專題18 一次函數(shù)的規(guī)律探究問題 帶解析

2022-2023學(xué)年湘教版八年級數(shù)學(xué)下冊精選壓軸題培優(yōu)卷專題18一次函數(shù)的規(guī)律探究問題考試時間：120分鐘試卷滿分：100分評卷人得分一、選擇題(共10題，每題3分，共30分)1．(本題3分)（2023秋·安徽合肥·八年級合肥市第四十五中學(xué)?？计谀┤鐖D.在平面直角坐標系中，點，，，…和，，，…分別在直線和軸上，，，，…都是等腰直角三角形，如果點，那么的縱坐標是（

）A． B． C． D．【答案】A【思路點撥】設(shè)點，，，…，坐標，結(jié)合函數(shù)解析式，尋找縱坐標規(guī)律，進而解題．【規(guī)范解答】解：過作軸于，過作軸于，過作軸于，…如圖，∵在直線上，∴，∴，∴，設(shè)，，，…，，則有，，…又∵，，…都是等腰直角三角形，軸，軸，軸…，∴，，…∴，，…，將點坐標依次代入直線解析式得到：，，，…，又∵，∴，，，…，故選：A．【考點評析】本題考查一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、等腰直角三角形以及規(guī)律型：點的坐標，通過運算發(fā)現(xiàn)縱坐標的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．2．(本題3分)（2021春·廣西南寧·八年級三美學(xué)校?？计谥校┤鐖D，平面直角坐標系中，點的坐標為，以為圓心，的長為半徑畫弧，交直線于點；過點作軸交直線于點，以為圓心，長為半徑畫弧，交直線于點；過點作軸交直線于點，以點為圓心，長為半徑畫弧，交直線于點；…按如此規(guī)律進行下去，點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【思路點撥】根據(jù)題意可以求得點的坐標，點的坐標，點的坐標，然后即可發(fā)現(xiàn)坐標變化的規(guī)律，從而可以求得點的坐標．【規(guī)范解答】解：由題意可得，點的坐標為，設(shè)點的坐標為，∵，解得，，（負根舍去）∴點的坐標為，同理可得，點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，……∴點的坐標為，故選：B．【考點評析】本題考查一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、點的坐標，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中坐標的變化規(guī)律，求出相應(yīng)的點的坐標．3．(本題3分)（2022秋·江蘇蘇州·八年級蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系中，，，，…都是等腰直角三角形，其直角頂點，，，…均在直線，設(shè)，，，…的面積分別為，，，根據(jù)圖形所反映的規(guī)律，（

）A． B． C． D．【答案】A【思路點撥】過點作軸于點，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得出，結(jié)合點的坐標可求出的值，設(shè)點的坐標為，，利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出，，，的值，再利用三角形的面積公式即可得出，，，的值，代入即可求出結(jié)論．【規(guī)范解答】解：過點作軸于點，如圖所示．△，△，△，都是等腰直角三角形，，，，，．點的坐標為，；設(shè)點的坐標為，，則點的坐標為，．點在直線上，，，，點的坐標為，，即，．點在直線上，，，．，，，，，，．故選：A．【考點評析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、等腰直角三角形以及規(guī)律型：點的坐標，利用點的變化，找出點縱坐標的變化規(guī)律“”是解題的關(guān)鍵．4．(本題3分)（2022秋·河南鄭州·八年級?？计谥校┤鐖D，已知直線a：，直線b：和點，過點P作y軸的平行線交直線a于點，過點作x軸的平行線交直線b于點，過點作y軸的平行線交直線a于點，過點作x軸的平行線交直線b于點，…，按此作法進行下去，則點的橫坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【思路點撥】點在直線上，得到，求得的縱坐標的縱坐標，得到，即的橫坐標為，同理，的橫坐標為，的橫坐標為，的橫坐標為，的橫坐標為，的橫坐標為，的橫坐標為，求得的橫坐標為，于是得到結(jié)論．【規(guī)范解答】點，在直線上，，軸，的縱坐標的縱坐標，在直線上，，，，即的橫坐標為，同理，的橫坐標為，的橫坐標為，的橫坐標為，的橫坐標為，的橫坐標為，的橫坐標為，∴的橫坐標為，的橫坐標為，的橫坐標為，的橫坐標為，故選：D．【考點評析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，規(guī)律型：點的坐標，正確的找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．5．(本題3分)（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系中，函數(shù)y=x和y=－x的圖像分別為直線、，過點(1，－)作x軸的垂線交于點，過點作y軸的垂線交于點，過點作x軸的垂線交于點，過點作y軸的重線交于點，……依次進行下去，則點的橫坐標為（

）A． B．－ C．－ D．【答案】C【思路點撥】由題意分別求出的坐標，找出的橫坐標的規(guī)律，即可求解．【規(guī)范解答】解：∵過點(1，－)作x軸的垂線交于點，過點作y軸的垂線交于點，過點作x軸的垂線交于點，過點作y軸的重線交于點，……依次進行下去，∴與橫坐標相同，與縱坐標相同，∴當x=1時，y=1，∴（1，1），∴當y=1時，x=-2，（-2，1），同理可得：…∴的橫坐標為，∴點的橫坐標．故選C．【考點評析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征及規(guī)律型中數(shù)字的變化類，找出點的橫坐標是解題的關(guān)鍵．6．(本題3分)（2022春·河南信陽·八年級?？计谀┤鐖D，已知直線l：y＝x，過點A1（1，0）作A1B1⊥x軸，與直線l交于點B1，以原點O為圓心，以O(shè)B1為半徑作弧交x軸于點A2；再作A2B2⊥x軸，交直線l于點B2，以原點O為圓心，以O(shè)B2，為半徑作弧交x軸于點A3……按此作法進行下去，則點An的坐標為（

）A．（2n，0） B．（2n﹣1，0） C．（2n+1，0） D．（2n+2，0）【答案】B【思路點撥】根據(jù)題意，由A（1，0）和直線l關(guān)系式y(tǒng)=x,可以求出點B1的坐標，在Rt△OA1B1中，根據(jù)勾股定理，可以求出OB1的長；再根據(jù)OB1=OA2確定A2點坐標，同理可求出A3、A4、A5……，然后再找規(guī)律，得出An的坐標，從而求得點A20的坐標．【規(guī)范解答】當x=1時，y=x=，即A1B1=，在Rt△OA1B1中，由勾股定理得OB1=2，∵OB1=OA2，∴A2（2，0）同理可求：A3（4，0）、A4（8，0）、A5（16，0）……由點：A1（1，0）、A2（2，0）、A3（4，0）、A4（8，0）、A5（16，0）……即：A1（20，0）、A2（21，0）、A3（22，0）、A4（23，0）、A5（24，0）…可得An（2n-1，0）故選：B．【考點評析】考查一次函數(shù)圖象上的點坐標特征，勾股定理，以及點的坐標的規(guī)律性．在找規(guī)律時，應(yīng)特別注意A點的橫坐標的指數(shù)與A所處的位數(shù)容易搞錯．7．(本題3分)（2021春·八年級課時練習(xí)）如圖，平面直角坐標系中，點A1的坐標為（1，2），以O(shè)為圓心，OA1的長為半徑畫弧，交直線y＝x于點B1；過點B1作B1A2∥y軸交直線y＝2x于點A2，以O(shè)為圓心，OA2長為半徑畫弧，交直線y＝x于點B2；過點B2作B2A3∥y軸交直線y＝2x于點A3，以點O為圓心，OA3長為半徑畫弧，交直線y＝x于點B3；…按如此規(guī)律進行下去，點B2021的坐標為（

）A．（22021，22021） B．（22021，22020）C．（22020，22021） D．（22022，22021）【答案】B【思路點撥】根據(jù)題意可以求得點B1的坐標，點A2的坐標，點B2的坐標，然后即可發(fā)現(xiàn)坐標變化的規(guī)律，從而可以求得點B2021的坐標．【規(guī)范解答】解：由題意可得，點A1的坐標為（1，2），設(shè)點B1的坐標為（a，a），=，解得，a＝±2，∵點B1在第一象限，∴點B1的坐標為（2，1），同理可得，點A2的坐標為（2，4），點B2的坐標為（4，2），點A3的坐標為（4，8），點B3的坐標為（8，4），……點An的坐標為（2n-1，2n），點Bn的坐標為（2n，2n-1），∴點B2021的坐標為（22021，22020），故選：B．【考點評析】本題考查一次函數(shù)圖象上點的坐標特征和求點的坐標，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中坐標的變化規(guī)律，求出相應(yīng)的點的坐標．8．(本題3分)（2021春·湖北武漢·八年級武漢一初慧泉中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，正方形、正方形、正方形的頂點、、和、、、分別在一次函數(shù)的圖像和軸上，若正比例函數(shù)則過點，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【思路點撥】根據(jù)正方形的性質(zhì)和一次函數(shù)圖像上點的坐標特征求得點的坐標，代入函數(shù)解析求得的值．【規(guī)范解答】解：當時，，則，，則，把代入知，，則，則．此時，即同理，，即．，即．，，即．，，即．把代入，得，故選：B．【考點評析】本題考查了一次函數(shù)圖像上點的規(guī)律探究題、及正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是解答時按形成各點的形成順序依次求出，從而找出規(guī)律．9．(本題3分)（2021春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，已知直線，過點作軸的垂線交直線于點，過點作直線的垂線交軸于點；過點作軸的垂線交直線于點，過點作直線的垂線交軸于點；…；按此作法繼續(xù)下去，則點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【思路點撥】根據(jù)所給直線解析式可得l與x軸的夾角，進而根據(jù)所給條件依次得到點A1，A2的坐標，通過相應(yīng)規(guī)律得到A2020坐標即可．【規(guī)范解答】解：∵直線l的解析式為：，∴l(xiāng)與x軸的夾角為30°，∵AB∥x軸，∴∠ABO=30°，∵OA=1，∴AB=，∵A1B⊥l，∴∠ABA1=60°，∴AA1=3，∴A1（0，4），同理可得A2（0，16），…，∴A2020縱坐標為：42020，∴A2020（0，42020）．故選：C．【考點評析】本題考查的是一次函數(shù)綜合題，先根據(jù)所給一次函數(shù)判斷出一次函數(shù)與x軸夾角是解決本題的突破點；根據(jù)含30°的直角三角形的特點依次得到A、A1、A2、A3…的點的坐標是解決本題的關(guān)鍵．10．(本題3分)（2021春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，過點A1（1，0）作x軸的垂線，交直線y=2x于點B1；點A2與點O關(guān)于直線A1B1對稱：過點A2（2，0）作x軸的垂線，交直線y=2x于點B2；點A3與點O關(guān)于直線A2B2對稱：過點A3作x軸的垂線，交直線y=2x于點B3；按此規(guī)律作下去，則點Bn的坐標為（）A．（2n，2n-1） B．（2n-1，2n） C．（2n+1，2n） D．（2n，2n+1）【答案】B【思路點撥】根據(jù)圖形規(guī)律，確定A1、A2、┅坐標，再通過橫坐標相同代入直線解析式中，確定B1、B2┅的坐標，探究發(fā)現(xiàn)其規(guī)律即可得到結(jié)論．【規(guī)范解答】解：∵點A1的坐標為（1，0），∴OA1=1過點A1作x軸的垂線交直線于點B1，可知B1點的坐標為（1，2）∵點A2的坐標為（2，0），代入直線y=2x的解析式中，得到B2的坐標為（2，4）又∵點A3與點O關(guān)于直線A2B2對稱，∴點A3的坐標為（4，0），B3的坐標為（4，8）以此類推，即可得到An的坐標為（2n-1，0），點Bn的坐標為（2n-1，2n）故選：B．【考點評析】本題考查平面坐標系中點的特點，一次函數(shù)上的點的特點，探索規(guī)律．評卷人得分二、填空題(共10題，每題3分，共30分)11．(本題3分)（2023秋·山東青島·八年級?？计谀┱叫?，，，…按如圖所示放置，點，，，…和，，，…分別在直線和軸上，則點的縱坐標是______，點的縱坐標是______．【答案】

【思路點撥】根據(jù)題意求出，，，，，進而找出坐標規(guī)律，進行求解即可．【規(guī)范解答】當時，，∴點的坐標為．∵四邊形為正方形，∴點的坐標為，點的坐標為．當時，，∴點的坐標為．∵為正方形，∴點的坐標為，點的坐標為，同理，可知：點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，…，∴點的坐標為（是正整數(shù)），∴點的坐標為；故答案為：，【考點評析】本題考查平面直角坐標下點的規(guī)律探究．同時考查了正方形的性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象上的點．熟練掌握相關(guān)知識點，抽象概括出點的坐標規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．12．(本題3分)（2023秋·河北保定·八年級校考期末）如圖，在平面直角坐標系中，點在直線y=x圖象上，過點作y軸平行線，交直線于點，以線段為邊在右側(cè)作第一個正方形所在的直線交的圖象于點，交的圖象于點，再以線段為邊在右側(cè)作第二個正方形…依此類推，按照圖中反映的規(guī)律，第3個正方形的邊長是______；第100個正方形的邊長是______．【答案】

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【思路點撥】根據(jù)題意求出點，，，……，由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即可求解．【規(guī)范解答】解：∵點，軸，∴點的橫坐標為1，當時，，∴點的坐標為，∴，∴正方形的邊長為2，∴，∴點、的橫坐標均為3，∴，∴，∴正方形的邊長為6，同理：，∴，∴正方形的邊長為18，∴，∴……，由此發(fā)現(xiàn)，，∴，∴第100個正方形的邊長為故答案為：18；．【考點評析】本題考查一次函數(shù)圖象上的點的特征，規(guī)律型問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．13．(本題3分)（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，過原點的兩條直線分別為，過點作x軸的垂線與交于點，過點作y軸的垂線與交于點，過點作x軸的垂線與交于點，過點作y軸的垂線與交于點，過點作x軸的垂線與交于點，?，依次進行下去，則點的坐標為_____．【答案】【思路點撥】根據(jù)函數(shù)解析式求出各點坐標，確定點所在位置后，可根據(jù)坐標規(guī)律確定點的坐標．【規(guī)范解答】∵過點作軸的垂線與：交于點，∴點，把代入：得：，∴，即，把代入得：，∴，把代入得：，∴，即，同理可得：，，，，．．．∴點在第四象限，且第四象限點的坐標特征為，∴故答案為：．【考點評析】本題考查兩條直線相交或平行的問題、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及規(guī)律型中點的坐標，根據(jù)各點的坐標特征找出點的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．14．(本題3分)（2022春·黑龍江齊齊哈爾·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)與、軸分別交于點、，在直線上截取，過點分別作、軸的垂線，垂足分別為點、，得到矩形；在直線上截取，過點分別作、軸的垂線，垂足分別為點、，得到矩形；在直線上截取，過點分別作、軸的垂線，垂足分別為點、，得到矩形；；則點的坐標是______；第個矩形的面積是______；第個矩形的面積是______（用含的式子表示，是正整數(shù)）．【答案】

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或【思路點撥】先求出A、B兩點的坐標，再設(shè)，，，再求出a、b、c的值，利用矩形的面積公式得出其面積，找出規(guī)律即可．【規(guī)范解答】解：一次函數(shù)與、

軸分別交于點、，，，．設(shè)，，，，，解得，舍去，，同理可得，，，∴，∴．故答案為：，，或．【考點評析】本題考查的是一次函數(shù)圖象上點的坐標特點，根據(jù)題意得出，，，的坐標，找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．15．(本題3分)（2022春·江蘇無錫·八年級?？茧A段練習(xí)）含角的菱形，，，…，按如圖的方式放置在平面直角坐標系xOy，點，，，…，和點，，，，…，分別在直線y＝kx和x軸上．已知，，則點的坐標是_______；點的坐標是______（n為正整數(shù)）．【答案】

【思路點撥】利用菱形的性質(zhì)得出是等邊三角形，進而得出坐標，進而得出，同理求得的坐標，從而找到規(guī)律，即可得出的坐標．【規(guī)范解答】解：過點作⊥x軸于點D，∵含60°角的菱形，…，∴，，∴是等邊三角形，∵（2，0），（4，0），∴=2，∴，，∴OD=3，則（3，），∵，，∴，同理可得出：，則，則點的坐標是：故答案為：，【考點評析】此題主要考查了一次函數(shù)點的坐標規(guī)律，菱形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識，得出點坐標變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．16．(本題3分)（2021春·浙江金華·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點（2，2）在直線y＝x上，過點作y軸交直線y＝x于點，以點為直角頂點，為直角邊在的右側(cè)作等腰直角△，再過點作y軸，分別交直線y＝x和y＝x于兩點，以點為直角頂點，為直角邊在的右側(cè)作等腰…按此規(guī)律進行下去，則等腰的面積為_____．等腰的面積為_____．【答案】

【思路點撥】先根據(jù)點的坐標以及y軸，求得的坐標，進而得到的長以及△面積，再根據(jù)的坐標以及y軸，求得的坐標，進而得到的長以及△面積，最后根據(jù)根據(jù)變換規(guī)律，求得的長，得出△的面積，進而得出△的面積．【規(guī)范解答】解：當x=2時，y=即

∴即△的面積=∵

∴又∵∥y軸，交直線點，∴

∴即△面積=；以此類推，即△面積=

即△面積=…∴，故△的面積＝當時，的面積＝故答案為：，【考點評析】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及等腰直角三角形的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是通過計算找出變換規(guī)律，根據(jù)的長，求得△的面積．解題時注意：直線上任意一點的坐標都滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx+b．17．(本題3分)（2020春·廣東清遠·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系中，直線l為正比例函數(shù)y＝x的圖像，點A1的坐標為（1，0），過點A1作x軸的垂線交直線l于點D1，以A1D1為邊作正方形A1B1C1D1；過點C1作直線l的垂線，垂足為A2，交x軸于點B2，以A2B2為邊作正方形A2B2C2D2；過點C2作x軸的垂線，垂足為A3，交直線l于點D3，以A3D3為邊作正方形A3B3C3D3，…，按此規(guī)律操作下所得到的正方形A2022B2022C2022D2022的面積是_____．【答案】【思路點撥】根據(jù)正方形的性質(zhì)以及一次函數(shù)的解析式可得∠D1OA1＝45°，從而可得正方形A1B1C1D1的邊長，求出正方形A1B1C1D1的面積，再根據(jù)勾股定理可得正方形A2B2C2D2的邊長，求出正方形A2B2C2D2的面積，同理可得正方形A3B3C3D3的面積，找出其中的規(guī)律，即可求出正方形A2022B2022C2022D2022的面積．【規(guī)范解答】解：∵直線l為正比例函數(shù)y＝x的圖象，∴∠D1OA1＝45°，在正方形A1B1C1D1中，∠D1A1B1＝90°，∴∠OD1A1＝45°，∵點A1的坐標為（1，0），∴OA1＝1，∴D1A1＝OA1＝1，∴正方形A1B1C1D1的面積＝1，根據(jù)勾股定理，OD1＝，D1A2＝，∴A2B2＝A2O＝，∴正方形A2B2C2D2的面積＝，同理，可得A3D3＝OA3＝，∴正方形A3B3C3D3的面積＝，…一般地：正方形的面積=，∴正方形A2022B2022C2022D2022的面積＝，故答案為：．【考點評析】本題考查了正方形的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，勾股定理，找出面積之間的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．18．(本題3分)（2022春·廣東江門·八年級江門市第二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，直線：與x軸交于點，以為邊長作等邊三角形，過點作平行于軸，交直線于點，以為邊長作等邊三角形，過點作平行于軸，交直線于點，以為邊長作等邊三角形，……，則點的橫坐標是__________．【答案】【思路點撥】求出直線與x軸y軸的交點，根據(jù)題意可得，，可求出的橫坐標，的橫坐標，的橫坐標，的橫坐標，即可得到答案．【規(guī)范解答】解：當時，，當，，解得，∴與x軸交于點的坐標為，與y軸交于點D坐標為，∴，，∴，∴，∵以為邊長作等邊三角形，∴，過作軸的垂線，∴，∴的橫坐標，同理可得，的橫坐標，的橫坐標，∴的橫坐標，∴，故答案為．【考點評析】本題考查一次函數(shù)圖像及性質(zhì)，等邊三角形，直角三角形的性質(zhì)；利用特殊三角形求點的坐標是解題的關(guān)鍵．19．(本題3分)（2022·全國·八年級專題練習(xí)）在平面直角坐標系中，等腰直角三角形、、…，按如圖所示的方式放置，其中點…，均在一次函數(shù)y=kx+b的圖象上，點…，均在x軸上．若點的坐標為，點的坐標為，則點的坐標為___________．【答案】(，)【思路點撥】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得點、的坐標；然后將點、的坐標代入一次函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求得該直線方程是；最后，利用等腰直角三角形的性質(zhì)推知點的坐標，然后將其橫坐標代入直線方程求得相應(yīng)的y值，從而得到點的坐標．【規(guī)范解答】解：如圖，點的坐標為，點的坐標為，，，則．是等腰直角三角形，，．點的坐標是．同理，在等腰直角中，，，則．點、均在一次函數(shù)的圖象上，，解得，該直線方程是．點，的橫坐標相同，都是3，當時，，即，則，．同理，，，當時，，即點的坐標為．故答案為：(，)．【考點評析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特點，涉及到的知識點有待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及等腰直角三角形的性質(zhì)．解答該題的難點是找出點的坐標的規(guī)律．20．(本題3分)（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）在平面直角坐標系中，點在射線上，點在射線上，以為直角邊作，以為直角邊作第二個，然后以為直角邊作第三個，…，依次規(guī)律，得到，則點的縱坐標為____．【答案】22022【思路點撥】根據(jù)題意，分別找到AB、A1B1、A2B2……及BA1、B1A2、B2A3……線段長度遞增規(guī)律即可．【規(guī)范解答】解：由已知可知：點A、A1、A2、A3……A2020各點在正比例函數(shù)y＝x的圖象上，點B、B1、B2、B3……B2020各點在正比例函數(shù)y＝x的圖象上，兩個函數(shù)相減得到橫坐標不變的情況下兩個函數(shù)圖象上點的縱坐標的差為x①當A（B）點橫坐標為時，由①得AB＝1，則BA1＝，則點A1橫坐標為＋＝2，B1點縱坐標為?2＝4＝22；當A1（B1）點橫坐標為2，由①得A1B1＝2，則B1A2＝2；則點A2橫坐標為2＋2＝4，B2點縱坐標為×4＝8＝23；當A2（B2）點橫坐標為4，由①得A2B2＝4，則B2A3＝4，則點A3橫坐標為4＋4＝8，B3點縱坐標為×8＝16＝24；以此類推，點B2021的縱坐標為22022，故答案為22022．【考點評析】本題是平面直角坐標系規(guī)律探究題，考查了直角三角形各邊數(shù)量關(guān)系，解答時注意數(shù)形結(jié)合．評卷人得分三、解答題(共40分)21．(本題8分)（2021秋·貴州六盤水·八年級統(tǒng)考期末）利用幾何圖形研究代數(shù)問題是建立幾何直觀的有效途徑．（1）如圖①，點A的坐標為（4，6），點B為直線y＝x在第一象限的圖象上一點，坐標為（b，b）．①AB2可表示為；（用含b的代數(shù)式表示）②當AB長度最小時，求點B的坐標．（2）借助圖形，解決問題：對于給定的兩個數(shù)x，y，求使（x﹣b）2＋（y﹣b）2達到最小的b．【答案】（1）①2b2﹣20b+52；②B（5，5）；（2）（x+y）【思路點撥】（1）①由平面直角坐標系中兩點間距離公式可直接得到；②利用配方法及平方的非負性可求得最小值；（2）由“垂線段最短”可求得最小值．【規(guī)范解答】解：（1）①∵點A的坐標為（4，6），點B坐標為（b，b），∴AB2＝（4﹣b）2+（6﹣b）2＝2b2﹣20b+52；故答案為：2b2﹣20b+52．②AB2＝2b2﹣20b+52＝2（b﹣5）2+2，∵（b﹣5）2≥0，∴當（b﹣5）2＝0時，即b＝5時，AB最小，此時B（5，5）；（2）如圖，設(shè)A（x，y），B（b，b），則點B在直線y＝x上，欲求（x﹣b）2+（y﹣b）2的最小值，只要在直線y＝x上找到一點B′（b0，b0），使得AB的值最小即可．根據(jù)垂線段最短可知，當AB′⊥直線y＝x時，（x﹣b）2+（y﹣b）2的有最小值．∵（x﹣b）2+（y﹣b）2＝（x﹣b0+b0﹣b）2+（y﹣b0+b0﹣b）2＝[（x﹣b0）2+（y﹣b0）2]+2[（x﹣b0）+（y﹣b0）]（b0﹣b）+2（b0﹣b）2，由圖，我們可以把（x﹣b）2+（y﹣b）2看作AB2，（x﹣b0）2+（y﹣b0）2看作AB′2，2（b0﹣b）2可以看作BB′2，由勾股定理可知：2[（x﹣b0）+（y﹣b0）]（b0﹣b）＝0，∴x﹣b0+y﹣b0＝0，∴b0＝（x+y）．即使（x﹣b）2+（y﹣b）2達到最小的b為（x+y）．【考點評析】本題考查勾股定理，規(guī)律型問題，兩點之間距離公式等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．22．(本題8分)（2020春·四川內(nèi)江·八年級四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？计谥校┬|同學(xué)根據(jù)函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，對函數(shù)y進行了探究，下面是他的探究過程：（1）已知x＝-3時0；x＝1時0，化簡：①當x＜-3時，y＝；②當-3≤x≤1時，y＝；③當x＞1時，y＝．（2）在平面直角坐標系中畫出y＝|x﹣1|+|x+3|的圖象，根據(jù)圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：；【答案】（1）①﹣2﹣2x；②4；③2x+2；（2）畫出圖象見解析；函數(shù)圖象不過原點．【思路點撥】（1）根據(jù)已知條件及絕對值的化簡法則計算即可；（2）畫出函數(shù)圖象，則易得一條函數(shù)性質(zhì)；【規(guī)范解答】解：（1）∵x＝﹣3時|x+3|＝0；x＝1時|x﹣1|＝0∴當x＜﹣3時，y＝1﹣x﹣x﹣3＝﹣2﹣2x；②當﹣3≤x≤1時，y＝1﹣x+x+3＝4；③當x＞1時，y＝x﹣1+x+3＝2x+2；故答案為：﹣2﹣2x；4；2x+2．（2）在平面直角坐標系中畫出y＝|x﹣1|+|x+3|的圖象，如圖所示：根據(jù)圖象，該函數(shù)圖象不過原點．故答案為：函數(shù)圖象不過原點；【考點評析】本題考查了一次函數(shù)的圖象上的點的坐標特點及絕對值的化簡計算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．23．(本題8分)（2020秋·貴州貴陽·八年級統(tǒng)考期末）在學(xué)習(xí)了一次函數(shù)后，某校數(shù)學(xué)興趣小組根據(jù)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗，對函數(shù)y=-｜x｜-2的圖像和性質(zhì)進行了探究，下面是該興趣小組的探究過程，請補充完整:(1)自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，x與y的幾組對應(yīng)值如表:x...-3-2-10123...y...-5-4-3n-3-4-5...①n=；②如圖，在所給的平面直角坐標系中，描出以表中各組對應(yīng)值為坐標的點，根據(jù)描出的點畫出該函數(shù)的圖像；(2)當一2＜x≤5時，y的取值范圍是；(3)根據(jù)所畫的圖像，請寫出一條關(guān)于該函數(shù)圖像的性質(zhì).【答案】（1）①-2，②見解析；（2）；（3）函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱；頂點坐標為（0，-2）等等.【思路點撥】（1）①把x=0代入函數(shù)表達式，即可得出n的值；②把表格中7個點畫在坐標系中，根據(jù)點的變化趨勢，即可畫出此函數(shù)的圖像；（2）結(jié)合圖像，當一2＜x≤5時，.（3）結(jié)合圖像，可得當x=-2時，y=0.【規(guī)范解答】解：（1）①把x=0代入y=-x-2，得y=-2②如圖所示即為函數(shù)圖像；（2）當一2＜x≤5時，從圖像中可看出最高點縱坐標為-2，最低點縱坐標為-7，∴.（3）結(jié)合圖像，可得函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱；頂點坐標為（0，-2）等等.【考點評析】本題主要考查一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握函數(shù)自變量的取值范圍、函數(shù)值的求法、列表描點畫函數(shù)圖像及一次函數(shù)的性質(zhì)．24．(本題8分)（2022秋·安徽滁州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長為2，點A的坐標為（0，4），直線1：y＝mx+m（m≠0）（1）直線L經(jīng)過一個定點，求此定點坐標；（2）當直線L與正方形ABCD有公共點時，求m的取值范圍；（3）直線L能否將正方形分成1：3的兩部分，如果能，請直接寫出m的值，如果不能，請說明理由．【答案】（1）（﹣1，0）（2）≤m≤4（3）1或【思路點撥】（1）由y＝mx+m＝m（x+1）知x＝﹣1時y＝0，從而得出答案；（2）把點A，C的坐標分別代入直線y＝mx+m，分別求得m的值即可求出m的取值范圍；（3）把B的坐標代入直線L，由直線L能將正方形分成1：3的兩部分，即可求出m值；再由直線L交DC與BC且滿足直線L能將正方形分成1：3的兩部分也可求出m的值，本題可求解．【規(guī)范解答】（1）∵y＝mx+m＝m（x+1），∴不論m為何值時，x＝﹣1時y＝0，故這個定點的坐標為（﹣1，0）（2）∵正方形ABCD的邊長為