第一章 導(dǎo)熱理論基礎(chǔ)

1第一章導(dǎo)熱理論(lǐlùn)基礎(chǔ)綱要

§1-1導(dǎo)熱(dǎorè)的基本概念

§1-2導(dǎo)熱的基本定律

§1-3導(dǎo)熱系數(shù)

§1-4導(dǎo)熱微分方程和單值性條件共四十七頁(yè)2導(dǎo)熱(dǎorè)的基本概念§1-1導(dǎo)熱(dǎorè)的基本概念

一、溫度場(chǎng)

二、等溫面與等溫線

三、溫度梯度（gradt）

共四十七頁(yè)3導(dǎo)熱(dǎorè)的基本概念

一、溫度場(chǎng)

1.概念

在某一時(shí)刻τ，物體內(nèi)所有各點(diǎn)溫度分布的總稱，稱為該物體在τ時(shí)刻的溫度場(chǎng)。

一般(yībān)，溫度場(chǎng)是空間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，在直角坐標(biāo)系中可表示為：共四十七頁(yè)4導(dǎo)熱(dǎorè)的基本概念2.分類(fēnlèi)

同樣在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中也可分為三維、二維、一維。

求解導(dǎo)熱問(wèn)題的主要任務(wù)就是要獲得物體內(nèi)的溫度場(chǎng)。直角坐標(biāo)系中溫度場(chǎng)的分類共四十七頁(yè)5導(dǎo)熱(dǎorè)的基本概念二、等溫面與等溫線

等溫面:在同一時(shí)刻,物體內(nèi)所有溫度相同的點(diǎn)連成的面。

等溫線:等溫面與平面相交(xiāngjiāo)所得的交線。

等溫面（線）的特點(diǎn)：

(1)等溫面（線）與等溫面（線）互不相交，在連續(xù)體中，等溫面（線）是連續(xù)的，或是完整的封閉曲面（線），或終止于物體的邊緣上。共四十七頁(yè)6導(dǎo)熱(dǎorè)的基本概念

(2)在等溫面（或等溫線）的法線方向上，溫度變化率最大。由于溫差是熱量傳遞的動(dòng)力(dònglì)，故沿等溫面（線）無(wú)熱流，熱量傳遞只能在穿過(guò)等溫面的方向上進(jìn)行。等溫面（線）的疏密可直觀地反映出物體內(nèi)不同區(qū)域熱流密度的相對(duì)大小。(思考）

共四十七頁(yè)7導(dǎo)熱(dǎorè)的基本概念

物體(wùtǐ)的溫度場(chǎng)常用等溫面圖或等溫線圖來(lái)直觀地表示。

（a）水冷的燃?xì)廨啓C(jī)葉片的溫度場(chǎng)（b）墻角內(nèi)的溫度場(chǎng)共四十七頁(yè)8導(dǎo)熱(dǎorè)的基本概念

等溫面（線）某點(diǎn)法線方向的溫度變化率最大，以法線方向?yàn)榉较颍瑪?shù)值上等于這個(gè)最大變化率的矢量稱為(chēnɡwéi)該點(diǎn)的溫度梯度。如圖，則溫度梯度可表示為：℃/m三、溫度梯度（gradt）共四十七頁(yè)9導(dǎo)熱(dǎorè)的基本概念

溫度梯度是矢量，其方向垂直于該點(diǎn)的等溫面（線）且指向(zhǐxiànɡ)溫度升高的方向（與熱流的方向相反）。

tdAd

在直角坐標(biāo)系中的表示：

共四十七頁(yè)10導(dǎo)熱(dǎorè)的基本概念熱流密度(mìdù)矢量熱流密度：?jiǎn)挝粫r(shí)間、單位面積上所傳遞的熱量；不同方向上的熱流密度的大小不同熱流密度矢量：等溫面上某點(diǎn)，以通過(guò)該點(diǎn)處最大熱流密度的方向?yàn)榉较?、?shù)值上正好等于沿該方向的熱流密度直角坐標(biāo)系中：共四十七頁(yè)11導(dǎo)熱(dǎorè)基本定律§1-2導(dǎo)熱(dǎorè)基本定律

傅里葉在對(duì)導(dǎo)熱過(guò)程進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究的基礎(chǔ)上,于1822年提出了著名的傅里葉定律—導(dǎo)熱基本定律。數(shù)學(xué)表達(dá)式

W/m2“-”號(hào)表示與gradt二者方向相反共四十七頁(yè)12導(dǎo)熱(dǎorè)基本定律

在直角坐標(biāo)(zhíjiǎozuòbiāo)系中的向量表達(dá)式為：

對(duì)一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱可寫為：

W/m2W/m2

傅里葉定律表明：在導(dǎo)熱現(xiàn)象中，導(dǎo)熱熱流密度的大小正比于該點(diǎn)溫度梯度的絕對(duì)值；熱流密度的方向與溫度梯度方向相反。共四十七頁(yè)13導(dǎo)熱(dǎorè)系數(shù)§1-3導(dǎo)熱(dǎorè)系數(shù)二、物理意義

由定義式知，導(dǎo)熱系數(shù)在數(shù)值上等于單位溫度梯度時(shí)通過(guò)物體的熱流密度的模值。

一、定義

導(dǎo)熱系數(shù)的定義式由傅里葉定律給出W/(m·K)

導(dǎo)熱系數(shù)表征物體導(dǎo)熱能力的大小，λ越大表示物體導(dǎo)熱能力越強(qiáng)。共四十七頁(yè)14導(dǎo)熱(dǎorè)系數(shù)三、影響因素及確定

導(dǎo)熱系數(shù)的影響因素：主要是物質(zhì)的種類、物態(tài)以及(yǐjí)溫度、密度、含水率等。

一般同種物質(zhì)三態(tài)中,

λ固態(tài)＞λ液態(tài)＞λ氣態(tài)

對(duì)于同一種物質(zhì)，溫度的影響最大。

大多數(shù)材料的導(dǎo)熱系數(shù)都是通過(guò)專門的實(shí)驗(yàn)測(cè)定的。為了工程計(jì)算方便，常繪成圖表以供查取。共四十七頁(yè)15導(dǎo)熱(dǎorè)系數(shù)導(dǎo)熱(dǎorè)系數(shù)隨溫度的依變關(guān)系

對(duì)于大多數(shù)工程材料，可近似地認(rèn)為導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度線性變化，并表示為：絕熱材料:λ絕熱＜0.12W/(m·K)。各向異性材料:如木材、石墨、纖維材料等。共四十七頁(yè)16導(dǎo)熱(dǎorè)系數(shù)各類物質(zhì)(wùzhì)導(dǎo)熱系數(shù)的范圍共四十七頁(yè)17導(dǎo)熱(dǎorè)系數(shù)物質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)(xìshù)在數(shù)值的特點(diǎn):

(1)對(duì)于同一種物質(zhì)：λ固態(tài)＞λ液態(tài)＞λ氣態(tài)(3)一般λ純金屬＞λ其金屬合金(4)對(duì)于各向異性物體,λ異性物與方向有關(guān)

(2)一般λ金屬＞λ非金屬共四十七頁(yè)18導(dǎo)熱(dǎorè)系數(shù)共四十七頁(yè)19導(dǎo)熱微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)和單值性條件§1-4導(dǎo)熱微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)和單值性條件一、導(dǎo)熱微分方程式：對(duì)所研究的物體作下列簡(jiǎn)化假設(shè)：

1.導(dǎo)熱體為各向同性均勻的連續(xù)體。

2.導(dǎo)熱體的ρ、c和λ都是常量。

3.導(dǎo)熱體有均勻的內(nèi)熱源，內(nèi)熱源強(qiáng)度（單位時(shí)間單位體積內(nèi)的內(nèi)熱源生成熱）為

（W/m3）

傅里葉定律：確定熱流密度的大小，應(yīng)知道物體內(nèi)的溫度場(chǎng):推導(dǎo)依據(jù)：熱力學(xué)第一定律+傅里葉定律共四十七頁(yè)在導(dǎo)熱(dǎorè)體中取一微元體熱力學(xué)第一(dìyī)定律：

d

時(shí)間內(nèi)微元體中：[導(dǎo)入與導(dǎo)出凈熱量]+[內(nèi)熱源發(fā)熱量]=[熱力學(xué)能的增加]1、導(dǎo)入與導(dǎo)出微元體的凈熱量d

時(shí)間內(nèi)、沿x軸方向、經(jīng)x表面導(dǎo)入的熱量：共四十七頁(yè)d

時(shí)間(shíjiān)內(nèi)、沿x軸方向、經(jīng)x+dx表面導(dǎo)出的熱量：d

時(shí)間(shíjiān)內(nèi)、沿x軸方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體凈熱量：共四十七頁(yè)d

時(shí)間(shíjiān)內(nèi)、沿z

軸方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體凈熱量：d

時(shí)間內(nèi)、沿y

軸方向(fāngxiàng)導(dǎo)入與導(dǎo)出微元體凈熱量：共四十七頁(yè)2、微元體中內(nèi)熱源(rèyuán)的發(fā)熱量d

時(shí)間(shíjiān)內(nèi)微元體中內(nèi)熱源的發(fā)熱量：3、微元體熱力學(xué)能的增量d

時(shí)間內(nèi)微元體中熱力學(xué)能的增量：由[1]+[2]=[3]：共四十七頁(yè)若物性(wùxìnɡ)參數(shù)

、c和

均為常數(shù)：導(dǎo)熱微分方程式，實(shí)質(zhì)是導(dǎo)熱過(guò)程(guòchéng)的能量方程

導(dǎo)熱微分方程建立了導(dǎo)熱過(guò)程中物體內(nèi)的溫度隨時(shí)間和空間變化的函數(shù)關(guān)系。共四十七頁(yè)25導(dǎo)熱(dǎorè)微分方程和單值性條件m2/s則導(dǎo)熱(dǎorè)微分方程式寫成令熱擴(kuò)散率

(導(dǎo)溫系數(shù))共四十七頁(yè)26導(dǎo)熱微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)和單值性條件a的物理(wùlǐ)意義

1．由定義：a↑

導(dǎo)熱能力↑蓄熱能力↓

非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程中物體的熱量擴(kuò)散能力↑

稱為熱擴(kuò)散率。

2．由方程：非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程中，相同的加熱或冷卻條件下，a↑

物體內(nèi)各部分溫度趨于均勻的能力↑。即a值大的材料其溫度變化傳播得快

a反映非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程中物體的“導(dǎo)溫”能力

稱為導(dǎo)溫系數(shù)。共四十七頁(yè)27導(dǎo)熱微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)和單值性條件

不同材料的a相差很大，一般導(dǎo)熱系數(shù)大的材料a也大。

例如，木材的a約為1.5×10-7m2/s，鋁的a約為9.45×10-5m2/s。

不銹鋼的a大約是瓷的幾十倍

把形狀(xíngzhuàn)、尺寸相同的瓷勺和不銹鋼勺同時(shí)放在一杯開(kāi)水中（勺柄漏在外面），過(guò)一會(huì)兒，不銹鋼勺柄已經(jīng)燙手了而瓷勺柄還感覺(jué)不到溫度有什么變化

說(shuō)明不銹鋼比瓷傳播溫度變化的能力大得多。

共四十七頁(yè)28導(dǎo)熱(dǎorè)微分方程和單值性條件

注意：熱擴(kuò)散率與導(dǎo)熱系數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別！

導(dǎo)熱系數(shù)只表明材料(cáiliào)的導(dǎo)熱能力，而熱擴(kuò)散率綜合考慮了材料的導(dǎo)熱能力和蓄熱能力，因而能準(zhǔn)確反映物體中溫度變化的快慢。

共四十七頁(yè)29導(dǎo)熱(dǎorè)微分方程和單值性條件

對(duì)于非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程，由于物體本身不斷吸收或放出熱量

決定物體內(nèi)溫度分布的是熱擴(kuò)散率

對(duì)于穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程，物體只進(jìn)行熱量的傳遞，各點(diǎn)的溫度不隨時(shí)間(shíjiān)而變

導(dǎo)熱系數(shù)是決定穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程熱傳遞的重要熱物性參數(shù)。共四十七頁(yè)30導(dǎo)熱微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)和單值性條件

（2)穩(wěn)態(tài)（）有內(nèi)熱源(rèyuán)時(shí)簡(jiǎn)化為

幾種特殊情況的導(dǎo)熱微分方程簡(jiǎn)化形式

(1)物體無(wú)內(nèi)熱源（）時(shí)簡(jiǎn)化為

（4）一維穩(wěn)態(tài)無(wú)內(nèi)熱源時(shí)簡(jiǎn)化為

（3）穩(wěn)態(tài)無(wú)內(nèi)熱源時(shí)簡(jiǎn)化為共四十七頁(yè)31導(dǎo)熱(dǎorè)微分方程和單值性條件圓柱(yuánzhù)坐標(biāo)系中的微元體球坐標(biāo)系中的微元體

共四十七頁(yè)32導(dǎo)熱微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)和單值性條件

穩(wěn)態(tài)無(wú)內(nèi)熱源(rèyuán)徑向一維導(dǎo)熱時(shí)簡(jiǎn)化為：

圓柱坐標(biāo)導(dǎo)熱微分方程式：

球坐標(biāo)穩(wěn)態(tài)無(wú)內(nèi)熱源徑向一維導(dǎo)熱時(shí)的簡(jiǎn)化形式為：

共四十七頁(yè)33導(dǎo)熱(dǎorè)微分方程和單值性條件二、單值性條件

導(dǎo)熱微分方程描述同類導(dǎo)熱過(guò)程的共性

適用于所有同類導(dǎo)熱體內(nèi)部的導(dǎo)熱過(guò)程，由它得到的解是這類問(wèn)題的通解。

要獲得某個(gè)具體(jùtǐ)導(dǎo)熱問(wèn)題的特解，還必須說(shuō)明特定導(dǎo)熱過(guò)程的具體特點(diǎn)。

單值性條件：說(shuō)明導(dǎo)熱過(guò)程具體特點(diǎn)使導(dǎo)微分方程式獲得唯一解的條件。共四十七頁(yè)34導(dǎo)熱微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)和單值性條件單值性條件一般包括以下幾項(xiàng)：

1.幾何條件：說(shuō)明所研究導(dǎo)熱物體的幾何形狀、尺寸(chǐcun)大小等。

決定物體內(nèi)溫度場(chǎng)的空間分布特點(diǎn)和進(jìn)行分析時(shí)所需采用的坐標(biāo)系。

2.物理?xiàng)l件：說(shuō)明所研究導(dǎo)熱體的物理特征。

如物體的物性參數(shù)（ρ、c、λ）的數(shù)值及其特點(diǎn)（是否隨溫度變化），內(nèi)熱源的大小及分布情況等。共四十七頁(yè)35導(dǎo)熱(dǎorè)微分方程和單值性條件

3.時(shí)間條件：說(shuō)明導(dǎo)熱過(guò)程進(jìn)行(jìnxíng)時(shí)在時(shí)間上的特點(diǎn)，它只對(duì)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程而言。通常說(shuō)明導(dǎo)熱過(guò)程初始時(shí)刻（τ=0）導(dǎo)熱物體的溫度分布規(guī)律:

又稱為初始條件。若在過(guò)程開(kāi)始時(shí)刻物體內(nèi)的溫度分布均勻

可簡(jiǎn)化為：

共四十七頁(yè)36

4.邊界條件：說(shuō)明導(dǎo)熱體邊界上的熱狀態(tài)以及(yǐjí)與周圍環(huán)境相互作用的情況。

常見(jiàn)的邊界條件有三類：

（1）第一類邊界條件：

給出導(dǎo)熱物體邊界面上的溫度分布及其隨時(shí)間的變化規(guī)律。最簡(jiǎn)單的情況是對(duì)于穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程:

tw

=常量恒壁溫邊界條件導(dǎo)熱(dǎorè)微分方程和單值性條件共四十七頁(yè)37

（2）第二類邊界條件：給出導(dǎo)熱物體邊界面上的熱流密度（包括大小、方向）分布及其隨時(shí)間的變化規(guī)律。

最簡(jiǎn)單的情況是對(duì)于穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程(guòchéng)：

qw=常量恒熱流(rèliú)邊界條件導(dǎo)熱微分方程和單值性條件共四十七頁(yè)38

絕熱邊界條件:當(dāng)邊界面絕熱時(shí)，可看作(kànzuò)恒熱流邊界條件的特例（qw=0）

(qw=0)絕熱邊界條件導(dǎo)熱(dǎorè)微分方程和單值性條件共四十七頁(yè)39

（3）第三類邊界條件：給出導(dǎo)熱體邊界面與周圍(zhōuwéi)流體進(jìn)行對(duì)流換熱的流體溫度tf及表面換熱系數(shù)h—對(duì)流換熱邊界條件根據(jù)邊界面的熱平衡，由傅立葉定律和牛頓冷卻公式得：tf，h

注意(zhùyì)：式中和tw都未知

對(duì)流換熱邊界條件導(dǎo)熱微分方程和單值性條件共四十七頁(yè)40★當(dāng)h→∞時(shí)，tw≈tf

第三類邊界(biānjiè)條件轉(zhuǎn)化為第一類邊界條件。★當(dāng)h→0時(shí)，qw≈0

第三類邊界條件轉(zhuǎn)化為絕熱邊界條件。導(dǎo)熱微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)和單值性條件共四十七頁(yè)41例題例題

【例1-1】半徑為0.1m的無(wú)內(nèi)熱源、常物性(wùxìnɡ)長(zhǎng)圓柱體，已知某時(shí)刻溫度分布為t=500+200r2+50r3（℃）（r為徑向坐標(biāo)，單位為m），

=40W/（m

K），a=0.0001m2/s。求：(1)該時(shí)刻圓柱表面上的熱流密度及熱流方向。（2）該時(shí)刻圓柱體中心溫度隨時(shí)間的變化率。共四十七頁(yè)42例題

=-40(400

0.1+150

0.01)=-1660

W/m2

式中負(fù)號(hào)意味著，所以熱流密度方向(fāngxiàng)指向圓柱體中心。在圓柱(yuánzhù)表面上r=0.1m，代入上式得：共四十七頁(yè)43例題

（2）由導(dǎo)熱(dǎorè)微分方程式：在圓柱(yuánzhù)中心r=0，則：K/s共四十七頁(yè)44例題

【例1－2】一矩形(jǔxíng)截面長(zhǎng)柱體，常物性、無(wú)內(nèi)熱源，邊界條件如圖所示。試寫出該問(wèn)題的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程式及邊界條件