2024-2025學年北京市平谷五中高二（上）期中數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年北京市平谷五中高二（上）期中數(shù)學試卷一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x>1}，B={?2,?1,0,1,2}，則A∩B=(

)A.{?2,2} B.{?1,0,1} C.{2} D.{?2,?1,1,2}2.已知a=(0,?1,1)，b=(1,2,?1)，則a與b的夾角為(

)A.30° B.60° C.150° D.120°3.下列命題中，正確的是(

)A.若a≠b，則|a|≠|(zhì)b| B.若|a|>|b|，則a>b4.從甲、乙、丙、丁四人任選兩人參加問卷調(diào)查，則甲被選中的概率是(

)A.12 B.13 C.235.為深入貫徹落實《國務院辦公廳關于強化學校體育促進學生身心健康全面發(fā)展的意見》，我市提出：到2020年，全市義務教育階段學生體質(zhì)健康合格率達到98%，基礎教育階段學生優(yōu)秀率達到15%以上.某學?，F(xiàn)有小學和初中學生共2000人，為了解學生的體質(zhì)健康合格情況，決定采用分層抽樣的方法從全校學生中抽取一個容量為400的樣本，其中被抽到的初中學生人數(shù)為180，那么這所學校的初中學生人數(shù)為(

)A.800 B.900 C.1000 D.11006.已知兩條不同的直線m，n，兩個不同的平面α，β，則下列說法正確的是(

)A.若α//β，m?α，n?β，則m//nB.若m⊥α，n⊥m，則n//α

C.若α⊥β，α∩β=n，n⊥m，則m⊥βD.若α∩β=n，m?α，m//β，則m//n7.甲、乙兩人射擊，甲的命中率為0.6，乙的命中率為0.5，如果甲、乙兩人各射擊一次，恰有一人命中的概率為(

)A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.68.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為棱AB，CA.16

B.13

C.129.有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則(

)A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立 C.乙與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立10.正多面體也稱柏拉圖立體，被譽為最有規(guī)律的立體結構，是所有面都只由一種正多邊形構成的多面體(各面都是全等的正多邊形).數(shù)學家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.如圖，已知一個正八面體ABCDEF的棱長為2，M，N分別為棱AD，AC的中點，則直線BN和FM夾角的余弦值為(

)A.56

B.116

C.二、填空題：本題共8小題，每小題5分，共40分。11.函數(shù)g(x)=x+3的定義域為______．12.復數(shù)z=1?2i(其中i為虛數(shù)單位)的虛部為______．13.已知空間向量a=(2,?1,3)，b=(?4,2,x)，且a與b是共線向量，則實數(shù)x的值為______．14.正四棱錐底面邊長為4，側(cè)棱長為3，則其體積為______．15.若m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同平面，m?α，n?β.則“α//β”是“m//n”的____條件．16.某高校調(diào)查了200名學生每周的自習時間(單位：小時)，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習時間的范圍是[17.5,30]，樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30].根據(jù)直方圖，這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數(shù)是______．17.已知實驗女排和育才女排兩隊進行比賽，在一局比賽中實驗女排獲勝的概率是23，沒有平局．若采用三局兩勝制，即先勝兩局者獲勝且比賽結束，則實驗女排獲勝的概率為______．18.如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為棱BC上的動點且不與B重合，F(xiàn)為線段A1E的中點.給出下列四個命題：

①三棱錐A?A1BE的體積為12；

②AB1⊥三、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。19.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點．

(Ⅰ)求證：BD⊥平面PAC；

(Ⅱ)求證：PB//平面AEC．20.(本小題12分)

如圖，三棱錐P?ABC中，AB=BC=CA=PB=1，平面PAB⊥平面ABC，點E是棱PB的中點，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知．

(1)求平面EAC與平面ACB的夾角的余弦值．

(2)求點E到面ACP的距離．

條件①：PC=62；

條件②：直線PC與平面PAB所成角為45°．

注：如果選擇條件①和條件21.(本小題12分)

如圖，四棱錐P?ABCD的底面是直角梯形，AD⊥CD，AD//BC，PD⊥平面ABCD，E是PB的中點，PC與平面ADE交于點F，BC=DC=PD=2AD=2，

(Ⅰ)求證：F是PC的中點；

(Ⅱ)若M為棱PD上一點，且直線PA與平面EFM所成的角的正弦值為45，求PMPD的值．22.(本小題12分)

某球員在8場籃球比賽的投籃情況如下(假設各場比賽互相獨立)：場次投籃次數(shù)命中次數(shù)場次投籃次數(shù)命中次數(shù)主場12214客場1186主場21512客場2135主場3228客場3217主場42317客場41815(Ⅰ)從上述比賽中隨機選擇一場，求該球員在本場比賽中投籃命中率超過0.5的概率；

(Ⅱ)從上述比賽中選擇一個主場和一個客場，求該球員的投籃命中率一場超過0.5，另一場不超過0.5的概率；

(Ⅲ)記x?是表中8場命中率的平均數(shù)，x1?是表中4個主場命中率的平均數(shù)，x1?是表中4個客場命中率的平均數(shù)，比較x23.(本小題12分)

手機完全充滿電量，在開機不使用的狀態(tài)下，電池靠自身消耗一直到出現(xiàn)低電量警告之間所能維持的時間稱為手機的待機時間.為了解A，B兩個不同型號手機的待機時間，現(xiàn)從某賣場庫存手機中隨機抽取A，B兩個型號的手機各5臺，在相同條件下進行測試，統(tǒng)計結果如下：手機編號12345A型待機時間(?)120125122124124B型待機時間(?)118123127120a已知A，B兩個型號被測試手機待機時間的平均值相等．

(1)求a的值；

(2)從被測試的手機中隨機抽取A，B型號手機各1臺，求至少有1臺的待機時間超過122小時的概率．

參考答案1.C

2.C

3.C

4.A

5.B

6.D

7.C

8.A

9.B

10.D

11.[?3,+∞)

12.?2

13.?6

14.16315.既不充分也不必要

16.140

17.202718.②③④

19.證明：(Ⅰ)因為底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，

又因為PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，

所以PA⊥BD，而PA∩AC=A，

可證得：BD⊥平面PAC；

(Ⅱ)設AC∩BD=O，連接OE，因為底面ABCD是菱形，

所以O為BD的中點，E為PD的中點，所以OE為△PBD的中位線，

所以OE/?/PB，

又因為OE?平面AEC，PB?平面AEC，

可證得：PB/?/平面AEC．

20.解：(1)取AB中點為D，連接CD，PD，

因為AB=BC=CA，所以△ABC是等邊三角形，則CD⊥AB，

又平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，CD?平面ABC，

所以CD⊥平面PAB，因為PD?平面PAB，則CD⊥PD．

若選條件①：因為PC=62，CD=32，結合CD⊥PD，可得PD=32．

又因為BD=12,PB=1，則△PBD是以∠PDB為90o，∠PBD為60o的直角三角形．

若選條件②：因為CD⊥平面PAB，所以∠CPD即為直線PC與平面PAB所成角，

因為∠CPD=45°，則△CPD為等腰直角三角形，因為CD=32，可得PD=32，

又因為BD=12,PB=1，則△PBD是以∠PDB為90o，∠PBD為60o的直角三角形．

即PD⊥AB，PD⊥CD，△PAB是等邊三角形．

如圖延長CD，建立以D為原點的空間直角坐標系．

則A(12,0,0),B(?12,0,0),C(0,?32,0),P(0,0,32),E(?14,0,34)．

所以AC=(?12,?32,0),AE=(?34,0,34)，

設平面EAC法向量為n1=(x21.解：(Ⅰ)證明：∵AD/?/BC，AD?平面PBC，BC?平面PBC，

∴AD/?/平面PBC，

∵AD?平面ADE，平面ADE∩平面PBC=EF，

∴AD/?/EF，∴BC/?/EF，

∵點E是PB的中點，∴點F是PC的中點．

(Ⅱ)∵PD⊥平面ABCD，AD，DC?平面ABCD，

∴PD⊥AD，PD⊥CD，由AD⊥CD，建立如圖所示的空間直角坐標系D?xyz，

則A(1,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，E(1,1,1)，F(xiàn)(0,1,1)，

EF=(?1,0,0)，PD=(0,0,?2)，EP=(?1,?1,1)，PA=(1,0,?2)，

設PM=λPD=(0,0,?2λ)，0≤λ≤1，

∴EM=EP+PM=(?1,?1,1?2λ)，

設平面EFM的一個法向量n=(x,y,z)，

則n?EF=?x=0n?EM=?x?y+(1?2λ)z=0，取z=1，得n=(0,1?2λ,1)，

∴cos<n,PA>=22.解：(Ⅰ)有題意可知在8場比賽中，該球員投籃命中率超過0.5的有4場，

分別是主場1，主場2，主場4，客場4．

所以在隨機選擇的一場比賽中，該球員投籃命中率超過0.5的概率為48=0.5；

(Ⅱ)設事件A為“在隨機選擇的一場主場比賽中，該球員的投籃命中率超過0.5”，

事件B為“在隨機選擇的一場客場比賽中，該球員的投籃命中率超過0.5”

事件C為“在隨機選擇的一個主場和一個客場中，該球員的投籃命中率一場超過0.5，一場不超過0.5”．

則C=AB?+A?B,A,B相互獨立．

由題意可知P(A)=34，P(A?)=14，P(B)=23.解：(1)現(xiàn)從某賣場庫存手機中隨機抽取A，B兩