寧夏石嘴山市2024-2025學(xué)年高三上冊(cè)11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

寧夏石嘴山市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一項(xiàng)是符合題目要求.1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B.1 C. D.2【正確答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則得到復(fù)數(shù)，再求復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的模即可.【詳解】由已知條件，,共軛復(fù)數(shù)，所以.故選：C.2.已知集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.無(wú)數(shù)個(gè)【正確答案】B【分析】根據(jù)給定條件，建立不等式，求出不等式的整數(shù)解個(gè)數(shù)即可.【詳解】依題意，，即，且，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，顯然當(dāng)時(shí)，，所以，中元素的個(gè)數(shù)為.故選：B3.已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，則“”是“數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】利用與的關(guān)系，得到，進(jìn)而利用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可【詳解】已知，所以，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列；當(dāng)數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列時(shí)，因?yàn)椴恢醉?xiàng)，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和不確定，所以是充分不必要條件故選：A4.函數(shù)的圖象不可能是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】函數(shù)表達(dá)式中含有參數(shù)a，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，【詳解】若，則，選項(xiàng)C符合；若，則函數(shù)定義域?yàn)镽，選項(xiàng)B符合若，則，選項(xiàng)A符合，所以不可能是選項(xiàng)D.故選：D.5.已知，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用兩角差的余弦定理和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系建立等式求解，再由兩角和的余弦公式求解即可．【詳解】由已知可得，解得，，，，故選：D．6.已知數(shù)列是等比數(shù)列，，，若，則（）A.4 B.5 C.6 D.7【正確答案】B【分析】由題意，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算可得，結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)求和公式計(jì)算即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由，解得，所以，解得.故選：B7.已知的斜邊為，且，，則直角邊中點(diǎn)的軌跡方程是（）A. B.C.（且） D.（且）【正確答案】C【分析】設(shè)，根據(jù)是線段的中點(diǎn)，得到，根據(jù)計(jì)算即可求得的軌跡方程.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，是線段的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，所以，即，所以，由，得，即，又不能與重合，所以且，解得且，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（且）.故選：C8.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.是函數(shù)的周期B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)的圖象可由函數(shù)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到D.函數(shù)的對(duì)稱軸方程為【正確答案】B【分析】利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐一判斷選項(xiàng)即可.【詳解】A：因?yàn)椋允呛瘮?shù)的周期，故A正確；B：∵，∴，又在上不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；C：函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象，故C正確；D：令，得，故D正確，故選：B思路點(diǎn)睛：解答選項(xiàng)A的思路為驗(yàn)證；選項(xiàng)BD為整體代換法的應(yīng)用；選項(xiàng)C為函數(shù)圖象的平移變換.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知圓與圓，下列說(shuō)法正確的是（）A.與的公切線恰有4條B.與相交弦的方程為C.與相交弦的弦長(zhǎng)為D.若分別是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則【正確答案】BD【分析】由根據(jù)兩圓之間的位置關(guān)系確定公切線個(gè)數(shù)；如果兩圓相交，進(jìn)行兩圓方程的做差可以得到相交弦的直線方程；通過(guò)垂徑定理可以求弦長(zhǎng)；兩圓上的點(diǎn)的最長(zhǎng)距離為圓心距和兩半徑之和，逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】由已知得圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，故兩圓相交，所以與的公切線恰有2條，故A錯(cuò)誤；做差可得與相交弦的方程為到相交弦的距離為，故相交弦的弦長(zhǎng)為，故C錯(cuò)誤；若分別是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則，故D正確.故選：BD10.如圖是正四面體（各面均為正三角形）的平面展開(kāi)圖，、、、分別為、、、的中點(diǎn)．在這個(gè)正四面體中，則（）A.與為異面直線 B.與平行C.與成角 D.與垂直【正確答案】ACD【分析】將正四面體的平面展開(kāi)圖還原，利用異面直線的概念可判斷AB選項(xiàng)；利用異面所成角可判斷C選項(xiàng)；推導(dǎo)出平面，利用線面垂直的性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).【詳解】把正四面體的平面展開(kāi)圖還原，如下圖所示：對(duì)于A選項(xiàng)，由圖可知，與為異面直線，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，與為異面直線，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，同理可得，因?yàn)榈冗吶切?，即，因此，與成角，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，連接、，因?yàn)闉榈冗吶切危覟榈闹悬c(diǎn)，則，同理可得，因?yàn)?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，，因?yàn)椋?，D對(duì).故選：ACD.11.已知函數(shù)，均是上的連續(xù)函數(shù)，，分別為函數(shù)和的導(dǎo)函數(shù)，且，，若為奇函數(shù)，則（）A.周期函數(shù) B.為奇函數(shù)C.關(guān)于對(duì)稱 D.存在，使【正確答案】ACD【分析】根據(jù)給定條件，利用賦值法變換給定等式可得及，再結(jié)合奇函數(shù)及等差數(shù)列通項(xiàng)求解、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)求解判斷即得.【詳解】函數(shù)，均是定義在上的連續(xù)函數(shù)，①，②，將②式中換為得③，①+③得，則的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱；將②式中換為得：④，①-④得：，因此不是奇函數(shù)，B錯(cuò)誤；，即，所以關(guān)于對(duì)稱，C正確；由及為奇函數(shù)，得，即，同時(shí)求導(dǎo)可得：，即，所以是周期函數(shù)，周期為2，故A正確；又為奇函數(shù)，，，則，結(jié)合當(dāng)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為6的等差數(shù)列，則，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為6，公差為6的等差數(shù)列，則，因此時(shí)，，顯然滿足上式，即，，令，解得：，D正確.故選：ACD結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的定義域?yàn)镈，，①存在常數(shù)a，b使得，則函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.②存在常數(shù)a使得，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱.第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面向量，則向量在向量上的投影向量為_(kāi)___．【正確答案】【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)求，利用投影向量公式求解即可.詳解】∵,∴,∴，.所以向量在向量上的投影向量為.故答案為.13.在等比數(shù)列中，，，則______．【正確答案】31【分析】設(shè)，則，利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解，【詳解】設(shè)，則，所以．故3114.如圖，蹴鞠，又名“鞠球”“鞠圓”等，“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動(dòng)，類似今日的踢足球活動(dòng)．已知各頂點(diǎn)都在某“蹴”的表面上的正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，球的體積為，則這個(gè)正四棱柱的側(cè)面積的最大值為_(kāi)______．【正確答案】【分析】由球的體積可確定其半徑，根據(jù)正四棱柱外接球半徑與底面外接圓半徑和高之間關(guān)系可構(gòu)造方程，求得，根據(jù)側(cè)面積公式可將側(cè)面積表示為關(guān)于的函數(shù)，借助于基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)球的半徑為，則，解得：；正四棱柱底面正方形外接圓半徑，又，，解得：，正四棱柱側(cè)面積，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），，即正四棱柱側(cè)面積的最大值為.故答案為.思路點(diǎn)睛：本題考查立體幾何中的最值問(wèn)題的求解，求解此類問(wèn)題的基本思路是將所求內(nèi)容表示為關(guān)于某一變量的函數(shù)的形式，進(jìn)而利用函數(shù)值域的求解方法或基本不等式求得最值.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知△ABC中，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，且.（1）求角的大?。唬?）設(shè)點(diǎn)為上一點(diǎn)，是的角平分線，且，，求的面積.【正確答案】（1）（2）分析】（1）由正弦定理實(shí)行角化邊，然后利用余弦定理即可得到答案（2）先利用三角形的面積關(guān)系解出，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算答案即可【小問(wèn)1詳解】在△ABC中，由正弦定理及得：，..由余弦定理得，又，所以【小問(wèn)2詳解】是的角平分線，，由可得因?yàn)?，，即有，，?6.已知數(shù)列滿足：，且，等差數(shù)列的公差為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，，且、、成等比數(shù)列．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析，（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）由已知條件可得出，利用等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立，確定數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的求和公式可得出的值，結(jié)合已知條件求出的值，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求出，即可結(jié)論成立.【小問(wèn)1詳解】由可得，且，所以數(shù)列是公比和首項(xiàng)都為的等比數(shù)列，所以，，故.【小問(wèn)2詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，且，因?yàn)?，可得，因?yàn)?、、成等比?shù)列，即，因?yàn)?，解得，所以，，因?yàn)?，綜上所述，對(duì)任意，.17.設(shè)函數(shù).（1）求的極值；（2）若對(duì)任意，有恒成立，求的最大值.【正確答案】（1）極小值，無(wú)極大值；（2）.【分析】（1）求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性即可確定極值;（2）分離參數(shù)并構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性求出最小值即可求解.【小問(wèn)1詳解】.令f′x>0，得，令f′故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.∴fx在處取得極小值，無(wú)極大值.【小問(wèn)2詳解】對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立.令，則只需即可..易知均在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增且.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，單調(diào)遞增.故，故的最大值為.18.如圖，在三棱柱中，平面，，，，點(diǎn)，分別在棱和棱上，且，，為棱的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）存在滿足題意的點(diǎn)，此時(shí)【分析】（1）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)表示可得，即可證明；（2）利用空間向量法求解線面角即可；（3）假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)，設(shè)（），根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示可得，進(jìn)而求出平面的一個(gè)法向量，結(jié)合空間向量法求解面面角建立方程，解之即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意知，，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，所以，得，所以.【小問(wèn)2詳解】，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，所以，所以，即AB與平面所成角的正弦值為.【小問(wèn)3詳解】假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)，設(shè)（），由（1）（2）知，所以，得，解得，即，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，所以，又平面的一個(gè)法向量為，故，整理得，由，得.即當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，平面與平面所成角的余弦值為，此時(shí)，即.19.如圖，已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）我們把各邊與橢圓的對(duì)稱軸垂直或平行的內(nèi)接四邊形叫做橢圓的內(nèi)接矩形，設(shè)四邊形是橢圓的一個(gè)內(nèi)接矩形，求矩形的周長(zhǎng)的最大值；（3）設(shè)是經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)的任一弦（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)），直線與直線相交于點(diǎn)，記，，的斜率分別為，，，求證：．【正確答案】（1）；（2）（3）證明過(guò)程見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)離心率和，得到方程組，求出，得到橢圓方程；（2）設(shè)，，所以矩形的周長(zhǎng)為，其中，利用三角函數(shù)的性質(zhì)得到矩形的周長(zhǎng)最大值為；（3）直線斜率一定存在，設(shè)直線為y=kx?1，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，表達(dá)出，代入兩根之和，兩根之積，得到.【小問(wèn)1詳解】將代入橢圓方程得，又，故，其中，解得，故橢圓方程為；【小問(wèn)2詳解】如圖，設(shè)，，