數(shù)學(xué)-四川省部分學(xué)校2025屆高三12月聯(lián)考試題和答案

2025屆高三數(shù)學(xué)試題參考答案 /(—2)2十(—2)2=2\.2.CA={父|父2—4父十3=0}={1,3},B中最多只有2個(gè)元素.又因?yàn)锳∈B,所以A=B,所以a=(1—2)2=1.3.Cf(父)的最大值為1,則g(父)的最大值為2.4.A=2,因?yàn)閒I=6父2十—1,所以fI所求的切線方程為y—2=6(父—父1),即y=6父—4.5.C因?yàn)?<α<β<,所以0<α十β<π,0<β—α<.所以sin2β=sin[(α十β)十(β—α)]=sin(α十β)cos(β—α)十cos(α十β)sin(β—α)min=2,所以(.)min=22—1=3.7.C由題意可得,圓錐底面圓的直徑為4,圓錐外接球的大圓為圓錐軸截面的外接圓,由正弦 定理知圓錐軸截面的外接圓半徑(即球的半徑)為,所以該圓錐外接球的表面積為4π×8.B由題意,各圖中所含小正方形和小長(zhǎng)方形的總個(gè)數(shù)分別為1十4,1十4十4×2,1十4十4×2十4×3,歸納可得,第n個(gè)圖案中的小正方形和小長(zhǎng)方形的總個(gè)數(shù)為1十4十4×2十4×3十…十4n=1十=2n2十2n十1,故第10個(gè)圖案中的小正方形和小長(zhǎng)方形共有221個(gè).9.AD不妨設(shè)父1≤父2≤父3,父1I≤父2I≤父3I.因?yàn)檫@2組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同,所以父2=父2I.因?yàn)檫@2組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同,所以父1十父3=父1I十父3I①.因?yàn)檫@2組數(shù)據(jù)的極差相同,所以I,所以這2組數(shù)據(jù)相同,這2組數(shù)據(jù)的方【高三數(shù)學(xué)●參考答案第1頁(yè)(共6頁(yè))】差也一定相等,A正確.若這2組數(shù)據(jù)分別為1,2,6和0,4,5,則這2組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差、極差均相等,中位數(shù)不相等,D正確.10.BCDf(0)不一定為0,A錯(cuò)誤.因?yàn)閒(父)不是奇函數(shù),所以3父∈R,f(—父)≠—f(父),B正確.f(父)=—|父|十1不是奇函數(shù),且f(—1)=—f(1),符合題意,C正確.f(父)=,父≥0,不是奇函數(shù),且f(—1)=—f(1),符合題意,D正確.11.ABD聯(lián)立解得,或所以直線y=父與C只有2個(gè)公共點(diǎn),A正確.因?yàn)辄c(diǎn)P(父0,y0)在C上,且父0>0,y0>0,所以3父y0—y=2>0,即,B正確.聯(lián)立化簡(jiǎn)得4y3—3y十1=4(y十1)(y2=0,解得y=—1或y=.若y=—1,則父=0,若y=AY,則父=±,所以圓父2十y2=1與C有3個(gè)公共點(diǎn),如圖所示,所以C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值即C與圓父2十y2=1的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值,最大值為1,C錯(cuò)誤,D正確.12.60首先從6名志愿者中選1名去完成A工作,方法數(shù)為C;然后從其余5名志愿者中選2名去完成B工作,方法數(shù)為C;最后剩下的3名志愿者去完成C工作.故不同的安排方法共有C●C=6×10=60種.13.\,5不妨取雙曲線C的一條漸近線y=父,聯(lián)立1,得父2—父十1=0,Δ=●sin父十=0.顯然父=0是f(父)的一個(gè)零點(diǎn).2222因?yàn)椤?≤sin父≤1,所以父24≤1,即父2十≤π|父|,配方得2≤0,當(dāng)|2222因?yàn)椤?≤sin父≤1,所以父24≤1,即父2十≤π|父|,配方得2≤0,當(dāng)|父|=【高三數(shù)學(xué)●參考答案第2頁(yè)(共6頁(yè))】222時(shí),等號(hào)成立,所以當(dāng)父=±2時(shí),父—π父sin父十4=0,故f(220,—,,則g(父1)十g(父2)十…十g(父n)=2.15.解:(1)在△ACD中,cosC=AC2D2C2=.…………………3分在△ABC中,AB=\/AC2十BC2—2AC●BCcosC=\10.……………6分因?yàn)閠anB=3,所以cosB=,sinB=.…………………8分 在△ABD中,AD2=AB2十BD2—2AB●BDcosB,解得AB=\10(AB=—舍去).…………………………11分△ABC的面積為AB●BCsinB=6.…………………13分22所以橢圓C的方程為十y9=1.…………522所以橢圓C的方程為十y9=1.…………5分聯(lián)立,解得或即D3,.…………………8分kAB=則直線AB的方程為y=父十3,即\3父—2y十6=0.……10分|AB|=\21.設(shè)點(diǎn)D到直線AB的距離為d,d=,……………13分則S△ABD=|AB|●d=.………15分17.(1)證明:在△PCD中,E為CD的中點(diǎn),所以PE丄CD,PE=\3CE.…1分因?yàn)槠矫鍼DC丄平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,PEG平面PDC,所以PE丄平面ABCD.因?yàn)锽E,ABG平面ABCD,所以PE丄BE,PE丄AB,上PEB=90。.…3分因?yàn)锳B丄PB,PE∩PB=P,PE,PBG平面PBE,所以AB丄平面PBE.【高三數(shù)學(xué)●參考答案第3頁(yè)(共6頁(yè))】因?yàn)锽EG平面PBE,所以AB丄BE,所以上ABE=上BEC=90。.……4分因?yàn)锽C,所以BE=\CE,……………5分所以PE=BE,△PBE為等腰直角三角形.………………6分AP(2)解:設(shè)DC=2,以E為坐標(biāo)原點(diǎn),EB,EC,EP所在直線分別為父,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則APDECyA(\,—2,0),D(0,—1,0).……8DECyAB=(\3,—2,—\3),=(0,1,\3).…………9AB易得平面PDC的一個(gè)法向量為n=(1,0,0).…10分設(shè)平面ADP的法向量為m=(父,y,z),!mDP=y十\3z=0,取y=\3,則m=(1,\i3,—1)!mDP=y十\3z=0,設(shè)二面角A-DP-C的大小為θ(0≤θ≤π),|cosθ|=|cos,……………… 故二面角A-DP-C的正弦值為.……………………15分證明:M當(dāng)父∈(—∞,1)U(1,2)時(shí),SI(父)<0;當(dāng)父∈(2,十∞)時(shí),SI(父)>0.所以S(父)在(—∞,1),(1,2)上單調(diào)遞減,在(2,十∞)上單調(diào)遞增,則2是S(父)的極小值點(diǎn),故存在點(diǎn)P(2,e2),使得點(diǎn)P是M在f(父)的“邊界點(diǎn)”.………………4分(2)解:M(0,0),S(父)=父4a父2=父3十a(chǎn)父(父≠0),SI(父)=父2十a(chǎn)(父≠0).因?yàn)椴淮嬖邳c(diǎn)P,使得點(diǎn)P是M在f(父)的“邊界點(diǎn)”,所以S(父)沒有極值點(diǎn).若a≥0,則SI(父)>0,S(父)沒有極值點(diǎn).若a<0,則當(dāng)父∈(—∞,—\—a)U(\—a,十∞)時(shí),SI(父)>0,當(dāng)父∈(—\,0)U(0,\/—a)時(shí),SI(父)<0,所以S(父)在(—\—a,0),(0,\—a)上單調(diào)遞減,在(—∞,—\—a),(\—a,十∞)上單調(diào)遞增,所以—\是S(父)的極大值點(diǎn),\/—a是S(父)的極小值點(diǎn).綜上,a的取值范圍為[0,十∞) 8分【高三數(shù)學(xué)●參考答案第4頁(yè)(共6頁(yè))】(3)解:M(0,0),S(父)=父=(父十a(chǎn))ln父,SI(父)=ln父十因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)不同的點(diǎn)P,使得點(diǎn)P是M在f(父)的“邊界點(diǎn)”,所以S(父)有2個(gè)極值點(diǎn).…………………………10分若a≤0,則gI(父)>0在(0,十∞)上恒成立,所以g(父)在(0,十∞)上單調(diào)遞增,所以g(父)最多只有1個(gè)零點(diǎn),即SI(父)最多只有1個(gè)零點(diǎn),則S(父)最多只有1個(gè)極值點(diǎn),不符合題意.…………………12分若a>0,則當(dāng)父∈(0,a)時(shí),gI(父)<0,當(dāng)父∈(a,十∞)時(shí),gI(父)>0,所以g(父)在(0,a)上單調(diào)遞減,在(a,十∞)上單調(diào)遞增.g(父)極小值=g(a)=lna十2.………………13分要使得S(父)有2個(gè)極值點(diǎn),則g(父)有2個(gè)零點(diǎn),當(dāng)g(父)極小值≥0時(shí),不符合題意.…………14分當(dāng)g(父)極小值<0時(shí),由lna十2<0,解得0<a<e—2.…………………15分此時(shí),g(1)=a十1>0,所以h(a)在(0,e—2)上單調(diào)遞減,h(a)>h(e—2)=e2—3>0,即g(a2)>0.所以3父1∈(a2,a),父2∈(a,1),g(父1)=g(父2)=0,當(dāng)父∈(0,父1)U(父2,十∞)時(shí),g(父)>0,當(dāng)父∈(父1,父2)時(shí),g(父)<0,所以S(父)在(父1,父2)上單調(diào)遞減,在(0,父1),(父2,十∞)上單調(diào)遞增.所以S(父)有2個(gè)極值點(diǎn),符合題意.綜上,a的取值范圍為(0,e—2).……………17分19.解:(1)因?yàn)榈?輪比賽甲、乙對(duì)打,所以第2輪比賽甲、乙不可能對(duì)打,則第2輪比賽甲只能和丙或丁對(duì)打.第2輪比賽甲、丁對(duì)打的概率為.若第3輪比賽甲、丙對(duì)打,則第2輪比賽中甲勝丁,丙勝乙,或丁勝甲,乙勝丙.故所求概率為.………………4分(2)設(shè)在第n輪比賽中,甲、乙對(duì)打的概率為an,甲、丙對(duì)打的概率為bn,甲、丁對(duì)打的概率為cn,an十bn十cn=1①.………………………5分在第n十1輪比賽中,甲、乙對(duì)打的概率為an十1,甲、丙對(duì)打的概率為bn十1,甲、丁對(duì)打的概率為cn十1,【高三數(shù)學(xué)●參考答案第5頁(yè)(共6頁(yè))】若在第n十1輪比賽中,甲、乙對(duì)打,則在第n輪比賽中,甲、丙對(duì)打,乙、丁對(duì)打,所以an十1=cn②.…………………7分同理可得bn十1=cn③,cn十1=bn④.……