2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽甘肅省預(yù)賽及解析

2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽甘肅省預(yù)賽注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）請點(diǎn)擊修改第I卷的文字說明第II卷（非選擇題）請點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明評卷人得分一、填空題1.已知實(shí)數(shù)a≥?2，且A=x?2≤x≤a，B=yy=2x+3,x∈A，C=zz=x22.△ABC的三邊分別為a、b、c，點(diǎn)O為△ABC的外心，已知，那么的取值范圍是____________.3.已知，則a、b、c的大小關(guān)系是____________.4.若方程有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________.5.在數(shù)列{an}中，，設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則的值為____________.6.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1,z2,z3對應(yīng)的點(diǎn)分別為Z1,7.已知函數(shù)，若，且，則的最小值是_____.8.橢圓的左,右焦點(diǎn)分別為,,過橢圓的右焦點(diǎn)作一條直線交橢圓于,兩點(diǎn),則△的內(nèi)切圓面積最大值是________.9.已知x>0，y>0，且，則x+2y的最小值為____________.10.在平面直角坐標(biāo)系中定義點(diǎn)Px1,若Cx,y到點(diǎn)A1,3、B6,9的交通距離相等，其中，實(shí)數(shù)x、y滿足0≤x≤10、0≤y≤10，則所有滿足條件的點(diǎn)評卷人得分二、解答題11.已知向量，，設(shè)函數(shù)．（1）若，，求的值；（2）在△中，角，，的對邊分別是且滿足求的取值范圍．12.2018年全國數(shù)學(xué)奧賽試行改革：在高二一年中舉行5次全區(qū)競賽，學(xué)生如果其中2次成績達(dá)全區(qū)前20名即可進(jìn)入省隊(duì)培訓(xùn)，不用參加其余的競賽，而每個(gè)學(xué)生最多也只能參加5次競賽.規(guī)定：若前4次競賽成績都沒有達(dá)全區(qū)前20名，則第5次不能參加競賽.假設(shè)某學(xué)生每次成績達(dá)全區(qū)前20名的概率都是，每次競賽成績達(dá)全區(qū)前20名與否互相獨(dú)立.（1）求該學(xué)生進(jìn)入省隊(duì)的概率.（2）如果該學(xué)生進(jìn)入省隊(duì)或參加完5次競賽就結(jié)束，記該學(xué)生參加競賽的次數(shù)為，求的分布列及的數(shù)學(xué)期望.13.已知數(shù)列an中，a1（1）求數(shù)列an（2）證明：對一切n∈N+14.已知三棱錐P－ABC的平面展開圖中，四邊形ABCD為邊長等于的正方形，△ABE和△BCF均為正三角形，在三棱錐P－ABC中：（1）證明：平面PAC⊥平面ABC；（2）若點(diǎn)M為棱PA上一點(diǎn)且，求二面角P－BC－M的余弦值.15.易知橢圓，其短軸為4，離心率為e1.雙曲線的漸近線為，離心率為e2，且.（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)橢圓E的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)G(4，0)斜率不為0的直線交橢圓E于M、N兩點(diǎn)設(shè)直線FM和FN的斜率為，試判斷是否為定值，若是定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由.16.已知函數(shù)fx=x-（1）若fx=x-1x-（2）若對于任意k∈-∞,1，直線y=kx+b與曲線y=fx都有唯一公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b

參考答案1.1【解析】1.由題意知B=-要使C?B，只需集合C中的最大元素在集合B中.故-22≤2a+3,2.【解析】2.延長AO交△ABC的外接圓于D，得到.因?yàn)椋詁∈(0，2)，故.故答案為：．3.a<c<b【解析】3.因?yàn)閍<1，，據(jù)此可得：，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得：，所以a<c<b.故答案為：a<c<b．4.[0，2]【解析】4.由題意得，把右邊看作點(diǎn)到直線x－y+1=0的距離.由于單位圓上半部分的點(diǎn)，到該直線距離的取值范圍是，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，2].故答案為：[0，2]．5.3【解析】5.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，故.當(dāng)n奇數(shù)時(shí)，，故.故.故答案為：3．6.0,4【解析】6.因?yàn)閨z1|=|因?yàn)閨z1+從而-7.【解析】7.根據(jù)分段函數(shù)在兩段上都單調(diào),可得,且,所以,然后構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得最小值即可.因?yàn)楹瘮?shù)在上遞增,在上也遞增,且時(shí),,所以,所以,,所以,即,所以,,令,則,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在上遞減,在上遞增,所以時(shí),取得最小值.即的最小值是:.故答案為:.8.【解析】8.令直線：，與橢圓方程聯(lián)立消去得，可設(shè)，則，．可知，又，故．三角形周長與三角形內(nèi)切圓的半徑的積是三角形面積的二倍，則內(nèi)切圓半徑，其面積最大值為．故本題應(yīng)填．9.【解析】9.解法一：設(shè)，可解得，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.故答案為：．解法二：考慮直接使用柯西不等式的特殊形式，即權(quán)方和不等式：，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.故答案為：．10.5【解析】10.由條件得x-1+當(dāng)y≥9時(shí)，x-1+y-3=即x-1+6=當(dāng)3≤y≤9時(shí)，x-1+y-3=即2y-12=x-6當(dāng)x≤1時(shí)，y=8.5，線段長為1.當(dāng)1≤x≤6時(shí)，x+y=9.5，線段長為52當(dāng)x≥6時(shí)，y=3.5，線段長為4.當(dāng)y≤3時(shí)，x-1+3-y=即x-1=6+綜上，點(diǎn)C的軌跡構(gòu)成的線段的長之和為1+5211.（1）；（2）【解析】11.（1）利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式以及三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)的解析式為，由，求得，可得，求得結(jié)果．（2）在中，由條件可得，故，，，由此求得的取值范圍．解：（1）函數(shù)．∵，∴．又∵，∴，即．（2）在中，由，可得，∴，∴，即，∴，∴，∴，又，∴．12.（1）；（2）分布列詳見解析，.【解析】12.試題分析：(1)由題意結(jié)合對立事件概率公式可得：該學(xué)生進(jìn)入省隊(duì)的概率為；(2)由題意可知的可能取值為2,3,4,5，求解相應(yīng)的概率值得到分布列，結(jié)合分布列計(jì)算可得的數(shù)學(xué)期望為.試題解析：（1）記“該生進(jìn)入省隊(duì)”的事件為事件，其對立事件為，則.∴.（2）該生參加競賽次數(shù)的可能取值為2,3,4,5.，，..故的分布列為：.13.（1）an【解析】13.（1）由已知，對n≥2有1上式兩邊同除以n并整理得1則k=2即1故1因此，a又當(dāng)n=1時(shí)也成立，故a（2）當(dāng)k≥2時(shí)，有a所以，當(dāng)n≥2時(shí)，有k=1na=1+又當(dāng)n=1時(shí)，a故對一切n∈N+14.（1）見解析（2）【解析】14.（1）如圖①，設(shè)AC的中點(diǎn)為O，連結(jié).由題意，得，PO=2，.因?yàn)樵凇鱌AC中，PA=PC，O為AC的中點(diǎn)，所以PO⊥AC.又因?yàn)樵凇鱌OB中，PO=2，OB=2，PB=，，所以PO⊥OB.因?yàn)锳C∩OB=O，AC，OB?平面ABC，所以PO⊥平面ABC.又因?yàn)镻O?平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.（2）由PO⊥平面ABC，OB⊥AC，所以.于是以O(shè)C、OB、OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖②所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，.設(shè)平面MBC的法向量為，則由得，令，則，即.設(shè)平面PBC的法向量為，由得，令x2=1，則，即..由圖可知，二面角P－BC－M的余弦值為.15.（1）（2）是定值，.【解析】15.（1）由題意可知：2b=4，b=2，，雙曲線的離心率，則橢圓的離心率為.橢圓的離心率，則a=.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：.（2）是定值，證明如下：如圖，設(shè)直線MN的方程為.聯(lián)立消去y整理得.設(shè)，則，.將，代入上式得，即.16.（I）見解析（II）b≥?【解析】16.（1）由題x＞0，f'(x)=1+1x2-1x，由f（x）在x=x1，x2（x由韋達(dá)定理得1x1+1x2=1，由基本不等式得x1+x2=x1?x（2）由fx=kx+b得k=x-利用反證法可證明證明hx由對任意k∈-∞,1，hx=k只有一個(gè)解，得hx為0,+∞上的遞增函數(shù)，∴h'x=（I）f令