2025屆山東省鄒城市第一中學(xué)高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題含解析

2025屆山東省鄒城市第一中學(xué)高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)命題函數(shù)在上遞增，命題在中，，下列為真命題的是（）A． B． C． D．2．已知定義在上的偶函數(shù)滿足，且在區(qū)間上是減函數(shù)，令，則的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．3．已知向量，，，若，則（）A． B． C． D．4．已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的零點所在區(qū)間為（）A． B． C． D．5．已知，且，則（）A． B． C． D．6．若時，，則的取值范圍為（）A． B． C． D．7．已知集合，，，則的子集共有（）A．個 B．個 C．個 D．個8．已知直線過圓的圓心，則的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．49．如圖所示的程序框圖輸出的是126，則①應(yīng)為（）A． B． C． D．10．記個兩兩無交集的區(qū)間的并集為階區(qū)間如為2階區(qū)間，設(shè)函數(shù)，則不等式的解集為（）A．2階區(qū)間 B．3階區(qū)間 C．4階區(qū)間 D．5階區(qū)間11．已知雙曲線的左、右頂點分別為，點是雙曲線上與不重合的動點，若，則雙曲線的離心率為()A． B． C．4 D．212．若函數(shù)的圖象上兩點，關(guān)于直線的對稱點在的圖象上，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在三棱錐中，，，兩兩垂直且，點為的外接球上任意一點，則的最大值為______.14．直線與拋物線交于兩點，若，則弦的中點到直線的距離等于________.15．設(shè)函數(shù)，若存在實數(shù)m，使得關(guān)于x的方程有4個不相等的實根，且這4個根的平方和存在最小值，則實數(shù)a的取值范圍是______.16．在數(shù)列中，，則數(shù)列的通項公式_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）隨著電子閱讀的普及，傳統(tǒng)紙質(zhì)媒體遭受到了強(qiáng)烈的沖擊．某雜志社近9年來的紙質(zhì)廣告收入如下表所示：根據(jù)這9年的數(shù)據(jù)，對和作線性相關(guān)性檢驗，求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值為0.243；根據(jù)后5年的數(shù)據(jù)，對和作線性相關(guān)性檢驗，求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值為0.984.（1）如果要用線性回歸方程預(yù)測該雜志社2019年的紙質(zhì)廣告收入，現(xiàn)在有兩個方案，方案一：選取這9年數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，方案二：選取后5年數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測．從實際生活背景以及線性相關(guān)性檢驗的角度分析，你覺得哪個方案更合適？附：相關(guān)性檢驗的臨界值表：（2）某購物網(wǎng)站同時銷售某本暢銷書籍的紙質(zhì)版本和電子書，據(jù)統(tǒng)計，在該網(wǎng)站購買該書籍的大量讀者中，只購買電子書的讀者比例為，紙質(zhì)版本和電子書同時購買的讀者比例為，現(xiàn)用此統(tǒng)計結(jié)果作為概率，若從上述讀者中隨機(jī)調(diào)查了3位，求購買電子書人數(shù)多于只購買紙質(zhì)版本人數(shù)的概率．18．（12分）已知矩陣的逆矩陣.若曲線：在矩陣A對應(yīng)的變換作用下得到另一曲線，求曲線的方程.19．（12分）已知函數(shù)（1）若函數(shù)有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）設(shè)都是正數(shù)，且，．求證：．21．（12分）已知正實數(shù)滿足.（1）求的最小值.（2）證明：22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面，，，，為的中點，是上的點.（1）若平面，證明：平面.（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

命題：函數(shù)在上單調(diào)遞減，即可判斷出真假．命題：在中，利用余弦函數(shù)單調(diào)性判斷出真假．【詳解】解：命題：函數(shù)，所以，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此是假命題．命題：在中，在上單調(diào)遞減，所以，是真命題．則下列命題為真命題的是．故選：C．【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、正弦定理、三角形邊角大小關(guān)系、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解析】

可設(shè)，根據(jù)在上為偶函數(shù)及便可得到：，可設(shè)，，且，根據(jù)在上是減函數(shù)便可得出，從而得出在上單調(diào)遞增，再根據(jù)對數(shù)的運算得到、、的大小關(guān)系，從而得到的大小關(guān)系.【詳解】解：因為，即，又，設(shè)，根據(jù)條件，，；若，，且，則：；在上是減函數(shù)；；；在上是增函數(shù)；所以，故選：C【點睛】考查偶函數(shù)的定義，減函數(shù)及增函數(shù)的定義，根據(jù)單調(diào)性定義判斷一個函數(shù)單調(diào)性的方法和過程：設(shè)，通過條件比較與，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題.3、A【解析】

根據(jù)向量坐標(biāo)運算求得，由平行關(guān)系構(gòu)造方程可求得結(jié)果.【詳解】，，解得：故選：【點睛】本題考查根據(jù)向量平行關(guān)系求解參數(shù)值的問題，涉及到平面向量的坐標(biāo)運算；關(guān)鍵是明確若兩向量平行，則.4、B【解析】由函數(shù)f(x)的圖象可知，0＜f(0)＝a＜1，f(1)＝1－b＋a＝0，所以1＜b＜2.又f′(x)＝2x－b，所以g(x)＝ex＋2x－b，所以g′(x)＝ex＋2＞0，所以g(x)在R上單調(diào)遞增，又g(0)＝1－b＜0，g(1)＝e＋2－b＞0，根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理可知，函數(shù)g(x)的零點所在的區(qū)間是(0，1)，故選B.5、B【解析】分析：首先利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合題中所給的角的范圍，求得的值，之后借助于倍角公式，將待求的式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，代入從而求得結(jié)果.詳解：根據(jù)題中的條件，可得為銳角，根據(jù)，可求得，而，故選B.點睛：該題考查的是有關(guān)同角三角函數(shù)關(guān)系式以及倍角公式的應(yīng)用，在解題的過程中，需要對已知真切求余弦的方法要明確，可以應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式求解，也可以結(jié)合三角函數(shù)的定義式求解.6、D【解析】

由題得對恒成立，令，然后分別求出即可得的取值范圍.【詳解】由題得對恒成立，令，在單調(diào)遞減，且，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，又在單調(diào)遞增，，的取值范圍為.故選：D【點睛】本題主要考查了不等式恒成立問題，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.求解不等式恒成立問題，可采用參變量分離法去求解.7、B【解析】

根據(jù)集合中的元素，可得集合，然后根據(jù)交集的概念，可得，最后根據(jù)子集的概念，利用計算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，所以集合則所以的子集共有故選：B【點睛】本題考查集合的運算以及集合子集個數(shù)的計算，當(dāng)集合中有元素時，集合子集的個數(shù)為，真子集個數(shù)為，非空子集為，非空真子集為，屬基礎(chǔ)題.8、D【解析】

圓心坐標(biāo)為，代入直線方程，再由乘1法和基本不等式，展開計算即可得到所求最小值．【詳解】圓的圓心為，由題意可得，即，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)且即時取等號，故選：．【點睛】本題考查最值的求法，注意運用乘1法和基本不等式，注意滿足的條件：一正二定三等，同時考查直線與圓的關(guān)系，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．9、B【解析】試題分析：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并輸出滿足循環(huán)的條件．解：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并輸出滿足循環(huán)的條件．∵S=2+22+…+21=121，故①中應(yīng)填n≤1．故選B點評：算法是新課程中的新增加的內(nèi)容，也必然是新高考中的一個熱點，應(yīng)高度重視．程序填空也是重要的考試題型，這種題考試的重點有：①分支的條件②循環(huán)的條件③變量的賦值④變量的輸出．其中前兩點考試的概率更大．此種題型的易忽略點是：不能準(zhǔn)確理解流程圖的含義而導(dǎo)致錯誤．10、D【解析】

可判斷函數(shù)為奇函數(shù)，先討論當(dāng)且時的導(dǎo)數(shù)情況，再畫出函數(shù)大致圖形，將所求區(qū)間端點值分別看作對應(yīng)常函數(shù)，再由圖形確定具體自變量范圍即可求解【詳解】當(dāng)且時，.令得.可得和的變化情況如下表：令，則原不等式變?yōu)?，由圖像知的解集為，再次由圖像得到的解集由5段分離的部分組成，所以解集為5階區(qū)間.故選：D【點睛】本題考查由函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性求解對應(yīng)自變量范圍，導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)增減性，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于難題11、D【解析】

設(shè)，，，根據(jù)可得①，再根據(jù)又②，由①②可得，化簡可得，即可求出離心率．【詳解】解：設(shè)，，，∵，∴，即，①又，②，由①②可得，∵，∴，∴，∴，即，故選：D．【點睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查了斜率的計算，離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題和易錯題．12、D【解析】

由題可知，可轉(zhuǎn)化為曲線與有兩個公共點，可轉(zhuǎn)化為方程有兩解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，分析即得解【詳解】函數(shù)的圖象上兩點，關(guān)于直線的對稱點在上，即曲線與有兩個公共點，即方程有兩解，即有兩解，令，則，則當(dāng)時，；當(dāng)時，，故時取得極大值，也即為最大值，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以滿足條件．故選：D【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于較難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先根據(jù)三棱錐的幾何性質(zhì)，求出外接球的半徑，結(jié)合向量的運算，將問題轉(zhuǎn)化為求球體表面一點到外心距離最大的問題，即可求得結(jié)果.【詳解】因為兩兩垂直且，故三棱錐的外接球就是對應(yīng)棱長為2的正方體的外接球.且外接球的球心為正方體的體對角線的中點，如下圖所示：容易知外接球半徑為.設(shè)線段的中點為，故可得，故當(dāng)取得最大值時，取得最大值.而當(dāng)在同一個大圓上，且，點與線段在球心的異側(cè)時，取得最大值，如圖所示：此時，故答案為：.【點睛】本題考查球體的幾何性質(zhì)，幾何體的外接球問題，涉及向量的線性運算以及數(shù)量積運算，屬綜合性困難題.14、【解析】

由已知可知直線過拋物線的焦點，求出弦的中點到拋物線準(zhǔn)線的距離，進(jìn)一步得到弦的中點到直線的距離．【詳解】解：如圖，直線過定點，，而拋物線的焦點為，，弦的中點到準(zhǔn)線的距離為，則弦的中點到直線的距離等于．故答案為：．【點睛】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬于中檔題．15、【解析】

先確定關(guān)于x的方程當(dāng)a為何值時有4個不相等的實根，再將這四個根的平方和表示出來，利用函數(shù)思想來判斷當(dāng)a為何值時這4個根的平方和存在最小值即可.【詳解】由題意，當(dāng)時，，此時，此時函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，方程最多2個不相等的實根，舍；當(dāng)時，函數(shù)圖象如下所示：從左到右方程，有4個不相等的實根，依次為，，，，即，由圖可知，故，且，，從而，令，顯然，，要使該式在時有最小值，則對稱軸，解得.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是.【點睛】本題考查了函數(shù)和方程的知識，但需要一定的邏輯思維能力，屬于較難題.16、【解析】

由題意可得，又，數(shù)列的奇數(shù)項為首項為1，公差為2的等差數(shù)列，對分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，分別求出，從而得到數(shù)列的通項公式.【詳解】解：∵，∴①，②，①﹣②得：，又∵，∴數(shù)列的奇數(shù)項為首項為1，公差為2的等差數(shù)列，∴當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，則為奇數(shù)，∴，∴數(shù)列的通項公式，故答案為：.【點睛】本題考查求數(shù)列的通項公式，解題關(guān)鍵是由已知遞推關(guān)系得出，從而確定數(shù)列的奇數(shù)項成等差數(shù)列，求出通項公式后再由已知求出偶數(shù)項，要注意結(jié)果是分段函數(shù)形式．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）選取方案二更合適；（2）【解析】

(1)可以預(yù)見，2019年的紙質(zhì)廣告收入會接著下跌，前四年的增長趨勢已經(jīng)不能作為預(yù)測后續(xù)數(shù)據(jù)的依據(jù)，而后5年的數(shù)據(jù)得到的相關(guān)系數(shù)的絕對值，所以有的把握認(rèn)為與具有線性相關(guān)關(guān)系，從而可得結(jié)論；(2)求得購買電子書的概率為,只購買紙質(zhì)書的概率為,購買電子書人數(shù)多于只購買紙質(zhì)書人數(shù)有兩種情況：3人購買電子書，2人購買電子書一人只購買紙質(zhì)書，由此能求出購買電子書人數(shù)多于只購買紙質(zhì)版本人數(shù)的概率.【詳解】（1）選取方案二更合適，理由如下：①題中介紹了，隨著電子閱讀的普及，傳統(tǒng)紙媒受到了強(qiáng)烈的沖擊，從表格中的數(shù)據(jù)中可以看出從2014年開始，廣告收入呈現(xiàn)逐年下降的趨勢，可以預(yù)見，2019年的紙質(zhì)廣告收入會接著下跌，前四年的增長趨勢已經(jīng)不能作為預(yù)測后續(xù)數(shù)據(jù)的依據(jù).②相關(guān)系數(shù)越接近1，線性相關(guān)性越強(qiáng)，因為根據(jù)9年的數(shù)據(jù)得到的相關(guān)系數(shù)的絕對值，我們沒有理由認(rèn)為與具有線性相關(guān)關(guān)系；而后5年的數(shù)據(jù)得到的相關(guān)系數(shù)的絕對值，所以有的把握認(rèn)為與具有線性相關(guān)關(guān)系.(2)因為在該網(wǎng)站購買該書籍的大量讀者中，只購買電子書的讀者比例為，紙質(zhì)版本和電子書同時購買的讀者比例為，所以從該網(wǎng)站購買該書籍的大量讀者中任取一位，購買電子書的概率為，只購買紙質(zhì)書的概率為，購買電子書人數(shù)多于只購買紙質(zhì)書人數(shù)有兩種情況：3人購買電子書，2人購買電子書一人只購買紙質(zhì)書.概率為：.【點睛】本題主要考查最優(yōu)方案的選擇，考查了相關(guān)關(guān)系的定義以及互斥事件的概率與獨立事件概率公式的應(yīng)用，考查閱讀能力與運算求解能力，屬于中檔題.與實際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過現(xiàn)實生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.18、【解析】

根據(jù)，可解得，設(shè)為曲線任一點，在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到點，則點在曲線上，根據(jù)變換的定義寫出相應(yīng)的矩陣等式，再用表示出，代入曲線的方程中，即得.【詳解】，，即.，解得，.設(shè)為曲線任一點，則，又設(shè)在矩陣A變換作用得到點，則，即，所以即代入，得，所以曲線的方程為.【點睛】本題考查逆矩陣，矩陣與變換等，是基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）求導(dǎo)得到，討論和兩種情況，計算函數(shù)的單調(diào)性，得到，再討論，，三種情況，計算得到答案.（2）計算得到，討論，兩種情況，分別計算單調(diào)性得到函數(shù)最值，得到答案.【詳解】（1），①當(dāng)時恒成立，所以單調(diào)遞增，因為，所以有唯一零點，即符合題意；②當(dāng)時，令，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)。（i）當(dāng)即,所以符合題意，（ii）當(dāng)即時，因為，故存在,所以不符題意（iii）當(dāng)時，因為，設(shè)，所以,單調(diào)遞增，即，故存在，使得，不符題意；綜上，的取值范圍為。（2）。①當(dāng)時，恒成立，所以單調(diào)遞增，所以，即符合題意；②當(dāng)時，恒成立，所以單調(diào)遞增，又因為，所以存在，使得，且當(dāng)時，。即在上單調(diào)遞減，所以，不符題意。綜上，的取值范圍為.【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題，恒成立問題，意在考查學(xué)生的分類討論能力和綜合應(yīng)用能力.20、證明見解析【解析】

利用比較法進(jìn)行證明：把代數(shù)式展開、作差、化簡可得,,可證得成立,同理可證明,由此不等式得證.【詳解】證明:因為,，所以，∴成立，又都是正數(shù)，∴，①同理，∴．【點睛】本題考查利用比較法證明不等式;考查學(xué)生的邏輯推理能力和運算