人教版高一上學(xué)期數(shù)學(xué)(必修1)《4.5對數(shù)》同步測試題帶答案

第第頁人教版高一上學(xué)期數(shù)學(xué)(必修1)《4.5對數(shù)》同步測試題帶答案考試時(shí)間：60分鐘；滿分：100分學(xué)校：___________班級：___________姓名：___________考號：___________1．對數(shù)的定義、性質(zhì)與對數(shù)恒等式(1)對數(shù)的定義：一般地，如果=N(a>0,且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x=，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).(2)對數(shù)的性質(zhì)：①=0，=1(a>0,且a≠1)，負(fù)數(shù)和0沒有對數(shù).

②對數(shù)恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1).(3)對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系：根據(jù)對數(shù)的定義，可以得到對數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系：當(dāng)a>0，且a≠1時(shí)，=Nx=.

用圖表示為：2．常用對數(shù)與自然對數(shù)3．對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我們有：4．對數(shù)的換底公式及其推論(1)換底公式：設(shè)a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，則=.(2)換底公式的推論：①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)；

②(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)；

③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R).5．對數(shù)的實(shí)際應(yīng)用在實(shí)際生活中，經(jīng)常會遇到一些指數(shù)或?qū)?shù)運(yùn)算的問題.求解對數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題時(shí)，一是要合理建立數(shù)學(xué)模型，尋找量與量之間的關(guān)系；二是要充分利用對數(shù)的性質(zhì)以及式子兩邊取對數(shù)的方法求解.

對數(shù)運(yùn)算在實(shí)際生產(chǎn)和科學(xué)研究中應(yīng)用廣泛，其應(yīng)用問題大致可以分為兩類：

(1)建立對數(shù)式，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行一些實(shí)際求值，計(jì)算時(shí)要注意指數(shù)式與對數(shù)式的互化；

(2)建立指數(shù)函數(shù)型應(yīng)用模型，再進(jìn)行指數(shù)求值，此時(shí)往往將等式兩邊同時(shí)取對數(shù)進(jìn)行計(jì)算.【題型1對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】對數(shù)式化簡或求值的常用方法和技巧：對于同底數(shù)的對數(shù)式，化簡的常用方法是：①“收”，即逆用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)將同底對數(shù)的和(差)“收”成積(商)的對數(shù)，即把多個(gè)對數(shù)式轉(zhuǎn)化為一個(gè)對數(shù)式；②“拆”，即正用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)將對數(shù)式“拆”成較小真數(shù)的對數(shù)的和(差).【例1】（2022·黑龍江哈爾濱·高三開學(xué)考試）求值lg4+2lg5+A．8 B．9 C．10 D．1【變式1-1】（2022·天津·高考真題）化簡(2log43+A．1 B．2 C．4 D．6【變式1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）計(jì)算：2lg5?A．10 B．1 C．2 D．lg【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）化簡1og62A．?log62 B．?log6【題型2換底公式的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】利用換底公式進(jìn)行化簡求值的原則和技巧(1)原則：化異底為同底；(2)技巧：①技巧一：先利用對數(shù)運(yùn)算法則及性質(zhì)進(jìn)行部分運(yùn)算，最后再換成同底；②技巧二：借助換底公式一次性統(tǒng)一換為常用對數(shù)（自然對數(shù)），再化簡、通分、求值.【例2】（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知a=lg2，b=lg3，則log36A．2a+2bC．2?2aa+【變式2-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知log23=m，log37=A．mn+3mn+1 B．m+n+3【變式2-2】（2022·安徽·安慶市高一期末）已知a=lg2，b=lg3，用a，b表示log365，則A．2a+2b1?a B．1?a【變式2-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）正實(shí)數(shù)a，b，c均不等于1，若loga（bc）+logbc＝5，logba+logcb＝3，則logca的值為（）A．45 B．35 C．54【題型3指數(shù)式與對數(shù)式的互化】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)所給條件，利用指數(shù)式和對數(shù)式的轉(zhuǎn)化法則進(jìn)行互化即可.【例3】（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）下列對數(shù)式中，與指數(shù)式7x=9等價(jià)的是（A．log7x=9 B．log9x=7【變式3-1】（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）已知loga2＝m，loga3＝n，則a2m＋n等于（

）A．5 B．7 C．10 D．12【變式3-2】（2021·全國·高一專題練習(xí)）下列指數(shù)式與對數(shù)式的互化中不正確的是（

）A．e0=1與ln1=0 B．log39=2與91C．8-13=12與log812=-13【變式3-3】（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）將13?2=9A．log913=?2；C．log139=?2； 【題型4指、對數(shù)方程的求解】【方法點(diǎn)撥】解指數(shù)方程：將指數(shù)方程中的看成一個(gè)整體，解（一元二次）方程，解出的值，求x.解對數(shù)方程：對數(shù)方程主要有兩種類型，第一種類型的對數(shù)方程兩邊都是對數(shù)式且底數(shù)相同，根據(jù)真數(shù)相同轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程求解；第二種類型的對數(shù)方程可整理成關(guān)于的（一元二次）方程，解出的值，求x.【例4】（2022·安徽·合肥模擬）方程lnlog3xA．1 B．2 C．e D．3【變式4-1】（2021·全國·高一專題練習(xí)）方程log2A．12 B．14 C．22【變式4-2】（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）方程4x－2x＋1－3＝0的解是（

）．A．log32 B．1 C．log23 D．2【變式4-3】（2022·陜西·高一階段練習(xí)）如果方程(lgx)2+(lg7+lg5)lgx+lg7?lg5=0的兩根為α、A．135 B．lg35 C．lg7?lg5 D．【題型5帶附加條件的指、對數(shù)問題】【方法點(diǎn)撥】帶附加條件的指、對數(shù)問題主要是已知一些指數(shù)值、對數(shù)值或其等量關(guān)系，利用這些條件來表示所要求的式子，解此類問題要充分利用指數(shù)、對數(shù)的轉(zhuǎn)化，同時(shí)，還要注意整體思想的應(yīng)用.【例5】（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知loga3=m，loga2=(1)求am(2)若0<x<1，x+x?1【變式5-1】（2022·天津市高二期末）計(jì)算下列各題：(1)已知2a=5(2)求2log【變式5-2】（2022·遼寧·高一開學(xué)考試）已知3a=5，(1)27a(2)a+【變式5-3】（2021·徐州市期末）（1）已知2lg(x?2y（2）已知a+a?1=7，分別求a2【題型6對數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】對數(shù)運(yùn)算在實(shí)際生產(chǎn)和科學(xué)研究中應(yīng)用廣泛，其應(yīng)用問題大致可以分為兩類：(1)建立對數(shù)式，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行一些實(shí)際求值，計(jì)算時(shí)要注意指數(shù)式與對數(shù)式的互化；(2)建立指數(shù)函數(shù)型應(yīng)用模型，再進(jìn)行指數(shù)求值，此時(shí)往往將等式兩邊同時(shí)取對數(shù)進(jìn)行計(jì)算.【例6】（2022·廣東汕頭·高三階段練習(xí)）核酸檢測分析是用熒光定量PCR法，通過化學(xué)物質(zhì)的熒光信號，對在PCR擴(kuò)增進(jìn)程中成指數(shù)級增加的靶標(biāo)DNA實(shí)時(shí)監(jiān)測，在PCR擴(kuò)增的指數(shù)時(shí)期，熒光信號強(qiáng)度達(dá)到閥值時(shí)，DNA的數(shù)量X與擴(kuò)增次數(shù)n滿足lgXn=nlg(1+p)+lgX0，其中X0為DNA的初始數(shù)量，A．22.2% B．43.8% C．56.2% D．77.8%【變式6-1】（2022·四川綿陽·高二期末（文））酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為．根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：100mL血液中酒精含量在20～80mg之間為酒后駕車，80mg及以上為醉酒駕車．假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了2.4mg/mL，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量會以每小時(shí)20%的速度減少，若他想要在不違法的情況下駕駛汽車，則至少需經(jīng)過的小時(shí)數(shù)約為（

）（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3，lg3≈0.48）A．12 B．11 C．10 D．9【變式6-2】（2022·河南安陽·高三開學(xué)考試（理））香農(nóng)定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香農(nóng)公式C=Blog21+SN來表示，其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B是信道的帶寬（Hz），S是平均信號功率（W），N是平均噪聲功率（WA．1.2倍 B．12倍 C．102倍 D．1002倍【變式6-3】（2022·陜西·長安一中高一期末）牛頓冷卻定律描述物體在常溫環(huán)境下的溫度變化：如果物體的初始溫度為T0，則經(jīng)過一定時(shí)間t分鐘后的溫度T滿足T?Ta=12t?T0?Ta，A．3.5分鐘 B．4.5分鐘 C．5.5分鐘 D．6.5分鐘參考答案【題型1對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】對數(shù)式化簡或求值的常用方法和技巧：對于同底數(shù)的對數(shù)式，化簡的常用方法是：①“收”，即逆用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)將同底對數(shù)的和(差)“收”成積(商)的對數(shù)，即把多個(gè)對數(shù)式轉(zhuǎn)化為一個(gè)對數(shù)式；②“拆”，即正用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)將對數(shù)式“拆”成較小真數(shù)的對數(shù)的和(差).【例1】（2022·黑龍江哈爾濱·高三開學(xué)考試）求值lg4+2lg5+A．8 B．9 C．10 D．1【解題思路】根據(jù)對數(shù)運(yùn)算公式和指數(shù)運(yùn)算公式計(jì)算即可.【解答過程】因?yàn)閘g4+2lg5=lg4+lg5log28=所以lg4+2lg5+log故選：B.【變式1-1】（2022·天津·高考真題）化簡(2log43+A．1 B．2 C．4 D．6【解題思路】根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)可求代數(shù)式的值.【解答過程】原式=(2×=4故選：B.【變式1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）計(jì)算：2lg5?A．10 B．1 C．2 D．lg【解題思路】應(yīng)用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求值即可.【解答過程】2lg故選：B.【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）化簡1og62A．?log62 B．?log6【解題思路】運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【解答過程】解析：log故選：A.【題型2換底公式的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】利用換底公式進(jìn)行化簡求值的原則和技巧(1)原則：化異底為同底；(2)技巧：①技巧一：先利用對數(shù)運(yùn)算法則及性質(zhì)進(jìn)行部分運(yùn)算，最后再換成同底；②技巧二：借助換底公式一次性統(tǒng)一換為常用對數(shù)（自然對數(shù)），再化簡、通分、求值.【例2】（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知a=lg2，b=lg3，則log36A．2a+2bC．2?2aa+【解題思路】利用對數(shù)的運(yùn)算法則及性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算可得答案．【解答過程】因?yàn)閍=lg2，blog36故選：D.【變式2-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知log23=m，log37=A．mn+3mn+1 B．m+n+3【解題思路】由換底公式和對數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行化簡計(jì)算.【解答過程】由換底公式得：log27=log23?log37=mn，故選：C.【變式2-2】（2022·安徽·安慶市高一期末）已知a=lg2，b=lg3，用a，b表示log365，則A．2a+2b1?a B．1?a【解題思路】利用換底公式即可求解.【解答過程】由題意知log36故選:D．【變式2-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）正實(shí)數(shù)a，b，c均不等于1，若loga（bc）+logbc＝5，logba+logcb＝3，則logca的值為（）A．45 B．35 C．54【解題思路】利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及換底公式將等式logabc+logbc＝5化簡變形，即可得到答案．【解答過程】5＝loga（bc）+logbc＝logab+logac+logbc，5=15=log5=35=4解得logc故選：A．【題型3指數(shù)式與對數(shù)式的互化】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)所給條件，利用指數(shù)式和對數(shù)式的轉(zhuǎn)化法則進(jìn)行互化即可.【例3】（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）下列對數(shù)式中，與指數(shù)式7x=9等價(jià)的是（A．log7x=9 B．log9x=7【解題思路】根據(jù)指數(shù)式和對數(shù)式的關(guān)系即可得出.【解答過程】根據(jù)指數(shù)式和對數(shù)式的關(guān)系,7x=9等價(jià)于故選：C.【變式3-1】（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）已知loga2＝m，loga3＝n，則a2m＋n等于（

）A．5 B．7 C．10 D．12【解題思路】對數(shù)式改寫為指數(shù)式，再由冪的運(yùn)算法則計(jì)算．【解答過程】解：∵am＝2，an＝3，∴a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝12．故選：D．【變式3-2】（2021·全國·高一專題練習(xí)）下列指數(shù)式與對數(shù)式的互化中不正確的是（

）A．e0=1與ln1=0 B．log39=2與91C．8-13=12與log812=-13【解題思路】利用指對互化公式進(jìn)行互化，得出結(jié)果.【解答過程】對于A，e0=1可化為0=loge1=ln1，所以A中互化正確；對于B，log39=2可化為32=9，所以B中互化不正確；對于C，8-13=12可化為log8對于D，log77=1可化為71=7，所以D中互化正確.故選：B.【變式3-3】（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）將13?2=9A．log913=?2；C．log139=?2； 【解題思路】根據(jù)指數(shù)式和對數(shù)式間的互化公式求解即可．【解答過程】根據(jù)對數(shù)的定義和13故選：C．【題型4指、對數(shù)方程的求解】【方法點(diǎn)撥】解指數(shù)方程：將指數(shù)方程中的看成一個(gè)整體，解（一元二次）方程，解出的值，求x.解對數(shù)方程：對數(shù)方程主要有兩種類型，第一種類型的對數(shù)方程兩邊都是對數(shù)式且底數(shù)相同，根據(jù)真數(shù)相同轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程求解；第二種類型的對數(shù)方程可整理成關(guān)于的（一元二次）方程，解出的值，求x.【例4】（2022·安徽·合肥模擬）方程lnlog3xA．1 B．2 C．e D．3【解題思路】利用指數(shù)與對數(shù)的轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)果.【解答過程】∵lnlog3x=0，∴l(xiāng)og故選：D.【變式4-1】（2021·全國·高一專題練習(xí)）方程log2A．12 B．14 C．22【解題思路】把對數(shù)式化為指數(shù)式即可得出．【解答過程】方程log2x=1故選：D．【變式4-2】（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）方程4x－2x＋1－3＝0的解是（

）．A．log32 B．1 C．log23 D．2【解題思路】結(jié)合指數(shù)運(yùn)算化簡已知條件，求得2x，再求得x【解答過程】方程4x－2x＋1－3＝0可化為(2x)2－2·2x－3＝0，即(2x－3)(2x＋1)＝0，∵2x>0，∴2x＝3，∴x＝log23.故選：C.【變式4-3】（2022·陜西·高一階段練習(xí)）如果方程(lgx)2+(lg7+lg5)lgx+lg7?lg5=0的兩根為α、A．135 B．lg35 C．lg7?lg5 D．【解題思路】利用根與系數(shù)的關(guān)系和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)直接求得.【解答過程】由題意知，lgα、lgβ是一元二次方程依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得lgα+lgβ=?(lg7+lg5)，lg(故選：A.【題型5帶附加條件的指、對數(shù)問題】【方法點(diǎn)撥】帶附加條件的指、對數(shù)問題主要是已知一些指數(shù)值、對數(shù)值或其等量關(guān)系，利用這些條件來表示所要求的式子，解此類問題要充分利用指數(shù)、對數(shù)的轉(zhuǎn)化，同時(shí)，還要注意整體思想的應(yīng)用.【例5】（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知loga3=m，loga2=(1)求am(2)若0<x<1，x+x?1【解題思路】（1）根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系將對數(shù)式化為指數(shù)式，再根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可得；（2）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算求出a，再根據(jù)乘法公式求出x?【解答過程】（1）解：由loga3=m，loga2=因此am（2）解：∵m+n=log32+1=log3于是x?由0<x<1知x?∴x2【變式5-1】（2022·天津市高二期末）計(jì)算下列各題：(1)已知2a=5(2)求2log【解題思路】（1）根據(jù)指數(shù)和對數(shù)的關(guān)系，將指數(shù)式化為對數(shù)式，再根據(jù)換底公式及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得；（2）根據(jù)換底公式及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得；【解答過程】(1)解：因?yàn)?a=5b=所以1a=log所以1a(2)解：2====2lg3【變式5-2】（2022·遼寧·高一開學(xué)考試）已知3a=5，(1)27a(2)a+【解題思路】（1）根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算化簡求值即可；（2）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及換底公式求解即可.【解答過程】(1)由b=log25∴27(2)∵3∴a∴=(log【變式5-3】（2021·徐州市期末）（1）已知2lg(x?2y（2）已知a+a?1=7，分別求a2【解題思路】（1）利用對數(shù)式的運(yùn)算化簡后，變形即可得出xy=1或xy（2）將等式兩邊平方即可求處a2+a?2；先算出(a【解答過程】（1）要使對數(shù)式有意義，必須滿足{x在此前提下，原等式可化為lg(從而(x?2y因?yàn)閥>0，上式等號兩邊同除以y2，得解得xy=1當(dāng)xy=1時(shí)，當(dāng)xy=4時(shí)，x?2（2）將a+a?1得a2（a由a+a?1=7知a>0a=(=3×(7?1)=18.【題型6對數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】對數(shù)運(yùn)算在實(shí)際生產(chǎn)和科學(xué)研究中應(yīng)用廣泛，其應(yīng)用問題大致可以分為兩類：(1)建立對數(shù)式，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行一些實(shí)際求值，計(jì)算時(shí)要注意指數(shù)式與對數(shù)式的互化；(2)建立指數(shù)函數(shù)型應(yīng)用模型，再進(jìn)行指數(shù)求值，此時(shí)往往將等式兩邊同時(shí)取對數(shù)進(jìn)行計(jì)算.【例6】（2022·廣東汕頭·高三階段練習(xí)）核酸檢測分析是用熒光定量PCR法，通過化學(xué)物質(zhì)的熒光信號，對在PCR擴(kuò)增進(jìn)程中成指數(shù)級增加的靶標(biāo)DNA實(shí)時(shí)監(jiān)測，在PCR擴(kuò)增的指數(shù)時(shí)期，熒光信號強(qiáng)度達(dá)到閥值時(shí)，DNA的數(shù)量X與擴(kuò)增次數(shù)n滿足lgXn=nlg(1+p)+lgX0，其中X0為DNA的初始數(shù)量，A．22.2% B．43.8% C．56.2% D．77.8%【解題思路】由題意Xn【解答過程】解：由題意知，lg(1000X即lg10即3+lgX所以1+p=10故選：D．【變式6-1】（2022·四川綿陽·高二期末（文））酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為．根據(jù)國家有關(guān)規(guī)