《工程力學(xué)》課件第2章

項(xiàng)目二平面力系的合成與平衡2.1任務(wù)引入

2.2解決任務(wù)的方法

2.3相關(guān)知識點(diǎn)介紹

2.4知識拓展——平面靜定桁架的內(nèi)力計(jì)算

【教學(xué)提示】本項(xiàng)目介紹了力在平面直角坐標(biāo)軸上的投影、力矩、力偶和力的平移定理等知識；利用這些知識對平面匯交力系、平面力偶系和平面任意力系進(jìn)行了簡化合成，得出了各力系的平衡條件及平衡方程；利用這些平衡方程去解決平衡問題。在教學(xué)中可以引用工程實(shí)例，采用啟發(fā)式教學(xué)和對比性教學(xué)，講練結(jié)合。

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】掌握力的投影、力矩和力偶等基本概念和性質(zhì)，合力投影定理、合力矩定理以及力的平移定理；能熟練地應(yīng)用平面力系的平衡方程求解平衡問題。

任務(wù)一：如圖2-1所示，根據(jù)已學(xué)知識，求解平面匯交力系合成問題主要應(yīng)用幾何法，這種方法具有直觀、簡捷的優(yōu)點(diǎn)，但是作圖時(shí)的誤差難以避免。如果力系中有多個(gè)力時(shí)，這種方法既煩瑣且誤差會(huì)更大，難以保證數(shù)據(jù)的精確度。那我們還有什么方法解決平面匯交力系的合成問題呢？2.1任務(wù)引入圖2-1合成鋼索拉力圖2-2測定飛機(jī)所受空氣阻力偶裝置

任務(wù)二：如圖2-2所示，飛機(jī)起飛是靠螺旋槳帶動(dòng)，那么飛機(jī)受到螺旋槳的力系有什么特點(diǎn)，能不能合成一個(gè)力？

任務(wù)三：如圖2-3所示曲柄連桿機(jī)構(gòu)的受力，是平面任意力系的工程實(shí)例。如何分析和研究這些平面任意力系中構(gòu)件的受力呢？

圖2-3曲柄連桿機(jī)構(gòu)

解決平面力系的合成與平衡問題，首先要掌握合力投影定理、合力矩定理、力的平移定理；其次利用這些定理，將各力系簡化合成，得出力系的合力；最后借助平衡條件，建立平衡方程，求解平衡問題。2.2解決任務(wù)的方法

模塊一平面匯交力系的合成與平衡

(一)平面匯交力系合成的幾何法

平面匯交力系是指各力的作用線匯交于一點(diǎn)的平面力系。該力系合成與平衡的幾何法是以靜力學(xué)公理為依據(jù)，主要應(yīng)用幾何作圖(簡單的可結(jié)合三角關(guān)系計(jì)算)的方法，研究力系中各分力與合力的幾何關(guān)系，從而得出力系合成與平衡的幾何條件。2.3相關(guān)知識點(diǎn)介紹

設(shè)圖2-4(a)所示為作用于任一剛體上的力F1、F2、F3、F4，它們的作用線交于點(diǎn)A，組成一平面匯交力系。由力的可傳性，將各力沿其作用線移至匯交點(diǎn)A，如圖2-4(b)所示。根據(jù)力的三角形法則，將各力依次合成，即從任意點(diǎn)a作矢量ab代表力矢F1，在其末端從點(diǎn)b作矢量bc代表力矢F2，則虛線ac表示力矢F1和F2的合力矢FR1；再從點(diǎn)c作矢量cd代表力矢F3，則ad表示FR1和F3的合力FR2；最后從點(diǎn)d作de代表力矢F4，則ae代表力矢FR2與F4的合力矢，亦即原匯交力系F1、F2、F3、F4的合力矢為FR，其大小和方向如圖2-4(c)所示，其作用線通過匯交點(diǎn)A?！?/p>

圖2-4幾何法合成平面匯交力系實(shí)際作圖時(shí)，不必畫出虛線所示的中間合成力FR1和FR2，只需把各分力矢首尾相連，形成一個(gè)不封閉的多邊形abcde，從第一個(gè)力矢F1的起點(diǎn)a向最后一個(gè)力矢F4的終點(diǎn)e作ae，即得合力矢FR。各分力矢與合力矢構(gòu)成的多邊形稱為力多邊形，合力矢是力多邊形的封閉邊。這種求合力的幾何作圖法稱為力多邊形法則。

例2-1

同一平面的三根鋼索聯(lián)接在一固定環(huán)上，如圖2-1所示，已知三鋼索的拉力分別為F1＝500N，F(xiàn)2＝1000N，F(xiàn)3＝2000N。試用幾何作圖法求三根鋼索在環(huán)上作用的合力。

解

(1)先確定力的比例尺。

(2)應(yīng)用多邊形法，如圖2-5所示將力F1、F2和F3首尾相接后，再從F1的起點(diǎn)a至F3的終點(diǎn)d連一直線，此封閉邊ad即合力矢FR。

(3)用直尺和量角器即可確定合力矢FR的大小和方向：

FR＝2840N，F(xiàn)R與F1的夾角為81°(與x軸夾角為21°)。

(4)最后將結(jié)果在原圖中標(biāo)出，如圖2-1所示。

圖2-5用幾何法合成鋼索拉力

(二)平面匯交力系合成的解析法

解析法是以力在坐標(biāo)軸上的投影為基礎(chǔ)的，所以我們首先介紹力在坐標(biāo)軸上的投影。

1.力在平面直角坐標(biāo)軸上的投影

設(shè)在直角坐標(biāo)系Oxy平面內(nèi)，有一已知力F，如圖2-6所示，此力與x軸所夾的銳角為

。從力F的兩端A和B分別向x、y軸作垂線，垂足分別為a、b和a'、b'，其中線段ab稱為力F在x軸上的投影，用Fx表示；線段a'b'稱為力F在y軸上的投影，用Fy表示。

力在坐標(biāo)軸上的投影是代數(shù)量，若投影由始端(a、a')到末端(b、b')的指向與坐標(biāo)軸的正向一致，投影值為正；反之為負(fù)。

圖2-6力在坐標(biāo)軸上的投影如圖2-6所示，力F在x軸和y軸的投影分別為

Fx＝Fcos

Fy＝－Fsin

(2-1)

說明：

(1)當(dāng)力與投影軸平行時(shí)，力在該軸上的投影等于該力的大??；

(2)當(dāng)力與投影軸垂直時(shí)，則力在此軸上的投影為零；

(3)力沿其作用線移動(dòng)時(shí)，其投影不變；

(4)力的投影只有大小和正負(fù)，可以用代數(shù)量表示。

例2-2

分別計(jì)算圖2-7所示坐標(biāo)平面內(nèi)各力在平面直角坐標(biāo)軸上的投影。

解由式(2-1)分別計(jì)算各力在兩坐標(biāo)軸上的投影：

F1x＝－F1cos

1, F1y＝F1sin

1

F2x＝0, F2y＝－F2

F3x＝F3cos

3, F3y＝F3sin

3

F4x＝F4, F4y＝0

圖2-7平面各力若已知力F在平面直角坐標(biāo)軸上的投影為Fx和Fy，則該力的大小和方向?yàn)?/p>

(2-2)

2.合力投影定理

設(shè)一平面匯交力系如圖2-8所示，在由幾何法所得的力多邊形ABCDE的平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系Oxy，封閉邊AE表示該力系合力矢FR。在力的多邊形所在位置將所有的力矢都投影到x軸和y軸上，得

FRx＝ae，F(xiàn)1x＝－ba，F(xiàn)2x＝bc，F(xiàn)3x＝cd，F(xiàn)4x＝de

由圖2-8可知

ae＝－ba＋bc＋cd＋de

即

FRx＝F1x＋F2x＋F3x＋F4x

圖2-8各分力在直角坐標(biāo)軸上的投影

同理得

FRy＝F1y＋F2y＋F3y＋F4y

將上述關(guān)系式推廣到任意平面匯交力系的情形，得

FRx＝F1x＋F2x＋…＋Fnx＝∑Fx

FRy＝F1y＋F2y＋…＋Fny＝∑Fy (2-3)

這就是合力投影定理：合力在某坐標(biāo)軸上的投影，等于各分力在同一坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和。該定理闡明了力系合力的投影與其各分力投影之間的關(guān)系。利用這種關(guān)系，我們可以通過計(jì)算力系合力的投影來解決力系合力的求解問題。

3.平面匯交力系的合成

當(dāng)物體上受到平面匯交力系F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n作用時(shí)，該力系合力FR的大小和方位角由式(2-4)和式(2-5)確定。

合力的大小為

(2-4)

合力的方向?yàn)?/p>

(2-5)

合力的作用點(diǎn)為力的匯交點(diǎn)。

合力矢量在力系中的象限位置由其投影FRx和FRy的正負(fù)號來判定。

例2-3

試用解析法重解例2-1。

解

(1)在力系匯交點(diǎn)處建立直角坐標(biāo)系xOy，根據(jù)合力投影定理，有

FRx＝F1x＋F2x＋F3x＝F1cos60°＋F2＋F3cos45°＝2664N

FRy＝F1y＋F2y＋F3y＝F1sin60°－F3sin45°＝－981N

(2)求解合力。

由式(2-4)得合力的大小為

由式(2-5)合力的方向?yàn)?/p>

解得

＝20.5°

(3)用解析法合成鋼索拉力的圖示如圖2-9所示。

由以上可知：合力是作用在第四象限內(nèi)與x軸正向成20.5°夾角的力。

圖2-9用解析法合成鋼索拉力

(三)平面匯交力系的平衡方程及其應(yīng)用

平面匯交力系平衡的充分必要條件是合力FR等于零，即

要使上式成立，必須同時(shí)滿足

(2-6)

式(2-6)表明，平面匯交力系平衡的解析條件是：力系中各力在兩個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零。式(2-6)稱為平面匯交力系的平衡方程。這是兩個(gè)獨(dú)立的方程，因而可以求解兩個(gè)未知量。

用解析條件解平面匯交力系平衡問題的一般步驟為：

(1)作出物體的受力圖；

(2)建立平面直角坐標(biāo)系，列出力系的平衡方程式；

(3)解方程，求出未知力。

一般情況下，受力圖中的未知量是約束力。在幾種常見的約束力中，除柔性約束力和光滑面約束力的方向不能假設(shè)外，其他約束力的方向通常是可以假設(shè)的。如果求出的約束力為負(fù)值，則表明該約束力的實(shí)際方向與受力圖中的假設(shè)方向相反。

例2-4

如圖2-10(a)所示，圓球重G＝100N，放在傾角為

＝30°的光滑斜面上，并用繩子AB系住，繩子AB與斜面平行。試求繩子AB的拉力和斜面對球的約束力。

解

(1)選圓球?yàn)檠芯繉ο?，畫受力圖如圖2-10(b)所示。

(2)此為平面匯交力系，建立直角坐標(biāo)系Oxy，列平衡方程并求解。

解得FT＝50N(方向如圖中所示)。

解得FN＝86.6N(方向如圖中所示)。

圖2-10斜面上小球的平面受力簡圖

說明：應(yīng)用平衡方程時(shí)，由于坐標(biāo)軸可以任意選取，因而可以列出無數(shù)個(gè)平衡方程，但為簡化計(jì)算，坐標(biāo)軸應(yīng)盡量選在與未知力垂直的方向上。

例2-5

如圖2-11(a)所示三角支架由桿AB、BC組成，A、B、C處均為光滑鉸鏈，在銷釘B上懸掛一重物，已知重物的重量G＝10kN，桿件自重不計(jì)。試求桿件AB、BC所受的力。

解

(1)取銷釘B為研究對象，畫受力圖如圖2-11(b)所示。

(2)此為平面匯交力系，建立直角坐標(biāo)系Bxy，列平衡方程并求解。

∑Fy＝0,F2sin30°－G＝0

解得

F2＝20kN

∑Fx＝0,F2cos30°－F1＝0

解得

F1＝17.32kN

根據(jù)作用力與反作用力定律，桿件AB所受的力為17.32kN，且為拉力；BC所受的力為20kN，且為壓力。

圖2-11三角支架的平面受力簡圖模塊二平面力偶系的合成與平衡

力對物體可以產(chǎn)生移動(dòng)效應(yīng)和轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。移動(dòng)效應(yīng)取決于力的大小和方向，轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)取決于力矩或力偶的大小和方向。首先，我們來學(xué)習(xí)力矩和力偶的基本知識。

(一)力對點(diǎn)之矩

1.力矩的概念和性質(zhì)

如圖2-12(a)所示，以扳手旋轉(zhuǎn)螺母為例，設(shè)螺母能繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)。

圖2-12用扳手?jǐn)Q螺母由經(jīng)驗(yàn)可知，螺母能否旋動(dòng)，不僅取決于作用在扳手上的力F的大小，而且還與點(diǎn)O到F的作用線的垂直距離d有關(guān)。因此，用F與d的乘積作為力F使螺母繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的量度。其中距離d稱為F對O點(diǎn)的力臂，點(diǎn)O稱為矩心。由于轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)只有逆時(shí)針和順時(shí)針兩個(gè)轉(zhuǎn)向，故一般用正負(fù)號表示轉(zhuǎn)動(dòng)方向。因此在平面問題中，力對點(diǎn)之矩定義如下：

平面中的力對點(diǎn)之矩可以用一個(gè)代數(shù)量表示，它的絕對值等于力的大小與力臂的乘積，力使物體繞矩心逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)為正，反之為負(fù)。

平面中力對點(diǎn)之矩以符號MO(F)表示，記為

MO(F)＝±Fd

(2-7)

由圖2-12(b)可見，力F對O點(diǎn)之矩的大小也可以用三角形OAB的面積的兩倍來表示，即

MO(F)＝±2A△OAB

(2-8)

力矩的國際制單位常用的是牛頓·米(N·m)，在工程單位制中常用千克力·米(kgf·m)。

由以上力對點(diǎn)之矩的概念可知，力對點(diǎn)之矩有如下特性：

(1)力F對O點(diǎn)之矩不僅取決于力F的大小，同時(shí)還與矩心的位置有關(guān)；

(2)力F對任一點(diǎn)之矩不會(huì)因該力沿其作用線移動(dòng)而改變，因?yàn)榇藭r(shí)力和力臂的大小均未改變；

(3)力的作用線通過矩心時(shí)，力矩等于零；

(4)互成平衡的二力對同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和等于零。

2.合力矩定理

在計(jì)算力系的合力矩時(shí)，常用到合力矩定理：平面匯交力系的合力對其平面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于所有各分力對同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。即

(2-9)

3.力矩的求解

求平面內(nèi)力對某點(diǎn)的力矩，一般采用以下兩種方法：

(1)直接計(jì)算力臂，由定義求力矩。

(2)應(yīng)用合力矩定理求力矩。此時(shí)應(yīng)注意：①將一個(gè)力恰當(dāng)?shù)胤纸鉃閮蓚€(gè)相互垂直的分力，利用分力取矩，并注意取矩方向；②剛體上的力可沿其作用線移動(dòng)，故力可在作用線上任一點(diǎn)分解，而具體選擇哪一點(diǎn)，其原則是使分解后的兩個(gè)分力取矩比較方便。

例2-6

一齒輪受到與它相嚙合的另一齒輪的法向壓力Fn＝1400N的作用，如圖2-13所示，已知壓力角

＝20°，節(jié)圓直徑D＝0.12m。求法向壓力Fn對齒輪軸心O之矩。

解用兩種方法計(jì)算。

(1)用力矩定義求解，如圖2-13(a)所示。

圖2-13齒輪嚙合的平面受力簡圖

(2)用合力矩定理求解，如圖2-13(b)所示。將力Fn在嚙合點(diǎn)處分解為圓周力Ft＝Fncos

和徑向力Fr＝Fnsin

，由合力矩定理，得

(二)力偶

1.力偶的概念

在日常生活和工程實(shí)際中，我們往往同時(shí)施加兩個(gè)等值、反向而不共線的平行力來使物體轉(zhuǎn)動(dòng)。例如，汽車司機(jī)用雙手轉(zhuǎn)動(dòng)方向盤(如圖2-14(a)所示)、工人用扳手和絲錐攻螺紋(如圖2-14(b)所示)、用兩個(gè)手指擰動(dòng)水龍頭(如圖2-14(c)所示)等。等值反向平行力的矢量和顯然等于零，但是由于它們不共線而不能相互平衡，因此能使物體改變轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)。

圖2-14方向盤、絲錐、水龍頭受力示意圖這種由兩個(gè)大小相等、方向相反且不共線的平行力組成的力系，稱為力偶，如圖2-14(d)所示，記做(F，F(xiàn)‘)。力偶的兩力之間的垂直距離d稱為力偶臂，力偶所在的平面稱為力偶的作用面。力偶的三要素為力偶的大小、力偶的轉(zhuǎn)向、力偶的作用面。

實(shí)踐證明，力偶只能使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。力偶對物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)可用力偶矩來度量，即

M＝±F·d (2-10)

式中的正負(fù)號表示力偶的轉(zhuǎn)向，即作逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)為正，反之為負(fù)。力偶矩的單位與力矩的單位相同。

2.力偶的性質(zhì)

根據(jù)力偶的定義，力偶具有以下一些性質(zhì)。

性質(zhì)1

力偶無合力，既力偶不能與一個(gè)力等效。

由于力偶中兩個(gè)力的大小相等、方向相反，因此它們在任意坐標(biāo)軸上的代數(shù)和恒等于零，如圖2-15(a)所示。這表明力偶在任何方向都沒有使剛體移動(dòng)的力，因此，力偶不能簡化為一個(gè)力，既力偶無合力，力偶對剛體只有轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，而無移動(dòng)效應(yīng)。力偶是最簡單的力系，力和力偶是靜力分析的兩個(gè)基本要素。

性質(zhì)2

力偶對任意點(diǎn)的力矩都等于力偶矩。

如圖2-15(b)所示的力偶(F，F(xiàn)')，在其作用平面內(nèi)任意取一點(diǎn)O作為力矩中心，設(shè)O點(diǎn)與F和F'作用線之間的垂直距離分別為x＋d和x，d為力偶臂。若用MO(F，F(xiàn)')表示力偶對O點(diǎn)的力矩，則有

MO(F,F')＝MO(F)＋MO(F')＝F(x＋d)－F'(x)＝Fd

這個(gè)結(jié)果表明：力偶中的兩個(gè)力對其作用平面內(nèi)任意一點(diǎn)的力矩的代數(shù)和恒等于力偶矩，而與力矩中心無關(guān)。

圖2-15力偶的性質(zhì)

性質(zhì)3

只要保持力偶的轉(zhuǎn)向和力偶矩的大小不變，力偶可以在其作用面內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)，且可以同時(shí)改變力偶中力的大小和力偶臂的長短，而不會(huì)改變力偶對剛體的作用效應(yīng)，如圖2-16所示。

由此可見，力偶中力的大小和力偶臂的長短都不是力偶的特征量，力偶矩才是力偶作用效果的唯一度量。因此，常用圖2-16(e)所示的符號表示力偶，其中M表示力偶矩的大小，帶箭頭的圓弧表示力偶的轉(zhuǎn)向。

通過前面所學(xué)知識，我們將力和力偶、力矩和力偶矩作一比較，分別見表2-1和表2-2。

圖2-16力偶的等效

表2-1力和力偶的比較表2-2力矩和力偶矩的比較

(三)平面力偶系合成與平衡的應(yīng)用

1.平面力偶系的概念和合成

平面力偶系是指作用在物體同一平面內(nèi)的若干力偶組成的力偶系。

設(shè)在剛體的同一平面內(nèi)作用有兩個(gè)力偶M1和M2，M1＝F1·d1，M2＝F2·d2，如圖2-17(a)所示，求它們的合成結(jié)果。根據(jù)上述力偶的性質(zhì)，在力偶作用面內(nèi)任取一線段AB＝d，將這兩個(gè)力偶都等效地變換為以d為力偶臂的新力偶(F3，F(xiàn)'3)和(F4，F(xiàn)'4)，經(jīng)變換后力偶中的力可由F3d＝F1d1＝M1，F(xiàn)4d＝F2d2＝M2算出。然后移轉(zhuǎn)各力偶，使它們的力偶臂都與AB重合，則原平面力偶系變換為作用于點(diǎn)A、B的兩個(gè)共線力系，如圖2-17(b)所示。將這兩個(gè)共線力系分別合成(設(shè)F3＞F4)，得

F＝F3－F4,

F'＝F'3－F'4

可見，力F與F'等值、反向、作用線平行且不共線，構(gòu)成了與原力偶系等效的合力偶(F，F(xiàn)')，如圖2-17(c)所示。以M表示此合力偶矩，得

M＝Fd＝(F3－F4)d＝F3d－F4d＝M1＋M2

圖2-17同平面中兩力偶的合成

如果有兩個(gè)以上的平面力偶，那么同樣可以按照上述方法合成。即平面力偶系可以合成為一個(gè)合力偶，合力偶矩等于力偶系中各個(gè)力偶矩的代數(shù)和，可寫為

(2-11)

例2-7

如圖2-18所示，用多軸鉆床在一工件上同時(shí)鉆出四個(gè)直徑相同的孔。每一鉆頭作用于工件的鉆削力偶，其矩估值為15N·m。求作用于工件總的鉆削力偶矩。

圖2-18水平放置的工件

解作用于工件上的四個(gè)力偶，各力偶矩的大小相等、轉(zhuǎn)向相同且在同一平面，根據(jù)式(2-11)可求出合力偶矩(總的鉆削力偶矩)為

M＝M1＋M2＋M3＋M4

＝4×(－15)

＝－60N·m

負(fù)號表示合力偶矩順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)。知道總鉆削力偶矩之后，就可考慮夾緊措施，設(shè)計(jì)夾具。

2.平面力偶系的平衡與應(yīng)用

平面力偶系可以用它的合力偶等效代替，因此，若合力偶矩等于零，則原力系必定平衡；反之若原力偶系平衡，則合力偶矩必等于零。由此可得到平面力偶系平衡的充分必要條件：所有各力偶矩的代數(shù)和等于零,即

(2-12)

由此可知平面力偶系有一個(gè)平衡方程，可以求解一個(gè)未知量。

圖2-19聯(lián)軸器

例2-8

電動(dòng)機(jī)軸通過聯(lián)軸器與工作軸相連，聯(lián)軸器上4個(gè)螺栓A、B、C、D的孔心均勻地分布在同一圓周上，如圖2-19所示。此圓的直徑d＝150mm，電動(dòng)機(jī)軸傳給聯(lián)軸器的力偶矩M＝2.5kN·m。試求每個(gè)螺栓所受的力。

解

(1)取聯(lián)軸器為研究對象，畫受力圖。

分析：作用于聯(lián)軸器上的力有電動(dòng)機(jī)傳給聯(lián)軸器的力偶和每個(gè)螺栓的反力，受力圖如圖2-19所示。因?yàn)橹鲃?dòng)力為一力偶，所以平衡時(shí)螺栓的反力必構(gòu)成反力偶。設(shè)4個(gè)螺栓的受力均勻，即F1＝F2＝F3＝F4＝F，則組成兩個(gè)力偶并與電動(dòng)機(jī)傳給聯(lián)軸器的力偶平衡。

(2)列平衡方程并求解。

由

∑M＝0,M－F×AC－F×BD＝M－2Fd＝0

解得

(方向如圖所示)

例2-9

如圖2-20(a)所示多軸(頭)鉆床在水平工件上同時(shí)由四個(gè)鉆頭沿同一方向鉆四個(gè)孔，每個(gè)鉆頭的主鉆削力在水平面內(nèi)構(gòu)成一個(gè)力偶，這四個(gè)力偶位于工件的同一平面內(nèi)。為了不讓工件在鉆孔時(shí)發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，分別在工件A端和B端各開一個(gè)槽，并用圓柱銷將其固定于工作臺(tái)上。若四個(gè)力偶的力偶矩均為50N·m，求圓柱銷對工件的約束力。

圖2-20水平放置的工件

解

(1)作工件的受力圖如圖2-20(b)所示。

(2)根據(jù)力偶系的平衡條件，該力偶系的平衡方程式為

∑Mi＝0, －4M1＋FNA×0.2＝0

解得

FNA＝1000N

由力偶性質(zhì)知

FNB＝FNA＝1000N

例2-10

梁AB受一主動(dòng)力偶作用，如圖2-21(a)所示，其力偶矩M＝100N·m，梁長l＝5m。梁的自重不計(jì)，求兩支座的約束反力。

解

(1)以梁為研究對象，并畫出受力圖如圖2-21(b)所示。FA必須與FB大小相等、方向相反、作用線平行。

(2)此為平面力偶系，列平衡方程

∑M＝0

FBl－M＝0

解得

圖2-21橫梁平面受力簡圖模塊三平面任意力系的合成與平衡

我們知道，一般情況下總可根據(jù)平行四邊形法則將有n個(gè)力的平面任意力系依次合成為一個(gè)力，但當(dāng)合成過程中出現(xiàn)前面n－1個(gè)力的合力與第n個(gè)力大小相等、方向相反且作用線不共線時(shí)，這一對力就構(gòu)成了一個(gè)力偶。所以，平面任意力系的合成結(jié)果可能是一個(gè)力或一個(gè)力偶。而這種合成方法只是在理論上是可行的，實(shí)際應(yīng)用起來非常不方便：其一，當(dāng)力的數(shù)目較多時(shí)太繁瑣；其二，當(dāng)二力的作用線接近平行時(shí)，由于交點(diǎn)在較遠(yuǎn)處，因而難以作出其合力。為此，須采用一種較為簡便且更具有普遍性的方法，即將平面任意力系向已知點(diǎn)簡化的方法。而這個(gè)方法的理論依據(jù)就是力的平移定理。

(一)力的平移定理

1.力的平移定理內(nèi)容

如圖2-22(a)所示，在剛體的A點(diǎn)作用一個(gè)力F，O點(diǎn)為剛體上的任一指定點(diǎn)?，F(xiàn)在討論如何將作用于A點(diǎn)的力F平行移動(dòng)到O點(diǎn)，而不改變其原來的作用效果。

根據(jù)加減平衡力系公理，我們在O點(diǎn)加上大小相等、方向相反且與力F平行的一對平衡力F'和F"，并使F＝F'＝F"，如圖2-22(b)所示。

圖2-22力的平移顯然，F(xiàn)"和F組成一個(gè)力偶，稱為附加力偶，其力偶臂為d。于是作用于A點(diǎn)的力F可以用作用于O點(diǎn)的力F'及附加力偶M(F，F(xiàn)")來替代，如圖2-22(c)所示。其中附加力偶矩為M＝±Fd＝MO(F)。

由此可知：作用于剛體上的力均可以從原來的作用位置平行移動(dòng)至剛體內(nèi)任一指定點(diǎn)。欲不改變該力對于剛體的作用效應(yīng)，則必須在該力與指定點(diǎn)所決定的平面內(nèi)附加一力偶，其力偶矩等于原力對于指定點(diǎn)之矩。這就是力的平移定理。

說明：

(1)該定理指出了力和力偶的關(guān)系，即一個(gè)力可以等效為一個(gè)力和一個(gè)力偶的聯(lián)合作用，或者說一個(gè)力可以分解為作用在同一平面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶。

(2)該定理的逆定理也成立，即同一平面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶可以合成一個(gè)合力?？梢愿鶕?jù)力的平移定理得到證明，這里不再贅述。

(3)力的平移定理是力系向一點(diǎn)簡化的理論基礎(chǔ)。

2.力的平移定理應(yīng)用

根據(jù)力的平移定理，我們可以來分析和解決工程實(shí)際中的力學(xué)問題。

應(yīng)用一：例如圖2-23(a)中廠房柱子受偏心載荷F的作用，為觀察F的作用效應(yīng)，可將力F平移至柱的軸線上成為F'與矩為M的力偶(如圖2-23(b)所示)，軸向力F'使柱子壓縮，而M的力偶矩將使柱子彎曲。

圖2-23柱子受力示意圖

應(yīng)用二：如圖2-24所示，用絲錐攻絲時(shí)，若僅用一只手加力，如圖2-24(a)所示，即只在B點(diǎn)有作用力F，雖然扳手也能轉(zhuǎn)動(dòng)，但卻容易使絲錐折斷。這是因?yàn)椋焊鶕?jù)力的平移定理，將作用于扳手B點(diǎn)的力F平行移動(dòng)到絲錐中心O點(diǎn)時(shí)，需附加一個(gè)力偶矩M＝Fd，如圖2-24(b)所示。這個(gè)力偶可使絲錐轉(zhuǎn)動(dòng)，而這個(gè)力卻是使絲錐折斷的主要原因?？梢钥紤]：為什么用兩手握扳手，而且用力相等時(shí)，就不會(huì)出現(xiàn)折斷的現(xiàn)象。

圖2-24絲錐攻絲示意圖

應(yīng)用三：固定端約束的約束反力。

工程實(shí)際中把使物體的一端既不能移動(dòng)，又不能轉(zhuǎn)動(dòng)的這類約束稱為固定端約束，它是工程中較為常見的一種約束。如圖2-25所示，插入剛性墻內(nèi)的陽臺(tái)挑梁、固定在車床卡盤上的車刀、夾緊在卡盤上的工件等，就都是物體受到固定端約束的實(shí)例。

固定端約束處的實(shí)際約束力比較復(fù)雜，作受力分析時(shí)需要根據(jù)力的平移定理，求得這些力對約束處的簡化結(jié)果。固定端約束可以阻止被約束物體發(fā)生任何移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，兩個(gè)正交分力Fx、Fy表示限制構(gòu)件的移動(dòng)的約束作用，一個(gè)約束力偶M表示限制構(gòu)件轉(zhuǎn)動(dòng)的約束作用，如圖2-26所示。

圖2-25固定端約束的實(shí)例

圖2-26固定端約束反力的表示

(二)平面任意力系的簡化

1.力系向平面內(nèi)任一點(diǎn)簡化

平面任意力系是指所有力的作用線既不匯交于同一點(diǎn)，又不相互平行的平面力系。

如圖2-27(a)所示，設(shè)剛體受一平面任意力系F1，F(xiàn)2、…，F(xiàn)n的作用，各力的作用點(diǎn)分別為A1，A2，…，An。在力系所在的平面內(nèi)任選一點(diǎn)O，稱為簡化中心。求該力系向O點(diǎn)簡化的結(jié)果。

圖2-27平面任意力系簡化應(yīng)用力的平移定理，將各力平移至簡化中心O點(diǎn)，同時(shí)加入相應(yīng)的附加力偶。這樣原力系就等效變換成為作用在O點(diǎn)的平面匯交力系F'1，F(xiàn)'2，…，F(xiàn)'n和由附加力偶矩M1，M2，…，Mn構(gòu)成的平面力偶系，如圖2-27(b)所示。這樣，平面任意力系被分解成了兩個(gè)力系，即平面匯交力系和平面力偶系，然后再分別合成這兩個(gè)力系。

2．力系合成

1)主矢F'R

在圖2-27(c)中，平面匯交力系F'1，F(xiàn)'2，…，F(xiàn)'n可合成為一作用于簡化中心O的力F'R，其大小和方向等于匯交力系的矢量和，即

而平面匯交力系中各力的大小和方向分別與原力系中對應(yīng)的各力相同，即

所以

我們將平面任意力系中各力的矢量和稱為該力系的主矢，以F'R表示，

(2-13)

由于原力系中各力的大小和方向是一定的，因此它們的矢量和也是一定的。所以，當(dāng)簡化中心不同時(shí)，原力系的矢量和不會(huì)改變，即力系的主矢與簡化中心的位置無關(guān)。

2)主矩MO

在圖2-27(c)中，附加平面力偶系可合成為一力偶，其力偶矩等于各附加力偶的力偶矩的代數(shù)和，用MO表示，即

MO＝M1＋M2＋…＋Mn＝∑M

而附加力偶的力偶矩分別等于原力系中各力對簡化中心O點(diǎn)的矩，即

M1＝∑MO(F1),M2＝∑MO(F2),…,Mn＝∑MO(Fn)

所以

MO＝∑MO(F1)＋∑MO(F2)＋…＋∑MO(Fn)＝∑MO(F)

我們將原力系中各力對簡化中心的矩的代數(shù)和稱為該力系對簡化中心O的主矩，以MO表示，

MO＝∑MO(F) (2-14)

當(dāng)簡化中心的位置改變時(shí)，原力系中各力對簡化中心的矩是不同的，對不同的簡化中心的矩的代數(shù)和一般也不相等，所以力系對簡化中心的主矩一般與簡化中心的位置有關(guān)。所以，說到主矩時(shí)一般必須指出是力系對哪一點(diǎn)的主矩。

綜上所述：平面任意力系向作用面內(nèi)任意一點(diǎn)簡化的結(jié)果一般可以得到一個(gè)力和一個(gè)力偶。該力作用于簡化中心，它的矢量等于原力系中各力的矢量和，即等于原力系的主矢；該力偶的矩等于原力系中各力對簡化中心的矩的代數(shù)和，即等于原力系對簡化中心的主矩。

3.簡化結(jié)果的討論

平面任意力系的簡化總結(jié)見表2-3。

表2-3平面任意力系簡化的最終結(jié)果由表可見，平面一般力系簡化的最終結(jié)果，只有三種可能：①合成為一個(gè)力；②合成為一個(gè)力偶；③為平衡力系。

(三)平面任意力系的平衡及其應(yīng)用

平面任意力系平衡的充分必要條件是力系的主矢和對任意一點(diǎn)的主矩都等于零，即

(2-15)

整理得出平面任意力系平衡方程的基本形式(也稱一矩式)如下：

(2-16)

平面任意力系平衡方程基本形式的意義為：力系中各力在任意坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和等于零，力系中各力對力系作用平面內(nèi)任意一點(diǎn)力矩的代數(shù)和等于零。前者是投影方程，后者為力矩方程。這是一組三個(gè)獨(dú)立的方程，故能求解出三個(gè)未知量。

例2-11

圖2-28所示為一不計(jì)自重的電線桿，A端埋入地下，B端作用有導(dǎo)線的最大拉力F1＝15kN，

＝5°，在C點(diǎn)處用鋼絲繩拉緊，其拉力F2＝18kN，

＝45°。試求A端的約束反力。

解

(1)以電線桿為研究對象，取分離體畫受力圖，如圖2-28(b)所示。

(2)此為平面任意力系，建立直角坐標(biāo)系，列平衡方程：

∑Fx＝0, FAx＋F1cos

－F2sin

＝0

∑Fy＝0, FAy－F1sin

－F2cos

＝0

∑MA(F)＝0, MA－8F1cos

＋5F2sin

＝0

圖2-28電線桿受力分析

(3)求解未知量。

FAx＝－F1cos

＋F2sin

＝－15cos5°＋18sin45°

＝－2.2kN

FAy＝F1sin

＋F2cos

＝15sin5°＋18cos45°＝14kN

MA＝8F1cos

－5F2sin

＝8×15sin5°－5×18sin45°

＝55.9kN·m

最后結(jié)果為正表示該力與假設(shè)方向相同，為負(fù)表示與假設(shè)方向相反。

例2-12

計(jì)算圖2-29(a)所示懸臂梁的支座約束力。已知F＝8kN，q＝3kN/m。

解

(1)作梁的受力圖如圖2-29(b)所示。梁端A為固定端，故支座約束力為兩個(gè)相互垂直的約束力和一個(gè)約束力偶。由F＝ql求得

。

圖2-29懸臂梁的受力圖

(2)采用默認(rèn)坐標(biāo)系(x軸向右為正，y軸向上為正，坐標(biāo)原點(diǎn)為梁的左端A點(diǎn))列方程求解。

由

解得

例2-13

圖2-30(a)所示為簡易起吊機(jī)的平面力系簡圖。已知橫梁AB的自重G1＝4kN，起吊總量G2＝20kN，AB的長度l＝2m；斜拉桿CD的傾角

＝30°，自重不計(jì)；當(dāng)電葫蘆距A端距離a＝1.5m時(shí)，處于平衡狀態(tài)，試求拉桿CD的拉力和A端固定鉸鏈支座的約束反力。

解

(1)以橫梁AB為研究對象，取分離體畫受力圖，如圖2-30(b)所示。

圖2-30簡易起吊機(jī)的受力分析

(2)此為平面任意力系，建立直角坐標(biāo)系，列平衡方程：

(3)求解未知量。

FCD、FAx、FAy都為正值，表示力的實(shí)際方向與假設(shè)方向相同；若為負(fù)值，則表示力的實(shí)際方向與假設(shè)方向相反。

討論：本題若寫出對A、B兩點(diǎn)的力矩方程和對x軸的投影方程，則同樣可求解。即由

解得

FCD＝34kN,FAx＝29.44kN,FAy＝7kN

若寫出對A、B、C三點(diǎn)的力矩方程

則也可得出同樣的結(jié)果。

由上面例題的討論可知，平面任意力系的平衡方程除了式(2-16)所示的基本形式以外，還有二力矩形式和三力矩形式，如表2-4所示。

表2-4平面任意力系的平衡方程形式注：在利用這三種形式的方程時(shí)，方程的次序可以隨便調(diào)整。解題時(shí)應(yīng)盡量保證列出一個(gè)方程，就能對應(yīng)求出一個(gè)解，避免聯(lián)立求解方程組。

例2-14

求圖2-31(a)所示外伸梁的支座約束力。

解

(1)作梁的受力圖如圖2-31(b)所示。

分析：梁的支座D為活動(dòng)鉸支座，只有一個(gè)垂直方向的約束力，用FD表示；支座A為固定鉸支座，有兩個(gè)相互垂直的約束力分量，分別用FAx、FAy表示。另外，在計(jì)算約束力時(shí)，可將CE段上作用的均勻分布載荷用其合力Fq表示，其大小Fq＝q×4＝16kN，作用在CE段的中點(diǎn)處。由受力圖可見，作用于梁上的力系為平面任意力系。

圖2-31外伸梁的受力分析

(2)列平衡方程求解各支座約束力。

由

∑Fx＝0,FAx－Fcos60°＝0

解得

FAx＝Fcos60°＝20×0.5＝10kN

由

解得

由

解得

FAy＝Fsin60°＋Fq－FD

＝20×0.866＋16－18.87＝14.45kN

可以讓學(xué)生用其余兩種方程形式求解。模塊四平面平行力系的合成與平衡

平面平行力系是指平面力系的所有力的作用線均相互平行。顯然，平面平行力系是平面任意力系的一種特殊形式，如圖2-32(a)所示。對于平面平行力系，其合成結(jié)果必定是與各力作用線平行的主矢量和一個(gè)位于力系作用平面內(nèi)的主矩，如圖2-32(b)所示。所以，平面平行力系的平衡方程可由平面任意力系的平衡方程導(dǎo)出。

圖2-32平面平行力系的簡化如圖2-32所示，選取圖示坐標(biāo)軸，使剛體所受的平面平行力系與x軸垂直。則不論該力系是否平衡，各力在x軸上的投影恒等于零，即

∑Fx≡0。

所以，平面平行力系的獨(dú)立平衡方程的數(shù)目只有兩個(gè)，即

(2-17)

由式(2-17)得平面平行力系的平衡方程式：

基本形式

二力矩式

可見，平面平行力系只有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，只能求解兩個(gè)未知量。

例2-15

塔式起重機(jī)如圖2-33(a)所示。機(jī)身自重W＝300kN，最大起重量W1＝180kN，平衡重W2＝300kN。試求滿載和空載時(shí)軌道A、B的約束力，并確定在使用過程中機(jī)身是否會(huì)翻倒。

解

(1)以起重機(jī)為研究對象，畫受力圖如圖2-33(b)所示的平行力系。

圖2-33塔式起重機(jī)的受力分析

(2)建立平衡方程式：

∑Fy＝0, FA＋FB－W－W1－W2＝0

解得

①

②

(3)計(jì)算滿載和空載時(shí)的約束力。

滿載時(shí)，將W1＝180kN、W＝300kN、W2＝300kN代入①、②式得

FA＝0，F(xiàn)B＝780kN

空載時(shí)，將W1＝0、W＝300kN、W2＝300kN代入①、②式得

FA＝450kN，F(xiàn)B＝150kN

由以上計(jì)算結(jié)果可知，無論是滿載還是空載，機(jī)身均不會(huì)翻倒。但其中因滿載時(shí)FA＝0，機(jī)身屬于極限平衡狀態(tài)，若起重量稍有增加，機(jī)身就會(huì)向右翻倒。

(一)靜定問題和靜不定問題

一般而言，當(dāng)物體系統(tǒng)平衡時(shí)，組成該系統(tǒng)的每一個(gè)物體亦處于平衡狀態(tài)，即整體平衡，其局部亦平衡。而對每一個(gè)受平面任意力系作用的物體，均可寫出三個(gè)獨(dú)立的平衡方程。若物系由n個(gè)物體組成，則可有3n個(gè)獨(dú)立的平衡方程。若系統(tǒng)中未知量的數(shù)目與平衡方程的數(shù)目相等，則可由平衡方程求解出所有未知量，這樣的問題稱為靜定問題。模塊五物體系統(tǒng)的平衡問題但是在工程實(shí)際當(dāng)中，為了減小結(jié)構(gòu)的過大變形，提高其承載能力或增加其穩(wěn)定性，往往要給結(jié)構(gòu)增加支撐，使其產(chǎn)生多于維持基本平衡的約束，稱為多余約束。這樣，未知量的數(shù)目將多于平衡方程的數(shù)目，從而僅由力系的平衡方程就不能將所有的未知量求出，這樣的問題稱為靜不定問題，或稱為超靜定問題。如圖2-34所示結(jié)構(gòu)的平衡問題均為靜定問題，圖2-35所示結(jié)構(gòu)的平衡問題都是靜不定問題。

圖2-34靜定問題

圖2-35靜不定問題在靜不定問題中把總未知量數(shù)與平衡方程數(shù)之差稱為超靜定次數(shù)。例如圖2-35(a)、(b)、(c)中未知量數(shù)分別為4、7、4個(gè)，而獨(dú)立平衡方程數(shù)分別為3、6、3個(gè)，所以均為一次超靜定問題。對于解決靜不定問題，僅用靜力學(xué)平衡方程是不夠的，還需要考慮作用于物體上的外力和物體變形的關(guān)系，列出相應(yīng)于靜不定次數(shù)的補(bǔ)充方程數(shù)并聯(lián)立平衡方程才能解決。由于理論力學(xué)的研究對象是剛體，并不考慮物體的變形，因此，靜不定問題已超出了本模塊的研究范圍，對其問題的解決將在后續(xù)課程中研究。

下面著重討論靜定物體系統(tǒng)的平衡問題。

(二)物系平衡問題的實(shí)例分析

解決物體系統(tǒng)平衡問題的方法和需要注意的問題如下：

(1)靈活選取研究對象。由于物系是由多個(gè)物體組成的系統(tǒng)，因此選擇哪個(gè)物體作為研究對象是解決物系平衡問題的關(guān)鍵。

①如果整個(gè)系統(tǒng)外約束力的全部或部分能夠不拆開系統(tǒng)而求出，可先取整個(gè)系統(tǒng)作為研究對象。

②然后選擇受力情形最簡單，有已知力和未知力同時(shí)作用的某一部分或幾部分為研究對象。

③研究對象的選擇應(yīng)盡可能滿足一個(gè)平衡方程解一個(gè)未知量的要求。

(2)正確進(jìn)行受力分析。求解物系平衡問題時(shí)，一般總要選擇部分或單個(gè)物體為研究對象，由于物體間約束形式的復(fù)雜多樣，必然對內(nèi)約束力的分析帶來困難。因此，選擇不同研究對象時(shí)，特別要分清約束與受約束體、內(nèi)力和外力、作用力和反作用力關(guān)系等。在整體、部分和單個(gè)物體受力圖中，同一處約束反力前后所畫要一致。

例2-16

求圖2-36(a)所示兩跨靜定梁的支座A、C的約束力和鉸B的約束力。

解

(1)以梁BC為研究對象,作受力圖如圖2-36(b)所示。設(shè)投影軸x向右為正，y向上為正，列平衡方程計(jì)算支座C的約束力和鉸B所受的力。

由

解得

由

解得

FBx＝FCsin30°＝4.62×0.5＝2.31kN

由

∑Fy＝0,FBy＋FCcos30°－q×4＝0

解得

FBy＝q×4－FCcos30°＝2×4－4.62×0.866＝4kN

圖2-36兩跨靜定梁的受力分析

(2)以梁AB為研究對象,作受力圖如圖2-36(c)所示，其中F'Bx與FBx及F'By與FBy是作用與反作用關(guān)系。列平衡方程求固定端支座約束力。

由

解得A支座約束力分別為

例2-17

如圖2-37(a)所示人字梯，求繩索DE的拉力。

解

(1)以整體為研究對象，作受力圖如圖2-37(b)所示。由平面平行力系的平衡條件求出光滑面約束