人教八年級數(shù)學(xué)上冊軸對稱《最短路徑問題》示范公開課教學(xué)課件

第13.4課題學(xué)習(xí)—最短路徑問題人教版八年級數(shù)學(xué)上冊學(xué)習(xí)目標(biāo)1.利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題.2.能夠利用軸對稱、平移變換解決簡單的最短路徑問題，體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想．情境引入

如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會選走哪條路最近？你的理由是什么？兩點(diǎn)之間,線段最短.①②③選擇路線②互動新授問題1

如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？BAlC考點(diǎn)一

將軍飲馬問題如圖，A，B在直線L的兩側(cè)，在L上求一點(diǎn)C，使得CA+CB最小?；有率??ABl解析：連接A，B兩點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求的位置，可以使得AC+BC的值最小.依據(jù)：兩點(diǎn)之間，線段最短..C那A、B兩點(diǎn)在直線l的同一側(cè)呢？如何確定點(diǎn)C呢？??ABl互動新授

你能利用兩點(diǎn)分別在直線兩側(cè)的解題思路，來解決兩點(diǎn)在直線同一側(cè)的問題嗎？分析：如果我們能夠把點(diǎn)B轉(zhuǎn)移到直線l的另外一側(cè)B′，同時使得對直線上任意一點(diǎn)C，滿足BC=B′C，就可以將問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)分別在直線兩側(cè)的情況”.那么在直線l上使得滿足BC=B′C的點(diǎn)應(yīng)該怎么找呢？

如圖，作出點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′，利用軸對稱的性質(zhì)可知：對于直線l上的任意一點(diǎn)C均滿足BC=B′C.此時，問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C在直線l的什么位置時，AB+B′C的值最小？?B′容易得出：連接AB′交直線l于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求.??ABlC?互動新授你能證明這個結(jié)論嗎？證明：在直線l上任意取一點(diǎn)C′（不與點(diǎn)C重合），連接AC′，BC′，B′C′.

由軸對稱的性質(zhì)可得：BC=B′C，BC′=B′C′，

則AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.

在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，

所以AC+BC<AC′+B′C′.

由點(diǎn)C′的任意性可知，AC+BC的值是最小的，故點(diǎn)C的位置符合要求.l??AB?B′CC′互動新授

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(－2，4)，B(4，2)，在x軸上取一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離之和最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(

)A.(－2，0)

B.(4，0)

C.(2，0)

D.(0，0)C小試牛刀互動新授

問題2如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處可以使得從A到B的路徑AMNB最短？（假定河是平行的直線，橋要與河垂直）ABab??MN考點(diǎn)二

造橋選址問題

這是個實(shí)際問題，你能用自己理解的語言描述一下嗎？

如圖所示：將河的兩岸看成兩條平行線a和b，N為直線b上的一個動點(diǎn)，MN垂直于直線b，交直線a于點(diǎn)M.當(dāng)點(diǎn)N在什么位置的時候，AM+MN+NB的值最??？互動新授ABab??MN互動新授ABMNab（1）由于河岸寬度是固定的，因此當(dāng)AM＋NB最小時，AM＋MN＋NB最?。畣栴}可轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時，AM＋NB最??？互動新授

（2）如圖，將AM沿與河岸垂直的方向平移，點(diǎn)M移動到點(diǎn)N，點(diǎn)A移動到點(diǎn)A′，則AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB．問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時，A′N＋NB最小？ABMNabA′互動新授

（3）如圖，在連接A′，B兩點(diǎn)的線中，線段A′B最短．因此，線段A′B與直線b的交點(diǎn)N的位置即為所求．ABMNabA′你能證明此時AM＋MN＋NB最小嗎？互動新授

在直線b上另外任意取一點(diǎn)N′，過點(diǎn)N′作N′M′⊥a，垂足為M′，連接AM′，A′N′，N′B，證明AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B．ABMNabA′M′N′互動新授證明：在△A′N′B中，

∵A′B＜A′N′＋BN′，

∴A′N＋BN＋MN＜AM′＋BN′＋M′N′．

∴AM＋MN＋BN＜AM′＋M′N′＋BN′．

即AM＋MN＋BN最小．N′ABMNabA′M′互動新授考點(diǎn)三

兩點(diǎn)一線型問題?Pl2l1如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點(diǎn)M，N，使得△PMN的周長最小.互動新授作法：過點(diǎn)P分別作關(guān)于直線l1，l2的對稱點(diǎn)P1，P2，連接P1P2分別交直線l1，l2于點(diǎn)M，N，則點(diǎn)M，N即為所求.?Pl2l1P1P2NM如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點(diǎn)M，N，使得△PMN的周長最小.解析：通過軸對稱的原理，把周長最小值轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離最短的問題.△PMN周長的最小值為PM+MN+PN=P1P2.互動新授考點(diǎn)四

兩點(diǎn)兩線型問題

如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點(diǎn)M，N，使得四邊形PQMN的周長最小.?Pl2l1Q?互動新授作法：分別作點(diǎn)P，Q關(guān)于直線l1，l2的對稱點(diǎn)P1，Q1，連接P1Q1分別交直線l1，l2于點(diǎn)M，N，則點(diǎn)M，N即為所求.?Pl2l1Q?P1Q1NM

如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點(diǎn)M，N，使得四邊形PQMN的周長最小.解析：通過軸對稱把周長最小問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離最短問題，四邊形PMNQ的周長的最小值為PM+MN+NQ+QP=P1Q1+PQ，依據(jù)的是兩點(diǎn)之間，線段最短.

如圖，在等腰Rt△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，E是AB邊上的一動點(diǎn)，要使EC+ED最小，請找點(diǎn)E的位置.ACDBE課堂檢測解：如圖所示，作點(diǎn)D關(guān)于線段AB的對稱點(diǎn)D′，連接CD′交線段AB于點(diǎn)E，則點(diǎn)E即為所求，也就是使得EC+ED最小的位置.ACDD′BE

如圖，牧童在A處放牛，家在B處，A，B到河岸的距離分別為AC和BD，且AC=BD，若點(diǎn)A到河岸CD中點(diǎn)距離為600，則牧童從A處把牛牽到河邊飲水再回家，最短距離是多少？ACDB拓展訓(xùn)練ACDBEA′.解：∵AC⊥CD，BD⊥CD，

∴∠ACD=∠BDC=∠A′CD=90°.

∵A′C=AC=BD，

在△A′CE和△BDE中，

∠A′CE=∠BDE，

∠A′EC=∠BED，A′C=BD，

∴△A′CE≌△BDE（AAS），

∴CE=DE，A′E=BE.

∴點(diǎn)E是CD的中點(diǎn).

∴AE=600，則AE+BE=A′E+BE=1200.拓展訓(xùn)練2.解決最短路徑問題的方法：借助軸對稱或平移的知識，化折為直，利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”或“垂線段最短”來求線段和的最小值.1.最短路徑問題的類型：(1)兩點(diǎn)一線型的線段和最小值問題；(2)兩線一點(diǎn)型線段和最小值問題；(3)兩點(diǎn)兩線型的線段和最小值問題；(4)造橋選址問題.課堂小結(jié)

某中學(xué)八（2）班舉行文藝晚會，如圖所示，OA，OB分別表示桌面，其中OA桌面上擺滿了橘子，OB桌面上擺滿了糖果，站在C處的學(xué)生小明先拿橘子再拿糖果，然后回到C處，請你幫他設(shè)計一條行走路線，使其所走的路程最短.?