成人高考成考高等數(shù)學(xué)(一)(專升本)知識點(diǎn)必刷題解析

析一、單選題(共87題)據(jù)二階導(dǎo)數(shù)判別法,當(dāng)f’‘(x)>0時,x為極小值點(diǎn);當(dāng)f’’(x)<0時,x為極大值點(diǎn)。因此，x=1是極小值點(diǎn)，x=-1是極大值點(diǎn)。所以答案為A。B.(x=)D.(x=-)然后令導(dǎo)數(shù)等于0,求極值點(diǎn)：取對數(shù)得：由于(x)必須大于0(因?yàn)?1nx)在(x≤の時無定義),所以(x=り是唯一的解。接下來，求二階導(dǎo)數(shù)以判斷極值點(diǎn)的類型：解析：要求函數(shù)f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)值，即f'(1)。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，我們有：f'(x)=lim(h→0)[(x+h)^3-3(x+h)+展開并化簡上式，得：f'(x)=lim(h→0)[3x^2h+3xh^再次化簡，得：由于我們需要求的是f'(1),所以將x=1代入上式，得：所以，f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)值為0,答案選B。因此正確答案是B.無定義12、已知函數(shù)(f(x)=x3-6x2+9x),C.(x=1)D.(x=1)首先，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(f(x)=3x2-12x+9)。將導(dǎo)數(shù)設(shè)置為0,解得(3x2-12x+9=0),化簡得(x2-4x+3=0),進(jìn)一步解得(x=1)或(x=3)。解析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，對于函數(shù)(f(x)=4),我們可以使用導(dǎo)數(shù)的定義來求導(dǎo)：通過通分，得到：因此，選項(xiàng)A是正確的。14、在下列各題中，下列哪個函數(shù)的圖像是一條拋物線?解析：在給出的選項(xiàng)中，只有(y=x2)是一個二次函數(shù)，其圖像是一條拋物線。其他選項(xiàng)分別代表三次函數(shù)、冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，它們的圖像分別是曲線、曲線和雙曲線，而不是拋物線。15、在下列各對函數(shù)中，滿足(f(x)·g(x)=(f(x)+g(x))')的是：解析：根據(jù)題意，要滿足(f(x)·g(x)=(f(x)+g(x))'),比較左右兩邊，可以看出當(dāng)(f(x)=1nx),時，兩邊相等，因此選D。D.(x≠-1)解析：函是一個有理函數(shù)，其分母不能為零。因此，要使(f(x))正確。其他選項(xiàng)中的值不會導(dǎo)致分母為零，但它們不是函數(shù)定義域的限制條件。我們使用商的求導(dǎo)法則。設(shè)解析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則，對于函我們使用商的求導(dǎo)法則。設(shè)解析：要找到函數(shù)(f(x)=e2×sinx)的導(dǎo)數(shù)，我們可以使用乘積法則，該法則表明如果有兩個函數(shù)的乘積，其導(dǎo)數(shù)等于第一個函區(qū)間上滿足以下哪個條件?21、已知函則該函,23、在下列函數(shù)中，屬于偶函數(shù)的是()C.(f(-x)=1n|-x|=1n|x|=口根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，對于函,其導(dǎo)數(shù)(f(x))可以通過極限定義來計(jì)算：所以正確答案是,則該函數(shù)的奇偶性是：A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.無法確定解析：要判斷函數(shù)的奇偶性，我們需要驗(yàn)證(f(-x))是否等于(f(x))(偶函數(shù))或(-f(x))(奇函數(shù))。對于給定的函),我們有：26、設(shè)函27、在下列各數(shù)中，屬于無理數(shù)的是()為可以表示為兩個整數(shù)比(202/999);只有選項(xiàng)B中的√2是無理數(shù)，因?yàn)樗菬o限不D.無定義[f"(x)=e*cosx+e*sinx+e(-sA.(f(x)=|x|)在(x=の處不連續(xù)。連續(xù)。D選項(xiàng)的函數(shù)在(x<の時無定義，所以不連續(xù)。而C選項(xiàng)的函數(shù)(h(x)=x2)是一解析：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤≠1且x≠-1,因?yàn)樵趚=1和x=A.極大值：-2,極小值：0C.極大值：2,極小值：0D.極大值：-2,極小值：2B.(e?-3×0+1=1)C.(e?-3×0+1=0)所以(x>の。因此,函數(shù)(f(x))的定義域是((-～,のU(0,+～)),即選項(xiàng)A。C.x∈(-○,-1)U[1,+的)解析：函數(shù)中，分母x2+1對于所有實(shí)數(shù)x都大于0,因此不存的極小值點(diǎn)。因此，(f(x))的極值點(diǎn)為(x=1)。選項(xiàng)B正確。45、在下列函數(shù)中，哪個函數(shù)的圖形是一條通過原點(diǎn)的直線?解析：選項(xiàng)A中的函數(shù)y=2x是一條通過原點(diǎn)(0,0)的直線，斜率為2。其他選項(xiàng)中，B是拋物線，C是一條斜率為-3的直線但不過原點(diǎn)，D是雙曲線，不通過原點(diǎn)。46、在函數(shù)f(x)=e^(2x)的圖形中，下列哪個選項(xiàng)正確表示了該函數(shù)的增減性?A.在(-一，0)區(qū)間內(nèi)，f(x)單調(diào)遞增，在(0,+∞)區(qū)間內(nèi)，f(x)單調(diào)遞減。B.在(-一，0)區(qū)間內(nèi)，f(x)單調(diào)遞減，在(0,+)區(qū)間內(nèi)，f(x)單調(diào)遞增。C.在(-○,+○)區(qū)間內(nèi)，f(x)單調(diào)遞增。D.在(-○,+0)區(qū)間內(nèi)，f(x)無單調(diào)性。解析：函數(shù)f(x)=e(2×)是一個指數(shù)函數(shù)，其底數(shù)為e(自然對數(shù)的底數(shù)的任何正數(shù)次冪都大于1,所以隨著x(2x)也會增大。因此，在(-○,+0)區(qū)間內(nèi)，f(x)單調(diào)遞增。選項(xiàng)C正確。B.偶函數(shù)B.(x=1),極小值點(diǎn)D.(x=-1),極小值點(diǎn)只要求一個極值點(diǎn),而(x=-り并不是極值點(diǎn),所以正確答案是D.(x=-り,極小值點(diǎn)這里存在一個錯誤,正確答案應(yīng)該是A.(x=り),極大值點(diǎn)。得(f”(D=6),大于0,說明(x=り是局部極小值點(diǎn)。因此,函數(shù)的極值點(diǎn)為(x=の。解析：函)的反函數(shù)可以通過交換()和()的位置,并解出(1)來找到。數(shù)。故選A。B.無定義導(dǎo)數(shù)的定義涉及到極限的概念,而(f(x))在(x=の53、已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+4x+1,求f(x)的極值點(diǎn)和拐點(diǎn)A.極值點(diǎn)：x=1,拐點(diǎn)：(1,3)B.極值點(diǎn)：x=1,拐點(diǎn)：(1,4)C.極值點(diǎn)：x=0,拐點(diǎn)：(1,1)D.極值點(diǎn)：x=2,拐點(diǎn)：(2,3)解析：首先，求f(x)的一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-6x+4,令f'(x)=0,解得‘(1)=0,且f''(x)在x=1兩側(cè)的符號不變，所以x=1是f(x)的拐點(diǎn)。將x=1代入f(x),得f(1)=3,所以極值點(diǎn)為(1,3)。因此，選項(xiàng)A是正確答案。54、已知函在區(qū)間((1,+○))上的積分(J?"f(x)dx)為：D.無法確定)在區(qū)間([1,+∞)]上是連續(xù)的，并且隨著(x)的增大，(f(x)的值會逐漸減小。因此，我們可以計(jì)算定積如下：計(jì)算積分：B.(x=1)56、設(shè)函數(shù)則該函數(shù)的間斷點(diǎn)為()解析：函數(shù)的定義域?yàn)?-○,-)U(-1,D)U(1,+○)。在x=1和x=-1時，分母x2-1為0,因此這兩個點(diǎn)是函數(shù)的間斷點(diǎn)。由于57、設(shè)函數(shù)(f(x)=x3-3x+1),則函數(shù)(f(x)的極值點(diǎn)為：B.(x=-1)D.(x=-√3然后求出函數(shù)(f(x))的二階導(dǎo)數(shù)(f"(x[f"(1)=6·1=6(正值，所以(x=1)處是極小值點(diǎn))[f"(-1)=6·(-1)=-6(負(fù)值，所以(x=-D)處是極大值點(diǎn))因此，函數(shù)(f(x))的極大值點(diǎn)為(58、已知函數(shù)C.3個D.無間斷點(diǎn)A.x=1處不連續(xù)，即存在兩個間斷點(diǎn)。所以正確答案是B,即該函數(shù)有2個間斷點(diǎn)。59、設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3x2+4x-1,則f(x)的極值點(diǎn)為：再對f'(x)求導(dǎo)得f"(x)=6x-6。代入x=1得f"(1)=0,代入則該函數(shù)的間斷點(diǎn)為()解析：函數(shù)在x=1時，分母為零，因此函數(shù)在x=1處無定義，故x=1是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)。其他選項(xiàng)x=-1、x=0、x=2均不是函數(shù)的間斷點(diǎn)，因?yàn)樵谶@幾個點(diǎn)上函數(shù)均有定義。62、在函數(shù)f(x)=x^3-3x+2中，求導(dǎo)數(shù)f'(x)。解析：要求函數(shù)f(x)=x^3-3x+2的導(dǎo)數(shù)，使用導(dǎo)數(shù)的基本公式，對每一項(xiàng)分別求導(dǎo)：A.極大值B.極小值D.二階導(dǎo)數(shù)不存在解析：函數(shù)(fx)=)在(x=O處不連續(xù)，因此在該點(diǎn)處不存在導(dǎo)數(shù)，也就無法討論極值問題。因此，選項(xiàng)D正確。解析：首先，求f(x)的一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-3,令f'(x)=0,得到x^2=1,解得x=±1。然后，分別計(jì)算f'(x)在x=-1和x=1時的符號。當(dāng)x<-1時，時為極大值點(diǎn)，x=1時為極小值點(diǎn)。故選C。65、設(shè)函數(shù)(f(x)=x3-3x),則(f(x))的極值點(diǎn)為：解析：首先求(f(x))的一階導(dǎo)數(shù)(f'(x)=3x2-3),令(f(x)=0解得(x=1)或(x=解析：要判斷(x=1)處是否為極值點(diǎn)，我們需要計(jì)算函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，并檢查其所以答案為C。因此，所以正確答案是A。D.(x≠3)是一個有理函數(shù)，其分母不能為零。因此，我們需要找因此,正確答案是A.(x≠I)。70、設(shè)函數(shù)(f(x)=x3-3x2+4x),則(f(x))的極值點(diǎn)為：A.(x=の和(x=2)D.(x=-1)和(x=4)71、設(shè)函數(shù)(f(x)=x3-3x2+4x+1),B.(3x2-6x+1)解析：函數(shù)(f(x)=x3-3x2+4x+1)的導(dǎo)數(shù)(f(x))可以通過逐項(xiàng)求導(dǎo)得到。根據(jù)因此，正確答案是A.(3x2-6x+4)。當(dāng)(x→0時，(x2)趨近于0,因此(1+x2)趨近于1,所以：存在(ξ∈(1,2)使得：出了這個條件，所以是正確答案。其他選項(xiàng)與函數(shù)連續(xù)性的定義不符。解析：首先對函數(shù)(f(x)=e-2x)求導(dǎo)，間((0,+～))上單調(diào)遞增,需要(f1(x)≥の。在(x>の的區(qū)間內(nèi),由于(e)大于(2)的函數(shù),所以(f1(x))必然大于或等于(の。因此,選項(xiàng)C是正確的。對應(yīng)選項(xiàng)B。77、下列函數(shù)中，哪一項(xiàng)是奇函數(shù)?3=0,解得(x=±1)。接著，求出函數(shù)(f(x))的二階導(dǎo)數(shù)(f"(x)=6x)。將(x=1)和(x=-B.((0,+一))的定義域?yàn)?(0,+∞))。選項(xiàng)B正確。B.(f(x)=2xe)解析：要求函數(shù)(f(x)=e2)的導(dǎo)數(shù)，可以使用鏈?zhǔn)椒▌t。設(shè)(u=x2),則(f(x)=e")。2xe2)。。因此，正確答案是B。81、設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-6x^2+9x,則f(x)的極值點(diǎn)為：解析：首先對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得到f'(x)=3x^2-12x+9。令f'(x)=0,解得x=1或x=3。然后，計(jì)算f'‘(x)=6x-12,分別代入x=1和x=3,得是f(x)的極大值點(diǎn)，x=3是f(x)的極小值點(diǎn)。選項(xiàng)C正確。82、設(shè)函數(shù)(fx)=e),D.無定義因?yàn)?e)當(dāng)(h→0時趨向于1,所!趨向于,即趨向于無窮大，但在實(shí)際計(jì)算中，我們可以使用洛必達(dá)法則或者泰勒展開的方法來簡這里我們發(fā)現(xiàn)使用洛必達(dá)法則的結(jié)果與直接計(jì)算不符，這是因?yàn)?e2)的增長速度非?？欤?的極限實(shí)際上是不存在的。因此，正確的答案應(yīng)該是D.無定義。然而，根據(jù)高等數(shù)學(xué)的某些特定定義和上下文，在某些情況下可能將此極限視為0,但這是不準(zhǔn)確的。根據(jù)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，正確答案應(yīng)為D.無定義。83、設(shè)函數(shù),則f(x)的奇偶性為：A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)D.無法確定解析：判斷函數(shù)的奇偶性，可以通過將函數(shù)中的x替換為-x,然后觀察函數(shù)值的,我們有：84、已知函數(shù)f(x)=1n(x+1)+x2-2x,則f(x)的定義域是：函數(shù)f(x)=1n(x+1)+x2-2x由兩部分組成，1n(x+)對于ln因此，函數(shù)f(x)的定義域是(-1,+○)。所以正確答案是D。解析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的基本公式，對于函數(shù)((f(x)=),,其導(dǎo)數(shù)(f'(x由于(u=x),(u'=),所!。因此，正確答案是A。令(f'(x)=の求極值點(diǎn)：解析:要找到函數(shù)(f(x)=eNsinx)的駐點(diǎn),我們需要計(jì)算其導(dǎo)數(shù)并令其為零。函2.令導(dǎo)數(shù)等于零，解方程(3x2-12x+9=0)。3.化簡方程得(x2-4x+3=0)。4.因式分解得((x-)(x-3)=0)。7.因此，函數(shù)在(x=)處取得極大值(f(1)=4),在(x=3)處取得極小值(f(3)=0。設(shè)函數(shù)(f(x)=x3-6x2+9x+1),求函數(shù)的極值點(diǎn)及相應(yīng)的在(x=1)處，函數(shù)取得極大值，極大值為(f()=I3-6·I2+9·I+1=5)。2.令導(dǎo)數(shù)等于零，解方程(f(x)=0):3.為了判斷這些點(diǎn)是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，我們需要檢查導(dǎo)數(shù)的符號變化：4.計(jì)算極值：問：求函數(shù)(f(x))的極值點(diǎn)，并說明是極大值還是極小值。由于(f(x))在(x=1)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號相反,求函數(shù)(f(x))的定義域。函數(shù)(f(x))是一個有理函數(shù)，其分母(x-1)不能為零，因?yàn)榉帜笧榱銜?dǎo)致函數(shù)值無定義。因此，我們需要找出使分母為零的(x)值，并將其排除在定義域之外。因此，函數(shù)(f(x))的定義域?yàn)樗袑?shí)數(shù)(x)除了(x=1),即({x∈R|x≠1})。設(shè)函數(shù)(f(x)=e2),求函數(shù)(f(x)的二階導(dǎo)數(shù)(f"(x))。接著，求二階導(dǎo)數(shù)(f"(x)):對于(2x)的導(dǎo)數(shù)是2,因此，函數(shù)(f(x)=e2))的二階導(dǎo)數(shù)(f"(x))函數(shù)(f(x))的極小值點(diǎn)值值1.首先求出函數(shù)(f(x))的導(dǎo)數(shù)：3.接下來判斷是否為極值點(diǎn)，可以通過求二階導(dǎo)數(shù)或判斷一階導(dǎo)數(shù)的符號變由于(f"(x)在處為0,無法直接判斷，因此需要判斷(f(x))在)兩側(cè)因此，是函數(shù)(f(x))的極小值點(diǎn)。4.計(jì)算極小值：但是這里給出的答案我們需要驗(yàn)證這個答案是否正確：由于(2-2ln(2))和數(shù)值相近，但并不完全相同，可能是答案有誤。根據(jù)令(f"(x)=の求解得到可能的拐點(diǎn)：,求函數(shù)(f(x)的定義域。答案：函數(shù)(f(x))的定義域?yàn)?(-,-1)U(-1,I)U(1,+一))。4.展開并簡化分子中的平方項(xiàng)：7.現(xiàn)在我們計(jì)算(f(0)):在(x=の處的導(dǎo)數(shù)是0。要求函數(shù)(r(x)=e2)的導(dǎo)數(shù)，可以使用鏈?zhǔn)椒▌t。設(shè)(u=x2),則(f(x)=e)。由于(f(u)=e"),其導(dǎo)數(shù)由于(u=x2),其導(dǎo)數(shù)和代入鏈?zhǔn)椒▌t中，得到：第十二題：已知函數(shù)(Fx)=e)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(f'(x要求函數(shù)(f(x)=e)的導(dǎo)數(shù)，可以使用鏈?zhǔn)椒▌t。設(shè)(u=x2),則(fCx)=e")。而對(u=x2)的導(dǎo)數(shù)是(2x)。三、解答題(共12題)第一題：已知函(1)函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；(2)函數(shù)(f(x)的極值點(diǎn)及極值。答案：(1)函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間為：●單調(diào)遞增區(qū)間：((-○,))和((2,+∞))●單調(diào)遞減區(qū)間：((1,2)區(qū)間((1,2))。(2)根據(jù)(1)中的分析，可以得知：(f'(x))在((1,3)內(nèi)存在零點(diǎn)。求證：存在(ξ∈(1,3)),使間(a,b))內(nèi)可導(dǎo)，那么在(a,b))內(nèi)至少存在一點(diǎn)(n),使2.將(f(x)=x3-3x2+4x+1)和區(qū)間([1,3)代入拉格朗日中值定理，得到存在3.計(jì)算(f(3))和(f(1)):4.代入上述結(jié)果，得到5.因此，存在(ξ=n∈(1,3)),使得(f'(ξ)=5),滿足題目要求。本題通過應(yīng)用拉格朗日中值定理，證明了在給定函數(shù)使得(f(ξ))等于函數(shù)在區(qū)間兩端點(diǎn)的平均變化率。計(jì)算(f(3))和(f())的值后，代入已知函),其中(x>の。求函數(shù)(f(x))的極值點(diǎn)，并判斷其極值的函數(shù)(f(x))的極值點(diǎn)為(x=),該點(diǎn)為極小值點(diǎn)。1.首先求出函數(shù)(f(x))的導(dǎo)數(shù)(f(x)):2.為了找到極值點(diǎn)，我們需要令(f(x)=0):3.接下來，我們需要檢查(x=1)是否為極值點(diǎn)，并確定極值的類型。我們可以通過已知函數(shù)(f(x)=x3-6x2+9x),求函數(shù)(f(x))的極值點(diǎn)，并說明在極值點(diǎn)處的函數(shù)[3x2-12x+9=0][x2-4x+3=0][(x-D(x-3)=0[x=1或x=3]6.根據(jù)函數(shù)(f(x))在極值點(diǎn)的函數(shù)值，得到極大值點(diǎn)(x=の處的函數(shù)值為0,極小值點(diǎn)(x=3)處的函數(shù)值也為0。已知函,求函數(shù)(f(x)的極值。1.求函數(shù)(f(x))的導(dǎo)數(shù)：綜上所述，函數(shù)(f(x))的極大值為(f