”的次數(shù)至少為（）

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A．9次B．10次C．11次D．12次

2

．（廣東梅州一模）計(jì)算：2×?4÷(?2)=（）

42023··(?3)3

A．?8B．8C．?4D．4

5．（2023七年級(jí)·湖南郴州·期末）按下列程序計(jì)算，如果輸入?1，則輸出的結(jié)果是（）

A．4B．5C．?8D．?4

6．（2023七年級(jí)·上海·階段練習(xí)）計(jì)算：(?1)100?110+(?2)2+(?22)=．

7．（2023七年級(jí)·四川成都·期中）已知a，b滿足2?=?3=64，那么?+?=．

3

．（七年級(jí)上海專題練習(xí)）底數(shù)是，指數(shù)是的冪寫成．

82023··52

9．（2023七年級(jí)·河北石家莊·期中）若（x+1）2+|y﹣2020|＝0，則2020﹣xy＝．

10．（2023七年級(jí)·上海黃浦·期中）若規(guī)定用[?]表示不超過?的最大的整數(shù)，如[3.27]=3，[?1.4]=?2，

3

計(jì)算：?+×3．

[4.6][?3]14[?0.5]

11．（2023七年級(jí)·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）計(jì)算：

(1)?12÷2?2×(?3)+(?1)2024

(2)(?3)2×5?(?2)3÷8

12．（2023七年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）判斷下列各式計(jì)算結(jié)果的正負(fù)：

（1）(?6)12；

（2）(?0.0033)9；

（3）?58；

11

（）2．

4?5

11

．（七年級(jí)貴州銅仁階段練習(xí)）小明同學(xué)在計(jì)算：2023?3+6÷(?)時(shí)，步驟如下：

132023··(?1)(?2)23

1