專題12 三角形的中位線 帶解析

2022-2023學(xué)年湘教版八年級數(shù)學(xué)下冊精選壓軸題培優(yōu)卷專題12三角形的中位線閱卷人一、選擇題(共10題；每題2分，共20分)得分1．（2分）（2022八下·平遠(yuǎn)期末）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P是對角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD=BC，∠CBD=30°，∠ADB=100°，則∠PFE的度數(shù)是（）A．15° B．25° C．30° D．35°【答案】D【規(guī)范解答】解：∵點(diǎn)P是BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴PE是△ABD的中位線，∴PE=AD，PE∥AD，∴∠EPD=180°-∠ADB=80°，同理可得，PF=BC，PE∥BC，∴∠FPD=∠CBD=30°，∵AD=BC，∴PE=PF，∴∠PFE=×（180°-110°）=35°，故答案為：D．

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)中位線的性質(zhì)可得PE=AD，PE∥AD，PF=BC，PE∥BC，求出∠FPD=∠CBD=30°，再利用三角形的內(nèi)角和可得∠PFE=×（180°-110°）=35°。2．（2分）（2022八下·歷下期末）如圖，在證明三角形的中位線定理時，小蘭首先將原圖形上面的三角形部分剪開，并旋轉(zhuǎn)180°拼到下方．類似地，現(xiàn)有如圖所示的四邊形ABCD，，若，，E、F分別是AB和DC的中點(diǎn)，則（）A．4 B．4.5 C．5 D．6【答案】C【規(guī)范解答】解：連接并延長，交延長線于G，如圖：，，，是中點(diǎn)，，，，，，是中點(diǎn)，是的中位線，，故C符合題意．故答案為：C．【思路點(diǎn)撥】連接并延長，交延長線于G，利用“AAS”證明可得，，再利用中位線的性質(zhì)可得。3．（2分）（2022八下·文山期末）如圖，的周長為18，D、E分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，則的周長為（）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】C【規(guī)范解答】解：∵△ABC的周長是18，∴AB+AC+BC=18，∵D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，BD=AB，BE=BC，∴DE=AC，∴△DBE的周長=BD+BE+DE=（AB+AC+BC）=9，故答案為：C．【思路點(diǎn)撥】先求出AB+AC+BC=18，再求出DE=AC，最后求三角形的周長即可。4．（2分）（2022八下·西青期末）如圖，點(diǎn)O是矩形的對角線的中點(diǎn)，點(diǎn)E為的中點(diǎn)．若，則的周長為（）A．10 B． C． D．14【答案】B【規(guī)范解答】解：在矩形中，，，，，，，點(diǎn)是矩形的對角線的中點(diǎn)，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，則的周長為，故答案為：B．【思路點(diǎn)撥】利用中位線的性質(zhì)可得OE的長，再利用勾股定理求出BE的長，利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得OB的長，最后利用三角形的周長公式可得答案。5．（2分）（2022八下·石家莊期末）如圖，在給定的△ABC中，動點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向向終點(diǎn)C運(yùn)動，DEAC交AB于點(diǎn)E，DFAB交AC于點(diǎn)F，O是EF的中點(diǎn)，在整個運(yùn)動過程中，△OBC的面積的大小變化情況是（）A．不變 B．一直增大C．先增大后減小 D．先減小后增大【答案】A【規(guī)范解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∵O是EF的中點(diǎn)，∴O也是AD的中點(diǎn)，如圖，取AB的中點(diǎn)M，AC的中點(diǎn)N，則MN為點(diǎn)O的運(yùn)動軌跡，∴在整個運(yùn)動過程中，O的軌跡是△ABC的中位線，，∴點(diǎn)O到線段BC的距離為定值（兩條平行線間的距離處處相等），在整個運(yùn)動過程中，△OBC的面積始終是以BC為底，兩條平行線間的距離為高，根據(jù)同底等高的三角形面積相等可知：△OBC的面積不變，故答案為：A．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出在整個運(yùn)動過程中，O的軌跡是△ABC的中位線，到BC的距離相等，根據(jù)同底等高的三角形面積相等，即可判斷△OBC的面積不變。6．（2分）（2022八下·化州期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC⊥BC，M在∠CAD的平分線上，且AM⊥DM，點(diǎn)N為CD的中點(diǎn)，連接MN，若AD＝12，MN＝2．則AB的長為（）A．12 B．20 C．24 D．30【答案】B【規(guī)范解答】解：延長DM交AC于E，∵AM平分∠CAD，AM⊥DM，∠DAM=∠EAM，∠AMD=∠AME=90°，在△ADM和△AEM中，，∴△ADM≌△AEM（ASA），∴DM=EM，AE=AD=12，∴M點(diǎn)是DE的中點(diǎn)，∵N是CD的中點(diǎn)，∴MN是△CDE的中位線，∵M(jìn)N=2，∴CE=2MN=4，∴AC=AE+CE=12+4=16，在平行四邊形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，AC⊥BC，∴AC⊥AD，∴∠CAD=90°，．故答案為：B．

【思路點(diǎn)撥】延長DM交AC于E，先利用“ASA”證明△ADM≌△AEM可得DM=EM，AE=AD=12，利用中位線的性質(zhì)可得CE=2MN=4，求出AC的長，最后利用勾股定理求出即可。7．（2分）（2022八下·章丘期末）如圖，中，平分，E是中點(diǎn)，，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【規(guī)范解答】解：如圖，延長BD交AC于F點(diǎn)，∵AD平分∠BAC，即，∵AD⊥BC，即，在和中，∴，∴，∴，，∴，∵，，∴是的中位線，∴．故答案為：C．【思路點(diǎn)撥】延長BD交AC于F點(diǎn)，先利用“ASA”證明可得，，求出FC的長，再利用中位線的性質(zhì)可得。8．（2分）（2022八下·南充期末）如圖，矩形中，，分別是邊，的中點(diǎn)，于，的延長線交于．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中結(jié)論正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【規(guī)范解答】解：連接CM、DM，∵矩形ABCD∴，∵，M，N分別是邊AB，CD的中點(diǎn)，∴故①正確；∵∴四邊形AMCN是平行四邊形∴AN∥CM∴∵∴CM垂直平分PB∴BC=PC∴（SSS）∴即故②正確；∵，，∴（HL）∴故③正確；取CQ中點(diǎn)E，連接EN∵N是CD中點(diǎn)∴EN是△CDQ的中位線∴∵∴∴，即故④正確；綜上所述，正確的是①②③④故答案為：D．【思路點(diǎn)撥】連接CM、DM，由矩形的性質(zhì)可得AB=CD，根據(jù)線段的中點(diǎn)及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得，故①正確；可證四邊形AMCN是平行四邊形，可得AN∥MC，根據(jù)SSS證明，可得，故②正確；根據(jù)HL可證明，可得PQ=AQ，故③正確；取CQ中點(diǎn)E，連接EN，可得EN是△CDQ的中位線，可得DQ=2EN，根據(jù)大角對大邊進(jìn)行判斷即可.9．（2分）（2022八下·長興期末）如圖，直線AC與反比例函數(shù)y=（x>0）的圖象交于A，C兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)C的左邊），與x軸交于點(diǎn)B，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)向下作矩形ADMN，其對角線相交于點(diǎn)O，且AD平分∠OAB，AC=CB，連結(jié)CD，若△ACD的面積為6，則k的值為（）A．8 B．10 C．12 D．16【答案】A【規(guī)范解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AN⊥x軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)C作CM⊥x軸于點(diǎn)M，連接CO，

∵矩形ADMN，

∴OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

又∵AD平分∠OAB，

∴∠OAD=∠DAB，

∴∠ODA=∠DAB，

∴OD∥AB，

∵△ACD的面積為6，AC=CB，

∴S△AOC=S△OCB=6，CM是△ANB的中位線，

∴AN=2CM，NM=MB，

設(shè)點(diǎn)A（x，），則ON=x，AN=，

∴CM=，

∴C（2x，），

∴MB=x，OB=3x，

∴S△OCB=6=OB·CM=×3x·=，

∴k=8.

故答案為：A.

【思路點(diǎn)撥】作AN⊥x軸于點(diǎn)N，作CM⊥x軸于點(diǎn)M，連接CO，由矩形性質(zhì)推出∠OAD=∠ODA，再由角平分線定義得∠OAD=∠DAB，可得∠ODA=∠DAB，證出OD∥AB，結(jié)合△ACD的面積為6，AC=CB，

從而得S△AOC=S△OCB=6，CM是△ANB的中位線，則AN=2CM，NM=MB，設(shè)點(diǎn)A（x，），即得ON=x，AN=，CM=，即得C（2x，），表示出MB=x，OB=3x，再由三角形的面積公式可得S△OCB=6=OB·CM=，解之即可求得k值.10．（2分）（2021八下·江北期末）如圖所示，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E為線段BC上一動點(diǎn)，連結(jié)AE，將AE繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)90°至EF，連結(jié)BF，取BF的中點(diǎn)M，若點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動至點(diǎn)C，則點(diǎn)M經(jīng)過的路徑長為（）A．2 B． C． D．4【答案】B【規(guī)范解答】解：取BC、CD的中點(diǎn)G、H，連接GH，連接BD∴GH為△BCD的中位線，∴∵將AE繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)90°至EF，∴EF⊥AE，當(dāng)E點(diǎn)在B處時，M點(diǎn)在BC的中點(diǎn)G處，當(dāng)E點(diǎn)在C點(diǎn)處時，M點(diǎn)在CD中點(diǎn)處，∴點(diǎn)M經(jīng)過的路徑長為GH的長，∵正方形ABCD的邊長為4，∴∴，故答案為：B.【思路點(diǎn)撥】取BC、CD的中點(diǎn)G、H，連接GH，連接BD，利用三角形的中位線定理可證得，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證得EF⊥AE；當(dāng)E點(diǎn)在B處時，M點(diǎn)在BC的中點(diǎn)G處，當(dāng)E點(diǎn)在C點(diǎn)處時，M點(diǎn)在CD中點(diǎn)處，可得到點(diǎn)M經(jīng)過的路徑長為GH的長；然后利用勾股定理求出BD的長，即可得到GH的長.閱卷人二、填空題(共10題；共20分)得分11．（2分）（2022八下·虎林期末）如圖，在平行四邊形中，對角線，相交于點(diǎn)O，在的延長線上取點(diǎn)E，使，連接交于點(diǎn)F，若，則．【答案】3【規(guī)范解答】解：過O作OM∥BC交CD于M，∵在平行四邊形ABCD中，，∴BO＝DO，∴CM＝DM=，∵，∴CE=CM，∵OM∥BC，∴CF是△EMO中位線，即；故答案為：3．

【思路點(diǎn)撥】

根據(jù)平行四邊形對角線互相平分和三角形中位線定理求得，再根據(jù)中位線定理求得CF.12．（2分）（2022八下·本溪期末）如圖，，是四邊形的對角線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是，的中點(diǎn)，順次連接，，，，若，則四邊形的周長是．【答案】4【規(guī)范解答】解：點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是，的中點(diǎn)，、、、分別為、、、的中位線，∵AD=CD=2，，，四邊形的周長．故答案為：．

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得，，再利用四邊形的周長公式計(jì)算即可。13．（2分）（2022八下·遼陽期末）如圖，中，平分，，垂足為D，E為中點(diǎn)，若，，則的長為．【答案】6【規(guī)范解答】解：如圖：延長CD交AB于F在△BDC和△BDF中∴△BDC≌△BDF（ASA）∴BF=BC=18，CD=DF∴AF=AB-BF=12，∵E為AC中點(diǎn)，∴CE=EA∵CD=DF，∴DE=AF=6．故答案為：6．

【思路點(diǎn)撥】延長CD交AB于F，先利用“ASA”證明△BDC≌△BDF，可得BF=BC=18，CD=DF，再利用三角形的中位線可得DE=AF=6。14．（2分）（2022八下·滕州期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5．點(diǎn)M、N分別為線段BC、AB上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)，但點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)E、F分別為DM、MN的中點(diǎn)，則EF長度的最大值是．【答案】6.5【規(guī)范解答】解：連接DN，DB點(diǎn)E、F分別為DM、MN的中點(diǎn)，EF是的中位線由題意得，當(dāng)N與點(diǎn)B重合時，DN最大，此時EF的值最大由勾股定理得，DB=的最大值為6.5故答案為：6.5．

【思路點(diǎn)撥】連接DN，DB，先利用三角形的中位線的性質(zhì)可得，再利用勾股定理求出DB的長即可。15．（2分）（2022八下·連山期末）如圖，矩形ABCD中，交CD于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AD上，連接CF交AE于點(diǎn)G，，若，則CD的值為．【答案】【規(guī)范解答】解：連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OG，令BD與CF交于點(diǎn)M，∵GF=AF，∴∠FAG=∠FGA，∵四邊形ABCD為矩形，∴BD=AC=4，OB=OD，∵CG=GF，∴OG為△CAF的中位線，∴AF=2OG，OG∥AD，∴∠FDM=∠MOG，∵AE⊥BD，∴∠FGA+∠GMO=90°，∠MDF+∠FAG=90°，.∴∠GMO=∠MDF，∴∠GMO=∠MDF=∠MOG=∠FMD，∴OG=GM，F(xiàn)M=FD，設(shè)OG=GM=x，則CG=GF=AF=2x，∴FD=FM=FG-MG=2x-x=x，∴CF=4x，AD=3x，在Rt△DCF中，由勾股定理得，，在Rt△ADC中，由勾股定理得，DC2+AD2=AC2，即15x2+9x2=48，解得x=，∴，故答案為：．

【思路點(diǎn)撥】連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OG，令BD與CF交于點(diǎn)M，設(shè)OG=GM=x，則CG=GF=AF=2x，利用勾股定理可得DC2+AD2=AC2，將數(shù)據(jù)代入可得15x2+9x2=48，求出x的值，即可得到CD的長。16．（2分）（2022八下·欒城期末）如陽，在矩形中，對角線、相交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，若cm，cm，則cm．【答案】2.5【規(guī)范解答】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，OD=BD，AD=BC=8，∴，∴OD=5cm，∵點(diǎn)E、F分別是AO、AD的中點(diǎn)，∴EF是△AOD的中位線，∴EF=OD=2.5cm；故答案為2.5【思路點(diǎn)撥】先利用勾股定理求出BD的長，再利用矩形的性質(zhì)求出OD的長，最后利用三角形中位線的性質(zhì)求出EF的長即可。17．（2分）（2022八下·海曙期末）如圖，中，，以AB為邊在三角形外的的對角線交于點(diǎn)F，AE=2，AB=5，則CF的最大值是．【答案】3.5【規(guī)范解答】解：如圖，取AB中點(diǎn)O，連結(jié)FO，CO，

∵?AEDB，AE=2，AB=5，

∴BD=2，AO=BO=2.5，AF=DF，

∴OF是△ABD的中位線，

∴FO=1，

又∵∠ACB=90°，

∴OC=2.5，

在△FOC中，CF＜FO+OC，

∴當(dāng)F、O、C三點(diǎn)共線時，CF最大，

∴CFmax=FO+OC=1+2.5=3.5.

故答案為：3.5.【思路點(diǎn)撥】如圖，取AB中點(diǎn)O，連結(jié)FO，CO，由平行四邊形性質(zhì)得BD=2，AO=BO=2.5，AF=DF，可證出OF是△ABD的中位線，即得FO=1，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半得OC=2.5，在△FOC中，由三邊關(guān)系得CF＜FO+OC，因此當(dāng)F、O、C三點(diǎn)共線時，CF最大，求得CF值即可.18．（2分）（2022八下·拱墅期中）如圖，在?中，是對角線，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，平分，于點(diǎn)，連接已知，，則的長為.【答案】【規(guī)范解答】解：如圖，延長AB、CF交于點(diǎn)H，四邊形ABCD是平行四邊形，，，，平分，，在和中，，≌，，，，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，，，故答案為：.【思路點(diǎn)撥】如圖，延長AB、CF交于點(diǎn)H，由平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥CD，由平行線的性質(zhì)可得∠ACD=∠BAC=90°，用勾股定理可求得AC的值，由角平分線定義可得∠BAF=∠CAF，結(jié)合已知用角邊角可證ΔAFH≌ΔAFC，則AC=AH，HF=CF，由線段的構(gòu)成BH=AH-AB可求得BH的值，然后根據(jù)三角形中位線定理得EF=BH可求解.19．（2分）（2022八下·青山期中）如圖，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)P為BC邊上一動點(diǎn)，以P為直角頂點(diǎn)，AP為直角邊作等腰Rt△APE，M為邊AE的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)C，則點(diǎn)M運(yùn)動的路徑長為．【答案】【規(guī)范解答】解：如下圖所示，連接AC，BD相交于點(diǎn)O，連接EC，過點(diǎn)E作ET⊥BC交BC的延長線于T．∵△APE是等腰直角三角形，∴∠APB+∠TPE=90°．∵四邊形ABCD是正方形，ET⊥BC，∴∠ABP=90°，∠PTE=90°．∴∠ABP=∠PTE，∠BAP+∠APB=90°．∴∠BAP=∠TPE．．．∵四邊形ABCD是正方形，．．∴BC-PC=PT-BC，即PB=CT．．∴∠TEC=∠TCE=45°．∵正方形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，∴O是AC的中點(diǎn)，∠DBC=45°．∴∠DBC=∠TCE．．∵M(jìn)是AE的中點(diǎn)，∴OM是△ACE的中位線．∴．∴點(diǎn)M在直線OD上．∵點(diǎn)P在BC邊上移動，∴點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡是OD．∵正方形ABCD的邊長是6，且AC，BD相交于點(diǎn)O，∴AB=6，AD=6，O是BD的中點(diǎn)．∴．∴．故答案為：．

【思路點(diǎn)撥】連接AC，BD相交于點(diǎn)O，連接EC，過點(diǎn)E作ET⊥BC交BC的延長線于T，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可證得∠APE=90°，AP=PE，利用余角的性質(zhì)可證得∠BAP=∠TPE，利用AAS證明△ABP≌△PTE，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等，可得到AB=PT，PB=ET；利用正方形的性質(zhì)可得到ABPBC，由此可推出BC=PT，即可得到PB=CT=ET；利用正方形的性質(zhì)可得到點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，∠DBC=45°，從而可推出∠DBC=∠TCE，同時可證得OM是△ACE的中位線，由此可推出點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡是OD，利用勾股定理求出BD的長，即可得到OD的長.20．（2分）（2021八下·蘇州期末）如圖，在中，，，.將繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得，直線DA、BE相交于點(diǎn)F.取BC的中點(diǎn)G，連接GF，則GF長的最大值為cm.【答案】4【規(guī)范解答】解：取的中點(diǎn)，連接、，如圖：是由繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，，，，設(shè)，則，在四邊形中，，在中，，，，，中，，是中位線，，而，當(dāng)、、在一條直線上時，最大，最大值為，故答案為：4.【思路點(diǎn)撥】取AB的中點(diǎn)H，連接HG，HF，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證得CE=CB，CD=AC，∠BCE=∠ACD，設(shè)∠BCE=∠ACD=α，可表示出∠CBE；再利用四邊形的內(nèi)角和定理可求出∠BFA的度數(shù)，利用勾股定理求出AB的長；利用直角三角形的性質(zhì)可求出HF的長；然后利用三角形的中位線定理可求出HG的長，利用三角形的三邊關(guān)系定理可知當(dāng)點(diǎn)F，H，G在同一直線上時，F(xiàn)G最大，最大值是HF+HG的長，即可求解.閱卷人三、解答題(共8題；共60分)得分21．（6分）（2022八下·撫遠(yuǎn)期末）如圖，在中，已知，，平分，于點(diǎn)，為中點(diǎn)．求的長．【答案】解：如圖，延長交于點(diǎn)．∵平分，∴．∵，∴．∴．∴，．∴是的中點(diǎn)．∵，，∴．∵為的中點(diǎn)，∴為的中位線．∴．【思路點(diǎn)撥】做輔助線，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得是的中點(diǎn)，通過線段的加減可得FC，再根據(jù)中位線定理即可解得DE。22．（6分）（2021八下·興慶期末）如圖，已知等邊的邊長為4，點(diǎn)D、E分別是、的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作，交的延長線于點(diǎn)F，求的長．【答案】解：等邊的邊長為4，點(diǎn)D、E分別是、的中點(diǎn)，【思路點(diǎn)撥】利用等邊三角形的性質(zhì)，可求出AB的長及∠B=60°，再利用三角形的中位線定理可證得DE∥AB及DE的長，利用平行線的性質(zhì)可求出∠DEC=60°，然后根據(jù)含30°角直角三角形的性質(zhì)求出DF的長.23．（8分）（2022八下·威縣期末）如圖，在中，點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是邊AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段DE上，交BC于點(diǎn)G．（1）（4分）證明：四邊形EFGB是菱形；（2）（4分）若，求DF的長度．【答案】（1）解：∵點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是邊AC，AB的中點(diǎn)，

∴DE是△ABC的中位線，

∴，∵，

∴四邊形BEFG是平行四邊形，

∵∠AFB=90°，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，

∴FE=BE=AB，∴四邊形EFGB是菱形；（2）解：∵點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是邊AC，AB的中點(diǎn)，

∴DE是△ABC的中位線，∴DE=BC=×19=

在△ABF中，∵∠AFB=90°，∴AF2+BF2=AB2，

∵AF=5，BF=12，∴AB=13

∴EF=AB=×13=，

∴DF=DE－EF=－=3【思路點(diǎn)撥】（1）利用菱形的判定方法證明求解即可；

（2）先求出DE是△ABC的中位線，再求出AF2+BF2=AB2，最后計(jì)算求解即可。24．（8分）（2022八下·定遠(yuǎn)期末）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，連接EB并延長至F，使BF＝BE；連接EC并延長至G，使CG＝CE，連接FG，點(diǎn)H為FG的中點(diǎn)，連接DH，AF．（1）（4分）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度數(shù)；（2）（4分）求證：四邊形AFHD為平行四邊形．【答案】（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAE＝∠BCD＝70°，AD∥BC，∵∠DCE＝20°，AB∥CD，∴∠CDE＝180°﹣∠BAE＝110°，∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝50°；（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BF＝BE，CG＝CE，∴BC是△EFG的中位線，∴BC∥FG，BC＝FG，∵H為FG的中點(diǎn)，∴FH＝FG，∴BC∥FH，BC＝FH，∴AD∥FH，AD＝FH，∴四邊形AFHD是平行四邊形．【思路點(diǎn)撥】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)計(jì)算求解即可；

（2）先求出BC是△EFG的中位線，再求出FH＝FG，最后證明即可。25．（7分）（2022八下·大荔期末）如圖，在中，，延長BA到點(diǎn)D，使，點(diǎn)E、F分別為邊BC、AC的中點(diǎn)．（1）（3分）求證：；（2）（4分）過點(diǎn)A作，交DF于點(diǎn)G，求證：．【答案】（1）證明：如圖，過點(diǎn)F作FH∥BC，交AB于點(diǎn)H，∵FH∥BC，點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴，EF∥AB，∵，∴．∵，∴CA是DH的中垂線．∴DF=FH．∵FH∥BC，EF∥AB，∴四邊形HFEB是平行四邊形．∴FH=BE．∴BE=FD．（2）證明：由（1）知BE=FD，又∵EF∥AD，∴四邊形DBEF是等腰梯形．∴∠B=∠D．∵AG∥BC，∠B=∠DAG，∴∠D=∠DAG．∴AG=DG．【思路點(diǎn)撥】（1）過點(diǎn)F作FH∥BC，交AB于點(diǎn)H，利用三角形的中位線定理可證得EF∥BA，同時可證得AD=AH，可證得CA是DH的中垂線，利用垂直平分線的性質(zhì)可證得DF=FH；再利用有兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可證得四邊形HFEB是平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)可推出FH=BE，由此可證得結(jié)論；

（2）易證四邊形DBEF是等腰梯形，由等腰梯形同一底上的兩個角相等得∠B=∠D，由AG∥BC得∠B=∠DAG，則推出∠D=∠DAG，利用等角對等邊，可證得結(jié)論.26．（8分）（2022八下·南海期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有長方形OABC，其中點(diǎn)C坐標(biāo)為，，點(diǎn)D是邊OC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是射線CA上的一個動點(diǎn)，請回答下面的問題：（1）（1分）若點(diǎn)P是線段AC的中點(diǎn)，直接寫出．（2）（3分）如圖2，過點(diǎn)P作軸，垂足是點(diǎn)E，若以C、D、E、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）（4分）連接BP，若是等腰三角形，求CP的長度．【答案】（1）（2）解：∵PE⊥x軸，∴PE∥CD，若以C、D、E、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則PE＝CD＝OC＝．∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)絕對值是，設(shè)直線AC的解析式為y＝kx＋b（k≠0），把A（3，0）、C（0，）代入得，，解得：，∴直線AC的解析式為，若點(diǎn)P在線段AC上，縱坐標(biāo)是，則，解得：x＝，此時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；若點(diǎn)P在線段CA的延長線上，縱坐標(biāo)是，則，解得：x＝，此時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，）；（3）解：①當(dāng)PB＝PC時，如圖：過點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，∴∠PQC＝90°，∵PB＝PC，∴點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上，∴CQ＝BQ＝BC＝，∵BC∥OA，∴∠PCQ＝∠CAO＝30°，∴PQ＝CQ＝，∴CP＝2PQ＝；②當(dāng)CP＝CB時，CP＝3；③當(dāng)BP＝BC時，過點(diǎn)B作BH⊥CP于點(diǎn)H，如圖：∴∠CHB＝90°，CP＝2CH，在Rt△BCH中，∠BCH＝30°，BC＝3，∴BH＝，∴CH＝BH＝，∴CP＝2CH＝．綜上，若△CPB是等腰三角形，CP的長度為：或3或．【規(guī)范解答】解：(1)∵C（0，），∠AOC＝90°，∠CAO＝30°，∴AC＝2OC＝2，∴OA＝＝3，∵點(diǎn)D是OC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC的中點(diǎn)，∴PD是△AOC的中位線，∴PD＝OA＝，故答案為：；【思路點(diǎn)撥】（1）先利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出AC的長，再利用勾股定理求出OA的長，最后利用中位線的性質(zhì)可得PD的長；

（2）先求出直線AC的解析式，再分兩種情況：①若點(diǎn)P在線段AC上，②若點(diǎn)P在線段CA的延長線上，再分別求解即可；

（3）分三種情況：①當(dāng)PB＝PC時，②當(dāng)CP＝CB時，CP＝3；③當(dāng)BP＝BC時，過點(diǎn)B作BH⊥CP于點(diǎn)H，再分別求解即可。27．（8分）（2022八下·晉中期末）綜合與實(shí)踐：圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問題的重要手段之一，在研究三角形的旋轉(zhuǎn)過程中，發(fā)現(xiàn)下列問題：如圖1，在△ABC中，，，D，E分別為AB，AC邊上一點(diǎn)，連接DE，且，將△ABC繞點(diǎn)A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)．（1）（1分）觀察猜想：若，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，則DB與EC的數(shù)量關(guān)系為；（2）（3分）類比探究：若，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置