新北師大版八年級下冊初中數(shù)學(xué)全冊教案

第一章三角形的證明

1等腰三角形

課時1全等三角形、等腰三角形的性質(zhì)

1.能夠借助數(shù)學(xué)符號語言利用綜合法證明等腰三角形的性質(zhì)定理.

2.經(jīng)歷“探索一發(fā)現(xiàn)一猜想一證明”的過程，讓學(xué)生進一步體會證明是探索

活動的自然延續(xù)和必要發(fā)展，發(fā)展學(xué)生的初步的演繹邏輯推理的能力.

3.啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生體會探索結(jié)論和證明結(jié)論，及合情推理與演繹的相互依賴

和相互補充的辯證關(guān)系.

探索證明等腰三角形性質(zhì)定理的思路與方法，掌握證明的基本要求和方法.

明確推理證明的基本要求,如明確條件和結(jié)論，能否用數(shù)學(xué)語言正確表達等.

提前請學(xué)生回憶并整理已經(jīng)學(xué)過的8條基本事實中的5條：

1.兩直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行；

2.兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等；

3.兩邊夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（SAS）；

4.兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（ASA）；

5.三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（SSS）.

【教學(xué)說明】對以前所學(xué)知識進行復(fù)習(xí)鞏固，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)作準備.

L你能用所學(xué)知識證明嗎？

已知：ZkABC與ADEF,ZA=ZD,ZB=ZE,BC=EF.

求證：△ABC^^DEF.

證明：VZA=ZD,ZB=ZE（已知），ZA+ZB+ZC=180°,

ZD+ZE+ZF=180°（三角形內(nèi)角和等于180°）,

??.ZC=180°-(ZA+ZB),ZF=180°-(ZD+ZE),

AZC=ZF(等量代換).又BC=EF(已知)，

AAABC^ADEF(ASA).

【歸納結(jié)論】

（1）兩角相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等（AAS）；

（2）根據(jù)全等三角形的定義，我們可以得到：全等三角形的對應(yīng)邊相等，

對應(yīng)角相等；

2.等腰三角形有哪些性質(zhì)？以前是如何探索這些性質(zhì)的，你能再次通過折

【教學(xué)說明】讓學(xué)生經(jīng)歷這些定理的活動驗證和證明過程.具體操作中，可

以讓學(xué)生先獨自折紙觀察.探索并寫出等腰三角形的性質(zhì)，然后再以六人為小組

進行交流，互相彌補不足.

【歸納結(jié)論】

（1）等腰三角形的兩個底角相等；（簡稱為“等邊對等角“）

（2）等腰三角形頂角的平分線、底邊中線、底邊上的高三條線重合.

例1在△ABC中，AB=AC,NA=500,求NB、NC的度數(shù)

分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：兩底角相等，結(jié)合三角形的內(nèi)角和等于

180。來計算.

解：在△ABC中，AB=AC,

AZB=ZC.(等邊對等角)

VZA+ZB+ZC=180°,NA=50°,

AZB=ZC=65°.

例2已知在△ABC中，AB=AC,直線AE交BC于點D,O是AE上一動

點但不與A重合，且OB=OC,試猜想AE與BC、BD與CD的關(guān)系，并說明

你的猜想的理由.

解：猜想：AE_LBC,BD=CD.

證明：VAB=AC,OB=OC,AO=AO,

AAABO^AACO(SSS).

AZBAO=ZCAO.

???AE為/BAC的平分線.

AAE1BC,BD=CD.

例3如圖，AC與BD交于點O,AD=CB,E、F是BD上兩點，且

AE=CF,DE二BF.請推導(dǎo)下列結(jié)論：(1)ZD=ZB；(2)AE〃CF.

證明：(1)???在△ADE與△CBF中,AD=CB,AE=CF,DE=BF,

AAADE^ACBF(SSS).

AZD=ZB

(2)VAADE^ACBF,

JZAED=ZCFB,

ZAEO=ZCFO.

???在△AOE^ACOF中，NAEO=NCFO,

...AE〃CF.

例4如圖，在△ABC中，AB=AC,AD_LBC,NBAC=100。.求N1、N3、

NB的度數(shù).

解：??,在^ABC中，AB=AC,AD±BC,

JZBAD=ZCAD,AZ1=-ZBAC=50°.

又???AD_LBC???N3=90。.

在小ABC中,AB=AC,AZB=ZC=40°.

【教學(xué)說明】在此練習(xí)過程中，一定要注意學(xué)生的書寫格式，必要時教師

要在黑板上板書過程.

本節(jié)課應(yīng)掌握：

1.學(xué)習(xí)了等腰三角形的性質(zhì)，較好地運用其性質(zhì)解決等腰三角形的問題.

2.知道等腰三角形的頂角平分線、底邊中線與底邊上的高互相重合.

教材“習(xí)題1.1”中第1、3題.

第一章三角形的證明

1等腰三角形

課時2等腰三角形的特殊性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)

1.進一步熟悉證明的基本步驟和書寫格式，體會證明的必要性.

2.把等腰三角形與等邊三角形的性質(zhì)進行比較，體會等腰三角形和等邊三

角形的相同之處和不同之處.

3.體驗數(shù)學(xué)活動中的探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學(xué)的嚴謹性.

等腰三角形、等邊三角形的相關(guān)性質(zhì).

等腰三角形、等邊三角形的相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用.

在回憶上節(jié)課等腰三角形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，提出問題：在等腰三角形中作出

一些線段（如角平分線、中線、高等），你能發(fā)現(xiàn)其中一些相等的線段嗎？

【教學(xué)說明】通過提問的形式，復(fù)習(xí)上節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)

興趣.

探究1.在等腰三角形中自主作出一些線段（如角平分線、中線、高等），觀

察其中有哪些相等的線段，并嘗試給出證明.

【歸納結(jié)論】

等腰三角形兩個底角的平分線相等;

等腰三角形腰上的高相等;

等腰三角形腰上的中線相等.

如對于“等腰三角形兩底角的平分線相等“，的證明方法:

證明：VAB=AC,

/.ZABC=ZACB.

VBD>CE為NABC、NACB的平分線,

AZ3=Z4.

在^ABDfllAACE中，

Z3=Z4,AB=AC,NA=NA.

AABD^AACE(ASA).

???BD二CE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.

你能證明其它兩個結(jié)論嗎?

探究2.求證：等邊三角形三個內(nèi)角都相等并且每個內(nèi)角都等于60°.

已知：在△ABC中，AB=BC=AC.

求證：ZA=ZB=ZC=60°.

證明：在△ABC中，VAB=AC,???NB=NC（等邊對等角）.

同理：ZC=ZA,AZA=ZB=ZC（等量代換）.

又「NA+NB+NC=180〉，

AZA=ZB=ZC=60°

【歸納結(jié)論】等邊三角形三個內(nèi)角都相等并且每個內(nèi)角都等于60。.

【教學(xué)說明】通過自主探究和同伴的交流，學(xué)生一般都能在直觀猜測、測

量驗證的基礎(chǔ)上探究出結(jié)論.

例L如圖，己知△ABC和ABDE都是等邊三角形.求證:AE=CD.

證明：??'△ABC和△BDE都是等邊三角形.

???ZABE=ZCBD=60°,

AB=CR,BE=BD.

在^ABE與ACBD中，

AB=CB,

ZABE=ZCBD,

BE=BD.

；?AABE^ACBD(SAS).

AAE=CD.

例2.如圖，△ABC中，AB=AC,E在CA的延長線上,且ED_LBC于D,

求證：AE=AF

證明：VAB=AC,

?.ZB=ZC,

VED±BC,

???ZB+ZBFD=90°,

ZC+ZE=90°,

NBFD=NEFA,

???ZB+ZEFA=90o,

???ZC+ZE=90°,

NB=NC,

???ZEFA=ZE,

/.AE=AF.

例3.如圖，在△ABC中，ZA=20°,D在AB上，AD=DC,

ZACD：ZBCD=2：3,求：NABC的度數(shù).

解：VAD=DC,

JZACD=ZA=20°,

???ZACD：ZBCD=2:3,/

ZBCD=30°,~-----~\

???ZACB=50°,

.'.ZABC=110°.

【教學(xué)說明】在鞏固等邊三角形的性質(zhì)的同時，進一步對等腰三角形的性

質(zhì)進行綜合應(yīng)用，在書寫過程中掌握綜合證明法的基本要求和步驟，規(guī)范證明

的書寫格式

本節(jié)課應(yīng)掌握：

掌握證明的基本步驟和書寫格式，經(jīng)歷“探索一發(fā)現(xiàn)一猜想一證明”的過

程，能夠用綜合法證明等腰三角形的兩條腰上的中線（高），兩底角的平分線

相等，等邊三角形三個內(nèi)角都相等并且每個內(nèi)角都等于60。.

教材“習(xí)題1.2”中第2、3題.

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第一章三角形的證明

1等腰三角形

課時3等腰三角形的判定與反證法

1.探索等腰三角形判定定理，掌握反證法

2.理解等腰三角形的判定定理，并會運用其進行簡單的證明.

3.培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力.

理解等腰三角形的判定定理.

了解反證法的基本證明思路，并能簡單應(yīng)用.

問題1.等腰三角形性質(zhì)定理的內(nèi)容是什么？這個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是

什么？

問題2.我們是如何證明上述定理的？

【教學(xué)說明】通過問題回顧等腰三角形的性質(zhì)定理以及證明的思路，要求

學(xué)生獨立思考后再進行交流.

1.我們把等腰三角形的性質(zhì)定理的條件和結(jié)論反過來還成立嗎？如果一個

三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等嗎？

【歸納結(jié)論】有兩個角相等的三角形是等腰三角形.（簡稱：等角對等邊）

2.小明說，在一個三角形中，如果兩個角不相等，那么這兩個角所對的邊

也不相等.你認為這個結(jié)論成立嗎?如果成立，你能證明它嗎？

我們來看一位同學(xué)的想法：

如圖，在△ABC中，已知NBrNC,此時AB與AC要么相等，要么不相

B

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假設(shè)AB二AC,那么根據(jù)“等邊對等角“定理可得NC=NB,但已知條件是

NBrNC.“NONB”與已知條件“NBrNC”相矛盾，因此AB#AC

你能理解他的推理過程嗎？

再例如，我們要證明△ABC中不可能有兩個直角，也兀以采用這位同學(xué)的

證法，假設(shè)有兩個角是直角，不妨設(shè)ZA=90°,ZB=90°,可得

ZA+ZB=180°,但ZA+ZB+ZC=180°,“NA+NB=180?！迸c

“NA+NB+NC=180。”相矛盾，因此△ABC中不可能有兩個直角.

引導(dǎo)學(xué)生思考：上面兩道題的證法有什么共同的特點呢？

【歸納結(jié)論】都是先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后由此推導(dǎo)出了與已知公

理或已證明過的定理相矛盾，從而證明命題的結(jié)論一定成立,這也是證明命題

的一種方法，我們把它叫做反證法.

【教學(xué)說明】總結(jié)這一證明方法，敘述并闡釋反證法的含義，讓學(xué)生了解.

OS?

例1.己知：如圖，NCAE是△ABC的外角，AD〃BC且N1=N2.求證：

AB=AC.

證明：VAD//BC,

??.N1=NB（兩直線平行，同位角相等），

N2=NC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

又???N1=N2,/.ZB=ZC.

???AB=AC（等角對等邊）.

例2.如圖，BD平分NCBA,CD平分NACB,且MN//BC,設(shè)AB=12,

AC=18,求4AMN的周長.

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解：???BD平分NCBA,CD平分NACB,

:.ZMBD=ZDBC,ZNCD=ZBCD.

VMN/7BC,

，ZMDB=ZDBC,ZNDC=ZBCD.

ZMDB=ZMBD,ZNDC=ZNCD.

.*.MB=MD,NC=ND.

ACAAMN=AM+AN+MN=AM+AN+MD+ND=AM+AN+MB+NC

=(AM+MR)+(AN+NC)=AB+AC=30.

例3.如圖，在^ABC中，BD±AC于D,CE±AB于E,BD=CE.求證：

△ABC是等腰三角形.

解：*/SAABC=-(ABCE)=-(AC-BD)且BD=CE,

22

?.AB=AC.

???△ABC是等腰三角形.

例4.如圖，在^ABC中，AB=AC,DE〃BC,求證：△ADE是等腰三角

形.

證明：VAB=AC,

AZB=ZC,

VDE/7BC,

AZB=ZE,ZD=ZC.

AZD=ZE.

???△ADE是等腰三角形.

例5,垂直于同一條直線的兩條直線平行.

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ba

―JZ_____

c

證明：假設(shè)a、b不平行，那么a、b相交

Va±c,b±c

AZ1=900,Z2=900

Zl+Z2=180°

而a、b相交，則Nl+N2#180。與Nl+N2=180。相矛盾.

???假設(shè)不成立.

即：垂直于同一條直線的兩條直線平行

【教學(xué)說明】學(xué)生在獨立思考的基礎(chǔ)上再小組交流，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識解決

問題的能力.

本節(jié)課應(yīng)掌握：

等腰三角形性質(zhì)的判定的區(qū)別和聯(lián)系.

教材“習(xí)題1.3”中第中2、3題.

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第一章三角形的證明

1等腰三角形

課時4等邊三角形的判定與含30。角的直角三角形的性質(zhì)

1.理解等邊三角形的判別條件及其證明，理解含有30。角的直角三角形性質(zhì)

及其證明，并能利用這兩個定理解決一些簡單的問題.

2.經(jīng)歷運用幾何符號和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過程，建立初步的符

號感，發(fā)展抽象思維.

3.在數(shù)學(xué)活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心.

等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明.

了解反證法的基本證明思路，并能簡單應(yīng)用.

1.等腰三角形的性質(zhì)和判定定理是什么？

2.等邊三角形作為一種特殊的等腰三角形，具有哪些性質(zhì)呢？又如何判別

一個三角形是等邊三角形呢？

【教學(xué)說明】開門見山，引入新課，同時回顧，也為后續(xù)探索提供了鋪墊.

1.一個三角形滿足什么條件時是等邊三角形？一個等腰三角形滿足什么條

件時是等邊三角形？請證明自己的結(jié)論，并與同伴交流.

【教學(xué)說明】學(xué)生自主探究等腰三角形成為等邊三角形的條件，并交流匯

報各自的結(jié)論，教師適時要求學(xué)生給出相對規(guī)范的證明，概括出等邊三角形的

判別條件，并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié).

2.用含30。角的兩個三角尺，你能拼成一個怎樣的三角形?能拼出一個等邊

三角形嗎？

在你所拼得的等邊三角形中，有哪些線段存在相等關(guān)系，有哪些線段存在

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倍數(shù)關(guān)系，你能得到什么結(jié)論？說說你的理由.

【教學(xué)說明】學(xué)生通過動手操作，觀察，找出一些線段存在相等關(guān)系.從而

得出結(jié)論，并加深印象.在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對

的直角邊等于斜邊的一半.

【歸納結(jié)論】

（1）三個角都相等的三角形是等邊三角形；

（2）有一角是60。的等腰三角形是等邊三角形.

例1.己知：如圖，在RtAABC中，ZC=90°,BC=-AB.求證:

2

ZBAC=30°

證明：延長BC至D,使CD二BC,連接AD.

VZACB=90°,AZACD=90°.

XVAC=AC.

AACB^AACD(SAS).

AB=AD.

VCD=BC,ABC=-BD.

2

XVBC=-AB,.\AB=BD.

2

.*.AB=AD=BD,

即△ABD是等邊三角形.

.e.ZB=60°.

在RlZkABC中，ZBAC=30°.

例2.如圖，△ABC是等邊三角形，BD=CE,N1=/2.求證：4ADE是等

邊三角形

證明：:△ABC是等邊三角形，

AAB=AC.

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在^ABD^AACE中,AB=AC,N1=Z2,BD=CE,

」.△ABD烏△ACE(SAS).

???ZEAD=ZBAC=60°,EA=DA.

??.△ADE是等邊三角形(有一角是60。的等腰三角形是等邊三角形).

例3,如圖，在RtZkABC中，ZB=30°,BD=AD,BD=12,求DC的長.

解：在RtZkABC,ZB=30°

VBD=AD

AZB=ZBAD=30°

ZADC=60°.

???ZC=90°,

???ZDAC=30°.

在RtAADC中,NDAC=30。

??.CD=1AD（在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角

2

邊等于斜邊的一半）.

VBD=AD=12,

.\CD=6.

【教學(xué)說明】變式訓(xùn)練，鞏固新知.注意幾何語言.熟練運用直角三角形的有

關(guān)性質(zhì).

本節(jié)課應(yīng)掌握：

掌握證明與等邊三角形、直角三角形有關(guān)的性質(zhì)定理和判定定理.

教材“習(xí)題1.4”中第3、5題.

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第一章三角形的證明

2直角三角形

課時1直角三角形的性質(zhì)與判定

1.掌握直角三角形的性質(zhì)定理（勾股定理）及判定定理的證明方法，并能

運用定理解決與直角三角形有關(guān)的問題.

2.結(jié)合具體例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，知道原命題成

立，其逆命題不一定成立.

3.進一步經(jīng)歷用幾何符號和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過程，建立初步

的符號感，發(fā)展抽象思維.

4.體驗生活中數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，感受數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系，激發(fā)學(xué)

生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的興趣.

掌握直角三角形的性質(zhì)定理（勾股定理）及判定定理的證明方法.

運用定理解決與直角三角形有關(guān)的問題.

我們學(xué)過直角三角形的哪些性質(zhì)和判定方法？與同伴交流.

【教學(xué)說明】回顧舊知，也為后續(xù)探索提供了鋪墊.

探究1：直角三角形的性質(zhì)和判定

直角三角形的兩個銳角有什么關(guān)系？為什么？

如果一個三角形的兩個銳角互余，那么這個三角形是什么三角形？為什

么？

【教學(xué)說明】讓學(xué)生在解決問題的同時，總結(jié)直角三角形的一般性質(zhì).

【歸納結(jié)論】①直角三角形的兩個銳角互余；②有兩個角互余的三角形是

直角三角形.

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探究2：勾股定理及其逆定理.

教材中曾利用數(shù)方格和割補圖形的方法得到了勾股定理.如果利用公理及

由其推導(dǎo)出的定理，能夠證明勾股定理嗎？

【教學(xué)說明】教師引導(dǎo)學(xué)生思考，寫出證明過程.

【歸納結(jié)論】勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平

方.勾股逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角

形是直角三角形.

探究3：互逆命題和互逆定理.

觀察上面兩個命題，它們的條件和結(jié)論之間有怎樣的關(guān)系?在前面的學(xué)習(xí)中

還有類似的命題嗎？

上面兩個定理的條件和結(jié)論互換了位置，即勾股定理的條件是第二個定理

的結(jié)論，結(jié)論是第二個定理的條件.

在前面的學(xué)習(xí)中還有類似的命題嗎？

【教學(xué)說明】教師應(yīng)注意給予適度的引導(dǎo)，學(xué)生若出現(xiàn)語言上不嚴謹時，

要先讓這個疑問交給學(xué)生來剖析，然后再總結(jié).

【歸納結(jié)論】在兩個命題中，如果一個命題條件和結(jié)論分別是另一個命題

的結(jié)論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題

的逆命題.

如果有些命題，原命題是真命題，逆命題也是真命題，那么我們稱它們?yōu)?/p>

互逆定理.

例L說出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假：

(1)四邊形是多邊形；

(2)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；

(3)如果ab=O,那么a=0,b=0.

分析：互逆命題和互逆定理的概念，學(xué)生接受起來應(yīng)不會有什么困難，尤

其是對以“如果……那么……”形式給出的命題，寫出其逆命題較為容易，但對

于那些不是以這種形式給出的命題，敘述其逆命題有一定匪難.可先分析命題

的條件和結(jié)論，然后寫出逆命題.

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解：(1)多邊形是四邊形.原命題是真命題，而逆命題是假命題.

(2)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.原命題與逆命題同為真.

(3)如果a=0,b=0,那么ab=O.原命題是假命題，而逆命題是真命

題.

例2.如圖，BA_LDA于A,AD=12,DC=9,CA=15,求證：BA/7DC.

證明：在△ADC中，AD=12,DC=9,CA=15.

VAD2+DC2=CA2,

.,?△ADC是直角三角形.(如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那

么這個三角形是直角三角形)

AAD1CD,

VBA1DA,

???BA〃DC.

例3.某校把一塊形狀為直角三角形的廢地開辟為生物園，如圖5所示，

NACB=90。，AC=80米，BC=60米，若線段CD是一條小渠，且D點在邊

AB上，已知水渠的造價為10元/米，問D點在距A點多遠處時，水渠的造價

最低？最低造價是多少？

解：當CD_LAB時，CD最短，造價最低.

VZACB=90°,AC=80,BC=60,

JAB=100.

設(shè)AD=x,貝ljBD=100-x.

???在RtAADC與RtABDC中，

JCD2=AC2-AD2,CD2=BC2-BD2.

.,.AC2-AD2=BC2-BD2.

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/.802-X2=602-(100-x)2.

解得：x=64.

???在RSADC中，CD=48.

，最低造價是：48x10=480(元).

你還能用其他方法求出CD的長嗎？

(提示：用面積法)

例4.已知：如圖，ABC中，ZC=90°,BC=a,AC=b,AB=c.求

證：a2+b2=c2.

證明：延長CB至D,使BD=b,作NEBD=NA,

并取BE=c,連接ED、AE(如圖)，則ZkABCg/XBED.

???NBDE=90。，ED=a(全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等).

2

???四邊形ACDE是直角梯形.???S梯形ACDE=^(a+b)(a+b)=L(a+b).

22

AZABE=180°-(NABC+NEBD)=180°-90°=90°,AB=BE.

?_17.._

?'?SAABE=-c???$梯形ACDE=S^ABE+SAABC+SABED,

2

/.—(a+b)2=J-c2+Lab+」ab,即La2+ab+Lb2=Lc2+ab,

2222222

:.a2+b2=c2

本節(jié)課應(yīng)掌握：

這節(jié)課我們了解了勾股定理及逆定理的證明方法，并結(jié)合數(shù)學(xué)和生活中的

例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不

一定成立，掌握了證明方法，進一步提高了演繹推理的能力

教材“習(xí)題1.5”中第2、3題

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第一章三角形的證明

2直角三角形

課時2直角三角形全等的判定

1.能夠證明直角三角形全等的“HL”的判定定理，進一步理解證明的必要性.

2.進一步經(jīng)歷用幾何符號和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過程，建立初步

的符號感.

3.進一步掌握推理證明的方法，發(fā)展演繹推理能力.

能夠證明直角三角形全等的“HL”的判定定理

進一步理解證明的必要性.

1.判斷兩個三角形全等的方法有哪幾種？

2.已知一條邊和斜邊，求作一個直角三角形.想一想，怎么畫？同學(xué)們相互

交流.

3.有兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等嗎？如果其中一個

角是直角呢？請證明你的結(jié)論.

【教學(xué)說明】教師順水推舟，詢問能否證明：“斜邊和一條直角邊分別相等

的兩個直角三角形全等"，從而引入新課.

探究：“HL”定理.

己知：在RIAABC刃RIAA'B'C'中,ZC=ZCz=90o,AB=A'B',

BC=B'C'.求證：RtAABC^RtAA'B'C'.

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證明：在RSABC中，AC?=AB?一BC2（勾股定理）.

又?在Rs中，A，C'2=AB2—B，C，2（勾股定理）.

，AB=AB,BOBC,AC=AC.

ARtAABC^RtAA'B'C（SSS）.

【歸納結(jié)論】斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等.（這一

定理可以簡單地用“斜邊、直角邊”或“HL”表示.）

【教學(xué)說明】講解學(xué)生的板演，借此進一步規(guī)范學(xué)生的書寫和表達.分析命

題的條件，既然其中一邊和它所對的直角對應(yīng)相等，那么可以把這兩個因素總

結(jié)為直角三角形的斜邊對應(yīng)相等，于是直角三角形有自己的全等判定定理.

例1.填空：如下圖，RtAABCftRtADEF,ZC=ZF=90°.

(1)若NA=ND,BC=EF,則RtAABC^RtADEF的依據(jù)是AAS.

(2)若NA=ND,AC=DF,則為△ABCgRtaDEF的依據(jù)是ASA.

(3)若NA二ND,AB=DE,則RsABCgRsDEF的依據(jù)是AAS.

(4)若AC=DF,AB=DE,則RtAABC^RtADEF的依據(jù)是HL.

(5)若AC二DF,CB=FE,則RtAABC^RtADEF的依據(jù)是SAS.

例2.已知：RSABC和RSABC,ZC=ZC=90°,BC=B'C,BD、B'D'

分別是AC、A，C邊上的中線,且BD=BD.求證:RtAABC^RtAA'B'C.

證明：在RtABDC和RtABDC中,

VBD=B'D',BC=B,C,,

/.RtABDC^RtABDC(HL定理).

.?.CD=C'D'.

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XVAC=2CD,AC=2CD,

/.AC=AC'.

，在RtAABC和RtAABC，中，

VBC=BC,,ZC=ZC'=90°,AC=A'C',

ARtAABC^RtAA'B'C(SAS).

例3?如圖，已知NACB二NBDA=90。，要使△ACB04BDA,還需要什么

條件?把它們分別寫出來，并證明.

解：AC=DB.

VAC=DB,AB=BA,

AAACB^ABDA(HL)

其他條件：CB=DA或四邊形ACBD是平行四邊形等.證明略.

【教學(xué)說明】這是一個開放性問題，答案不唯一，需要我們靈活地運用公

理和已學(xué)過的定理，觀察圖形，積極思考，并在獨立思考的基礎(chǔ)上，通過同學(xué)

之間的交流，獲得各種不同的答案.

例4.如圖，在4ABC與△ABC'中，CD、CD分別分別是高，并且AC=

AC,CD二C'D'.ZACB=ZA'C'B'.求證：△ABCg/\ABC'.

DRA1O'B'

分析：要證△ABC0△ABC,由已知中找到條件：一組邊AC=A'C',一

組角NACB二NACB：如果尋求NA二NAT就可用ASA證明全等；也可以尋

求NB=NB\這樣就可用AAS；還可尋求BC=B'C',那么就可根據(jù)SAS……注

意到題目中有CD、C'D是三角形的高，CD=CD：觀察圖形，這里有三對三角

形應(yīng)該是全等的，且題目中具備了HL定理的條件，可證得

RIAADC^RIAAD'C,因此證明NA=/A，就可行.

證明：:CD、CD分別是△ABC、△ABC的高(已知)，

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??.ZADC=ZA,D'C'=90°.

在RtAADC和RtAA'D'C'中，

AC=A'C（已知），CD=CD（已知），

ARtAADCRtAAD'C（HL）.

ZA=ZA',（全等三角形的對應(yīng)角相等）.

在^ABC和^ABC，中，

NA二NA'（己證），

AGAC（已知），

NACB=NA'C'B'（已知），

.,.△ABC^AA'B'C（ASA）.

【教學(xué)說明】通過上述師生共同活動，學(xué)生板書推理過程之后可發(fā)動學(xué)生

去糾錯，教師最后再總結(jié).

本節(jié)課應(yīng)掌握：

直角三角形的判定方法有五種，注意“HL”僅適用于直角三角形.

教材“習(xí)題1.6”中第3、4、5題.

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第一章三角形的證明

3線段的垂直平分線

課時1線段的垂直平分線

1.證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理

2.經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，進一步發(fā)展學(xué)生的推理證明能力,豐富對

幾何圖形的認識.

3.通過小組活動，學(xué)會與他人合作，并能與他人交流思維的過程和結(jié)果.

運用幾何符號語言證明垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆命題

垂直平分線的性質(zhì)定理在實際問題中的運用.

如圖，A、B表示兩個倉庫，要在A、B一側(cè)的河岸邊建造一個碼頭，使它

到兩個倉庫的距離相等，碼頭應(yīng)建在什么位置？

.A

--------

【教學(xué)說明】從實際問題入手，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生明白數(shù)學(xué)來

源于生活，用于生活.

探究1:垂直平分線的性質(zhì).

已知：如圖，直線MN_LAB,垂足是C,且AC=BC,P是MN上的點.求

證：PA=PB.

證明：VMN1AB,

???ZPCA=ZPCB=90°

VAC=BC,PC=PC,

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???△PCA絲△PCB（SAS）.

?,.PA=PB（全等三角形的對應(yīng)邊相等）

【歸納結(jié)論】線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等

探究2:垂直平分線判定

你能寫出上面這個定理的逆命題嗎?它是真命題嗎？

逆命題就很容易寫出來.“如果有一個點到線段兩個端點的距離相等，那么

這個點在這條線段的垂直平分線上.”

寫出逆命題后時，就想到判斷它的真假.如果真，則需證明它；如果假，

則需用反例說明.

引導(dǎo)學(xué)生分析證明過程.

已知：線段AB,點P是平面內(nèi)一點且PA=PB.

求證：P點在AB的垂直平分線上.

證明：過點P作己知線段AB的垂線PC,PA=PB,PC=PC,

ARtAPACERSPBC（HL定理）.

???AC=BC,

即P點在AB的垂直平分線上

【教學(xué)說明】此處證明可讓學(xué)生用多種方法證明.

【歸納結(jié)論】到一條線段兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分

線上.

例L已知：如圖，在△ABC中，AB=AC,。是△ABC內(nèi)一點，且0B二

0C.求證：直線A0垂直平分線段BC.

證明：VAB=AC,/K

???點A在線段BC的垂直平分線上（到一條線段兩個端點距ZJ\

離相等的點，在這條線段的垂直平分線上）.

同理，點0在線段BC的垂直平分線上.

???直線AO是線段BC的垂直平分線（兩點確定一條直線）.

例2.如圖，DE為△ABC的AB邊的垂直平分線，D為垂足，DE交BC于

E,AC=5,BC=8,求AAEC的周長.

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解：TDE為^ABC的AB邊的垂直平分線,

/.AE=BE.

CAAEC=AC+AE+CE=AC4-BE+CE=AC+BC=5+8=13.

例3.如圖，已知：線段CD垂直平分AB,AB平分NDAC.求證：AD〃BC

證明：???CD是AB的垂直平分線，

AAC=BC,

AZCAB=ZB,

XVZCAB=ZDAB,

???NDAB二NB,???AD〃BC.

例4.如圖，已知：AD是AABC的高，E為AD上一點，且BE=CE.求證:

△ABC是等腰三角形.

證明：VBE=CE,AD±BC

???AD是BC的垂直平分線，

.*.AB=AC,

???△ABC是等腰三角形.

例5.如圖，己知：AB1BC,CD1BC,ZAMB=75°,ZDMC=45°,

AM=DM.求證：AB=BC.

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證明：連接AC.

ZAMD=180o-75°-45o=60°,且AM=DM,

???△AMD是等邊三角形.

???AM=AD.

XVZMDC=90°-45°=45°,

AZMDC=ZDMC,

???CD=CM,

AAC為DM的垂直平分線，

XVCD=CM

???CH是NDCM角平分線

/.ZACM=90°-45°=45°,

JZBAC=180°-ZB=ZACM=90°-ZACM=45°

???AB=BC.

【教學(xué)說明】學(xué)生是第一次證明一條直線是已知線段的垂直平分線，因此

老師要引導(dǎo)學(xué)生理清證明的思路和方法并給出完整的證明過程.

本節(jié)課應(yīng)掌握：

到一條線段兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.

教材“習(xí)題1.7”中第1、3題.

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第一章三角形的證明

3線段的垂直平分線

課時2三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)

2.能夠證明三角形三邊垂直平分線交于一點.

2.垂直平分線的應(yīng)用

3.經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，進一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識和能

力.體驗解決問題的方法，提高實踐能力和創(chuàng)新意識.

4.體驗數(shù)學(xué)活動中的探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學(xué)的嚴謹性.

作已知線段的垂直平分線.

垂直平分線的應(yīng)用.

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了線段的垂直平分線，線段的垂直平分線的性質(zhì)定理、判

定定理是什么？

【教學(xué)說明】回顧舊知，為本節(jié)課作準備.

探究1:請同學(xué)們剪一個三角形紙片，通過折疊找出每條邊的垂直平分

線，觀察這三條垂直平分線，你是否發(fā)現(xiàn)同樣的結(jié)論?與同伴交流.

【教學(xué)說明】讓學(xué)生自己經(jīng)歷探究的過程，不要直接給出答案或很有指向

性的提示.

【歸納結(jié)論】三角形三邊的垂直平分線交于一點，這個點到三個頂點的距

離相等.

探究2：已知底邊及底邊上的高，求作等腰三角形.

已知：線段a、h

求作：ZkABC,使AB=AC,BC=a,高AD=h

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作法：1.作BC=a；

2.作線段BC的垂直平分線MN交BC于D點；

3.以D為圓心，h長為半徑作弧交MN于A點；

4.連接AB、AC.

???AABC就是所求作的三角形（如圖所示）.

4

B~\DC

探究3：已知直線1和1二一點P,用尺規(guī)作1的垂線，使它經(jīng)過點P.

如果點P是直線1外一點，那么怎樣用尺規(guī)作1的垂線，使它經(jīng)過點P

呢？

【教學(xué)說明】學(xué)生先獨立思考完成，然后交流，說出做法并解釋作圖的理

由.

③）Hl?

例1.如圖，己知：在△ABC中，AB、BC邊上的垂直平分線相交于點P.求

證：點P在AC的垂直平分線上.%

證明：P是AB、BC邊上的垂直平分線，\

/.AP=BP,BP=CP,\

JAP=CP,￡__iA,

???P點在AC的垂直平分線上.

例2.如圖所示，在RsABC中，ZC=90°,NA=30。.

（1）尺規(guī)作圖：作線段AB的垂直平分線1（保留作圖痕跡，不寫作

法）；

（2）在已作的圖形中，若1分別交AB、AC及BC的延長線于點D、E、

F,連接BE.

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求證：EF=2DE.

解：(1)直線1即為所求.

(2)證明：在RSABC中，

VZA=30°,AZABC=60°,

又?.」為線段AB的垂直平分線，

AEA=EB,

.,.ZEBA=ZA=30°,ZAED=ZBED=60°,

AZEBC=30°=ZEBA,ZFEC=60°.

XVEDIAB,EC±BC,AED=EC.

在RSECF中，

ZFEC=60°,ZEFC=30°,

.*.EF=2EC,

AEF=2ED.

【教學(xué)說明】通過練習(xí)，鞏固所學(xué)知識.熟練運用垂直平分線解決問題.

本節(jié)課應(yīng)掌握：

本節(jié)課通過推理證明了“到三角形三個頂點距離相等的點是三角形三條邊的

垂直平分線的交點，及三角形三條邊的垂直平分線交于一點”的結(jié)論，并能根據(jù)

此結(jié)論“已知等腰三角形的底河底邊的高，求作等腰三角形”.

教材“習(xí)題1.8”中第1、2題.

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第一章三角形的證明

4角平分線

課時1角平分線的性質(zhì)與判定

1.會證明角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理.

2.經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，進一步提高學(xué)生的推理證明意識和能

力.體驗解決問題的方法，發(fā)展實踐能力和創(chuàng)新意識.

3.經(jīng)歷探索、猜想、證明使學(xué)生掌握研究解決問題的方法.

止確地表述角平分線性質(zhì)定理的逆命題及其證明.

正確地表述角平分線性質(zhì)定理的逆命題及其證明.

讓學(xué)生到黑板上畫出他們收集到的日常生活中應(yīng)用角平分線的例子，并分

別說出它們的作用.

【教學(xué)說明】高度評價學(xué)生的參與熱情和學(xué)習(xí)成果，激勵學(xué)生繼續(xù)努力.尤

其是對于其中很有創(chuàng)意的發(fā)現(xiàn)，可以以該學(xué)生名字命名，以此鼓勵.提高學(xué)生的

積極性.

探究1:角平分線定理

己知：如圖，0C是NAOB的平分線，點P在OC上，PD1OA,

PE10B,垂足分別為D、E.

求證：PD=PE.

證明：VZ1=Z2,OP=OP,

ZPDO=ZPEO=90°,

???APDO^APEO(AAS).

???PD=PE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.

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【教學(xué)說明】請同學(xué)們自己嘗試著證明上述結(jié)論，然后在全班進行交

流.教師在教學(xué)過程中對有困難的學(xué)生要給予指導(dǎo).

【歸納結(jié)論】角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等.

探究2：角平分線的判定定理.

已知：在NAOB內(nèi)部有一點P,且PD±OA,PE±OB,D、E為垂足且

PD=PE.

求證：點P在NAOB的角平分線上.

證明：APD1OA,PEJLOB,

ZPDO=ZPEO=90°.

在RSODP和RSOEP中，OP=OP,

PD=PE,

ARtAODP^RtAOEP（HL定理）.

???N1=N2（全等三角形對應(yīng)角相等）.

???點P在NAOB的角平分線上.

【歸納結(jié)論】在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距禽相等的點在這個角的角平

分線上.

例1.如圖，已知：ZC=90°,DE是AB的垂直平分線，D為垂足，交BC

于E,AB=2AC.求證：CE=DE.

證明：連接AE,由于NC=90。，AB=2AC,

.e.ZB=30°,ZCAB=60°.

?/DE是AB的垂直平分線，

AAE=BE,/.ZEAB=ZB=30°,/?"1

j---------D-------f

ZCAE=60°-30°=30°,

即AE是NCAB的角平分線,

ACE=DE.

例2.如圖，已知：E是NAOB的平分線上的一點，且EC±OA,

ED1OB,垂足分別是C、D.求證：0E垂直平分CD.

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證明：?.?0￡是/人08的平分線，

，CE=DE,

/.RtAOCE^RtAODE,

.*.OC=OD,

AO與E都在CD的垂直平分線上，

JOE垂直平分CD.

例3?如圖，己知：在AABC中，ZBAC的平分線交BC于D,且

DE1AB,DF1AC,垂足分別是E、F.求證：AD是EF的垂直平分線.

證明：TAD是/BAC的平分線，且DE_LAB,DF1AC,

ADE=DF,

RtAADE=RtAADF,

.,.AE=AF,

JA與D都在EF的垂直平分線上，

AAD就是EF的垂直平分線.

【教學(xué)說明】綜合利用角平分線的性質(zhì)和判定直角三角形.垂直平分線的相

關(guān)性質(zhì)解決問題.進一步發(fā)展學(xué)生的推論證明能力.在學(xué)生獨立完成推理過程的基

礎(chǔ)上，教師要給出書寫示范.

本節(jié)課應(yīng)掌握：

1.角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等..

2.在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上.

教材“習(xí)題1.9”中第2、3題.

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第一章三角形的證明

4角平分線

課時2三角形三個內(nèi)角的平分線的性質(zhì)

1.證明與角的平分線的性質(zhì)定理和判定定理相關(guān)的結(jié)論.

2.經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，進一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識和能

力.體驗解決問題的方法，發(fā)展實踐能力和創(chuàng)新意識.

3.在數(shù)學(xué)活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心.

三角形三個內(nèi)角的平分線的性質(zhì).

角平分線的性質(zhì)定理和判定定理的綜合應(yīng)用.

本節(jié)課繼續(xù)學(xué)習(xí)有關(guān)角平分線的性質(zhì)和應(yīng)用，討論三角形中的角平分線.那

么，今天的這節(jié)課的研究方法和內(nèi)容還是和線段的垂直平分線很類似，在學(xué)習(xí)

的過程中，要注意對比線段垂直平分線的研究方法來學(xué)習(xí).

【教學(xué)說明】通過老師的說明，對這節(jié)課的大體內(nèi)容和總的研究方法有了

整體的認識和把握，學(xué)生可以在一個比較高的起點上來學(xué)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容.同

時，由于老師點明了線段垂直平分線和角平分線之間的相似性，學(xué)生初步感受

到了數(shù)學(xué)中的和諧，對數(shù)學(xué)對象之間的相互聯(lián)系有了感性的體驗.在教師的幫助

下提煉出數(shù)學(xué)中的聯(lián)系，構(gòu)建認知結(jié)構(gòu).

探究：三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相

等.

1.證明：三角形的三條角平分線相交于一點

己知：如圖，設(shè)4ABC的角平分線BM、相交于點P,求證：P點在

NBAC的角平分線上.

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