四川省攀枝花市第七高級中學2024-2025學年高三上學期第四次診斷性考試數學試題（含答案）

1PAGE第13頁攀枝花七中2025屆高三上第四次診斷性考試注意事項1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一．選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知復數z滿足，則z的共軛復數是（）A. B. C. D.2.已知等差數列的前項和為，且，則（）A.36 B.48 C.52 D.663.已知向量，，若，則（）A.2 B. C.1 D.04.已知函數,若,則實數的取值范圍是（）A. B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞) D.5.2024年10月1日是我國國慶75周年，全國人民以各種各樣的形式共同慶祝.我校以文藝演出的形式慶祝，原本準備了4個舞蹈，2個獨唱，2個朗誦節(jié)目（順序已定），現(xiàn)節(jié)目組臨時決定加入一個學生紅歌合唱與一個教師紅歌合唱，則節(jié)目的不同排法一共有（

）種A.72 B.36 C.45 D.906.函數，則函數的零點個數是（）A2 B.3C.1 D.07.已知非零實數，，，“”是“”成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知函數，若，，且，則的最小值為（）A.2 B.1 C. D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知、是夾角為單位向量，．下列結論正確的有（）A. B.C. D.在方向上的投影數量為10已知函數，則（）A.函數最小正周期為2B.點是函數圖象的一個對稱中心C.將函數圖象向左平移個單位長度，所得到的函數圖象關于軸對稱D.函數在區(qū)間上單調遞增11.已知曲線與直線分別相切于點，與直線分別相切于點，且相交于點，則（）A. B.C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.設，集合，則______13.已知函數兩個極值點分別為橢圓與雙曲線的離心率，則實數的取值范圍是__________.14.若不等式恒成立，則實數k的取值范圍為__________四．解答題:本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）.15.在三角形中，角的對邊分別為，已知.（1）求值；（2）若三角形為銳角三角形，求的取值范圍.16.設函數（1）分析的單調性和極值；（2）設，若對任意的，都有成立，求實數m的取值范圍；17.我國自主研發(fā)的某種產品，其厚度越小，則該種產品越優(yōu)良，為此，某科技研發(fā)團隊經過較長時間的實驗研發(fā)，不斷地對該產品的生產技術進行改造提升，最終使該產品的優(yōu)良厚度達到領先水平，并獲得了生產技術專利；（1）在研發(fā)過程中，對研發(fā)時間上x(月)和該產品的厚度y(nm)進行統(tǒng)計，其中1~7月的數據資料如下：x月1234567y（nm）99994532302421現(xiàn)用作為y關于x的回歸方程類型，請利用表中數據，求出該回歸方程，并估計該產品的最小厚度約為多少？（2）某企業(yè)現(xiàn)有3條老舊的該產品的生產線，迫于競爭壓力，決定關閉并出售生產線.現(xiàn)有以下兩種售賣方案可供選擇：方案一：直接售賣，則每條生產線可賣6萬元；方案二：先花22萬元購買技術專利并對老舊生產線進行改造，使其達到生產領先水平后再售賣.已知在改造過程中，每條生產線改造成功的概率均為，且相互獨立.若改造成功，則每條生產線可賣20萬元；若改造失敗，則賣價為0萬元.①設3條老舊生產線中改造成功的生產線條數為X，求X的分布列和數學期望；②請判斷該企業(yè)應選擇哪種售賣方案可能更為有利？并說明理由.參考數據：設，.；參考公式：對于一組數據，，…，，其回歸直線的斜率和縱截距的最小二乘法估計的計算公式為，．18.已知正項數列，為其前項和，且．（1）求數列的通項公式；（2）記，若數列的前項和為，證明：．19.已知橢圓：的左、右焦點分別為、，離心率為，經過點且傾斜角為的直線與橢圓交于、兩點（其中點在軸上方），的周長為8．（1）求橢圓的標準方程；（2）如圖，將平面沿軸折疊，使軸正半軸和軸所確定的半平面（平面）與軸負半軸和軸所確定的半平面（平面）互相垂直．（i）若，求異面直線和所成角的余弦值；（ii）是否存在，使得折疊后的周長與折疊前的周長之比為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．攀枝花七中2025屆高三上第四次診斷性考試一．選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】C4.【答案】A5.【答案】D6.【答案】A7.【答案】D8.【答案】B二、多項選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.【答案】AD10.【答案】BC11.【答案】ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.【答案】013.【答案】14.【答案】四．解答題:本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）.15.【解析】【分析】（1）根據可得，利用兩角和的正切公式結合題目條件可得，根據的范圍可得結果.（2）由正弦定理得，由得，由三角形為銳角三角形可得的范圍，由此可得結果.【小問1詳解】∵，∴，∴，即，∵，故，又，∴，∵，∴.【小問2詳解】由（1）和正弦定理得，∵為銳角三角形，∴，解得，∴，∴.16.【解析】【分析】（1）求導研究函數單調性，求出極值；（2）構造函數，求導后注意到，進而得到，，再驗證充分性；【小問1詳解】易知函數fx=xln令，解得，當時，，單調遞減時，，在單調遞增，故的極小值為，無極大值.【小問2詳解】對任意的，都有成立，即對任意的，恒成立，令，則，注意到：，若要，必須要求，即，亦即，另一方面：當時，因為單調遞增，則當時，恒成立，所以時單調遞增，故；故實數的取值范圍為.17.【解析】【分析】（1）設，則，利用回歸直線公式可得，則關于的回歸方程為，可以估計該產品的"理想"優(yōu)良厚度約為13nm；（2）①由已知，可得，分別求出X取值時的概率，即可列出分布列，進而求出數學期望；②分別計算兩種方案的收益，比較即得.【小問1詳解】設，則，所以，，所以，所以關于的回歸方程為，所以可以估計該產品的"理想"優(yōu)良厚度約為13nm．【小問2詳解】X的取值為，因為每條生產線改造成功的概率均為，且相互獨立，所以，所以；；；；所以的分布列為0123所以．②當實施方案一時，設3條生產線的賣價為萬元，則；當實施方案二時，設3條生產線的賣價為萬元，則，所以的數學期望．因為，所以該企業(yè)應選擇方案二售賣可能更為有利．18.【解析】【分析】（1）由，求出，再利用與的關系即可求解數列的通項公式；（2）利用裂項相消求數列的前項和為，再比較與的大小關系即可證明.【小問1詳解】由，則在正項數列中，當時，，整理得，即，所以，當時，，兩式相減得，當時，，符合要求，故．【小問2詳解】由（1）可得，則.19.【解析】【分析】（1）根據題意，的周長為8，離心率為，結合橢圓標準方程的定義，求解即可；（2）（i）由（1）知，點，傾斜角為，故直線設為：，與聯(lián)立求得，，再以為坐標原點，折疊后原軸負半軸，原軸，原軸正半軸所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，再求異面直線和所成角的余弦值即可；（ii）根據題意得到，設折疊前，，直線與橢圓聯(lián)立方程，結合韋達定理，在折疊后的圖形中建立空間直角坐標系（原軸仍然為軸，原軸正半軸為軸，原軸負半軸為軸），設，在新圖形中對應點記為，，，，得到，結合，得到的值．【小問1詳解】因為的周長為8，離心率為，所以，即，，，所以橢圓的標準方程為：；【小問2詳解】由（1）知，點，傾斜角為，故直線設為：，（i）聯(lián)立直線與橢圓的方程：，可得，可得或，可得，（因為點在軸上方）以及，再