專題17 坐標與圖形的變換-軸對稱 帶解析

2022-2023學年湘教版八年級數(shù)學下冊精選壓軸題培優(yōu)卷專題17坐標與圖形的變換—軸對稱考試時間：120分鐘試卷滿分：100分評卷人得分一、選擇題(共10題，每題2分，共20分)1．(本題2分)（2023秋·北京海淀·八年級?？茧A段練習）如圖，在邊長為2的等邊中，點，，分別是，，上的動點，則周長的最小值為（

）A．3 B． C． D．2【答案】A【思路點撥】連接，作點關于，的對稱點，，連接，，，分別交，于點，，連接，，此時的周長最小，最小值為的長．【規(guī)范解答】解：如圖，連接，作點關于，的對稱點，，連接，，，分別交，于點，，連接，，此時的周長最小，最小值的長．過點A作于點．，，，，，，∴，∴，，最小時，的值最小，當時，的值最小，此時，∴，∴的最小值為3，的周長的最小值為3，故選：A．【考點評析】本題考查軸對稱最短問題，等邊三角形的性質,含角的直角三角形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用軸對稱的性質解決最短問題，屬于中考?？碱}型．2．(本題2分)（2023秋·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標中，，，平分，點關于x軸的對稱點是（

）．A． B． C． D．【答案】C【思路點撥】過B點作軸于點C，則，即，寫出B點坐標，最后求出關于x軸的對稱點的坐標．【規(guī)范解答】解：如圖，過B點作軸于點C∵∴∵平分，∴又∵∴∴即:解得：∴∴關于x軸的對稱點是故選C【考點評析】本題考查角平分線的性質，全等三角形的判定和性質，平面直角坐標系點的對稱，作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．3．(本題2分)（2023春·全國·八年級專題練習）如圖所示，四邊形是正方形，邊長為6，點分別在軸、軸的正半軸上，點D在OA上，且點的坐標為，是上一動點，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．【答案】B【思路點撥】要求和的最小值，，不能直接求，可考慮通過作輔助線轉化，的值，從而找出其最小值求解．【規(guī)范解答】解：連接，交于，則就是和的最小值，∵再直角中，，，，∴，∴，∴和的最小值是，故選：B．【考點評析】本題考查了最短路徑問題，涉及了正方形的性質、軸對稱、勾股定理等知識，解題關鍵是對這些知識的理解與綜合應用．4．(本題2分)（2023秋·福建寧德·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，過點作軸于點，軸于點，點在上，將沿直線翻折，點恰好落在軸上的點處，則點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【思路點撥】設，由折疊性質得到，，利用勾股定理計算出，則，在Rt中利用勾股定理得到，然后解方程求出即可得到點的坐標．【規(guī)范解答】解：根據(jù)題意，畫出圖如圖所示：設，由題意可得，，，與關于直線對稱，，，在中，，，在中，，，即，解得：，點的坐標是，故選：B．【考點評析】本題考查了矩形的性質，坐標與圖形的性質，折疊的性質，勾股定理，熟練掌握方程的思想方法是解題的關鍵．5．(本題2分)（2022秋·陜西西安·八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，已知，，，點關于A的對稱點為，關于B的對稱點為，關于C的對稱點為，關于A的對稱點為，…，則點的坐標是(

)A． B． C． D．【答案】A【思路點撥】根據(jù)題意可得前個點的坐標，即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，個點一組為一個循環(huán)，根據(jù)，進而可得點的坐標．【規(guī)范解答】∵，，，點關于的對稱點為，，∴，，解得，所以點；同理：關于點的對稱點，所以關于點的對稱點，所以，，，，…，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每6個點一組為一個循環(huán)，∴，所以與重合，所以點的坐標是．故選：A．【考點評析】本題考查了坐標與圖形的對稱找規(guī)律，解決本題的關鍵是掌握中點坐標公式.6．(本題2分)（2022秋·八年級課時練習）如圖，面積為3的等腰，，點、點在軸上，且、，規(guī)定把“先沿軸翻折，再向下平移1個單位”為一次變換，這樣連續(xù)經(jīng)過2021次變換后，頂點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【思路點撥】根據(jù)等腰三角形的面積和B(1，0)、C(3，0)；可得A(2，3)，然后先求出前幾次變換A的坐標，進而可以發(fā)現(xiàn)第2021次變換后的三角形在x軸下方，且在第三象限，即可解決問題．【規(guī)范解答】解：∵面積為3的等腰△ABC，AB=AC，B(1，0)、C(3，0)，∴點A到x軸的距離為3，橫坐標為2，∴A(2，3)，∴第1次變換A的坐標為(-2，2)；第2次變換A的坐標為(2，1)；第3次變換A的坐標為(-2，0)；第4次變換A的坐標為(2，-1)；第5次變換A的坐標為(-2，-2)；∴第2021次變換后的三角形在x軸下方，且第三象限，∴點A的縱坐標為-2021+3=-2018，橫坐標為-2，所以，連續(xù)經(jīng)過2021次變換后，△ABC頂點A的坐標為(-2，-2018)．故選：A．【考點評析】本題考查了翻折變換，及點的坐標變化規(guī)律，等腰三角形的性質，坐標與圖形對稱、平移，解決本題的關鍵是掌握軸對稱的性質．7．(本題2分)（2022秋·北京·八年級統(tǒng)考期中）在平面直角坐標系中，橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做格點．如圖，點A的坐標為，點B的坐標為，點C為第一象限內(nèi)的格點，若不共線的A，B，C三點構成軸對稱圖形，則滿足條件的點C的個數(shù)為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【思路點撥】根據(jù)軸對稱圖形的性質作出點，即可得到滿足條件的點的個數(shù)．【規(guī)范解答】解：滿足條件的點有4個．故選：B．【考點評析】本題考查利用軸對稱設計圖案，坐標與圖形變化對稱等知識，解題的關鍵是理解題意，學會利用數(shù)形結合的思想解決問題．8．(本題2分)（2021秋·福建福州·八年級統(tǒng)考期中）在平面直角坐標系中，直線l經(jīng)過點，并垂直于x軸．P是直線l上的一點，點和點均不在直線l上．若AP＋BP的最小值恰為AB的長，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【思路點撥】根據(jù)AP＋BP的最小值恰為AB的長可知點和點均在直線l的兩側，即可得出，解不等式組即可得到結論．【規(guī)范解答】解：由題意可知，點和點在直線l的兩側，∵，∴A點在直線l的左側，點B在直線l的右側，∴，解得，故選：B．【考點評析】此題主要考查了軸對稱﹣最短路線問題，能夠理解題意得出點和點在直線l的兩側，是解題的關鍵．9．(本題2分)（2022秋·遼寧撫順·八年級統(tǒng)考期中）如圖，OA平分，于點C，且，已知A點y到軸的距離是3，那A點關于y軸對稱的點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【思路點撥】根據(jù)點A到y(tǒng)軸的距離是3，得到點A橫坐標為-3；根據(jù)角的平分線的性質定理，得到點A到x軸的距離為2，即點A的縱坐標為2，即可確定A點的坐標，然后根據(jù)y軸對稱的特點確定坐標即可．【規(guī)范解答】解：∵點A到y(tǒng)軸的距離是3，∴點A橫坐標為-3，過點A作，垂足為E，如下圖，∵OA平分，即，又∵，AC=2，∴AE=AC=2，∴點A的縱坐標為2，∴點A的坐標為（-3，2），∴點A關于y軸對稱的點的坐標為（3，2）．故選：C．【考點評析】本題主要考查了角的平分線的性質、點到直線的距離以及點的軸對稱坐標等知識，正確確定點的坐標，熟練掌握對稱點坐標的特點是解題的關鍵．10．(本題2分)（2022秋·廣東深圳·八年級校聯(lián)考期中）如圖，已知點，，點P在直線上運動，則的最大值為（

）A． B． C．4 D．【答案】D【思路點撥】根據(jù)軸對稱的性質可求得答案．【規(guī)范解答】解：作A關于直線對稱點C，∴，∵，∴C的坐標為；連接并延長，交直線于P點，此時，取得最大值，∴．故選D．【考點評析】本題考查了一次函數(shù)圖像上點的坐標特征，軸對稱?最短路線問題，正確的作出輔助線是解決本題的關鍵．評卷人得分二、填空題(共10題，每題2分，共20分)11．(本題2分)（2022秋·廣東東莞·八年級東莞市石碣袁崇煥中學?？计谥校┤鐖D，點，，點P是在x軸上，且使最小，寫出點P的坐標__________．【答案】【思路點撥】如圖所示，作點A關于x軸對稱的點，連接交軸于，取，連接，過點作于D，根據(jù)軸對稱的性質可得當三點共線時，最小，即最小，此時P與重合，利用三角形面積之間的關系求出點P的坐標即可．【規(guī)范解答】解：如圖所示，作點A關于x軸對稱的點，連接交軸于，取，連接，過點作于D，∴，，∴，∴當三點共線時，最小，即最小，此時P與重合，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【考點評析】本題主要考查了坐標與圖形變化——軸對稱，軸對稱最短路徑問題，確定當三點共線時，最小，即最小是解題的關鍵．12．(本題2分)（2022秋·全國·八年級專題練習）在平面直角坐標系中擺放著一個軸對稱圖形，其中點的對稱點A′坐標為，點為圖象上的一點，則點M在圖象上的對稱點坐標為________．【答案】【思路點撥】先求出對稱軸的表達式，設點M在圖象上的對稱點坐標為，根據(jù)對應點的連線被對稱軸垂直平分即可得出答案．【規(guī)范解答】解：∵點的對稱點坐標為，∴對稱軸為：，設點M在圖象上的對稱點坐標為，∴3，，∴，∴點M在圖象上的對稱點坐標為．故答案為：．【考點評析】本題考查了坐標與圖形變化﹣對稱，掌握對應點的連線被對稱軸垂直平分是解題的關鍵．13．(本題2分)（2023秋·遼寧鞍山·八年級?？茧A段練習）在的正方形網(wǎng)格中，建立如圖所示的平面直角坐標系，已知三個頂點的坐標分別為，，．如果要使與全等，那么符合條件的點D有______個．【答案】【思路點撥】要使與全等，可知兩個三角形的公共邊為，運用對稱即可求出所需的點的個數(shù)．【規(guī)范解答】如下圖所示，有三種情況滿足與全等，，故答案為：．【考點評析】本題考查了全等三角形的判定，寫出直角坐標系中的點坐標，熟練掌握關于對稱作圖中點的坐標特征并能靈活運用是本題解題的關鍵．14．(本題2分)（2023秋·山西大同·八年級大同市第二中學校?？计谀┤酎c與點關于x軸對稱，則__________．【答案】13【思路點撥】根據(jù)關于x軸對稱點的坐標特點：橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)可得，再解方程即可．【規(guī)范解答】解：∵點與點關于x軸對稱，∴，解得：，∴，故答案為：13．【考點評析】此題主要考查了關于x軸對稱點的坐標，關鍵是掌握點的坐標的變化規(guī)律．15．(本題2分)（2022秋·山東濟南·八年級統(tǒng)考期中）規(guī)定：在平面直角坐標系中，一個點作“0”變換表示將它向右平移一個單位，一個點作“1”變換表示將它關于x軸做軸對稱，由數(shù)字0和1組成的序列表示一個點按照上面描述依次連續(xù)變換．例如：點按序列“01”作2次變換，表示點O先向右平移一個單位得到，再將關于x軸做軸對稱從而得到．若點經(jīng)過“0101……01”共2022次變換后得到點，則點的坐標為__________．【答案】【思路點撥】根據(jù)平移以及軸對稱的性質解決問題即可．【規(guī)范解答】解：點按序列“01”作變換，表示點A先向右平移一個單位得到，再將關于x軸對稱得到，再將作2次變換，可得，，,,綜上可得，點的橫坐標為，縱坐標以四次一個循環(huán)，∴的橫坐標為，縱坐標為，為，∴點的坐標為，故答案為：.【考點評析】本題考查了坐標的變化規(guī)律，平移以及軸對稱變化，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．16．(本題2分)（2023春·全國·八年級專題練習）規(guī)定：在平面直角坐標系中，一個點作“0”變換表示將它向右平移一個單位，一個點作“1”變換表示將它關于x軸做軸對稱，由數(shù)字0和1組成的序列表示一個點按照上面描述依次連續(xù)變換．例如：點按序列“01”作2次變換，表示點O先向右平移一個單位得到，再將關于x軸做軸對稱從而得到．若點經(jīng)過“0101……01”共2022次變換后得到點，則點的坐標為__________．【答案】【思路點撥】根據(jù)平移以及軸對稱的性質解決問題即可．【規(guī)范解答】解：點按序列“01”作變換，表示點A先向右平移一個單位得到，再將關于x軸對稱得到，再將作2次變換，可得，，,,綜上可得，點的橫坐標為，縱坐標以四次一個循環(huán)，∴的橫坐標為，縱坐標為，為，∴點的坐標為，故答案為：.【考點評析】本題考查了坐標的變化規(guī)律，平移以及軸對稱變化，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．17．(本題2分)（2022秋·四川綿陽·八年級東辰國際學校?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵校cA的坐標是，點B在x軸的負半軸上且，點P與點O關于直線對稱，在y軸上找到一點，使的值最小，則這個最小值為_______．【答案】6【規(guī)范解答】作點關于軸對稱的點，連接，交軸于點，連接，則：，∴當三點共線時，的值最小，∵，，∴，∴，∵點P與點O關于直線對稱，∴，交于點D，過點作軸，交軸于點，則：，，∴，∴，∵點和點關于軸對稱，∴，∴，∴．∴的最小值為：6；故答案為：6．【考點評析】本題考查坐標系下的軸對稱，以及含角的直角三角形．熟練掌握軸對稱的性質，以及利用軸對稱法解決線段和最小問題，是解題的關鍵．18．(本題2分)（2022秋·河北承德·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點A在y軸上，是等腰三角形，，點B關于y軸的對稱點的坐標為，則點A的坐標為__________．【答案】（0，6）【思路點撥】過B作BC⊥AO于C，由點B關于y軸的對稱點的坐標為得出點B的坐標，依據(jù)等腰三角形的性質即可得到AC=OC=3，最后求得點A的坐標．【規(guī)范解答】解：如圖所示，過B作BC⊥AO于C，∵點B關于y軸的對稱點的坐標為，∴B，∵AB=OB，BC⊥AO，∴AC=OC=3，∴點A的坐標為（0，6），故答案為：（0，6）．【考點評析】本題主要考查了等腰三角形的性質，解決問題的關鍵是掌握關于y軸的對稱點的坐標特點：橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變．19．(本題2分)（2022·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，菱形的邊在軸上，頂點坐標為，頂點坐標為，點在軸上，線段軸，且點坐標為，若菱形沿軸左右運動，連接、，則運動過程中，四邊形周長的最小值是________．【答案】13+【思路點撥】由題意可知AD、EF是定值，要使四邊形周長的最小，AE＋DF的和應是最小的，運用“將軍飲馬”模型，根據(jù)點E關于AD的對稱點為O，過點A作AF1∥DF，當O，A，F(xiàn)1三點共線時，AE+DF=OA+AF1=OF1，為所求線段和的最小值，再求四邊形周長的最小值．【規(guī)范解答】∵點坐標為，點坐標為，∴OC＝4，OD＝3，∴在Rt△COD中，CD＝5，∵四邊形是菱形，∴AD＝CD＝5，∵坐標為，點在軸上，線段軸，∴EF＝8，連接OA，過點A作AF1∥DF交EF于點F1，則四邊形ADFF1是平行四邊形，F(xiàn)F1=AD=5，∴EF1=EF-FF1=3，∵點E，O關于AD對稱，∴OA=AE，當O，A，F(xiàn)1三點共線時，AE+DF=OA+AF1=OF1，為所求線段和的最小值，在Rt△OEF1中，OF1＝，∴四邊形周長的最小值：AD＋EF＋AE＋DF＝AD＋EF＋OF1＝5＋8＋＝13+．【考點評析】本題考查菱形，勾股定理，平移，軸對稱，解決問題的關鍵是熟練掌握菱形的性質，勾股定理解直角三角形，平移圖形全等性，軸對稱性質．20．(本題2分)（2022秋·湖北武漢·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，點A在x軸上，點B（0，3）在y軸上，連接AB，∠ABO＝60°，過y軸上一點P（0，m）作直線l⊥AB，OB關于直線l的對稱線段為O1B1，若線段O1B1和過A點且垂直于x軸的直線a有公共點，則m的取值范圍是____________．【答案】-6≤m≤-3【思路點撥】利用分類討論的思想計算出臨界點，進而求出m的取值范圍.【規(guī)范解答】解：①當點B1與點A重合時∵直線l垂直平分AB∴PA=PB∵∠ABO＝60°∴△PAB是等邊三角形∴PB=AB∵∠AOB＝90°，∠ABO＝60°，OB=3∴∠OAB＝30°∴AB=2OB=6∴PB=AB=6∴OP=3∴m=-3②當點O1落在直線a上時同理可證△OO1P為等邊三角形∵AB∥OO1，OB∥AO1∴四邊形ABOO1是平行四邊形∴OO1=AB=6∴OP=OO1=6∴m=-6∴m的取值范圍是-6≤m≤-3故答案為：-6≤m≤-3【考點評析】本題考查了坐標與圖形的變化-對稱，解答本題的關鍵是結合圖形，分情況討論.評卷人得分三、解答題(共60分)21．(本題6分)（2023秋·云南楚雄·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點都在格點上，且，，．(1)將向右平移5個單位長度得到，與關于x軸對稱，請畫出，并寫出頂點，，的坐標；(2)請在y軸上畫出一點P，使得的值最小（保留作圖痕跡，不寫作法）．【答案】(1)圖見解析，點，，的坐標分別為，，(2)見解析【思路點撥】（1）先根據(jù)平移作出，再利用軸對稱作出，最后寫出各頂點坐標即可；（2）先作出E點關于y軸的對稱點，再連接交y軸于點P，即可．【規(guī)范解答】（1）如圖所示，即為所求作：點，，的坐標分別為，，．（2）如圖所示，作點E關于y軸的對稱點，連接交y軸于點P，則點P即為所求點．【考點評析】本題考查了平面直角坐標系中的圖形的平移和軸對稱以及最短路徑問題，解題關鍵是理解題意，牢記平移的點的坐標規(guī)律和軸對稱的點的坐標規(guī)律．22．(本題6分)（2022秋·內(nèi)蒙古赤峰·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，在平面直角坐標系中，已知的三個頂點坐標分別是，，．(1)請畫出與關于x軸對稱的；(2)在y軸上找一點P，使最?。?3)若點是內(nèi)部的一個點，求點Q關于x軸對稱的點的坐標．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【思路點撥】（1）先分別畫出點關于軸的對稱點，再順次連接點即可得；（2）點關于軸對稱點的坐標為，連接交軸于點，則點為所求；（3）根據(jù)關于軸的對稱的點的坐標變換規(guī)律：橫坐標相同、縱坐標互為相反數(shù)即可得．【規(guī)范解答】（1）解：如圖，即為所作．（2）解：如圖，點關于軸對稱點的坐標為，連接交軸于點，則點為所求．（3）解：關于軸的對稱的點的坐標變換規(guī)律：橫坐標相同、縱坐標互為相反數(shù)，則點關于軸對稱的點的坐標為．【考點評析】本題考查了畫軸對稱圖形、軸對稱的性質、點坐標的軸對稱變化等知識點，熟練掌握軸對稱圖形的畫法是解題關鍵．23．(本題8分)（2023秋·云南楚雄·八年級統(tǒng)考期末）如圖，的頂點分別為，，．(1)在圖中作出關于y軸對稱的圖形，并寫出點的坐標；(2)在y軸上找一點P，使得最小（畫出圖形，找到點P的位置）．【答案】(1)圖見解析，；(2)見解析．【思路點撥】（1）分別作出點A，B，C關于y軸的對稱點，，，再首尾順次連接即可得到；（2）連接交y軸于點P，則點P即為所求作【規(guī)范解答】（1）如圖，即為所求，點的坐標為，（2）如圖，點P即為所作．【考點評析】本題主要考查作圖—軸對稱變換，解題的關鍵是掌握軸對稱變換的定義與性質．24．(本題8分)（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，點為坐標原點，點，點A、分別在軸、軸的正半軸上，連接、，．(1)則點的坐標為________．(2)①點為線段上一點，連接，用含的式子表示為________．②在①的條件下，作點關于直線的對稱點，連接、和，交軸于點，若，的面積為30，求點A的坐標．【答案】(1)(2)①；②【思路點撥】（1）根據(jù)三角形面積及等高得出，即可確定點的坐標；（2）①根據(jù)（1）及點的坐標得出，，再由高相等求解即可；②連接，延長線交于點，作點關于軸的對稱點，連接，由軸對稱的性質得出，及各角之間的關系得出，再由全等三角形的判定和性質及面積相等求解即可．【規(guī)范解答】（1）解：∵，，∴，，∴，∴的坐標為，故答案為：；（2）①由（1）得，∵，∴，，∴；故答案為:；②連接，延長線交于點∵點與點關于對稱∴垂直平分，∴，∴，∵，設，，作點關于軸的對稱點，連接，∴，，∴，，∴，∵，∴∴，∵的面積為30，∴，∴∴．【考點評析】題目主要考查坐標與圖形，列代數(shù)式及軸對稱的性質，全等三角形的判定和性質等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關鍵．25．(本題8分)（2023春·湖南長沙·八年級長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學校?？茧A段練習）如圖，平面直角坐標系、兩點分別在x、y軸上，P為射線上的一動點，點O關于直線的對稱點為．(1)當?shù)拿娣e為15時，求點P坐標；(2)當為等腰三角形時，求點P坐標；(3)若點O關于直線的對稱點為點D，當為直角三角形時，請求出點P坐標．【答案】(1)點的坐標為或；(2)點的坐標為或或；(3)點的坐標為或或或．【思路點撥】（1）設，易知，，根據(jù)，列式子求解即可；（2）分三種情況：①當時，②當時，③當時，進行討論即可；（3）根據(jù)軸對稱性質可得：，由為直角三角形，可分類討論：或或，利用勾股定理和全等三角形性質即可求得點的坐標．【規(guī)范解答】（1）解：設，，則，∵，∴，則：，解得：，即：當?shù)拿娣e為15時，點的坐標為或；（2）∵、，即：，，∴①當時，如圖，此時，，∴∴點的坐標為；②當時，如圖，此時，∵，，∴，∴點的坐標為；③當時，設，則，∴，由勾股定理可得：，即：，解得，∴點的坐標為；綜上，當為等腰三角形時，點的坐標為或或；（3）設，∵點關于直線的對稱點為，∴∴，，，∴①若，如圖，∵，∴、、三點共線，，，∵，即，解得：，∴點的坐標為；當點在負半軸時，此時，，∵，即，解得：，∴點的坐標為；②若，如圖，∵∴，∴、為等腰直角三角形，∴∴點的坐標為；當點在負半軸時，同理可得點的坐標為；③若，則，，則點不能出現(xiàn)在過點的垂線上，即此情況不存在．綜上，點的坐標為或或或．【考點評析】本題考查了直角三角形性質，等腰三角形的性質，勾股定理，軸對稱變換性質，全等三角形性質，分類討論數(shù)學思想等；分類討論數(shù)學思想應用是解答本題的關鍵．26．(本題8分)（2023秋·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）如圖①，在中，，，點為的中點，連接．點在射線上運動，當點不與點B、C重合時，連接．設．(1)的長為______．(2)當是直角三角形時，求的值．(3)當是軸對稱圖形時，求的面積．(4)如圖②，作點關于直線的對稱點，連接、，當點A、D、三點共線時，直接寫出的值．【答案】(1)3(2)的值為4或(3)面積為或(4)，10【思路點撥】（1）根據(jù)等腰三角形的性質得出，，再由勾股定理求解即可；（2）分兩種情況分析：，，分別利用等腰三角形的性質及勾股定理求解即可；（3）根據(jù)題意三種情況分析：當時，當時，當時，分別求解即可；（4）分兩種情況分析：當點P在線段上時，當點P在線段延長線上時，分別利用軸對稱的性質及勾股定理求解即可．【規(guī)范解答】（1）解：，，點為的中點，，，在中，故答案為：3；（2）當時，即點P與點D重合．在中，．當時，在中，，．∵，點D為的中點，∴．∴．在中，，．∴，∴．的值為4或．（3）當時，點P與點C重合，不符合題意．當時，，∴，∴．當時，，∴，在中，，．∴，∴．∴，∴．∴的面積為或．（4）如圖所示：當點P在線段上時，∵作點關于直線的對稱點，∴，∵，，，∴，，，在中，∴，解得：；當點P在線段延長線上時，∵作點關于直線的對稱點，∴，∵，，，∴，，，在中，∴，解得：；綜上可得：的值為或10．【考點評析】本題考查了等腰三角形的性質，勾股定理解直角三角形，軸對稱的性質，理解題意，進行分類討論是解題的關鍵．27．(本題8分)（2023秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）定義：在任意中，如果一個內(nèi)角度數(shù)的2倍與另一個內(nèi)角度數(shù)的和為，那么稱此三角形為“倍角互余三角形”．(1)【基礎鞏固】若是“倍角互余三角形”，，，則________；(2)【嘗試應用】如圖1，在中，，點為線