專題11 一次函數(shù)的圖像和性質(zhì) 帶解析

2022-2023學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)精選壓軸題培優(yōu)卷專題11一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：100分評(píng)卷人得分一、選擇題(每題2分，共20分)1．(本題2分)（2023春·江蘇·八年級(jí)姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初中?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)（是任意實(shí)數(shù)），則點(diǎn)不會(huì)落在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【思路點(diǎn)撥】令，，可得，再根據(jù)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可判定．【規(guī)范解答】解：令，，則，可得，該一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，不經(jīng)過(guò)第四象限，故點(diǎn)不會(huì)落在第四象限，故選：D．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)題意得到是解決本題的關(guān)鍵．2．(本題2分)（2023秋·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作一次函數(shù)和圖象，可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【思路點(diǎn)撥】先看一個(gè)直線，得出和的符號(hào)，然后再判斷另外一條直線是否正確，這樣可得出答案．【規(guī)范解答】解：A、反映，，反映，，則，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、反映，，反映，，則，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、反映，，反映，，則，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、反映，，反映，，則，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：D．【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查了一次函數(shù)圖象與和符號(hào)的關(guān)系，關(guān)鍵是掌握當(dāng)時(shí)，在軸的正半軸上，直線與軸交于正半軸；當(dāng)時(shí)，在軸的負(fù)半軸，直線與軸交于負(fù)半軸．3．(本題2分)（2023秋·山東青島·八年級(jí)青島大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┠硢挝粶?zhǔn)備印制一批證書(shū)，現(xiàn)有兩個(gè)印刷廠可供選擇，甲廠費(fèi)用分為制版費(fèi)和印刷費(fèi)兩部分，乙廠直接按印刷數(shù)量收取印刷費(fèi)．甲、乙兩廠的印刷費(fèi)用y（千元）與證書(shū)數(shù)量x（千個(gè)）的函數(shù)關(guān)系圖分別如圖中甲、乙所示，下列三種說(shuō)法：①甲廠的制版費(fèi)為1千元；②當(dāng)印制證書(shū)超過(guò)2千個(gè)時(shí)，乙廠的印刷費(fèi)用為0.2元/個(gè)；③當(dāng)印制證書(shū)8千個(gè)時(shí)，應(yīng)選擇乙廠，可節(jié)省費(fèi)用500元．其中正確的說(shuō)法有（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】C【思路點(diǎn)撥】①根據(jù)縱軸圖象判斷即可；②用2到6千個(gè)時(shí)的費(fèi)用除以證件個(gè)數(shù)計(jì)算即可得解；③用待定系數(shù)法求出乙廠時(shí)的函數(shù)解析式，再求出時(shí)的函數(shù)值，再求出甲廠印制1個(gè)的費(fèi)用，然后求出8千個(gè)的費(fèi)用，比較即可得解．【規(guī)范解答】解：①由圖可知，甲廠的制版費(fèi)為1千元，故①正確；②（元/個(gè)），故②錯(cuò)誤；③設(shè)乙廠時(shí)的函數(shù)解析式為，則，解得，∴，當(dāng)時(shí)，（千元），甲廠印制1個(gè)證件的費(fèi)用為：（元），印制8千個(gè)的費(fèi)用為（千元），（千元）（元），所以，選擇乙廠節(jié)省費(fèi)用，節(jié)省費(fèi)用500元，故③正確；故選：C．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了一次函數(shù)應(yīng)用，主要利用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識(shí)，讀懂題目信息并準(zhǔn)確識(shí)圖，理解橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的意義是解題的關(guān)鍵．4．(本題2分)（2023秋·安徽合肥·八年級(jí)合肥市第四十五中學(xué)?？计谀┤鐖D.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，…和，，，…分別在直線和軸上，，，，…都是等腰直角三角形，如果點(diǎn)，那么的縱坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【思路點(diǎn)撥】設(shè)點(diǎn)，，，…，坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)解析式，尋找縱坐標(biāo)規(guī)律，進(jìn)而解題．【規(guī)范解答】解：過(guò)作軸于，過(guò)作軸于，過(guò)作軸于，…如圖，∵在直線上，∴，∴，∴，設(shè)，，，…，，則有，，…又∵，，…都是等腰直角三角形，軸，軸，軸…，∴，，…∴，，…，將點(diǎn)坐標(biāo)依次代入直線解析式得到：，，，…，又∵，∴，，，…，故選：A．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形以及規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)，通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)縱坐標(biāo)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．5．(本題2分)（2022秋·廣西梧州·八年級(jí)校考期中）正比例函數(shù)的圖像如圖所示，則一次函數(shù)的圖像大致是（

）A． B． C． D．【答案】D【思路點(diǎn)撥】根據(jù)正比例函數(shù)圖像判定，故，判定的圖像分布在一、三、四．【規(guī)范解答】∵正比例函數(shù)的圖像分布在一三象限，∴，∴，∴的圖像分布在一、三、四．故選D．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了函數(shù)圖像的分布，熟練掌握?qǐng)D像分布的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．6．(本題2分)（2022秋·陜西西安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸交于點(diǎn)、點(diǎn)，將直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)與軸交于點(diǎn)，則的面積為（

）A． B．3 C．4 D．5【答案】A【思路點(diǎn)撥】如圖，過(guò)A作交于E，過(guò)A、E分別作y軸、x軸的平行線交于F，交y軸于D，根據(jù)解析式求出，，由勾股定理求得，結(jié)合旋轉(zhuǎn)可知，設(shè)，由勾股定理，代入點(diǎn)的坐標(biāo)有，解得，即，結(jié)合解得不合題意舍去，所以，設(shè)過(guò)，直線解析式為：代入法求出直線方程，從而得到利用三角形面積公式求解即可．【規(guī)范解答】解：如圖，過(guò)A作交于E，過(guò)A、E分別作y軸、x軸的平行線交于F，交y軸于D，直線與軸、軸交于點(diǎn)、點(diǎn)，則，，，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，，，，，，，設(shè)，則，，，解得，，，即，解得：或，當(dāng)時(shí)（舍去），當(dāng)時(shí)，，設(shè)過(guò)，直線解析式為：，則有：，解得，，與x軸交點(diǎn)為：，，，故選：A．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了旋轉(zhuǎn)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、一次函數(shù)解析式與交點(diǎn)坐標(biāo)以及三角形面積公式；解題的關(guān)鍵勾股定理求邊長(zhǎng)，用代入法求直線解析式．7．(本題2分)（2023秋·陜西西安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一束光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)y軸上的點(diǎn)C反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】C【思路點(diǎn)撥】延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)D，利用反射定律，推出等角，從而證明得出，得到，得到，設(shè)的直線的解析式為，待定系數(shù)法求出解析式，并求出直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即C點(diǎn)坐標(biāo)．【規(guī)范解答】延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)D，如圖所示：∵由反射可知：，又∵，∴，在和中，∴，∴∵∴∴∵，設(shè)的直線的解析式為，∴，解得，∴的直線的解析式為，∴當(dāng)時(shí)，，∴．故選C．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了反射定律，全等三角形的性質(zhì)和判定，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，綜合性較強(qiáng)，將知識(shí)綜合運(yùn)用是本題的關(guān)鍵．8．(本題2分)（2021秋·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知直線：，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交軸于點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交軸于點(diǎn)，；按此作法繼續(xù)下去，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【思路點(diǎn)撥】根據(jù)所給直線解析式可得與軸的夾角，進(jìn)而根據(jù)所給條件依次得到點(diǎn)，的坐標(biāo)，通過(guò)相應(yīng)規(guī)律得到坐標(biāo)即可．【規(guī)范解答】解：直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，代入上式得，即，，，tan，，，軸，，，，，同理可得，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，，故選：C．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查的是一次函數(shù)綜合題，先根據(jù)所給一次函數(shù)判斷出一次函數(shù)與軸夾角是解決本題的突破點(diǎn)；根據(jù)含的直角三角形的特點(diǎn)依次得到的點(diǎn)的坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．9．(本題2分)（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）已知兩直線與相交于第四象限，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【思路點(diǎn)撥】由題意求出與x，y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入即可．【規(guī)范解答】解：對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴直線與x，y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，；∵兩直線與相交于第四象限，∴把代入，得，解得，把代入，得，解得，∴，故選：A．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；能夠掌握直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，牢記象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．10．(本題2分)（2022春·浙江臺(tái)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，分別是直線上的動(dòng)點(diǎn)，若時(shí)，都有，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【思路點(diǎn)撥】將向右平移1個(gè)單位得到點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，符合題意，同理將點(diǎn)向左平移一個(gè)單位得到，進(jìn)而即可求解．【規(guī)范解答】解：如圖，將向右平移1個(gè)單位得到點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，符合題意，，即，解得如圖，將點(diǎn)向左平移一個(gè)單位得到，，即，解得綜上所述，，故選B【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，根據(jù)題意作出圖形分析是解題的關(guān)鍵．評(píng)卷人得分二、填空題(每題2分，共20分)11．(本題2分)（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)的圖像與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，以為邊在y軸的左側(cè)作等邊，將沿x軸向右平移，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在直線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)是等邊三角形求出點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，將點(diǎn)C的縱坐標(biāo)代入求出對(duì)應(yīng)的x的值，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【規(guī)范解答】解：∵直線與y軸交于B點(diǎn)，∴時(shí)，得，∴．∵以為邊在y軸的左側(cè)作等邊，∴C在線段的垂直平分線上，∴C點(diǎn)縱坐標(biāo)為1．∵將沿x軸向右平移，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，∴點(diǎn)縱坐標(biāo)為1．將代入，得，解得．∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等邊三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形變化——平移，求出點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．12．(本題2分)（2023秋·浙江寧波·八年級(jí)校聯(lián)考期末）在畫(huà)一次函數(shù)的圖象時(shí)，小雯同學(xué)列表如下，其中“”表示的數(shù)為_(kāi)___【答案】【思路點(diǎn)撥】結(jié)合表格，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式，進(jìn)而求出當(dāng)時(shí)的函數(shù)值即可．【規(guī)范解答】解：有表格可知：直線過(guò)點(diǎn)，則：，解得：，∴，當(dāng)時(shí)，，∴“”表示的數(shù)為：．故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查求一次函數(shù)的函數(shù)值．解題的關(guān)鍵是正確的求出一次函數(shù)解析式．13．(本題2分)（2021秋·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知一次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法：①，；②是方程的解；③若點(diǎn)，、，是這個(gè)函數(shù)的圖象上的點(diǎn)，且，則；④當(dāng)，函數(shù)的值，則．其中正確的序號(hào)為_(kāi)__________．【答案】①②③④【思路點(diǎn)撥】圖象過(guò)第一，二，四象限，可得，，可判定①；根據(jù)增減性，可判斷③④，由圖象與軸的交點(diǎn)可判定②．【規(guī)范解答】解：圖象過(guò)第一，二，四象限，，；故①正確由圖象知，該直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是，則是方程的解，故②正確；隨增大而減小，，，，；故③正確當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，代入得，解得；故④正確故答案為：①②③④．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，關(guān)鍵是靈活運(yùn)用一次函數(shù)圖象的性質(zhì)．14．(本題2分)（2022春·廣東河源·八年級(jí)?？计谀┱叫?，，，按如圖所示的方式放置．點(diǎn)，，，和點(diǎn)，，，分別在直線和軸上，已知點(diǎn)，，則的坐標(biāo)是_____．【答案】【思路點(diǎn)撥】首先利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，求得的坐標(biāo)，然后根據(jù)，，的坐標(biāo)歸納總結(jié)規(guī)律得出的坐標(biāo)即可．【規(guī)范解答】解：∵的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴正方形邊長(zhǎng)為，正方形邊長(zhǎng)為，∴的坐標(biāo)是，A2的坐標(biāo)是，代入得，解得，則直線的解析式是：，∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵的橫坐標(biāo)是：，的縱坐標(biāo)是：，的橫坐標(biāo)是：，的縱坐標(biāo)是：，的橫坐標(biāo)是：，的縱坐標(biāo)是：，…∴橫坐標(biāo)是：，的縱坐標(biāo)是：，∴．故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、坐標(biāo)的變化規(guī)律等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)B點(diǎn)的坐標(biāo)總結(jié)規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．15．(本題2分)（2023秋·浙江寧波·八年級(jí)寧波市第七中學(xué)?？计谀┤鐖D，為等腰直角三角形，，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線l，以l為對(duì)稱軸得到．當(dāng)點(diǎn)A在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D同時(shí)在直線m上運(yùn)動(dòng)，則直線m的解析式為_(kāi)__________．【答案】【思路點(diǎn)撥】連接分別交軸，直線于點(diǎn)E，F(xiàn)，根據(jù)為等腰直角三角形得，所以，便可用a表示點(diǎn)D的坐標(biāo)，即可．【規(guī)范解答】連接分別交軸，直線于點(diǎn)E，F(xiàn)，設(shè)，∵點(diǎn)A，D關(guān)于直線對(duì)稱，∴，，則，∴，又∵為等腰直角三角形，，∴，則，∴，則，∴，則，∴設(shè)，∴則直線m的解析式為，故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查的是軸對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，求一次函數(shù)表達(dá)式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等腰直角三角形構(gòu)造全等三角形從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)．16．(本題2分)（2023秋·江西吉安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線與軸和軸分別交與A、兩點(diǎn)，射線于點(diǎn)A，若點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且以、、A為頂點(diǎn)的三角線與全等，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】3或【思路點(diǎn)撥】根據(jù)一次函數(shù)解析式可求出A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出的兩條直角邊，并運(yùn)用勾股定理求出．根據(jù)已知可得，分別從或時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，或時(shí)，，分別求得的值，即可得出結(jié)論．【規(guī)范解答】解：∵直線與x軸和y軸分別交與A、B兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，即，解得：．當(dāng)時(shí)，，∴．∴．∴．∵，點(diǎn)C在射線上，∴，即．∵，∴．若以C、D、A為頂點(diǎn)的三角形與全等，則或，即或．如圖1所示，當(dāng)時(shí)，，∴；如圖2所示，當(dāng)時(shí)，，∴．綜上所述，的長(zhǎng)為3或．故答案為：3或．【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．(本題2分)（2022秋·河南鄭州·八年級(jí)校考期中）如圖，直線的解析式為分別與，軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)的直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，且，在軸上方存在點(diǎn)，使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與全等，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】或【思路點(diǎn)撥】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的解析式為，可求得直線的解析式，從而可得到的長(zhǎng)度，再分和兩種情況進(jìn)行討論即可得到答案．【規(guī)范解答】解：點(diǎn)在直線上，，直線的解析式為：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，，由勾股定理得：，，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與全等，當(dāng)時(shí)，如圖所示，此時(shí)，且，，即，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，縱坐標(biāo)為4，點(diǎn)的坐標(biāo)為：；當(dāng)時(shí)，如圖所示，此時(shí)，，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，縱坐標(biāo)為3，點(diǎn)的坐標(biāo)為：，綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查的是一次函數(shù)圖像上的坐標(biāo)特征，涉及到三角形全等、平行線的性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用等，并注意分類求解，題目難度較大．18．(本題2分)（2023秋·重慶大渡口·八年級(jí)重慶市第九十五初級(jí)中學(xué)校?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖象分別為直線，，過(guò)點(diǎn)（1，0）作x軸的垂線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，…，依次進(jìn)行下去，點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)____．【答案】（，）【思路點(diǎn)撥】把點(diǎn)（1，0）代入求出坐標(biāo)，進(jìn)而求得、坐標(biāo)，可得、坐標(biāo)，據(jù)此找到規(guī)律，即可得坐標(biāo)．【規(guī)范解答】解：∵過(guò)點(diǎn)（1，0）作軸的垂線交于點(diǎn)，∴（1，2），把代入得，即（，），把代入得，即（，），同理可得（，），（4，8），（，），（，），（，），（，），…∴（，），（，），（，），（，），（n為自然數(shù)）∵，∴的坐標(biāo)為（，）（，）．故答案為：（，）．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及規(guī)律型中點(diǎn)的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是找出變化規(guī)律．19．(本題2分)（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)沈陽(yáng)市第一二六中學(xué)校考期中）如圖，已知，點(diǎn)P在線段上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合），點(diǎn)Q在線段上，，當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)________．【答案】【思路點(diǎn)撥】如圖所示，過(guò)點(diǎn)Q作軸于D，過(guò)點(diǎn)B作于E，設(shè)，利用勾股定理求出，再利用三角形面積法求出，則，即可利用勾股定理求出，要使最小就相當(dāng)于在x軸上找一點(diǎn)到點(diǎn)G和點(diǎn)H的距離最小，該點(diǎn)即為直線與x軸的交點(diǎn)，據(jù)此求解即可．【規(guī)范解答】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)Q作軸于D，過(guò)點(diǎn)B作于E，設(shè)，∵，∴，∴，，∵，∴，同理可得，∴，∴，∴，，∴，∴的和就相當(dāng)于點(diǎn)到點(diǎn)G和點(diǎn)H的距離之和，∵要使最小，∴即為直線與x軸的交點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，令，則，∴，∴，∴，故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了勾股定理，坐標(biāo)與圖形，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題，正確得到要使最小就相當(dāng)于在x軸上找一點(diǎn)到點(diǎn)G和點(diǎn)H的距離最小是解題的關(guān)鍵．20．(本題2分)（2022秋·浙江·八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)在直線：上，點(diǎn)在直線：上，若是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________．【答案】或【思路點(diǎn)撥】如圖，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，設(shè)，根據(jù)，列出二元一次方程組，解方程組求解即可．【規(guī)范解答】如圖，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，,,依題意，設(shè)，則,,，解得如圖，當(dāng)點(diǎn)在第二象限時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，同理可得則,,，解得或或故答案為：或【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，解二元一次方程組，分類討論是解題的關(guān)鍵．評(píng)卷人得分三、解答題(共60分)21．(本題6分)（2022秋·陜西西安·八年級(jí)西安市鐵一中學(xué)校考期末）如圖，直線與y軸交于A點(diǎn)，與x軸交于B點(diǎn)．(1)求A、B的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)C為第二象限的一點(diǎn)，且是以B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求C的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)P，使得最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)，；(2)；(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)是或．【思路點(diǎn)撥】（1）依據(jù)y軸與x軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，分別求當(dāng)、對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）由已知可得，進(jìn)而可根據(jù)AAS證明，于是可得，即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）要使得最小，顯然當(dāng)時(shí)，的值最小，此時(shí)點(diǎn)P在線段的垂直平分線上，然后分點(diǎn)P在x軸與y軸上兩種情況，利用兩點(diǎn)間的距離公式和線段垂直平分線的性質(zhì)求解即可．【規(guī)范解答】（1）對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)，，解得，∴；（2）∵點(diǎn)C為第二象限的一點(diǎn)，且是以B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∴，作軸于E，則，∴,∴，∴（AAS），∴，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是；（3）要使得最小，顯然當(dāng)時(shí)，的值最小，為0，此時(shí)點(diǎn)P在線段的垂直平分線上，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，由于，所以此種情況點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，即；當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，如圖，設(shè)，∵，∴，即，解得：，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是；綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)是或．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了一次函數(shù)、全等三角形的判定與性質(zhì)、二次根式的運(yùn)算、等腰直角三角形的定義、線段垂直平分線的性質(zhì)和兩點(diǎn)間的距離等知識(shí)，具有一點(diǎn)的綜合性，熟練掌握上述知識(shí)是解題的關(guān)鍵．22．(本題6分)（2023秋·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知與成正比例，且當(dāng)時(shí)，．(1)求與之間的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】(1)(2)【思路點(diǎn)撥】(1)設(shè)，把時(shí)，代入解析式確定k值即可．(2)根據(jù)解析式，代入計(jì)算即可．【規(guī)范解答】（1）解：設(shè)，將，代入得，解得，∴；（2）解：把代入得．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了一次函數(shù)解析式，根據(jù)解析式計(jì)算，熟練掌握解析式求法和準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．23．(本題8分)（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)，．點(diǎn)F是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），連接．設(shè)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為x．(1)求一次函數(shù)的解析式；(2)求的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；(3)當(dāng)?shù)拿娣e．①判斷此時(shí)線段與的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；②第四象限內(nèi)是否存在一點(diǎn)P，使是以為直角邊的等腰直角三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)；(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．【思路點(diǎn)撥】（1）將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出k，b的值即可；（2）寫(xiě)出F點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式列函數(shù)關(guān)系式；（3）①根據(jù)三角形面積列方程求點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后利用勾股定理求得與的長(zhǎng)，從而求解；②根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)求解．【規(guī)范解答】（1）解：將點(diǎn)，代入一次函數(shù)得：，解得：，∴一次函數(shù)的解析式為；（2）解：∵點(diǎn)F是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），設(shè)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為x，過(guò)點(diǎn)F作軸，∴F點(diǎn)坐標(biāo)為，∴的面積：，∴的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為；（3）解：①．理由如下：當(dāng)?shù)拿娣e時(shí)，，解得：，∴F點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∵，∴；②存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．過(guò)點(diǎn)F作軸交x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)M，分兩種情況：情況一：∵是等腰直角三角形，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴；情況二：∵是等腰直角三角形，同理，∴，，∴，∴，綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查一次函數(shù)解析式的確定和一次函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理，全等三角形的判斷和性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)．掌握相關(guān)性質(zhì)定理并利用分類討論思想解題是關(guān)鍵．24．(本題8分)（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，過(guò)點(diǎn)A的直線交于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)G．的面積為面積的．(1)點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)__________；(2)過(guò)點(diǎn)C作，交交于F，垂足為E，求證：；(3)請(qǐng)?zhí)骄吭诘谝幌笙迌?nèi)是否存在點(diǎn)P，使為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明提由．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)可求出的面積，即可得出在邊上的高，即可得出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線的函數(shù)解析式，最后求出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)即可；（2）通過(guò)證明即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)題意，進(jìn)行分類討論，一共有三種情況．【規(guī)范解答】（1）解：過(guò)點(diǎn)D作軸于點(diǎn)M，∵，∴，，∴，∴，解得：，設(shè)直線的函數(shù)解析式為，把代入得：，解得：，∴直線的函數(shù)解析式為，把代入得：，解得：，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為．（2）∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；（3）①過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線，過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線，兩平行線相交于點(diǎn)，∵，，∴，∵軸，軸，∴，∴，即為等腰直角三角形，∵，∴；②延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)B作軸，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∵∴，∴，則，∵，軸，∴，∴為等腰直角三角形，設(shè)直線的函數(shù)解析式為，把代入得：，解得：，∴直線的函數(shù)解析式為，把代入得：，∴；③過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線，過(guò)點(diǎn)D作交x軸平行線于點(diǎn)，∵軸，，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∵，∴，∴，∴，∴；綜上：存在．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)的應(yīng)用、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形面積公式、全等三角形的判定和性質(zhì)、線段的和差、直角三角形兩銳角互余、同角的余角相等、矩形正方形的判定和性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是正確熟練掌握想過(guò)內(nèi)容，并靈活運(yùn)用．25．(本題8分)（2022秋·陜西西安·八年級(jí)交大附中分校?？计谀?）模型建立：如圖1，在等腰直角三角形中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中相等的線段（除）；模型應(yīng)用：（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與，軸分別交于、兩點(diǎn)，為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，若是以為直角邊的等腰直角三角形，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的表達(dá)式；探究提升：（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，求的最小值，及此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）；（2），或，；（3），【思路點(diǎn)撥】（1）證明即可得到結(jié)論；（2）分點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)和點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)兩種情況求解即可；（3）過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)D，設(shè)證明，表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)，則可得，然后構(gòu)造軸對(duì)稱最短距離求解即可．【規(guī)范解答】（1）解：∵，∴．∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴．（2）以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖，作于點(diǎn)D．∵，∴時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴，．∵，∴．∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．設(shè)直線的解析式為，把代入，得，∴，∴；當(dāng)以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，作于點(diǎn)D．如圖，同理可求：，∴，∴．設(shè)直線的解析式為，把代入，得，∴，∴．（3）如圖，過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)D，設(shè)．∵，∴．∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，設(shè)，，，則求的最小值可看做點(diǎn)P到點(diǎn)M和點(diǎn)N的距離之和最小，如圖，作點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交x軸于點(diǎn)P，連接，則．設(shè)直線的解析式為，把代入得，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴此時(shí)，∴．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，勾股定理，以及軸對(duì)稱最短距離等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．26．(本題8分)（2023秋·福建寧德·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，的面積等于4(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)A在第二象限，是以為底的等腰直角三角形，求的值；(3)若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，且不論取何值，都有，求的面積．【答案】(1)(2)(3)的面積為2【思路點(diǎn)撥】（1）把代入直線求出x的值即可得出答案；（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為或，然后根據(jù)點(diǎn)A在第二象限，是以為底的等腰直角三角形，得出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后代入求出k的值即可；（3）根據(jù)點(diǎn)和在直線上，且不論取何值，都有，確定一次函數(shù)的增減性，得出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為：，畫(huà)出圖形，求出結(jié)果即可．【規(guī)范解答】（1）解：把代入直線得：，解得：，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（2）解：∵點(diǎn)在軸上，∴設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∵的面積等于4，∴，解得：，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為或，∵點(diǎn)A在第二象限，是以為底的等腰直角三角形，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，如圖所示：∵是以為底的等腰直角三角形，∴，，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為：，把代入得：，解得：；（3）解：∵點(diǎn)和在直線上，且不論取何值，都有，又∵不論a取何值總由，∴此時(shí)函數(shù)一次函數(shù)，y隨x增大而增大，∴，圖象一定經(jīng)過(guò)一、三象限，∵一次函數(shù)總是經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)C在直線上，∴此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為：，如圖所示：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，三角形面積的計(jì)算，求一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)，確定點(diǎn)C的坐標(biāo)．27．(本題8分)（2023秋·浙江溫州·八年級(jí)統(tǒng)