2024-2025學(xué)年北京二十中高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年北京二十中高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知全集U=R，集合A={x|x2?1≥0}，若a∈?UAA.?1 B.12 C.1 D.2.直線x?3y=0的傾斜角為A.30° B.60° C.120° D.150°3.設(shè)a，b∈R，且a>b，則(

)A.1a<1b B.tana>tanb C.4.已知直線l1：2x+ay+1=0，直線l2：y=x?1，且l1//lA.?2 B.?1 C.1 D.25.已知空間中的兩條直線m，n都與一個平面α平行，則m和n的位置關(guān)系為(

)A.平行或相交 B.相交或異面 C.平行或異面 D.平行、相交或異面6.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AC∩BD=O，DA.66 B.33 C.7.已知直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，傾斜角分別為α1，α2，則“kA.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知橢圓C1：x2a2+y2b2=1，雙曲線C2：x2A.2x±5y=0 B.5x±2y=0 9.已知直線l：kx?y?2k+2=0被圓C：x2+(y+1)2=25所截得的弦長為整數(shù)，則滿足條件的直線A.6條 B.7條 C.8條 D.9條10.如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別是棱A1B1，A1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段CM上運(yùn)動，給出下列四個結(jié)論：

①平面CMN截正方體ABCD?A1B1C1D1所得的截面圖形是五邊形；

②直線B1A.②③ B.②④ C.①③ D.①④二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=(3?i)(4+i)，則z的虛部為______．12.已知雙曲線C：x2a2?y2b13.已知圓C1：(x?3)2+y2=9與圓C14.雙曲線C：y2a2?x2b2=1(a>0,b>0)的上焦點(diǎn)為F，15.如圖，已知矩形ABCD中，AB=2，BC=3，其中E，F(xiàn)分別為邊AD，BC上的點(diǎn)，且EF/?/AB，DE=2AE.將四邊形CDEF折起至四邊形C′D′EF，使平面C′D′EF與平面ABFE垂直.動點(diǎn)P在四邊形C′D′EF及其內(nèi)部運(yùn)動，動點(diǎn)Q在四邊形ABFE及其內(nèi)部運(yùn)動.給出下列四個結(jié)論：

①存在點(diǎn)P，Q，使得PQ=3；

②存在點(diǎn)P，Q，使得BP//C′Q；

③到直線AB和D′E的距離相等的點(diǎn)P有無數(shù)個；

④若BP⊥EP，則四面體BEPQ的體積的最大值為13．

其中所有正確結(jié)論的序號是______．三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題12分)

如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱BB1，DD1的中點(diǎn).求證：

(Ⅰ)BD//17.(本小題14分)

已知直線x+2y?3=0與直線3x?y?2=0的交點(diǎn)為P．

(Ⅰ)直線l1經(jīng)過P，且與直線l：3x+4y+1=0垂直，求直線l1的方程；

(Ⅱ)直線l2經(jīng)過P，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l18.(本小題15分)

已知圓C：x2+y2?10x=0．

(Ⅰ)過點(diǎn)A(3,2)作直線l，其傾斜角為45°，求直線l被圓C截得的弦長；

(Ⅱ)求過點(diǎn)19.(本小題15分)

已知在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，△PAD是正三角形，E、F分別為PC、PD的中點(diǎn)，過EF的平面EFG交BC于點(diǎn)G，平面EFG/?/平面PAB．

(Ⅰ)證明：G為BC的中點(diǎn)；

(Ⅱ)取AD的中點(diǎn)O，連接OC，OE，OG，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：

(i)A到平面EFG的距離；

(ii)二面角G?OE?C的余弦值．

條件①：PC=42；

條件②：CD⊥平面PAD．

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計(jì)分．20.(本小題14分)

已知直線l過點(diǎn)P(3,0)，且與橢圓x24+y2=1相交于不同的兩點(diǎn)M，N．

(Ⅰ)若M，N中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為22，求直線l的方程；

(21.(本小題15分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短軸的兩個端點(diǎn)分別為A(0,2)，B(0,?2)，離心率為22．

(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點(diǎn)的坐標(biāo)；

(Ⅱ)若直線y=kx+4與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)M，N，直線參考答案1.B

2.A

3.D

4.A

5.D

6.A

7.D

8.A

9.B

10.C

11.?1

12.y=±2x

13.1(答案不唯一)

14.1+15.①③④

16.證明：(Ⅰ)∵E，F(xiàn)分別為BB1，DD1的中點(diǎn)，BB1=DD1，BB1/?/DD1，

∴BE/?/DF且BE=DF，∴四邊形BDFE為平行四邊形，

∴BD//EF，又EF?平面C1EF，BD?平面C1EF，

∴BD/?/平面C1EF．

(Ⅱ)∵四邊形ABCD為正方形，∴BD⊥AC，

∵BD/?/EF，∴AC⊥EF，

∵AA1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD17.解：(Ⅰ)聯(lián)立x+2y?3=03x?y?2=0，解得x=1y=1，則P(1,1)，

又直線l1經(jīng)過P，且與直線l：3x+4y+1=0垂直，

∴直線l1的斜率為43，則直線l1的方程為y?1=43(x?1)，即4x?3y?1=0；

(Ⅱ)直線l2經(jīng)過P，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，

當(dāng)直線l2過坐標(biāo)原點(diǎn)時，直線方程為y=x，

當(dāng)直線l2不過坐標(biāo)原點(diǎn)時，設(shè)直線方程為x+y=m，把P(1,1)代入，

得1+1=m，即m=2，則直線l18.解：(Ⅰ)過點(diǎn)A(3,2)作直線l，其傾斜角為45°，可得直線方程為：y?2=x?3，即x?y?1=0，

圓C：x2+y2?10x=0的圓心(5,0)，半徑為5，圓心C到直線l的距離為d=|5?0?1|2=22，

直線l被圓C截得的弦長：225?(22)2=217．

(Ⅱ)圓C：x2+y2?10x=0的圓心(5,0)，半徑為5，B(0,?3)，

由|BC|=34>5，點(diǎn)B在圓C外，當(dāng)過點(diǎn)B(0,?3)19.(Ⅰ)證明：因?yàn)槠矫鍱FG/?/平面PAB，平面PBC∩平面EFG=EG，平面PBC∩平面PAB=PB，

所以EG/?/PB，

又E是PC的中點(diǎn)，

所以G為BC的中點(diǎn)．

(Ⅱ)解：選擇條件①：

因?yàn)镻C=42，PD=CD=4，所以PD2+CD2=PC2，即PD⊥CD，

因?yàn)檎叫蜛BCD，所以AD⊥CD，

又PD∩AD=D，PD、AD?平面PAD，

所以CD⊥平面PAD，

因?yàn)镺，G分別為AD，BC的中點(diǎn)，所以O(shè)G/?/CD，

所以O(shè)G⊥平面PAD，

因?yàn)椤鱌AD是正三角形，且O為AD的中點(diǎn)，所以O(shè)P⊥AD，

故以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則O(0,0,0)，A(2,0,0)，F(xiàn)(?1,0,3)，E(?1,2,3)，G(0,4,0)，C(?2,4,0)，

(i)EF=(0,?2,0)，EG=(1,2,?3)，AG=(?2,4,0)，

設(shè)平面EFG的法向量為m=(x,y,z)，則m?EF=?2y=0m?EG=x+2y?3z=0，

取z=1，則x=3，y=0，所以m=(3,0,1)，

所以A到平面EFG的距離為|AG?m||m|=|?23|2=3．

(ii)OE=(?1,2,3)，OC=(?2,4,0)，

設(shè)平面OEC的法向量為n=(a,b,c)，則n?OE=?a+2b+3c=0n?OC=?2a+4b=0，

取b=1，則a=2，c=0，所以n=(2,1,0)，

因?yàn)镋F//CD//OG，所以O(shè)，G，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，

所以平面OEG的法向量為m=(3,0,1)，

所以cos<m，n>=m?n|m|?|n|=232×5=155，

由圖知，二面角G?OE?C為銳角，

所以二面角G?OE?C的余弦值為155．

選擇條件②：

因?yàn)镺，G分別為AD，BC的中點(diǎn)，所以O(shè)G/?/CD，

又CD⊥平面PAD，所以O(shè)G⊥平面PAD，

因?yàn)椤鱌AD是正三角形，且O為AD的中點(diǎn)，所以O(shè)P⊥AD，

故以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則O(0,0,0)，20.解：(Ⅰ)易知直線l的斜率存在且不為0，

設(shè)直線l的方程為y=k(x?3)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

聯(lián)立y=k(x?3)x24+y2=1，消去y并整理得(1+4k2)x2?24k2x+36k2?4=0，

此時Δ=(?24k2)2?4(1+4k2)(36k2?4)>0，

解得k2<15，

由韋達(dá)定理得x1+x2=24k21+4k2，

所以y1+y2=k(x1+x2)?6k=24k31+421.解：(1)根據(jù)題意，橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)