《概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)習(xí)指導(dǎo)及習(xí)題解析》課件第8章

第8章假設(shè)檢驗第一節(jié)知識梳理

第二節(jié)重點解析

第三節(jié)典型例題

第四節(jié)習(xí)題全解第一節(jié)知識梳理第二節(jié)重點解析

1.假設(shè)檢驗的基本方法

（1）根據(jù)實際問題的要求，提出原假設(shè)H0與備擇假設(shè)H1。當H1為雙側(cè)備擇假設(shè)時，H1也可以不寫出。

（2）選取適當?shù)臋z驗統(tǒng)計量W，并在原假設(shè)H0成立的前提下，確定出統(tǒng)計量W的概率分布。（3）根據(jù)具體情況，選取適當?shù)娘@著性水平α及樣本

容量n。

（4）利用W的分布求出W相應(yīng)于α和n的臨界值及H0的拒絕域。

（5）由樣本觀察值計算出W的觀測值，并與臨界值作比較，決定拒絕原假設(shè)H0還是接受原假設(shè)H0。

2.參數(shù)假設(shè)檢驗

1)單個正態(tài)總體均值的雙側(cè)檢驗

設(shè)總體X~N(μ，σ2)，均值μ未知，X1，X2，…，Xn是

X的一個樣本，要求檢驗假設(shè)H0：μ=μ0，μ0為已知常數(shù)，取顯著性水平為α。

（1）對于σ2已知的情形，構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量~使若則拒絕原假設(shè)H0，即認為總體均值μ與常數(shù)μ0有顯著差異；若則接受原假設(shè)H0，即認為總體均值μ與常數(shù)μ0無顯著差異。（2）對于σ2未知的情形，構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量~使若則拒絕原假設(shè)H0，即認為總體均值μ與常數(shù)μ0有顯著差異；則接受原假設(shè)H0，即認為總體均值μ與常數(shù)μ0無顯著差異。

2）單個正態(tài)總體方差的雙側(cè)檢驗

設(shè)總體X~N(μ，σ2)，

μ和σ2未知，X1，X2，…，Xn

是X的一個樣本，要求檢驗假設(shè)H0：σ2=σ20，σ20為已知常數(shù)，取顯著性水平為α。

構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量~使若或則拒絕原假設(shè)H0，即認為總體方差σ2與常數(shù)σ20有顯著差異；若則接受原假設(shè)H0，即認為總體方差σ2與常數(shù)σ20無顯著差異。

3）兩個正態(tài)總體均值的雙側(cè)檢驗

設(shè)總體X~N(μ1，σ2)，

Y~N(μ2，σ2)，且二者相互獨立，X與Y分別是這兩個樣本的樣本均值，S21與S22分別是這兩個樣本的樣本方差。設(shè)兩個正態(tài)總體的均值μ1、μ2及方差σ2均未知，現(xiàn)要檢驗假設(shè)H0：μ1=μ2(μ1－μ2=0)，取顯著性水平為α。構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量~其中使若則拒絕原假設(shè)H0，即認為兩個正態(tài)總體的均值μ1與μ2有顯著差異；則接受原假設(shè)H0，即認為兩個正態(tài)總體的均值μ1與μ2無顯著差異。

4)兩個正態(tài)總體方差比的雙側(cè)檢驗

構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量~使若或則拒絕原假設(shè)H0，即認為兩個正態(tài)總體的方差有顯著差異；若

3.分布假設(shè)檢驗

1)假設(shè)總體分布為已知的檢驗

設(shè)總體X的分布函數(shù)F(x)已知，

X1，X2，…，Xn是X的一個樣本，要求檢驗假設(shè)H0：F(x)=F0(x)，這里F0(x)是一已知的分布函數(shù)，其中不含任何未知參數(shù)。對于給定顯著性水平α，使P{χ2≥χ2α(l－1)}≈α，按算出χ2的觀測值。

2)假設(shè)總體分布為未知的檢驗

設(shè)總體X的分布函數(shù)F(x)未知，X1，X2，…，Xn是X的

一個樣本，要求檢驗假設(shè)H0：F(x)=F0(x;θ1，θ2，…，θm)，這里函數(shù)F0(x;θ1，θ2，…，θm)的表示式已知，而參數(shù)θ1，

θ2，…，θm未知。對于給定的顯著性水平α及充分大的樣本容量n(n≥50)，使按算出的觀測值。第三節(jié)典型例題

【例8.1】某廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，共80件，須經(jīng)檢驗合格才能出廠。按規(guī)定，次品率不能超過1%。今在其中任意抽取2件，發(fā)現(xiàn)有次品，問這批產(chǎn)品能否允許出廠？解從直觀上看，似乎是不能出廠。假設(shè)產(chǎn)品的次品

率為p，問題化為如何根據(jù)抽樣的結(jié)果來判斷“p≤0.01”是否成立。

要檢驗的假設(shè)是“p≤0.01”，如果假設(shè)成立，80件中最多有一件是次品，現(xiàn)任取2件，先看“無次品”的概率,即因此于是這表明，如果“p≤0.01”，那么任取2件產(chǎn)品，出現(xiàn)次品的機會是很小的，平均在100次抽樣中，實際上是不大可能

出現(xiàn)次品的，這是個小概率事件。然而，現(xiàn)在抽取2件，

卻發(fā)現(xiàn)了次品，這是“不合理”的。其原因就在于這個假設(shè)“p≤0.01”不合適。因此認為假設(shè)“p≤0.01”是不能接受的，故這批產(chǎn)品不能出廠。

【例8.2】設(shè)X1，

X2,…,Xn是來自正態(tài)總體N(μ，σ2)

的簡單隨機樣本，其中參數(shù)μ，σ2未知，記

試構(gòu)造檢驗假設(shè)H0：μ=0的t檢驗統(tǒng)計量T。，解由t分布隨機變量的構(gòu)成的典型模式出發(fā)來構(gòu)造統(tǒng)計量T。

在H0成立的條件下，有~已知~也就是~且相互獨立，故~故

【例8.3】某校畢業(yè)班歷年語文畢業(yè)成績接近N(78.5，7.62)，今年畢業(yè)40名學(xué)生，平均分數(shù)76.4分，有人說這屆學(xué)生的語文水平和歷屆學(xué)生相比不相上下，這個說法能接受嗎（顯著性水平α=0.05）？解本題所述是要把今年語文的平均分數(shù)與歷年平均分數(shù)相比，因此這是一個均值的檢驗問題，且已知方差σ2=7.62，所以是U檢驗的問題。

待檢驗的假設(shè)為

H0：μ=μ0=78.5，H1：μ≠μ0選檢驗統(tǒng)計量U，在H0成立的條件下，有~給定α=0.05，于是原假設(shè)的拒絕域為查標準正態(tài)分布表，得

u0.025=1.96

計算U的絕對值，即因為1.75<1.96，未落入拒絕域,所以可認為這屆學(xué)生的語文水平和歷屆學(xué)生相比不相上下。

【例8.4】某磚廠制成兩批機制紅磚，抽樣檢查測量磚的抗折強度（千克），得到結(jié)果如下:

第一批：n1=10，x=27.3，s1=6.4

第二批：n2=8，y=30.5，s2=3.8

已知磚的抗折強度服從正態(tài)分布，在顯著性水平為0.05的條件下試檢驗：

（1）兩批紅磚的抗折強度的方差是否有顯著差異？

（2）兩批紅磚的抗折強度的數(shù)學(xué)期望是否有顯著差異？解（1）待檢驗的假設(shè)為，用F檢驗法，當H0為真時，統(tǒng)計量為~原假設(shè)的拒絕域為由n1=10，n2=8，s21=40.96，s22=14.44得，所以接受H0，認為抗折強度的方差沒有顯著差異。

（2）待檢驗的假設(shè)為

H0：μ1=μ2，H1：μ1≠μ2

用t檢驗法，當H0為真時，統(tǒng)計量為~其中原假設(shè)的拒絕域為

{|t|≥tα/2(n1+n2－2)}查表可得

t0.025(10+8－2)=t0.025(16)=2.1199而，sω=5.418由于所以接受H0，認為抗折強度的期望無顯著差異。

第四節(jié)習(xí)題全解

8.1某燈泡廠生產(chǎn)一種節(jié)能燈泡，其使用壽命（單位：h）長期以來服從正態(tài)分布N(1600，1502)。現(xiàn)從一批燈泡中隨意抽取25只，測得它們的平均壽命為1636h。假定燈泡壽命的標準差穩(wěn)定不變，問這批燈泡的平均壽命是否等于1600h（取顯著性水平α=0.05）？解待檢驗的假設(shè)為

H0：μ=μ0=1600，H1：μ≠μ0

由于總體方差σ2=1502已知，故使用U檢驗法，檢驗統(tǒng)計量為當H0為真時，U~N(0，1)，所以H0的拒絕域為由題目所給數(shù)據(jù)可知

x=1636，n=25，α=0.05

查表可得u0.025=1.96

所以檢驗統(tǒng)計量的觀測值為因為所以根據(jù)U檢驗法，應(yīng)該接受H0,即認為這批燈泡的平均壽命等于1600h。

8.2正常人的脈搏平均為72次/分，檢查10例四乙基鉛中毒患者，測得他們的脈搏（次/分）分別為

54，67，68，78，70，66，67，

70，65，69

已知脈搏服從正態(tài)分布，在顯著性水平α＝0.05下，問四乙基鉛中毒患者與正常人的脈搏有無顯著差異？解待檢驗的假設(shè)為

H0：μ=μ0=72，H1：μ≠μ0

由于總體方差σ2未知，故使用t檢驗法，檢驗統(tǒng)計量為當H0為真時，t~t(n－1)，所以H0的拒絕域為由題目所給樣本值可得

x=67.4，s=5.929，n=10，α=0.05

查表可得t0.025(9)=2.2622，所以檢驗統(tǒng)計量的觀測值為因為

8.3某食品廠生產(chǎn)一種食品罐頭，每罐食品的標準質(zhì)量為500g。今從剛生產(chǎn)的一批罐頭中隨機抽取10罐，稱得其質(zhì)量（單位：g）分別為

495，510，505，498，503，492，

502，512，497，506

假定罐頭質(zhì)量服從正態(tài)分布，問這批罐頭的平均質(zhì)量是否符合標準（取α=0.05）？解待檢驗的假設(shè)為

H0：μ=μ0=500，H1：μ≠μ0

由于總體方差σ2未知，故使用t

檢驗法，檢驗統(tǒng)計量為當H0為真時，t~t(n－1),所以H0的拒絕域為由題目所給數(shù)據(jù)可知

x=502，s=6.498，n=10，α=0.05

查表可得t0.025(9)=2.262，所以檢驗統(tǒng)計量的觀測值為因為所以根據(jù)t檢驗法，應(yīng)該接受H0,即認為這批罐頭的平均質(zhì)量是符合標準的。

8.4如果一個矩形的寬度與長度的比值為0.618，則稱此矩形為黃金矩形，并稱這個比值為黃金比例。某工藝廠生產(chǎn)一種鏡框，從中抽取20個，測其寬與長的比值為

0.693，0.749，0.645，0.670，0.662，0.672，0.615，0.606，0.690，0.628

0.668，0.611，0.606，0.609，0.601，0.553，0.570，0.844，0.576，0.933

設(shè)鏡框?qū)捙c長的比值服從正態(tài)分布，在顯著性水平α=0.05下，問這種鏡框?qū)掗L比例的均值與黃金比例是否有顯著差異？解待檢驗的假設(shè)為

H0：μ=μ0=0.618，H1：μ≠μ0

由于總體方差σ2未知，故使用t檢驗法，檢驗統(tǒng)計量為，當H0為真時，t~t(n－1),所以H0的拒絕域為由題目所給數(shù)據(jù)可知

x=0.66005，s=0.0925，n=20，α=0.05

查表可得t0.025(19)=2.093，所以檢驗統(tǒng)計量的觀測值為因為所以根據(jù)t檢驗法，應(yīng)該接受H0,即認為這種鏡框?qū)掗L比例的均值與黃金比例無顯著差異。

8.5已知一細紗車間紡出某種細紗的支數(shù)服從正態(tài)分布，其標準差為1.2，從某天紡出的細紗中隨機抽出16縷進行支數(shù)測量，算得樣本標準差為2.1，在顯著性水平α=0.05下，問這天細紗支數(shù)的均勻度較平常有無顯著差異？解待檢驗的假設(shè)為

H0：σ2=σ20=1.22，H1：σ2≠σ20

利用χ2檢驗法，檢驗統(tǒng)計量為當H0為真時，χ2~χ2(n－1),所以H0的拒絕域為由題目所給數(shù)據(jù)可知s=2.1，n=16，α=0.05,查表可得，所以檢驗統(tǒng)計量的觀測值為因為所以根據(jù)χ2檢驗法，應(yīng)該拒絕H0,即認為這天細紗支數(shù)的均勻度較平常有顯著差異。

8.6從某電工器材廠生產(chǎn)的一批保險絲中抽取10根，測試其熔化時間，得到數(shù)據(jù)如下：

42，65，75，78，71，59，57，

68，55，54

設(shè)保險絲的熔化時間服從正態(tài)分布，問這批保險絲熔化時間的標準差是否等于12？取顯著性水平α=0.01。解待檢驗的假設(shè)為

H0：σ=σ0=12，H1：σ≠σ0

利用χ2檢驗法，檢驗統(tǒng)計量為當H0為真時，χ2~χ2(n－1),所以H0的拒絕域為由題目所給數(shù)據(jù)可知s=11.037，n=10，

α=0.01，查表可得，所以檢驗統(tǒng)計量的觀測值為因為所以根據(jù)χ2檢驗法，應(yīng)該接受H0,即認為這批保險絲熔化時間的標準差等于12。

8.7測定某一食品中的水分，由它的10個測定值算出，樣本均值x=0.452%，樣本標準差s=0.037%。設(shè)測定值整體服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，試在顯著性水平α=0.05下，分別檢驗假設(shè)：

（1）H0：μ=0.5%；

（2）H0：σ=0.04%。解（1）待檢驗的假設(shè)為

H0：

μ=0.5%=μ0，H1：μ≠0.5%

由于總體方差σ2未知，故使用t檢驗法，檢驗統(tǒng)計量為當H0為真時，t~t(n－1),所以H0的拒絕域為由題目所給數(shù)據(jù)可知

x=0.452%，s=0.037%，n=10，α=0.05

查表可得

t0.025(9)=2.262所以檢驗統(tǒng)計量的觀測值為因為所以根據(jù)t檢驗法，應(yīng)該拒絕H0。（2）待檢驗的假設(shè)為

H0：σ=0.04%=σ0，H1：σ≠σ0

利用χ2檢驗法，檢驗統(tǒng)計量為當H0為真時，χ2~χ2(n－1),所以H0的拒絕域為由題目所給數(shù)據(jù)可知s=0.037%，n=10，α=0.05，查表可得，所以檢驗統(tǒng)計量的觀測值為因為所以根據(jù)χ2檢驗法，應(yīng)該接受H0。

8.8甲、乙兩臺車床加工同一規(guī)格的零件，從加工的零件中各抽取若干件，測量其尺寸（單位：cm）為

甲：20.5，19.8，19.7，20.4，20.1，

20.0，19.0，19.9

乙：19.7，20.8，20.5，19.8，19.4，

20.6，19.2

假設(shè)兩臺車床加工的零件尺寸都服從正態(tài)分布，且方差相同。問兩臺車床加工零件的平均尺寸有無顯著差異(取α=0.05)？解設(shè)甲、乙兩臺車床加工的零件尺寸總體分別為

X~N(μ1，σ21)，Y~N(μ2，

σ22)

待檢驗的假設(shè)為

H0：μ1=μ2，

H1：μ1≠μ2

由于題目中假設(shè)兩個總體方差相同但未知，故使用t

檢驗法，檢驗統(tǒng)計量為其中當H0為真時，

t~t(n1+n2－2),所以H0的拒絕域為由題目所給數(shù)據(jù)可知查表可得

t0.025(13)=2.160所以檢驗統(tǒng)計量的觀測值為因為所以根據(jù)t檢驗法，應(yīng)該接受H0,即認為兩臺車床加工零件的平均尺寸無顯著差異。

8.9在十塊田地上同時試種A、B兩種谷物，根據(jù)公頃產(chǎn)量（單位：kg）算得xA=3097，yB=2179，sA=2670，sB=2110。問這兩種谷物的平均公頃產(chǎn)量有無顯著差異（取α=0.05）？假定兩種谷物的公頃產(chǎn)量都服從正態(tài)分布，且方差相等。在兩個正態(tài)總體方差相同的假設(shè)下，使用t檢驗法，檢驗統(tǒng)計量為其中所以檢驗統(tǒng)計量的觀測值為因為

8.11按兩種不同配方生產(chǎn)橡膠，測得伸長率（%）如下：

配方Ⅰ：540，533，525，520，544，

531，536，529，534

配方Ⅱ：565，577，580，575，556，

542，560，532，570，561

設(shè)橡膠伸長率服從正態(tài)分布，檢驗按兩種配方生產(chǎn)的橡膠的伸長率的方差是否相同（取α=0.05）？解設(shè)配方Ⅰ、Ⅱ的伸長率總體分別為

X~N(μ1，σ21)，Y~N(μ2，σ22)

待檢驗的假設(shè)為

H0：σ21=σ22，H1：σ21≠σ22

利用F檢驗法，檢驗統(tǒng)計量為當H0為真時，F(xiàn)~F(n1－1，n2－1)，所以H0的拒絕域為由題目所給數(shù)據(jù)可知查表可得，所以檢驗統(tǒng)計量的觀測值為，因為，所以根據(jù)F檢驗法，應(yīng)該拒絕H0,即認為兩種配方的伸長率方差有顯著差異。

8.12對兩批同類電子元件的電阻進行測試，各抽取6件，測試的結(jié)果（單位：Ω）如下：

A批：0.140，0.138，0.143，0.144，

0.141，0.137

B批：0.135，0.140，0.142，0.136，

0.138，0.141設(shè)這兩批元件的電阻分別服從正態(tài)分布N(μ1，σ21)與N(μ2，σ22)，試在α=0.05下檢驗下列假設(shè)：

（1）H0：σ21=σ22；

（2）H0：μ1=μ2。解（1）待檢驗的假設(shè)為

利用F檢驗法，檢驗統(tǒng)計量為

當H0為真時，F(xiàn)~F(n1－1，n2－1),所以H0的拒絕域為，（2）待檢驗的假設(shè)為

H0：μ1=μ2，H1：μ1≠μ2

在（1）的基礎(chǔ)上，利用t

檢驗法，檢驗統(tǒng)計量為其中當H0為真時，t~t(n1+n2－2),所以H0的拒絕域為所以檢驗統(tǒng)計量的觀測值為因為所以根據(jù)t檢驗法，應(yīng)該接受H0。

8.14一臺機床加工軸的平均橢圓度是0.095mm，機床調(diào)整后取20根軸測量其橢圓度，算得樣本均值x=0.081mm，樣本標準差s=0.025mm。問調(diào)整后機床加工軸的平均橢圓度有無顯著降低？這里假定機床加工軸的橢圓度服從正態(tài)分布，取其顯著性水平α=0.05。解待檢驗的假設(shè)為

H0：μ≥μ0=0.095，H1：μ<μ0

由于總體方差未知，故使用t檢驗法，檢驗統(tǒng)計量為當H0為真時，P{t≤－tα(n－1)}≤α，所以H0的拒絕域為

(－∞，－tα(n－1)］由題目所給數(shù)據(jù)可知

查表可得t0.05(19)=1.7291，所以檢驗統(tǒng)計量的觀測值為因為所以根據(jù)t檢驗法，應(yīng)該拒絕H0,即認為調(diào)整后機床加工軸的平均橢圓度有顯著降低。

8.15某鹽業(yè)公司用機器包裝食鹽，按規(guī)定每袋標準質(zhì)量為1kg標準差不得超過0.02kg。某日開工后，為了檢查機器工作是否正常，從裝好的食鹽中抽取9袋，稱得其質(zhì)量（單位：kg）如下：

0.994，1.014，1.020，0.950，1.030，0.968，0.976，1.048，0.982

假定食鹽的袋裝質(zhì)量服從正態(tài)分布，問當日機器工作是否正常（取α=0.05）？解待檢驗的假設(shè)為

H0：

σ2=0.022=σ20，H1：σ2>0.022

利用χ2檢驗法，檢驗統(tǒng)計量為當H0為真時，P{χ2≥χ2α(n－1)}≤α，所以H0的拒絕域為［χ2α(n－1)，+∞)

8.17在一個陀螺的圓周上均勻地刻上區(qū)間［0，10)上的諸數(shù)，旋轉(zhuǎn)這個陀螺，當它停止時，其邊周與地板的接觸點是一隨機變量。旋轉(zhuǎn)100次，觸地點落在［0，10)的10個等分區(qū)間上的頻數(shù)如下：問這個陀螺是否勻稱（取α=0.05）？解設(shè)陀螺停止時，其邊周與地板接觸點為總體X，此問題化為檢驗如下假設(shè):

H0：X服從U［0，10)分布

H1：X不服從U［0，10)分布

根據(jù)χ2擬合優(yōu)度檢驗法，檢驗統(tǒng)計量為當原假設(shè)H0成立時，χ2的極限分布為χ2(l－1)，H0的

拒絕域為

［χ2α(l－1)，+∞)

由題目所給數(shù)據(jù)可知

n=100

當H0成立時，下面列表計算χ2的值和分組數(shù)l等。由上表可得分組數(shù)l=10，查表可得由于故接受原假設(shè)H0，即認為陀螺是勻稱的。

8.18在檢驗?zāi)骋划a(chǎn)品質(zhì)量時，每次抽取10個產(chǎn)品來

檢驗。共取100次，得到每10個產(chǎn)品中次品數(shù)X的頻率分布如下：在顯著性水平α=0.05下，問生產(chǎn)過程中出現(xiàn)次品的概率p是否穩(wěn)定不變，即次品數(shù)X是否服從二項分布b(10，p)？解此問題化為檢驗如下假設(shè)：

H0：X服從b(10，

p)分布；H1：X不服從b(10，p)分布

首先求出參數(shù)p的最大似然估計值為估計的參數(shù)個數(shù)為

m=1

根據(jù)χ2