2025屆重慶市四區(qū)聯(lián)考高考全國統(tǒng)考預(yù)測密卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆重慶市四區(qū)聯(lián)考高考全國統(tǒng)考預(yù)測密卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在三棱錐中，，，，，點(diǎn)到底面的距離為2，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．2．“”是“直線與互相平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．在中，，則（）A． B． C． D．4．已知滿足，，,則在上的投影為（）A． B． C． D．25．在邊長為1的等邊三角形中，點(diǎn)E是中點(diǎn)，點(diǎn)F是中點(diǎn)，則（）A． B． C． D．6．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋}：，的否定是（）A．， B．，C．， D．，7．設(shè)復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．某四棱錐的三視圖如圖所示，該幾何體的體積是（）A．8 B． C．4 D．9．已知雙曲線C：1（a＞0，b＞0）的焦距為8，一條漸近線方程為，則C為（）A． B．C． D．10．根據(jù)最小二乘法由一組樣本點(diǎn)（其中），求得的回歸方程是，則下列說法正確的是()A．至少有一個(gè)樣本點(diǎn)落在回歸直線上B．若所有樣本點(diǎn)都在回歸直線上，則變量同的相關(guān)系數(shù)為1C．對所有的解釋變量（），的值一定與有誤差D．若回歸直線的斜率，則變量x與y正相關(guān)11．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為（）A． B．C． D．12．甲乙兩人有三個(gè)不同的學(xué)習(xí)小組，，可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個(gè)學(xué)習(xí)小組，則兩人參加同一個(gè)小組的概率為（）A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)實(shí)數(shù)滿足約束條件,則的最大值為______.14．已知正數(shù)a，b滿足a+b=1，則的最小值等于__________，此時(shí)a=____________.15．某班星期一共八節(jié)課（上午、下午各四節(jié)，其中下午最后兩節(jié)為社團(tuán)活動(dòng)），排課要求為：語文、數(shù)學(xué)、外語、物理、化學(xué)各排一節(jié)，從生物、歷史、地理、政治四科中選排一節(jié).若數(shù)學(xué)必須安排在上午且與外語不相鄰（上午第四節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰），則不同的排法有__________種.16．已知橢圓，，若橢圓上存在點(diǎn)使得為等邊三角形（為原點(diǎn)），則橢圓的離心率為_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知a＞0，證明：1．18．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）記函數(shù)的最大值為，若，證明：.19．（12分）在平面四邊形(圖①)中，與均為直角三角形且有公共斜邊，設(shè)，∠，∠，將沿折起，構(gòu)成如圖②所示的三棱錐，且使=.（1）求證：平面⊥平面；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）2018年9月，臺(tái)風(fēng)“山竹”在我國多個(gè)省市登陸，造成直接經(jīng)濟(jì)損失達(dá)52億元.某青年志愿者組織調(diào)查了某地區(qū)的50個(gè)農(nóng)戶在該次臺(tái)風(fēng)中造成的直接經(jīng)濟(jì)損失，將收集的數(shù)據(jù)分成五組：，，，，（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）試根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該地區(qū)每個(gè)農(nóng)戶的平均損失（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）臺(tái)風(fēng)后該青年志愿者與當(dāng)?shù)卣蛏鐣?huì)發(fā)出倡議，為該地區(qū)的農(nóng)戶捐款幫扶，現(xiàn)從這50戶并且損失超過4000元的農(nóng)戶中隨機(jī)抽取2戶進(jìn)行重點(diǎn)幫扶，設(shè)抽出損失超過8000元的農(nóng)戶數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.21．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，試求曲線在點(diǎn)處的切線；（2）試討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．22．（10分）的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求的大小；（2）若，求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

首先根據(jù)垂直關(guān)系可確定，由此可知為三棱錐外接球的球心，在中，可以算出的一個(gè)表達(dá)式，在中，可以計(jì)算出的一個(gè)表達(dá)式，根據(jù)長度關(guān)系可構(gòu)造等式求得半徑，進(jìn)而求出球的表面積．【詳解】取中點(diǎn)，由，可知：，為三棱錐外接球球心，過作平面，交平面于，連接交于，連接，，，，，，為的中點(diǎn)由球的性質(zhì)可知：平面，，且．設(shè)，，，，在中，，即，解得：，三棱錐的外接球的半徑為：，三棱錐外接球的表面積為．故選：.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球的表面積的求解問題，求解幾何體外接球相關(guān)問題的關(guān)鍵是能夠利用球的性質(zhì)確定外接球球心的位置.2、A【解析】

利用兩條直線互相平行的條件進(jìn)行判定【詳解】當(dāng)時(shí)，直線方程為與，可得兩直線平行；若直線與互相平行，則，解得，，則“”是“直線與互相平行”的充分不必要條件，故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩直線平行的條件和性質(zhì)，充分條件，必要條件的定義和判斷方法，屬于基礎(chǔ)題．3、A【解析】

先根據(jù)得到為的重心，從而，故可得，利用可得，故可計(jì)算的值．【詳解】因?yàn)樗詾榈闹匦?，所?所以,所以，因?yàn)?，所以，故選A．【點(diǎn)睛】對于，一般地，如果為的重心，那么，反之，如果為平面上一點(diǎn)，且滿足，那么為的重心．4、A【解析】

根據(jù)向量投影的定義，即可求解.【詳解】在上的投影為.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查向量的投影，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

根據(jù)平面向量基本定理，用來表示，然后利用數(shù)量積公式，簡單計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：點(diǎn)E是中點(diǎn)，點(diǎn)F是中點(diǎn)，所以又所以則故選：C【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理以及數(shù)量積公式，掌握公式，細(xì)心觀察，屬基礎(chǔ)題.6、D【解析】

根據(jù)命題的否定的定義，全稱命題的否定是特稱命題求解.【詳解】因?yàn)椋?，是全稱命題，所以其否定是特稱命題，即，.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的否定，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

先把變形為，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，求出，得到其坐標(biāo)可得答案.【詳解】解：由，得，所以，其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

根據(jù)三視圖知，該幾何體是一條垂直于底面的側(cè)棱為2的四棱錐，畫出圖形，結(jié)合圖形求出底面積代入體積公式求它的體積．【詳解】根據(jù)三視圖知，該幾何體是側(cè)棱底面的四棱錐，如圖所示：結(jié)合圖中數(shù)據(jù)知，該四棱錐底面為對角線為2的正方形，高為PA=2，∴四棱錐的體積為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖求幾何體體積，由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力．屬于中等題.9、A【解析】

由題意求得c與的值，結(jié)合隱含條件列式求得a2，b2，則答案可求.【詳解】由題意，2c＝8，則c＝4，又，且a2+b2＝c2，解得a2＝4，b2＝12.∴雙曲線C的方程為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

對每一個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷得解.【詳解】回歸直線必過樣本數(shù)據(jù)中心點(diǎn)，但樣本點(diǎn)可能全部不在回歸直線上﹐故A錯(cuò)誤；所有樣本點(diǎn)都在回歸直線上，則變量間的相關(guān)系數(shù)為，故B錯(cuò)誤；若所有的樣本點(diǎn)都在回歸直線上，則的值與相等，故C錯(cuò)誤；相關(guān)系數(shù)r與符號相同，若回歸直線的斜率，則，樣本點(diǎn)分布應(yīng)從左到右是上升的，則變量x與y正相關(guān)，故D正確．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查線性回歸方程的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.11、B【解析】

還原幾何體可知原幾何體為半個(gè)圓柱和一個(gè)四棱錐組成的組合體，分別求解兩個(gè)部分的體積，加和得到結(jié)果.【詳解】由三視圖還原可知，原幾何體下半部分為半個(gè)圓柱，上半部分為一個(gè)四棱錐半個(gè)圓柱體積為：四棱錐體積為：原幾何體體積為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查三視圖的還原、組合體體積的求解問題，關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確還原幾何體，從而分別求解各部分的體積.12、A【解析】依題意，基本事件的總數(shù)有種，兩個(gè)人參加同一個(gè)小組，方法數(shù)有種，故概率為.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

試題分析：作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，最大，且考點(diǎn)：線性規(guī)劃.14、3【解析】

根據(jù)題意，分析可得，由基本不等式的性質(zhì)可得最小值，進(jìn)而分析基本不等式成立的條件可得a的值，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，正數(shù)a、b滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故的最小值為3，此時(shí).故答案為：3；.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式及其應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于基礎(chǔ)題.15、1344【解析】

分四種情況討論即可【詳解】解：數(shù)學(xué)排在第一節(jié)時(shí)有：數(shù)學(xué)排在第二節(jié)時(shí)有：數(shù)學(xué)排在第三節(jié)時(shí)有：數(shù)學(xué)排在第四節(jié)時(shí)有：所以共有1344種故答案為：1344【點(diǎn)睛】考查排列、組合的應(yīng)用，注意分類討論，做到不重不漏；基礎(chǔ)題.16、【解析】

根據(jù)題意求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，將其代入橢圓的方程，求出參數(shù)m的值，再根據(jù)離心率的定義求值.【詳解】由題意得，將其代入橢圓方程得，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、證明見解析【解析】

利用分析法，證明a即可．【詳解】證明：∵a＞0，∴a1，∴a1≥0，∴要證明1，只要證明a1（a）1﹣4（a）+4，只要證明：a，∵a1，∴原不等式成立．【點(diǎn)睛】本題考查不等式的證明，著重考查分析法的運(yùn)用，考查推理論證能力，屬于中檔題．18、（1）；（2）證明見解析【解析】

（1）將函數(shù)整理為分段函數(shù)形式可得,進(jìn)而分類討論求解不等式即可；（2）先利用絕對值不等式的性質(zhì)得到的最大值為3,再利用均值定理證明即可.【詳解】（1）①當(dāng)時(shí)，恒成立，；②當(dāng)時(shí)，，即，；③當(dāng)時(shí)，顯然不成立，不合題意；綜上所述，不等式的解集為.（2）由（1）知，于是由基本不等式可得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）上述三式相加可得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），，故得證.【點(diǎn)睛】本題考查解絕對值不等式和利用均值定理證明不等式,考查絕對值不等式的最值的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握分類討論解決帶絕對值不等式的方法，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.19、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）取AB的中點(diǎn)O，連接，證得，從而證得C′O⊥平面ABD，再結(jié)合面面垂直的判定定理，即可證得平面⊥平面；（2）以O(shè)為原點(diǎn)，AB，OC所在的直線為y軸，z軸，建立的空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【詳解】(1)取AB的中點(diǎn)O，連接，，在Rt△和Rt△ADB中，AB=2，則=DO=1，又C′D=，所以，即⊥OD，又⊥AB，且AB∩OD=O，平面ABD，所以⊥平面ABD，又C′O?平面，所以平面⊥平面DAB（2）以O(shè)為原點(diǎn)，AB，OC所在的直線為y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，-1，0)，B(0，1，0)，C′(0，0，1)，，所以，，，設(shè)平面的法向量為=()，則，即，代入坐標(biāo)得，令，得，，所以，設(shè)平面的法向量為=（），則，即，代入坐標(biāo)得，令，得，，所以，所以，所以二面角A-C′D-B的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的判定與證明，以及空間角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過嚴(yán)密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵，同時(shí)對于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.20、（1）3360元；（2）見解析【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算每個(gè)農(nóng)戶的平均損失；（2）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算隨機(jī)變量X的可能取值，再求X的分布列和數(shù)學(xué)期望值．【詳解】（1）記每個(gè)農(nóng)戶的平均損失為元，則；（2）由頻率分布直方圖，可得損失超過1000元的農(nóng)戶共有（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50＝15（戶），損失超過8000元的農(nóng)戶共有0.00003×2000×50＝3（戶），隨機(jī)抽取2戶，則X的可能取值為0，1，2；計(jì)算P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，所以X的分布列為；X012P數(shù)學(xué)期望為E（X）＝0×+1×+2×＝．【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖與離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望計(jì)算問題，屬于中檔題．21、（1）；（2）見解析【解析】

（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，可以求出曲線在點(diǎn)處的切線，利用直線的斜截式方程可以求出曲線的切線方程；（2）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，對實(shí)數(shù)進(jìn)行分類討論，可以求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋?所以切線方程為；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞增當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)定義域?yàn)椋衷趩握{(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)?，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，設(shè)的兩個(gè)根為且，由韋達(dá)定理易知兩根均為正根，且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，又對稱軸，且，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增【點(diǎn)