中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)沖刺第07講 平面直角坐標(biāo)系與一次函數(shù)、反比例函數(shù)（知識(shí)精講+真題練+模擬練+自招練）（解析版）

第07講平面直角坐標(biāo)系與一次函數(shù)、反比例函數(shù)（知識(shí)精講+真題練+模擬練+自招練）【考綱要求】⒈結(jié)合實(shí)例，了解常量、變量和函數(shù)的概念，體會(huì)“變化與對(duì)應(yīng)”的思想；⒉會(huì)確定函數(shù)自變量的取值范圍，即能用三種方法表示函數(shù)，又能恰當(dāng)?shù)剡x擇圖象去描述兩個(gè)變量之間的關(guān)系；⒊理解正比例函數(shù)、反比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念，會(huì)畫他們的圖象，能結(jié)合圖象討論這些函數(shù)的基本性質(zhì)，能利用這些函數(shù)分析和解決有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.【知識(shí)導(dǎo)圖】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、平面直角坐標(biāo)系1.平面直角坐標(biāo)系平面內(nèi)兩條有公共原點(diǎn)且互相垂直的數(shù)軸構(gòu)成了平面直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)叫做這點(diǎn)的坐標(biāo).在平面內(nèi)建立了直角坐標(biāo)系，就可以把“形”（平面內(nèi)的點(diǎn)）和“數(shù)”（有序?qū)崝?shù)對(duì)）緊密結(jié)合起來(lái).2．各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)、坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)點(diǎn)P(x,y)在第一象限；點(diǎn)P(x,y)在第二象限；點(diǎn)P(x,y)在第三象限；點(diǎn)P(x,y)在第四象限；點(diǎn)P(x,y)在x軸上，x為任意實(shí)數(shù)；點(diǎn)P(x,y)在y軸上，y為任意實(shí)數(shù)；點(diǎn)P(x,y)既在x軸上，又在y軸上x(chóng)，y同時(shí)為零，即點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，0）.3.兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征點(diǎn)P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上x(chóng)與y相等；點(diǎn)P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上x(chóng)與y互為相反數(shù).4.和坐標(biāo)軸平行的直線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征位于平行于x軸的直線上的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同；位于平行于y軸的直線上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同.5.關(guān)于x軸、y軸或原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征點(diǎn)P與點(diǎn)p′關(guān)于x軸對(duì)稱橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；點(diǎn)P與點(diǎn)p′關(guān)于y軸對(duì)稱縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；點(diǎn)P與點(diǎn)p′關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù).6.點(diǎn)P(x,y)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離（1）點(diǎn)P(x,y)到x軸的距離等于；（2）點(diǎn)P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于；（3）點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離等于.考點(diǎn)二、函數(shù)函數(shù)的概念設(shè)在某個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x、y,如果對(duì)于x在某一范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與它相對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)y是x的函數(shù)，x叫做自變量.2.自變量的取值范圍對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，自變量取值必須使實(shí)際問(wèn)題有意義.對(duì)于純數(shù)學(xué)問(wèn)題，自變量取值應(yīng)保證數(shù)學(xué)式子有意義.3．表示方法⑴解析法；⑵列表法；⑶圖象法.4．畫函數(shù)圖象（1）列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對(duì)應(yīng)值；（2）描點(diǎn)：以表中每對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)；（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點(diǎn)用平滑的曲線連接起來(lái).考點(diǎn)三、幾種基本函數(shù)（定義→圖象→性質(zhì)）1.正比例函數(shù)及其圖象性質(zhì)（1）正比例函數(shù)：如果y=kx(k是常數(shù)，k≠0)，那么y叫做x的正比例函數(shù)．（2）正比例函數(shù)y=kx（k≠0)的圖象：過(guò)（0，0），（1，K）兩點(diǎn)的一條直線．（3）正比例函數(shù)y=kx（k≠0)的性質(zhì)①當(dāng)k＞0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限，y隨x的增大而增大；②當(dāng)k＜0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限，y隨x的增大而減小.2.一次函數(shù)及其圖象性質(zhì)（1）一次函數(shù)：如果y=kx+b(k,b是常數(shù)，k≠0),那么y叫做x的一次函數(shù)．（2）一次函數(shù)y=kx+b（k≠0)的圖象（3）一次函數(shù)y=kx+b（k≠0)的圖象的性質(zhì)一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象是經(jīng)過(guò)(0，b)點(diǎn)和點(diǎn)的一條直線．當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大；②當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減?。?.反比例函數(shù)及其圖象性質(zhì)（1）定義：一般地，形如（為常數(shù)，）的函數(shù)稱為反比例函數(shù).三種形式：(k≠0)或(k≠0)或xy=k(k≠0).（2）反比例函數(shù)解析式的特征：①等號(hào)左邊是函數(shù)，等號(hào)右邊是一個(gè)分式.分子是不為零的常數(shù)（也叫做比例系數(shù)），分母中含有自變量，且指數(shù)為1；②比例系數(shù)；③自變量的取值為一切非零實(shí)數(shù)；④函數(shù)的取值是一切非零實(shí)數(shù).（3）反比例函數(shù)的圖象①圖象的畫法：描點(diǎn)法列表（應(yīng)以O(shè)為中心，沿O的兩邊分別取三對(duì)或以上互為相反的數(shù)）；描點(diǎn)（由小到大的順序）；連線（從左到右光滑的曲線）.②反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，（為常數(shù)，）中自變量，函數(shù)值，所以雙曲線是不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，斷開(kāi)的兩個(gè)分支，延伸部分逐漸靠近坐標(biāo)軸，但是永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交.③反比例函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱圖形（對(duì)稱軸是和）和中心對(duì)稱圖形（對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)）.④反比例函數(shù)（）中比例系數(shù)的幾何意義是：過(guò)雙曲線（）上任意點(diǎn)引軸、軸的垂線，所得矩形面積為.（4）反比例函數(shù)性質(zhì)：反比例函數(shù)k的符號(hào)k>0k<0圖像性質(zhì)①x的取值范圍是x0，y的取值范圍是y0；②當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別在第一、三象限.在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小.①x的取值范圍是x0，y的取值范圍是y0；②當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別在第二、四象限.在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.（5）反比例函數(shù)解析式的確定：利用待定系數(shù)法（只需一對(duì)對(duì)應(yīng)值或圖象上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出）（6）“反比例關(guān)系”與“反比例函數(shù)”：成反比例的關(guān)系式不一定是反比例函數(shù),但是反比例函數(shù)中的兩個(gè)變量必成反比例關(guān)系.【典型例題】題型一、坐標(biāo)平面有關(guān)的計(jì)算例1．已知點(diǎn)A(a，-5)，B(8，b)，根據(jù)下列要求確定a，b的值.(1)A，B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱；(2)A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；(3)AB∥x軸；(4)A，B兩點(diǎn)都在一、三象限的角平分線上．【思路點(diǎn)撥】（1）關(guān)于y軸對(duì)稱，y不變，x變?yōu)橄喾磾?shù)；

（2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，x變?yōu)橄喾磾?shù)，y變?yōu)橄喾磾?shù)；

（3）AB∥x軸，即兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變即可；

（4）在一、三象限兩坐標(biāo)軸夾角的平分線上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相等，即可得出a，b．【答案與解析】(1)點(diǎn)A(a，-5)，B(8，b)兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，則a＝-8且b＝-5．(2)點(diǎn)A(a，-5)，B(8，b)兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則a＝-8且b＝5．(3)AB∥x軸，則a≠8且b＝-5．(4)A，B兩點(diǎn)都在一、三象限的角平分線上，則a＝-5且b＝8．【總結(jié)升華】運(yùn)用對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．在一、三象限角平分線上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相等，在二、四象限角平分線上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．【變式】已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2，-1)．(1)如果B為x軸上一點(diǎn)，且，求B點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如果C為y軸上的一點(diǎn)，并且C到原點(diǎn)的距離為3，求線段AC的長(zhǎng)；(3)如果D為函數(shù)y＝2x-1圖象上一點(diǎn)，，求D點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)設(shè)B(x，0)，由勾股定理得．解得x1＝-5，x2＝1．經(jīng)檢驗(yàn)x1＝-5，x2＝1均為原方程的解．∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為(-5，0)或(1，0)．(2)設(shè)C(0，y)，∵OC＝3，∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，3)或(0，-3)．∴由勾股定理得；或．(3)設(shè)D(x，2x-1)，AD＝，由勾股定理得．解得，．經(jīng)檢驗(yàn)，，均為原方程的解．∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)或(-1，-3)．例2．已知某一函數(shù)圖象如圖所示．(1)求自變量x的取值范圍和函數(shù)y的取值范圍；(2)求當(dāng)x＝0時(shí)，y的對(duì)應(yīng)值；(3)求當(dāng)y＝0時(shí)，x的對(duì)應(yīng)值；(4)當(dāng)x為何值時(shí)，函數(shù)值最大；(5)當(dāng)x為何值時(shí)，函數(shù)值最?。?6)當(dāng)y隨x的增大而增大時(shí)，求x的取值范圍；(7)當(dāng)y隨x的增大而減小時(shí)，求x的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)圖象的讀圖能力和函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合的應(yīng)用．要能根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)和圖象上的數(shù)據(jù)分析得出函數(shù)的類型和所需要的條件，結(jié)合實(shí)際意義得到正確的結(jié)論.【答案與解析】(1)x的取值范圍是-4≤x≤4，y的取值范圍是-2≤y≤4；(2)當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3；(3)當(dāng)y＝0時(shí)，x＝-3或-1或4；(4)當(dāng)x＝1時(shí)，y的最大值為4；(5)當(dāng)x＝-2時(shí)，y的最小值為-2；(6)當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，y隨x的增大而增大；(7)當(dāng)-4≤x≤-2或1≤x≤4時(shí)，y隨x的增大而減?。究偨Y(jié)升華】本題主要是培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力．【變式1】下圖是韓老師早晨出門散步時(shí)，離家的距離y與時(shí)間x的函數(shù)圖象．若用黑點(diǎn)表示韓老師家的位置，則韓老師散步行走的路線可能是()【答案】理解題意，讀圖獲取信息是關(guān)鍵，由圖可知某段時(shí)間內(nèi)韓老師離家距離是常數(shù)，聯(lián)想到韓老師是在家為圓心的弧上散步，分析四個(gè)選項(xiàng)知D項(xiàng)符合題意．答案：D【變式2】下列圖形中的曲線不表示y是x的函數(shù)的是()．【答案】C.題型二、一次函數(shù)例3．盤錦紅海灘景區(qū)門票價(jià)格80元/人，景區(qū)為吸引游客，對(duì)門票價(jià)格進(jìn)行動(dòng)態(tài)管理，非節(jié)假日打a折，節(jié)假日期間，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超過(guò)10人的部分打b折，設(shè)游客為x人，門票費(fèi)用為y元，非節(jié)假日門票費(fèi)用y1（元）及節(jié)假日門票費(fèi)用y2（元）與游客x（人）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）a=，b=；（2）直接寫出y1、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）導(dǎo)游小王6月10日（非節(jié)假日）帶A旅游團(tuán)，6月20日（端午節(jié)）帶B旅游團(tuán)到紅海灘景區(qū)旅游，兩團(tuán)共計(jì)50人，兩次共付門票費(fèi)用3040元，求A、B兩個(gè)旅游團(tuán)各多少人？【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)函數(shù)圖象，用購(gòu)票款數(shù)除以定價(jià)的款數(shù)，計(jì)算即可求出a的值；用第11人到20人的購(gòu)票款數(shù)除以定價(jià)的款數(shù)，計(jì)算即可求出b的值；（2）利用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式求出y1，分x≤10與x＞10，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出y2與x的函數(shù)關(guān)系式即可；（3）設(shè)A團(tuán)有n人，表示出B團(tuán)的人數(shù)為（50﹣n），然后分0≤n≤10與n＞10兩種情況，根據(jù)（2）的函數(shù)關(guān)系式列出方程求解即可．【答案與解析】解：（1）由y1圖象上點(diǎn)（10，480），得到10人的費(fèi)用為480元，∴a=×10=6；由y2圖象上點(diǎn)（10，800）和（20，1440），得到20人中后10人費(fèi)用為640元，∴b=×10=8；（2）設(shè)y1=k1x，∵函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，0）和（10，480），∴10k1=480，∴k1=48，∴y1=48x；0≤x≤10時(shí)，設(shè)y2=k2x，∵函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，0）和（10，800），∴10k2=800，∴k2=80，∴y2=80x，x＞10時(shí)，設(shè)y2=kx+b，∵函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（10，800）和（20，1440），∴，∴，∴y2=64x+160；∴y2=；（3）設(shè)B團(tuán)有n人，則A團(tuán)的人數(shù)為（50﹣n），當(dāng)0≤n≤10時(shí)，80n+48×（50﹣n）=3040，解得n=20（不符合題意舍去），當(dāng)n＞10時(shí)，800+64×（n﹣10）+48×（50﹣n）=3040，解得n=30，則50﹣n=50﹣30=20．答：A團(tuán)有20人，B團(tuán)有30人．【總結(jié)升華】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，主要利用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，準(zhǔn)確識(shí)圖獲取必要的信息并理解打折的意義是解題的關(guān)鍵，（3）要注意分情況討論．【變式1】(1)直線y＝2x+1向下平移2個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位后的直線的解析式是________.(2)直線y＝2x+1關(guān)于x軸對(duì)稱的直線的解析式是________；直線y＝2x+l關(guān)于y軸對(duì)稱的直線的解析式是_________；直線y＝2x+1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線的解析式是_________．(3)如圖所示，已知點(diǎn)C為直線y＝x上在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，直線y＝2x+1交y軸于點(diǎn)A，交x軸于B，將直線AB平移后經(jīng)過(guò)(3，4)點(diǎn)，則平移后的直線的解析式是________．【答案】(1)y＝2x-5；(2)y＝-2x-1，y＝-2x+1，y＝2x-1；(3)y＝2x-2．【變式2】某地夏天旱情嚴(yán)重．該地10號(hào)、15號(hào)的人日均用水量的變化情況如圖所示．若該地10號(hào)、15號(hào)的人均用水量分別為18千克和15千克，并一直按此趨勢(shì)直線下降．當(dāng)人日均用水量低于10千克時(shí)，政府將向當(dāng)?shù)鼐用袼退敲凑畱?yīng)開(kāi)始送水的號(hào)數(shù)為()A．23B．24C．25D．26【答案】解析：設(shè)圖中直線解析式為y＝kx+b，將(10，18)，(15，15)代入解析式得解得∴．由題意知，，解得，∴送水號(hào)數(shù)應(yīng)為24．答案：B題型三、反比例函數(shù)例4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A（2，3）、B（﹣3，n）兩點(diǎn)．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）若P是y軸上一點(diǎn)，且滿足△PAB的面積是5，直接寫出OP的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）用待定系數(shù)法即可確定出反比例函數(shù)解析式；再將B坐標(biāo)代入反比例解析式中求出n的值，確定出B坐標(biāo)，根據(jù)A與B坐標(biāo)即可確定出一次函數(shù)解析式；（2）如圖所示，對(duì)于一次函數(shù)解析式，令x=0求出y的值，確定出C坐標(biāo)，得到OC的長(zhǎng)，三角形ABP面積由三角形ACP面積與三角形BCP面積之和求出，由已知的面積求出PC的長(zhǎng)，即可求出OP的長(zhǎng)．【答案與解析】解：（1）∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，3），∴m=6．∴反比例函數(shù)的解析式是y=，∵B點(diǎn)（﹣3，n）在反比例函數(shù)y=的圖象上，∴n=﹣2，∴B（﹣3，﹣2），∵一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)A（2，3）、B（﹣3，﹣2）兩點(diǎn)，∴，解得：，∴一次函數(shù)的解析式是y=x+1；（2）對(duì)于一次函數(shù)y=x+1，令x=0求出y=1，即C（0，1），OC=1，根據(jù)題意得：S△ABP=PC×2+PC×3=5，解得：PC=2，則OP=OC+CP=1+2=3或OP=CP﹣OC=2﹣1=1．【總結(jié)升華】此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，以及三角形的面積求法，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．【變式】已知正比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象與反比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象有一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2．（1）求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)，是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且，試比較的大?。敬鸢浮浚?）由題意，得， 解得．所以正比例函數(shù)的表達(dá)式為，反比例函數(shù)的表達(dá)式為． 解，得．由，得． 所以兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2），． （2）因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的圖象分別在第一、三象限內(nèi)，的值隨值的增大而減小， 所以當(dāng)時(shí)，． 當(dāng)時(shí)，． 當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，所以?題型四、函數(shù)綜合應(yīng)用例5．如圖，直線（＞0）與雙曲線（＞0）在第一象限的一支相交于A、B兩點(diǎn)，與坐標(biāo)軸交于C、D兩點(diǎn)，P是雙曲線上一點(diǎn)，且.（1）試用、表示C、P兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若△POD的面積等于1，試求雙曲線在第一象限的一支的函數(shù)解析式；（3）若△OAB的面積等于，試求△COA與△BOD的面積之和.【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)直線的解析式求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)雙曲線的解析式求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)；

（2）①要求雙曲線的解析式，只需求得xy值，顯然根據(jù)△POD的面積等于1，即可求解；

②由①中的解析式可以進(jìn)一步求得點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，從而求得直線的解析式，然后求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，即可計(jì)算△COA與△BOD的面積之和．【答案與解析】（1）C（0，），D（，0）∵PO＝PD∴，∴P（，）（2）∵，有，化簡(jiǎn)得：＝1∴（＞0）（3）設(shè)A（，），B（，），由得：，又得，即得，再由得，從而，，從而推出，所以.故【總結(jié)升華】利用面積建立方程求解析式中的字母參數(shù)是常用方法.求兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)，即解由它們的解析式組成的方程組.【變式1】如圖所示是一次函數(shù)y1＝kx+b和反比例函數(shù)的圖象，觀察圖象寫出y1＞y2時(shí)x的取值范圍________．【答案】利用圖象比較函數(shù)值大小時(shí)，要看對(duì)于同一個(gè)自變量的取值，哪個(gè)函數(shù)圖象在上面，哪個(gè)函數(shù)的函數(shù)值就大，當(dāng)y1＞y2時(shí)，-2＜x＜0或x＞3．答案：-2＜x＜0或x＞3【變式2】已知函數(shù)，m為何值時(shí)，(1)y是x的正比例函數(shù)，且y隨x的增大而增大?(2)函數(shù)的圖象是位于第二、四象限的雙曲線?【答案】(1)要符合題意，m需滿足解得∴m＝1．(2)欲符合題意，m需滿足解得∴．例6．已知直線(n是不為零的自然數(shù))．當(dāng)n＝1時(shí)，直線與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A1和B1，設(shè)△A1OB1(其中O是平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn))的面積為S1；當(dāng)n＝2時(shí)，直線與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A2和B2，設(shè)△A2OB2的面積為S2，…，依此類推，直線與x軸和y軸分別交于點(diǎn)An和Bn，設(shè)△AnOBn的面積為Sn．(1)求的面積S1；(2)求S1+S2+S3+…+S6的面積．【思路點(diǎn)撥】此題是一道規(guī)律探索性題目，先根據(jù)函數(shù)解析式的通項(xiàng)公式得出每一個(gè)函數(shù)解析式，畫出圖象，總結(jié)出規(guī)律，便可解答．【答案與解析】解：直線，∴，．（1）．（2）由得，【總結(jié)升華】借助直覺(jué)思維或?qū)?wèn)題的整體把握運(yùn)用歸納、概括、推理等思想獲得合理的猜測(cè)．【中考過(guò)關(guān)真題練】一．選擇題（共9小題）1．（2022?攀枝花）若點(diǎn)A（﹣a，b）在第一象限，則點(diǎn)B（a，b）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】直接利用第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)得出a、b的符號(hào)，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵點(diǎn)A（﹣a，b）在第一象限內(nèi)，∴﹣a＞0，b＞0，∴a＜0，∴點(diǎn)B（a，b）所在的象限是：第二象限．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)特征，記住各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)是解題的關(guān)鍵，四個(gè)象限的符號(hào)特點(diǎn)分別是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．2．（2022?攀枝花）中國(guó)人逢山開(kāi)路，遇水架橋，靠自己勤勞的雙手創(chuàng)造了世界奇跡．雅西高速是連接雅安和西昌的高速公路，被國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者公認(rèn)為全世界自然環(huán)境最惡劣、工程難度最大、科技含量最高的山區(qū)高速公路之一，全長(zhǎng)240km．一輛貨車和一輛轎車先后從西昌出發(fā)駛向雅安，如圖，線段OM表示貨車離西昌距離y1（km）與時(shí)間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系：折線OABN表示轎車離西昌距離y2（km）與時(shí)間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．貨車出發(fā)1.8小時(shí)后與轎車相遇 B．貨車從西昌到雅安的速度為60km/h C．轎車從西昌到雅安的速度為110km/h D．轎車到雅安20分鐘后，貨車離雅安還有20km【分析】根據(jù)“速度＝路程÷時(shí)間”分別求出兩車的速度，進(jìn)而得出轎車出發(fā)的時(shí)間，再對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可．【解答】解：由題意可知，貨車從西昌到雅安的速度為：240÷4＝60（km/h），故選項(xiàng)B不合題意；轎車從西昌到雅安的速度為：（240﹣75）÷（3﹣1.5）＝110（km/h），故選項(xiàng)C不合題意；轎車從西昌到雅安所用時(shí)間為：240÷110＝（小時(shí)），3﹣＝（小時(shí)），設(shè)貨車出發(fā)x小時(shí)后與轎車相遇，根據(jù)題意得：，解得x＝1.8，∴貨車出發(fā)1.8小時(shí)后與轎車相遇，故選項(xiàng)A不合題意；轎車到雅安20分鐘后，貨車離雅安還有60×＝40（km），故選項(xiàng)D符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題為一次函數(shù)的應(yīng)用，解答一次函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題中，要注意自變量的取值范圍還必須使實(shí)際問(wèn)題有意義．3．（2022?阜新）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，在直線y＝x+1和x軸之間由小到大依次畫出若干個(gè)等腰直角三角形（圖中所示的陰影部分），其中一條直角邊在x軸上，另一條直角邊與x軸垂直，則第100個(gè)等腰直角三角形的面積是（）A．298 B．299 C．2197 D．2198【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可得第1個(gè)等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)，求出第1個(gè)等腰直角三角形的面積，用同樣的方法求出第2個(gè)等腰直角三角形的面積，第3個(gè)等腰直角三角形的面積，找出其中的規(guī)律即可求出第100個(gè)等腰直角三角形的面積．【解答】解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝x+1＝1，根據(jù)題意，第1個(gè)等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為1，第1個(gè)等腰直角三角形的面積為＝，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝x+1＝2，∴第2個(gè)等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為2，第2個(gè)等腰直角三角形的面積為＝2，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝x+1＝4，∴第3個(gè)等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為4，第3個(gè)等腰直角三角形的面積為＝8，依此規(guī)律，第100個(gè)等腰直角三角形的面積為＝2197，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征與規(guī)律的綜合，涉及等腰直角三角形的性質(zhì)，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．4．（2022?攀枝花）如圖，正比例函數(shù)y＝k1x與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A（1，m）、B兩點(diǎn)，當(dāng)k1x≤時(shí)，x的取值范圍是（）A．﹣1≤x＜0或x≥1 B．x≤﹣1或0＜x≤1 C．x≤﹣1或x≥1 D．﹣1≤x＜0或0＜x≤1【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的對(duì)稱性求得B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)圖象即可求得．【解答】解：∵正比例函數(shù)y＝k1x與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A（1，m）、B兩點(diǎn)，∴B（﹣1，﹣m），由圖象可知，當(dāng)k1x≤時(shí)，x的取值范圍是﹣1≤x＜0或x≥1，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，利用函數(shù)的對(duì)稱性求得B點(diǎn)的坐標(biāo)，以及數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．5．（2022?阜新）已知反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣2，4），那么該反比例函數(shù)圖象也一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)（）A．（4，2） B．（1，8） C．（﹣1，8） D．（﹣1，﹣8）【分析】先把點(diǎn)（﹣2，4）代入反比例函數(shù)的解析式求出k的值，再對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可．【解答】解：∵反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣2，4），∴k＝﹣2×4＝﹣8，A、∵4×2＝8≠﹣8，∴此點(diǎn)不在反比例函數(shù)的圖象上，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵1×8＝8≠﹣8，∴此點(diǎn)不在反比例函數(shù)的圖象上，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、﹣1×8＝﹣8，∴此點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，故本選項(xiàng)正確；D、（﹣1）×（﹣8）＝8≠﹣8，∴此點(diǎn)不在反比例函數(shù)的圖象上，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知反比例函數(shù)y＝（k≠0）中，k＝xy為定值是解答此題的關(guān)鍵．6．（2022?銅仁市）如圖，在矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（3，2），C（3，﹣1），則D的坐標(biāo)為（）A．（﹣2，﹣1） B．（4，﹣1） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣3，﹣1）【分析】先根據(jù)A、B的坐標(biāo)求出AB的長(zhǎng)，則CD＝AB＝6，并證明AB∥CD∥x軸，同理可得AD∥BC∥y軸，由此即可得到答案．【解答】解：∵A（﹣3，2），B（3，2），∴AB＝6，AB∥x軸，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，AB∥CD∥x軸，同理可得AD∥BC∥y軸，∵點(diǎn)C（3，﹣1），∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣3，﹣1），故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，矩形的性質(zhì)，熟知矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022?菏澤）如圖，等腰Rt△ABC與矩形DEFG在同一水平線上，AB＝DE＝2，DG＝3，現(xiàn)將等腰Rt△ABC沿箭頭所指方向水平平移，平移距離x是自點(diǎn)C到達(dá)DE之時(shí)開(kāi)始計(jì)算，至AB離開(kāi)GF為止．等腰Rt△ABC與矩形DEFG的重合部分面積記為y，則能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象為（）A． B． C． D．【分析】如圖，作CH⊥AB于點(diǎn)H，可知CH＝1．分當(dāng)0≤x≤1或1＜x≤3或3＜x≤4三種情形，分別求出重疊部分的面積，即可得出圖象．【解答】解：如圖，作CH⊥AB于點(diǎn)H，∵AB＝2，△ABC是等腰直角三角形，∴CH＝1，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，y＝×2x?x＝x2，當(dāng)1＜x≤3時(shí)，y＝＝1，當(dāng)3＜x≤4時(shí)，y＝1﹣＝﹣（x﹣3）2+1，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，二次函數(shù)的圖象，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，分別求出三種情形下函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．8．（2022?柳州）如圖，直線y1＝x+3分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)C，直線y2＝﹣x+3分別與x軸、y軸交于點(diǎn)B和點(diǎn)C，點(diǎn)P（m，2）是△ABC內(nèi)部（包括邊上）的一點(diǎn)，則m的最大值與最小值之差為（）A．1 B．2 C．4 D．6【分析】由于P的縱坐標(biāo)為2，故點(diǎn)P在直線y＝2上，要求符合題意的m值，則P點(diǎn)為直線y＝2與題目中兩直線的交點(diǎn)，此時(shí)m存在最大值與最小值，故可求得．【解答】解：∵點(diǎn)P（m，2）是△ABC內(nèi)部（包括邊上）的一點(diǎn)，∴點(diǎn)P在直線y＝2上，如圖所示，當(dāng)P為直線y＝2與直線y2的交點(diǎn)時(shí)，m取最大值，當(dāng)P為直線y＝2與直線y1的交點(diǎn)時(shí)，m取最小值，∵y2＝﹣x+3中令y＝2，則x＝1，y1＝x+3中令y＝2，則x＝﹣1，∴m的最大值為1，m的最小值為﹣1．則m的最大值與最小值之差為：1﹣（﹣1）＝2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，要求符合題意的m值，關(guān)鍵要理解當(dāng)P在何處時(shí)m存在最大值與最小值，由于P的縱坐標(biāo)為2，故作出直線y＝2有助于判斷P的位置．9．（2022?內(nèi)江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M為x軸正半軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的直線l∥y軸，且直線l分別與反比例函數(shù)y＝和y＝的圖象交于P、Q兩點(diǎn)．若S△POQ＝15，則k的值為（）A．38 B．22 C．﹣7 D．﹣22【分析】利用k的幾何意義解題即可．【解答】解：∵直線l∥y軸，∴∠OMP＝∠OMQ＝90°，∴S△OMP＝×8＝4，S△OMQ＝﹣k．又S△POQ＝15，∴4﹣k＝15，即k＝11，∴k＝﹣22．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共3小題）10．（2022?黑龍江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1，A2，A3，A4…在x軸上且OA1＝1，OA2＝2OA1，OA3＝2OA2，OA4＝2OA3…按此規(guī)律，過(guò)點(diǎn)A1，A2，A3，A4…作x軸的垂線分別與直線y＝x交于點(diǎn)B1，B2，B3，B4…記△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，△OA4B4…的面積分別為S1，S2，S3，S4…則S2022＝24041．【分析】根據(jù)已知先求出OA2，OA3，OA4的長(zhǎng)，再代入直線y＝x中，分別求出A1B1，A2B2，A3B3，A4B4，然后分別計(jì)算出S1，S2，S3，S4，再?gòu)臄?shù)字上找規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵OA1＝1，OA2＝2OA1，∴OA2＝2，∵OA3＝2OA2，∴OA3＝4，∵OA4＝2OA3，∴OA4＝8，把x＝1代入直線y＝x中可得：y＝，∴A1B1＝，把x＝2代入直線y＝x中可得：y＝2，∴A2B2＝2，把x＝4代入直線y＝x中可得：y＝4，∴A3B3＝4，把x＝8代入直線y＝x中可得：y＝8，∴A4B4＝8，∴S1＝OA1?A1B1＝×1×＝×20×（20×），S2＝OA2?A2B2＝×2×2＝×21×（21×），S3＝OA3?A3B3＝×4×4＝×22×（22×），S4＝OA4?A4B4＝×8×8＝×23×（23×），..．∴S2022＝×22021×（22021×）＝24041，故答案為：24041．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)，含30度角的直角三角形，根據(jù)已知分別求出S1，S2，S3，S4的值，然后從數(shù)字上找規(guī)律是解題的關(guān)鍵．11．（2022?遵義）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)M，N分別為BC，AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AN＝CM，AB＝．當(dāng)AM+BN的值最小時(shí)，CM的長(zhǎng)為2﹣．【分析】過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H．設(shè)AN＝CM＝x．AM+BN＝+，欲求AM+BN的最小值，相當(dāng)于在x軸上尋找一點(diǎn)P（x，0），到E（1，1），F(xiàn)（0，）的距離和的最小值，如圖1中，作點(diǎn)F關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F′，當(dāng)E，P，F(xiàn)′共線時(shí)，PE+PF的值最小，此時(shí)直線EF′的解析式為y＝（+1）x﹣，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，可得結(jié)論．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H．設(shè)AN＝CM＝x．∵AB＝AC＝，∠BAC＝90°，∴BC＝＝2，∵AH⊥BC，∴BH＝AH＝1，∴AH＝BH＝CH＝1，∴AM+BN＝+，欲求AM+BN的最小值，相當(dāng)于在x軸上尋找一點(diǎn)P（x，0），到E（1，1），F(xiàn)（0，）的距離和的最小值，如圖1中，作點(diǎn)F關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F′，當(dāng)E，P，F(xiàn)′共線時(shí)，PE+PF的值最小，此時(shí)直線EF′的解析式為y＝（+1）x﹣，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝2﹣，∴AM+BN的值最小時(shí)，CM的值為2﹣，解法二：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CB，使得CE＝AC，連接EM，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．∵AB＝AC＝CE，∠BAN＝∠ECM＝90°，AN＝CM，∴△BAN≌△ECM（SAS），∴BN＝EM，∴AM+BN＝AM+ME，∴當(dāng)A，M，E共線時(shí)，AM+BN的值最小，∵AD∥EC，∴＝＝，∴CM＝×1＝2﹣．故答案為：2﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱最短問(wèn)題，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．12．（2022?寧波）如圖，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A在第二象限，點(diǎn)A關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)B，D都在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，BE⊥x軸于點(diǎn)E．若DC的延長(zhǎng)線交x軸于點(diǎn)F，當(dāng)矩形OABC的面積為9時(shí)，的值為，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，0）．【分析】連接OD，作DG⊥x軸，設(shè)點(diǎn)B（b，），D（a，），根據(jù)矩形的面積得出三角形BOD的面積，將三角形BOD的面積轉(zhuǎn)化為梯形BEGD的面積，從而得出a，b的等式，將其分解因式，從而得出a，b的關(guān)系，進(jìn)而在直角三角形BOD中，根據(jù)勾股定理列出方程，進(jìn)而求得B，D的坐標(biāo)，進(jìn)一步可求得結(jié)果．【解答】解：如圖，方法一：作DG⊥x軸于G，連接OD，設(shè)BC和OD交于I，設(shè)點(diǎn)B（b，），D（a，），由對(duì)稱性可得：△BOD≌△BOA≌△OBC，∴∠OBC＝∠BOD，BC＝OD，∴OI＝BI，∴DI＝CI，∴＝，∵∠CID＝∠BIO，∴△CDI∽△BOI，∴∠CDI＝∠BOI，∴CD∥OB，∴S△BOD＝S△AOB＝S矩形AOCB＝，∵S△BOE＝S△DOG＝＝3，S四邊形BOGD＝S△BOD+S△DOG＝S梯形BEGD+S△BOE，∴S梯形BEGD＝S△BOD＝，∴?（a﹣b）＝，∴2a2﹣3ab﹣2b2＝0，∴（a﹣2b）?（2a+b）＝0，∴a＝2b，a＝﹣（舍去），∴D（2b，），即：（2b，），在Rt△BOD中，由勾股定理得，OD2+BD2＝OB2，∴[（2b）2+（）2]+[（2b﹣b）2+（﹣）2]＝b2+（）2，∴b＝，∴B（，2），D（2，），∵直線OB的解析式為：y＝2x，∴直線DF的解析式為：y＝2x﹣3，當(dāng)y＝0時(shí)，2﹣3＝0，∴x＝，∴F（，0），∵OE＝，OF＝，∴EF＝OF﹣OE＝，∴＝，方法二：如圖，連接BF，BD，作DG⊥x軸于G，直線BD交x軸于H，由上知：DF∥OB，∴S△BOF＝S△BOD＝，∵S△BOE＝|k|＝3，∴＝＝，設(shè)EF＝a，F(xiàn)G＝b，則OE＝2a，∴BE＝，OG＝3a+b，DG＝，∵△BOE∽△DFG，∴＝，∴＝，∴a＝b，a＝﹣（舍去），∴D（4a，），∵B（2a，），∴＝＝，∴GH＝EG＝2a，∵∠ODH＝90°，DG⊥OH，∴△ODG∽△DHG，∴，∴，∴a＝，∴3a＝，∴F（，0）故答案為：，（，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形性質(zhì)，軸對(duì)稱性質(zhì)，反比例函數(shù)的“k”的幾何含義，勾股定理，一次函數(shù)及其圖象性質(zhì)，分解因式等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是變形等式，進(jìn)行分解因式．三．解答題（共11小題）13．（2022?蘭州）在平面直角坐標(biāo)系中，P（a，b）是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，給出如下定義：k1＝和k2＝兩個(gè)值中的最大值叫做點(diǎn)P的“傾斜系數(shù)”k．（1）求點(diǎn)P（6，2）的“傾斜系數(shù)”k的值；（2）①若點(diǎn)P（a，b）的“傾斜系數(shù)”k＝2，請(qǐng)寫出a和b的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②若點(diǎn)P（a，b）的“傾斜系數(shù)”k＝2，且a+b＝3，求OP的長(zhǎng)；（3）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿直線AC：y＝x運(yùn)動(dòng)，P（a，b）是正方形ABCD上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)P的“傾斜系數(shù)”k＜，請(qǐng)直接寫出a的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)“傾斜系數(shù)”k的定義直接計(jì)算即可；（2）①根據(jù)“傾斜系數(shù)”k的定義分情況得出結(jié)論即可；②根據(jù)“傾斜系數(shù)”k的定義求出P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出OP的值即可；（3）根據(jù)k的取值，分情況求出a的取值范圍即可．【解答】解：（1）由題意知，k＝＝3，即點(diǎn)P（6，2）的“傾斜系數(shù)”k的值為3；（2）①∵點(diǎn)P（a，b）的“傾斜系數(shù)”k＝2，∴＝2或＝2，即a＝2b或b＝2a，∴a和b的數(shù)量關(guān)系為a＝2b或b＝2a；②由①知，a＝2b或b＝2a∵a+b＝3，∴或，∴OP＝＝；（3）由題意知，滿足條件的P點(diǎn)在直線y＝x和直線y＝x之間，①當(dāng)P點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)，且k＝時(shí)，P點(diǎn)在直線y＝x上，a有最小臨界值，如圖：此時(shí)a＜b，連接OD，延長(zhǎng)DA交x軸于E，此時(shí)＝，則，解得a＝，此時(shí)B點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），且k＝＝∴a＞+1；②當(dāng)P點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，且k＝時(shí)，P點(diǎn)在直線y＝x上，a有最小臨界值，如圖：此時(shí)a＞b，連接OB，延長(zhǎng)CB交x軸于F，此時(shí)＝，則＝，解得a＝3+，此時(shí)D（，），且k＝＝，∴a＞+3；綜上所述，若點(diǎn)P的“傾斜系數(shù)”k＜，則a＞+3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)，正確理解“傾斜系數(shù)”的定義是解題的關(guān)鍵．14．（2022?黑龍江）為了迎接“十?一”小長(zhǎng)假的購(gòu)物高峰．某運(yùn)動(dòng)品牌專賣店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種運(yùn)動(dòng)鞋．其中甲、乙兩種運(yùn)動(dòng)鞋的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表：運(yùn)動(dòng)鞋價(jià)格甲乙進(jìn)價(jià)（元/雙）mm﹣20售價(jià)（元/雙）240160已知：用3000元購(gòu)進(jìn)甲種運(yùn)動(dòng)鞋的數(shù)量與用2400元購(gòu)進(jìn)乙種運(yùn)動(dòng)鞋的數(shù)量相同．（1）求m的值；（2）要使購(gòu)進(jìn)的甲、乙兩種運(yùn)動(dòng)鞋共200雙的總利潤(rùn)（利潤(rùn)＝售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）不少于21700元，且不超過(guò)22300元，問(wèn)該專賣店有幾種進(jìn)貨方案？（3）在（2）的條件下，專賣店準(zhǔn)備對(duì)甲種運(yùn)動(dòng)鞋進(jìn)行優(yōu)惠促銷活動(dòng)，決定對(duì)甲種運(yùn)動(dòng)鞋每雙優(yōu)惠a（50＜a＜70）元出售，乙種運(yùn)動(dòng)鞋價(jià)格不變．那么該專賣店要獲得最大利潤(rùn)應(yīng)如何進(jìn)貨？【分析】（1）用總價(jià)除以單價(jià)表示出購(gòu)進(jìn)鞋的數(shù)量，根據(jù)兩種鞋的數(shù)量相等列出方程求解即可；（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種運(yùn)動(dòng)鞋x雙，表示出乙種運(yùn)動(dòng)鞋（200﹣x）雙，然后根據(jù)總利潤(rùn)列出一元一次不等式，求出不等式組的解集后，再根據(jù)鞋的雙數(shù)是正整數(shù)解答；（3）設(shè)總利潤(rùn)為W，根據(jù)總利潤(rùn)等于兩種鞋的利潤(rùn)之和列式整理，然后根據(jù)一次函數(shù)的增減性分情況討論求解即可．【解答】解：（1）依題意得，＝，整理得，3000（m﹣20）＝2400m，解得m＝100，經(jīng)檢驗(yàn)，m＝100是原分式方程的解，所以，m＝100；（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種運(yùn)動(dòng)鞋x雙，則乙種運(yùn)動(dòng)鞋（200﹣x）雙，根據(jù)題意得，，解不等式①得，x≥95，解不等式②得，x≤105，所以，不等式組的解集是95≤x≤105，∵x是正整數(shù)，105﹣95+1＝11，∴共有11種方案；（3）設(shè)總利潤(rùn)為W，則W＝（240﹣100﹣a）x+80（200﹣x）＝（60﹣a）x+16000（95≤x≤105），①當(dāng)50＜a＜60時(shí)，60﹣a＞0，W隨x的增大而增大，所以，當(dāng)x＝105時(shí)，W有最大值，即此時(shí)應(yīng)購(gòu)進(jìn)甲種運(yùn)動(dòng)鞋105雙，購(gòu)進(jìn)乙種運(yùn)動(dòng)鞋95雙；②當(dāng)a＝60時(shí)，60﹣a＝0，W＝16000，（2）中所有方案獲利都一樣；③當(dāng)60＜a＜70時(shí)，60﹣a＜0，W隨x的增大而減小，所以，當(dāng)x＝95時(shí)，W有最大值，即此時(shí)應(yīng)購(gòu)進(jìn)甲種運(yùn)動(dòng)鞋95雙，購(gòu)進(jìn)乙種運(yùn)動(dòng)鞋105雙．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，進(jìn)而找到所求的量的等量關(guān)系和不等關(guān)系，（3）要根據(jù)一次項(xiàng)系數(shù)的情況分情況討論．15．（2022?六盤水）如圖，正比例函數(shù)y＝x與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A，B兩點(diǎn)．（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）將直線y＝x向下平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，與反比例函數(shù)在第一象限的圖象交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D，與y軸交于點(diǎn)E，若＝，求a的值．【分析】（1）根據(jù)正比例函數(shù)與反比例函數(shù)，即可求出兩交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)直線y＝x向下平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，可得直線CD解析式為：y＝x﹣a，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a，0），過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，根據(jù)CF∥OE，可得＝＝，所以FD＝a，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)是（a，a）．然后利用反比例函數(shù)即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）∵正比例函數(shù)y＝x與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A、B兩點(diǎn)，∴x＝，解得x＝±2，∴A（2，2），B（﹣2，﹣2）；（2）∵直線y＝x向下平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，∴直線CD解析式為：y＝x﹣a，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝a，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a，0），如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，∴CF∥OE，∴＝＝，∴FD＝a，∴OF＝OD+FD＝a，∵點(diǎn)C在直線CD上，∴y＝a﹣a＝a，∴CF＝a，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（a，a）．∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴a×a＝4，解得a＝±3（負(fù)值舍去），∴a＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)的中心對(duì)稱性，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2022?成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝﹣2x+6的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于A（a，4），B兩點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)A作直線AC，交反比例函數(shù)圖象于另一點(diǎn)C，連接BC，當(dāng)線段AC被y軸分成長(zhǎng)度比為1：2的兩部分時(shí)，求BC的長(zhǎng)；（3）我們把有兩個(gè)內(nèi)角是直角，且一條對(duì)角線垂直平分另一條對(duì)角線的四邊形稱為“完美箏形”．設(shè)P是第三象限內(nèi)的反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，Q是平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABPQ是完美箏形時(shí)，求P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）將點(diǎn)A坐標(biāo)分別代入一次函數(shù)解析式和反比例函數(shù)解析式可求解；（2）分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)和勾股定理可求解；（3）分別求出BP，AP，BQ的解析式，聯(lián)立方程組可求解．【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y＝﹣2x+6的圖象過(guò)點(diǎn)A，∴4＝﹣2a+6，∴a＝1，∴點(diǎn)A（1，4），∵反比例函數(shù)y＝的圖象過(guò)點(diǎn)A（1，4），∴k＝1×4＝4；∴反比例函數(shù)的解析式為：y＝，聯(lián)立方程組可得：，解得：，，∴點(diǎn)B（2，2）；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥y軸于E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥y軸于F，∴AE∥CF，∴△AEH∽△CFH，∴，當(dāng)＝時(shí)，則CF＝2AE＝2，∴點(diǎn)C（﹣2，﹣2），∴BC＝＝4，當(dāng)＝2時(shí)，則CF＝AE＝，∴點(diǎn)C（﹣，﹣8），∴BC＝＝，綜上所述：BC的長(zhǎng)為4或；（3）如圖，當(dāng)∠AQP＝∠ABP＝90°時(shí)，設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥y軸于F，設(shè)BP與y軸的交點(diǎn)為N，連接BQ，AP交于點(diǎn)H，∵直線y＝﹣2x+6與y軸交于點(diǎn)E，∴點(diǎn)E（0，6），∵點(diǎn)B（2，2），∴BF＝OF＝2，∴EF＝4，∵∠ABP＝90°，∴∠ABF+∠FBN＝90°＝∠ABF+∠BEF，∴∠BEF＝∠FBN，又∵∠EFB＝∠BFN＝90°，∴△EBF∽△BNF，∴，∴FN＝＝1，∴點(diǎn)N（0，1），∴直線BN的解析式為：y＝x+1，聯(lián)立方程組得：，解得：，，∴點(diǎn)P（﹣4，﹣1），∴直線AP的解析式為：y＝x+3，∵AP垂直平分BQ，∴設(shè)BQ的解析式為y＝﹣x+4，∴x+3＝﹣x+4，∴x＝，∴點(diǎn)H（，），∵點(diǎn)H是BQ的中點(diǎn)，點(diǎn)B（2，2），∴點(diǎn)Q（﹣1，5）．【點(diǎn)評(píng)】本題是反比例函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，反比例函數(shù)的應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．17．（2022?河北）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，線段AB的端點(diǎn)為A（﹣8，19），B（6，5）．（1）求AB所在直線的解析式；（2）某同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)動(dòng)畫：在函數(shù)y＝mx+n（m≠0，y≥0）中，分別輸入m和n的值，使得到射線CD，其中C（c，0）．當(dāng)c＝2時(shí)，會(huì)從C處彈出一個(gè)光點(diǎn)P，并沿CD飛行；當(dāng)c≠2時(shí)，只發(fā)出射線而無(wú)光點(diǎn)彈出．①若有光點(diǎn)P彈出，試推算m，n應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系；②當(dāng)有光點(diǎn)P彈出，并擊中線段AB上的整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)）時(shí)，線段AB就會(huì)發(fā)光．求此時(shí)整數(shù)m的個(gè)數(shù)．【分析】（1）設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，轉(zhuǎn)化為方程組求解；（2）①把（2，0）代入函數(shù)解析式，可得結(jié)論；②尋找特殊點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求解即可．【解答】解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，把A（﹣8，19），B（6，5）代入，得，解得，∴直線AB的解析式為y＝﹣x+11；（2）①由題意直線y＝mx+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，0），∴2m+n＝0；②∵線段AB上的整數(shù)點(diǎn)有15個(gè)：（﹣8，19），（﹣7，18），（﹣6，17），（﹣5，16），（﹣4，15），（﹣3，14），（﹣2，13），（﹣1，12），（0，11），（1，10），（2，9），（3，8），（4，7），（5，6），（6，5）．當(dāng)射線CD經(jīng)過(guò)（2，0），（﹣7，18）時(shí)，y＝﹣2x+4，此時(shí)m＝﹣2，符合題意，當(dāng)射線CD經(jīng)過(guò)（2，0），（﹣1，12）時(shí)，y＝﹣4x+8，此時(shí)m＝﹣4，符合題意，當(dāng)射線CD經(jīng)過(guò)（2，0），（1，10）時(shí)，y＝﹣10x+20，此時(shí)m＝﹣10，符合題意，當(dāng)射線CD經(jīng)過(guò)（2，0），（3，8）時(shí)，y＝8x﹣16，此時(shí)m＝8，符合題意，當(dāng)射線CD經(jīng)過(guò)（2，0），（5，6）時(shí)，y＝2x﹣4，此時(shí)m＝2，符合題意，其他點(diǎn)，都不符合題意．解法二：設(shè)線段AB上的整數(shù)點(diǎn)為（t，﹣t+11），則tm+n＝﹣t+11，∵2m+n＝0，∴（t﹣2）m＝﹣t+11，∴m＝＝﹣1+，∵﹣8≤t≤6，且t為整數(shù)，m也是整數(shù)，∴t﹣2＝±1，±3，±9，∴t＝1，m＝﹣10，t＝3，m＝8，t＝5，m＝2，t＝﹣1，m＝﹣4，t＝﹣7，m＝﹣2，t＝11，m＝0（不符合題意舍去），綜上所述，符合題意的m的值有5個(gè)【點(diǎn)評(píng)】本題屬于一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．18．（2022?棗莊）為加強(qiáng)生態(tài)文明建設(shè)，某市環(huán)保局對(duì)一企業(yè)排污情況進(jìn)行檢測(cè)，結(jié)果顯示：所排污水中硫化物的濃度超標(biāo)，即硫化物的濃度超過(guò)最高允許的1.0mg/L．環(huán)保局要求該企業(yè)立即整改，在15天內(nèi)（含15天）排污達(dá)標(biāo)．整改過(guò)程中，所排污水中硫化物的濃度y（mg/L）與時(shí)間x（天）的變化規(guī)律如圖所示，其中線段AC表示前3天的變化規(guī)律，第3天時(shí)硫化物的濃度降為4.5mg/L．從第3天起，所排污水中硫化物的濃度y與時(shí)間x滿足下面表格中的關(guān)系：時(shí)間x（天）3569……硫化物的濃度y（mg/L）4.52.72.251.5……（1）在整改過(guò)程中，當(dāng)0≤x＜3時(shí)，硫化物的濃度y與時(shí)間x的函數(shù)表達(dá)式；（2）在整改過(guò)程中，當(dāng)x≥3時(shí)，硫化物的濃度y與時(shí)間x的函數(shù)表達(dá)式；（3）該企業(yè)所排污水中硫化物的濃度能否在15天以內(nèi)不超過(guò)最高允許的1.0mg/L？為什么？【分析】（1）設(shè)AC的函數(shù)關(guān)系式為：y＝kx+b，將A和C代入，從而求得k，b，進(jìn)而求得的結(jié)果；（2）可推出x?y＝13.5為定值，所以當(dāng)x≥3時(shí)，y是x的反比例函數(shù)，進(jìn)而求得結(jié)果；（3）將x＝15代入反比例函數(shù)關(guān)系式，從而求得y的值，進(jìn)而根據(jù)反比例函數(shù)圖象性質(zhì)，從而得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)線段AC的函數(shù)表達(dá)式為：y＝kx+b，∴，∴，∴線段AC的函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣2.5x+12（0≤x＜3）；（2）∵3×4.5＝5×2.7＝...＝13.5，∴y是x的反比例函數(shù)，∴y＝（x≥3）；（3）該企業(yè)所排污水中硫化物的濃度可以在15天以內(nèi)不超過(guò)最高允許的1.0mg/L，理由如下：當(dāng)x＝15時(shí)，y＝＝0.9，∵13.5＞0，∴y隨x的增大而減小，∴該企業(yè)所排污水中硫化物的濃度可以在15天以內(nèi)不超過(guò)最高允許的1.0mg/L．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求一次函數(shù)關(guān)系式，反比例函數(shù)及其圖象的性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)及其圖象性質(zhì)．19．（2022?濟(jì)南）如圖，一次函數(shù)y＝x+1的圖象與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A（a，3），與y軸交于點(diǎn)B．（1）求a，k的值；（2）直線CD過(guò)點(diǎn)A，與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D，AC＝AD，連接CB．①求△ABC的面積；②點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)Q在x軸上，若以點(diǎn)A，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)．【分析】（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y＝求得a，再把點(diǎn)A坐標(biāo)代入y＝求出k；（2）先求出A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)，作CD⊥x軸于D，交AB于E，求出點(diǎn)E坐標(biāo)，從而求得CE的長(zhǎng)，進(jìn)而求得三角形ABC的面積；（3）當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，先求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，進(jìn)而代入反比例函數(shù)的解析式求得橫坐標(biāo)；當(dāng)AB為邊時(shí)，同樣先求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，再代入y＝求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．【解答】解：（1）把x＝a，y＝3代入y＝x+1得，，∴a＝4，把x＝4，y＝3代入y＝得，3＝，∴k＝12；（2）∵點(diǎn)A（4，3），D點(diǎn)的縱坐標(biāo)是0，AD＝AC，∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是3×2﹣0＝6，把y＝6代入y＝得x＝2，∴C（2，6），①如圖1，作CD⊥x軸于D，交AB于E，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝＝2，∴E（2，2），∵C（2，6），∴CE＝6﹣2＝4，∴xA＝＝8；②如圖2，當(dāng)AB是對(duì)角線時(shí)，即：四邊形APBQ是平行四邊形，∵A（4，3），B（0，1），點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為0，∴yP＝1+3﹣0＝4，當(dāng)y＝4時(shí)，4＝，∴x＝3，∴P（3，4），當(dāng)AB為邊時(shí)，即：四邊形ABQP是平行四邊形（圖中的?ABQ′P′），由yQ′﹣yB＝y(tǒng)P′﹣yA得，0﹣1＝y(tǒng)P′﹣3，∴yP′＝2，當(dāng)y＝2時(shí)，x＝＝6，∴P′（6，2），綜上所述：P（3，4）或（6，2）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了求反比例函數(shù)的解析式，結(jié)合一次函數(shù)的解析式求點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是畫出圖形，全面分類．20．（2022?攀枝花）如圖，直線y＝x+6分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），以C為頂點(diǎn)作∠OCD＝∠OAB，射線CD交線段OB于點(diǎn)D，將射線OC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°交射線CD于點(diǎn)E，連結(jié)BE．（1）證明：＝；（用圖1）（2）當(dāng)△BDE為直角三角形時(shí)，求DE的長(zhǎng)度；（用圖2）（3）點(diǎn)A關(guān)于射線OC的對(duì)稱點(diǎn)為F，求BF的最小值．（用圖3）【分析】（1）證明△BDC∽△EDO，可得結(jié)論；（2）令x＝0和y＝0可得OA和OB的長(zhǎng)，根據(jù)等角的三角函數(shù)得：＝＝＝，設(shè)OD＝3m，CD＝4m，證明△CDB∽△AOB，列比例式可得BD＝3m，從而可求得m＝1，計(jì)算CD和BD的長(zhǎng)，代入（1）中的比例式可得結(jié)論；（3）根據(jù)OA＝OF可知：F在以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，并確定當(dāng)BF在y軸上時(shí)，BF的值最小，從而得結(jié)論．【解答】（1）證明：∵OC⊥OE，∴∠COE＝90°，∴∠AOB＝∠COE＝90°，∵∠OCD＝∠OAB，∴∠ABO＝∠CEO，∵∠BDC＝∠EDO，∴△BDC∽△EDO，∴＝；（2）解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝6，∴B（0，6），∴OB＝6，當(dāng)y＝0時(shí)，x+6＝0，∴x＝﹣8，∴A（﹣8，0），∴OA＝8，如圖2，∠BDE＝90°，∴∠ODC＝∠BDE＝90°，∵∠OCD＝∠OAB，∴tan∠OCD＝tan∠OAB，∴＝＝＝，∴設(shè)OD＝3m，CD＝4m，∵∠CDB＝∠AOB＝90°，∴CD∥OA，∴△CDB∽△AOB，∴＝，即＝，∴BD＝3m，∴OB＝BD+OD＝3m+3m＝6，∴m＝1，∴BD＝3，CD＝4，由（1）知：＝，∴＝，∴DE＝；（3）解：如圖3，由對(duì)稱得：OA＝OF，∵動(dòng)點(diǎn)F在以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑的半圓AFA'上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)F在y軸上，且在B的上方時(shí)，BF的值最小，如圖4，此時(shí)BF＝OF﹣OB＝8﹣6＝2，即BF的最小值是2．【點(diǎn)評(píng)】本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了軸對(duì)稱最短問(wèn)題，三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用相似或三角函數(shù)求邊的長(zhǎng)，學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想確定動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題．21．（2022?沈陽(yáng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B（0，9），與直線OC交于點(diǎn)C（8，3）．（1）求直線AB的函數(shù)表達(dá)式；（2）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，將△ACD沿射線CB平移得到的三角形記為△A′C′D′，點(diǎn)A，C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′，C′，D′，若△A′C′D′與△BOC重疊部分的面積為S，平移的距離CC′＝m，當(dāng)點(diǎn)A′與點(diǎn)B重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．①若直線C′D′交直線OC于點(diǎn)E，則線段C′E的長(zhǎng)為m（用含有m的代數(shù)式表示）；②當(dāng)0＜m＜時(shí)，S與m的關(guān)系式為m2；③當(dāng)S＝時(shí)，m的值為或15﹣2．【分析】（1）將點(diǎn)B（0，9），C（8，3）的坐標(biāo)代入直線解析式，求解即可；（2）①過(guò)點(diǎn)C作CF⊥C′D′，易得△CFC′∽△AOB，可用m表達(dá)CF和C′F的長(zhǎng)度，進(jìn)而可表達(dá)點(diǎn)C′，D′的坐標(biāo)，由點(diǎn)C的坐標(biāo)可得出直線OC的解析式，代入可得點(diǎn)E的坐標(biāo)；②根據(jù)題意可知，當(dāng)0＜m＜時(shí)，點(diǎn)D′未到直線OC上，利用三角形面積公式可得出本題結(jié)果；③分情況討論，分別求出當(dāng)0＜m＜時(shí)，當(dāng)＜m＜5時(shí)，當(dāng)5＜m＜10時(shí)，當(dāng)10＜m＜15時(shí)，S與m的關(guān)系式，分別令S＝，建立方程，求出m即可．【解答】解：（1）將點(diǎn)B（0，9），C（8，3）的坐標(biāo)代入直線y＝kx+b，∴，解得．∴直線AB的函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x+9；（2）①由（1）知直線AB的函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x+9，令y＝0，則x＝12，∴A（12，0），∴OA＝12，OB＝9，∴AB＝15；如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥C′D′于點(diǎn)F，∴CF∥OA，∴∠OAB＝∠FCC′，∵∠C′FC＝∠BOA＝90°，∴△CFC′∽△AOB，∴OB：OA：AB＝C′F：CF：CC′＝9：12：15，∵CC′＝m，∴CF＝m，C′F＝m，∴C′（8﹣m，3+m），A′（12﹣m，m），D′（8﹣m，m），∵C（8，3），∴直線OC的解析式為：y＝x，∴E（8﹣m，3﹣m）.∴C′E＝3+m﹣（3﹣m）＝m．故答案為：m．②法一、當(dāng)點(diǎn)D′落在直線OC上時(shí)，有m＝（8﹣m），解得m＝，∴當(dāng)0＜m＜時(shí)，點(diǎn)D′未到直線OC，此時(shí)S＝C′E?CF＝?m?m＝m2；法二、∵C′D′∥BO，∴△CC′E∽△CBO，∴＝（）2，即＝，∴S＝m2．故答案為：m2．③法一、分情況討論，當(dāng)0＜m＜時(shí)，由②可知，S＝m2；令S＝m2＝，解得m＝＞（舍）或m＝﹣（舍）；當(dāng)≤m＜5時(shí)，如圖2，設(shè)線段A′D′與直線OC交于點(diǎn)M，∴M（m，m），∴D′E＝m﹣（3﹣m）＝m﹣3，D′M＝m﹣（8﹣m）＝m﹣8；∴S＝m2﹣?（m﹣3）?（m﹣8）＝﹣m2+m﹣12，令﹣m2+m﹣12＝；整理得，3m2﹣30m+70＝0，解得m＝或m＝＞5（舍）；當(dāng)5≤m＜10時(shí)，如圖3，S＝S△A′C′D′＝×4×3＝6≠，不符合題意；當(dāng)10≤m≤15時(shí)，如圖4，此時(shí)A′B＝15﹣m，∴BN＝（15﹣m），A′N＝（15﹣m），∴S＝?（15﹣m）?（15﹣m）＝（15﹣m）2，令（15﹣m）2＝，解得m＝15+2＞15（舍）或m＝15﹣2．法二、分情況討論，當(dāng)0＜m＜時(shí)，由②可知，S＝m2；令S＝m2＝，解得m＝＞（舍）或m＝﹣（舍）；（同法一）當(dāng)≤m＜5時(shí)，如圖2，設(shè)線段A′D′與直線OC交于點(diǎn)M，∵S△A′C′D′＝×4×3＝6，∴S△A′CM＝6﹣＝，∵S△AOC＝18，∵A′D′∥OA，∴△A′CM∽△ACO，∴＝，∴CA′＝，∴m＝C′A′﹣CA′＝5﹣，當(dāng)5≤m＜10時(shí)，如圖3，S＝S△A′C′D′＝×4×3＝6≠，不符合題意；當(dāng)10≤m≤15時(shí)，如圖4，∵A′D′∥x軸，∴△A′BK∽△ABO，∵S＝，S△ABO＝54，∴＝，解得BA′＝2，∴m＝BA﹣BA′＝15﹣2．故答案為：或15﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積，相似三角形的性質(zhì)與判定，分類討論思想等知識(shí)，根據(jù)△A′C′D′的運(yùn)動(dòng)，進(jìn)行正確的分類討論是解題關(guān)鍵．22．（2022?泰州）定義：對(duì)于一次函數(shù)y1＝ax+b、y2＝cx+d，我們稱函數(shù)y＝m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc≠0）為函數(shù)y1、y2的“組合函數(shù)”．（1）若m＝3，n＝1，試判斷函數(shù)y＝5x+2是否為函數(shù)y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“組合函數(shù)”，并說(shuō)明理由；（2）設(shè)函數(shù)y1＝x﹣p﹣2與y2＝﹣x+3p的圖象相交于點(diǎn)P．①若m+n＞1，點(diǎn)P在函數(shù)y1、y2的“組合函數(shù)”圖象的上方，求p的取值范圍；②若p≠1，函數(shù)y1、y2的“組合函數(shù)”圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P．是否存在大小確定的m值，對(duì)于不等于1的任意實(shí)數(shù)p，都有“組合函數(shù)”圖象與x軸交點(diǎn)Q的位置不變？若存在，請(qǐng)求出m的值及此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）由y＝5x+2＝3（x+1）+（2x﹣1），可知函數(shù)y＝5x+2是函數(shù)y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“組合函數(shù)”；（2）①由得P（2p+1，p﹣1），當(dāng)x＝2p+1時(shí)，y＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p）＝（p﹣1）（m+n），根據(jù)點(diǎn)P在函數(shù)y1、y2的“組合函數(shù)”圖象的上方，有p﹣1＞（p﹣1）（m+n），而m+n＞1，可得p＜1；②由函數(shù)y1、y2的“組合函數(shù)”y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，知p﹣1＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p），即（p﹣1）（1﹣m﹣n）＝0，而p≠1，即得n＝1﹣m，可得y＝（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m，令y＝0得（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m＝0，即（3﹣4m）p+（2m﹣1）x﹣2m＝0，即可得m＝時(shí)，“組合函數(shù)”圖象與x軸交點(diǎn)Q的位置不變，Q（3，0）．【解答】解：（1）函數(shù)y＝5x+2是函數(shù)y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“組合函數(shù)”，理由如下：∵3（x+1）+（2x﹣1）＝3x+3+2x﹣1＝5x+2，∴y＝5x+2＝3（x+1）+（2x﹣1），∴函數(shù)y＝5x+2是函數(shù)y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“組合函數(shù)”；（2）①由得，∴P（2p+1，p﹣1），∵y1、y2的“組合函數(shù)”為y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p），∴x＝2p+1時(shí)，y＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p）＝（p﹣1）（m+n），∵點(diǎn)P在函數(shù)y1、y2的“組合函數(shù)”圖象的上方，∴p﹣1＞（p﹣1）（m+n），∴（p﹣1）（1﹣m﹣n）＞0，∵m+n＞1，∴1﹣m﹣n＜0，∴p﹣1＜0，∴p＜1；②存在m＝時(shí)，對(duì)于不等于1的任意實(shí)數(shù)p，都有“組合函數(shù)”圖象與x軸交點(diǎn)Q的位置不變，Q（3，0），理由如下：由①知，P（2p+1，p﹣1），∵函數(shù)y1、y2的“組合函數(shù)”y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，∴p﹣1＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p），∴（p﹣1）（1﹣m﹣n）＝0，∵p≠1，∴1﹣m﹣n＝0，有n＝1﹣m，∴y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）＝m（x﹣p﹣2）+（1﹣m）（﹣x+3p）＝（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m，令y＝0得（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m＝0，變形整理得：（3﹣4m）p+（2m﹣1）x﹣2m＝0，∴當(dāng)3﹣4m＝0，即m＝時(shí)，x﹣＝0，∴x＝3，∴m＝時(shí)，“組合函數(shù)”圖象與x軸交點(diǎn)Q的位置不變，Q（3，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及新定義，函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特征，一次函數(shù)與一次方程的關(guān)系等，解題的關(guān)鍵是讀懂“組合函數(shù)“的定義．23．（2022?黑龍江）如圖，直線MN與x軸，y軸分別相交于A，C兩點(diǎn)，分別過(guò)A，C兩點(diǎn)作x軸，y軸的垂線相交于B點(diǎn)，且OA，OC（OA＞OC）的長(zhǎng)分別是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求直線MN的解析式；（3）在直線MN上存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P，B，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）通過(guò)解方程x2﹣14x+48＝0可以求得OC＝6，OA＝8．則C（0，6）；（2）設(shè)直線MN的解析式是y＝kx+b（k≠0）．把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別代入解析式，列出關(guān)于系數(shù)k、b的方程組，通過(guò)解方程組即可求得它們的值；（3）需要分類討論：PB為腰，PB為底兩種情況下的點(diǎn)P的坐標(biāo)．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式以及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征進(jìn)行解答．【解答】解：（1）解方程x2﹣14x+48＝0得x1＝6，x2＝8．∵OA，OC（OA＞OC）的長(zhǎng)分別是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴OC＝6，OA＝8．∴C（0，6）；（2）設(shè)直線MN的解析式是y＝kx+b（k≠0）．由（1）知，OA＝8，則A（8，0）．∵點(diǎn)A、C都在直線MN上，∴，解得，，∴直線MN的解析式為y＝﹣x+6；（3）∵A（8，0），C（0，6），∴根據(jù)題意知B（8，6）．∵點(diǎn)P在直線MNy＝﹣x+6上，∴設(shè)P（a，﹣a+6）當(dāng)以點(diǎn)P，B，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，需要分類討論：①當(dāng)PC＝PB時(shí)，點(diǎn)P是線段BC的中垂線與直線MN的交點(diǎn)，則P1（4，3）；②當(dāng)PC＝BC時(shí)，a2+（﹣a+6﹣6）2＝64，解得，a＝，則P2（﹣，），P3（，）；③當(dāng)PB＝BC時(shí)，（a﹣8）2+（a﹣6+6）2＝64，解得，a＝，則﹣a+6＝﹣，∴P4（，﹣）．綜上所述，符合條件的點(diǎn)P有：P1（4，3），P2（﹣，）P3（，），P4（，﹣）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)綜合題．其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等腰三角形的性質(zhì)．解答（3）題時(shí)，要分類討論，防止漏解．另外，解答（3）題時(shí)，還利用了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想．【中考挑戰(zhàn)滿分模擬練】一．選擇題（共9小題）1．（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)一模）一個(gè)長(zhǎng)方形在平面直角坐標(biāo)系中三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），則第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（2，2） B．（3，2） C．（3，3） D．（2，3）【分析】本題可在畫出圖后，根據(jù)矩形的性質(zhì)，得知第四個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)應(yīng)為3，縱坐標(biāo)應(yīng)為2．【解答】解：如圖可知第四個(gè)頂點(diǎn)為：即：（3，2）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查學(xué)生的動(dòng)手能力，畫出圖后可很快得到答案．2．（2023?南海區(qū)校級(jí)模擬）球的體積是V，球的半徑為R，則V＝πR3，其中變量和常量分別是（）A．變量是V，R；常量是，π B．變量是R，π；常量是 C．變量是V，R，π；常量是 D．變量是V，R3；常量是π【分析】根據(jù)常量和變量的概念解答即可．【解答】解：球的體積是V，球的半徑為R，則V＝πR3，其中變量是V，R；常量是，π故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了常量和變量，掌握概念是解題的關(guān)鍵．3．（2023?奉賢區(qū)一模）下列函數(shù)中，函數(shù)值y隨自變量x的值增大而減小的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)及一次函數(shù)的增減性即可得答案．【解答】解：A、函數(shù)y＝，y隨自變量x的值增大而增大，故此選項(xiàng)不符合題意；B、函數(shù)y＝﹣，y隨自變量x的值增大而減小，故此選項(xiàng)符合題意；C、函數(shù)y＝，x＞0時(shí)，y隨自變量x的值增大而減小，x＜0時(shí)，y隨自變量x的值增大而減小，故此選項(xiàng)不符合題意；D、函數(shù)y＝﹣，x＞0時(shí)y隨自變量x的值增大而增大，x＜0時(shí)y隨自變量x的值增大而增大，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)的增減性，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)、反比例函數(shù)的性質(zhì)．4．（2023?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，正比例函數(shù)y＝﹣3x與一次函數(shù)y＝kx+4的圖象交于點(diǎn)P（a，3），則不等式kx+4＞﹣3x的解集為（）A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＞﹣2 D．x＞0【分析】先利用正比例函數(shù)解析式確定P點(diǎn)坐標(biāo)，然后觀察函數(shù)圖象得到，當(dāng)x＜1時(shí)，直線y＝2x都在直線y＝kx+4的下方，于是可得到不等式2x＜kx+4的解集．【解答】解：把P（a，3），代入y＝﹣3x得﹣3a＝3，解得a＝﹣1，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，3），所以當(dāng)x＞﹣1時(shí)，kx+4＞﹣3x，即不等式kx+4＞﹣3x的解集為x＞﹣1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y＝ax+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y＝kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．5．（2023?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，若將一次函數(shù)y＝2x+m﹣2的圖象向左平移3個(gè)單位后，得到一個(gè)正比例函數(shù)的圖象，則m的值為（）A．﹣4 B．4 C．﹣1 D．1【分析】根據(jù)平移的規(guī)律得到平移后直線的解析式為y＝2（x+3）+m﹣2，然后把原點(diǎn)的坐標(biāo)代入求值即可．【解答】解：將一次函數(shù)y＝2x+m﹣2的圖象向左平移3個(gè)單位后，得到y(tǒng)＝2（x+3）+m﹣2，把（0，0）代入，得到：0＝6+m﹣2，解得m＝﹣4．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】主要考查的是一次函數(shù)圖象與幾何變換，用平移規(guī)律“左加右減，上加下減”直接代入函數(shù)解析式求得平移后的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．6．（2023?石家莊模擬）若點(diǎn)（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函數(shù)y＝的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y1＞y3【分析】根據(jù)﹣k2﹣1＜0可知的圖象在二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x值的增大而增大，由此可解．【解答】解：∵﹣k2﹣1＜0，∴的圖象在二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x值的增大而增大，且點(diǎn)（﹣1，y1）在第二象限，點(diǎn)（2，y2），（3，y3）在第四象限，∴y1＞0，y2＜0，y3＜0，∵3＞2，∴y1＞0＞y3＞y2，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)反比例函數(shù)中k的符號(hào)判斷圖象所在象限及增減性．7．（2023?榆林一模）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b與y＝x+2的圖象相交于點(diǎn)P（m，4），則關(guān)于x，y的二元方程組的解是（）A． B． C． D．【分析】先利用直線y＝x+2確定P點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)方程組的解就是兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)得到答案．【解答】解：把P（m，4）代入y＝x+2得m+2＝4，解得m＝2，即P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），所以二元一次方程組的解為．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程（組）：方程組的解就是使方程組中兩個(gè)方程同時(shí)成立的一對(duì)未知數(shù)的值，而這一對(duì)未知數(shù)的值也同時(shí)滿足兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)式，因此方程組的解就是兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．8．（2023?秀英區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的邊OA在x軸上，點(diǎn)A（5，0），sin∠COA＝，若反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則k的值是（）A．10 B．12 C．48 D．50【分析】由菱形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)可求點(diǎn)（3，4），將點(diǎn)C坐標(biāo)代入解析式可求k的值．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OA于點(diǎn)E，∵菱形OABC的邊OA在x軸上，點(diǎn)A（5，0），∴OC＝OA＝5，∵．∴CE＝4，∴∴點(diǎn)C坐標(biāo)（3，4）∵若反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，∴k＝3×4＝12，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，菱形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，關(guān)鍵是求出點(diǎn)C坐標(biāo)．9．（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)一模）規(guī)定[x]表示不大于x的最大整數(shù)，例如[2.3]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3．那么函數(shù)y＝[x]的圖象為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)定義可將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)．【解答】解：由已知得：當(dāng)0≤x＜1時(shí)，y＝[x]＝0，當(dāng)1≤x＜2時(shí)，y＝[x]＝1，當(dāng)2≤x＜3時(shí)，y＝[x]＝2，當(dāng)﹣1≤x＜0時(shí)，y＝[x]＝﹣1，當(dāng)﹣2≤x＜﹣1時(shí)，y＝[x]＝﹣2，……由以上可得A選項(xiàng)符合題意，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是正確理解[x]的定義，然后對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，本題屬于中等題型．二．填空題（共4小題）10．（2023?奉賢區(qū)一模）一次函數(shù)y＝3x+1的圖像不經(jīng)過(guò)的象限是第四象限．【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系解答即可．【解答】解：∵一次函數(shù)y＝3x+1中，k＝3＞0，b＝1＞0，∴此函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)一、二、三象限，不經(jīng)過(guò)第四象限．故答案為：第四象限．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)，熟知一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．11．（2023?包頭一模）如圖，直線y＝﹣2x+5與雙曲線y＝（k＞0，x＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)C．S△BOC＝，若將直線y＝﹣2x+5沿y軸向下平移n個(gè)單位，所得直線與雙曲線y＝（k＞0，x＞0）有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則n的值為1．【分析】過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及S△BOC＝即可得出BE的長(zhǎng)度，進(jìn)而可找出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出反比例函數(shù)系數(shù)k的值，根據(jù)平移的性質(zhì)找出平移后的直線的解析式，然后令﹣2x+5﹣n＝，整理得2x2﹣（5﹣n）x+2＝0