2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（解答題）：平面解析幾何（10題）

第1頁（共1頁）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（解答題）：平面解析幾何（10題）一．解答題（共10小題）1．（2024?邵陽三模）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a（1）求C的方程．（2）不過點(diǎn)Q的動(dòng)直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，直線QA與QB的斜率之積恒為14（i）證明：直線l過定點(diǎn)；（ii）求△QAB面積的最大值．2．（2024?蘇州模擬）雙曲線C1：x2a2-y2b2=1(a，b＞0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為兩焦點(diǎn)，A1，A（1）證明：∠F1DF2，∠DF1F2的角平分線的交點(diǎn)的軌跡為一對平行直線的一部分，并求出這對平行線的方程；（2）若平面上僅有C1的曲線，沒有坐標(biāo)軸和坐標(biāo)原點(diǎn)，請給出確定C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的位置的方法并給出作長為a，b的線段的方法．（敘述即可）3．（2024?莆田模擬）已知橢圓C：x23+y22=1的右焦點(diǎn)為F，過F的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，過F與l垂直的直線交C于D，E兩點(diǎn)，M（1）證明：直線MN過定點(diǎn)；（2）若直線AB，DE的斜率均存在，求△FMN面積的最大值．4．（2024?回憶版）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)P（4，0）的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，N為線段FP的中點(diǎn)，直線NB與MF交于Q，證明：AQ⊥y軸．5．（2024?棗莊模擬）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為（1）若雙曲線C的離心率為3，虛軸長為22，求雙曲線C（2）設(shè)a＝1，b=3，若l的斜率存在，且(F1（3）設(shè)l的斜率為35，|OA→6．（2024?朝陽區(qū)一模）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的離心率為22，A，B分別是（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)N在直線x＝2上，N，P分別在x軸的兩側(cè)，且△APB與△NBP的面積相等．（i）求證：直線ON與直線AP的斜率之積為定值；（ⅱ）是否存在點(diǎn)P使得△APB≌△NBP，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．7．（2024?云南一模）已知拋物線C的焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上，頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)O．P是圓O：x2+y2＝3與C的一個(gè)交點(diǎn)，|PF|=32．A、B是C上的動(dòng)點(diǎn)，且A、B在x軸兩側(cè)，直線AB與圓O相切，線段OA、線段OB分別與圓O相交于點(diǎn)M、（1）求C的方程；（2）△OMN的面積是否存在最大值？若存在，求使△OMN的面積取得最大值的直線AB的方程；若不存在，請說明理由．8．（2024?回憶版）已知A（0，3）和P（3，32）為橢圓C：x2a2+y2b（1）求C的離心率；（2）若過P的直線l交C于另一點(diǎn)B，且△ABP的面積為9，求l的方程．9．（2024?開封模擬）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b（1）求C的離心率；（2）射線AF1與C交于點(diǎn)B，且|AB|=83，求△ABF10．（2024?商洛模擬）如圖，已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左頂點(diǎn)為A（﹣2，0），離心率為32，M，N是直線l：x＝（1）記直線AM，AN的斜率分別為k1、k2，求k1?k2的值；（2）求點(diǎn)O到直線BC的距離的最大值．

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（解答題）：平面解析幾何（10題）參考答案與試題解析一．解答題（共10小題）1．（2024?邵陽三模）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a（1）求C的方程．（2）不過點(diǎn)Q的動(dòng)直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，直線QA與QB的斜率之積恒為14（i）證明：直線l過定點(diǎn)；（ii）求△QAB面積的最大值．【考點(diǎn)】橢圓的定點(diǎn)及定值問題；根據(jù)abc及其關(guān)系式求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）x2（2）（i）證明見解析；（ii）33【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率及三角形面積，列出方程組求解即得；（2）（i）設(shè)出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用斜率坐標(biāo)公式，結(jié)合韋達(dá)定理推理即得；（ii）由（i）的信息，借助三角形面積建立函數(shù)關(guān)系，再求出最大值．【解答】（1）解：令橢圓C：x2a2+y則a=2c，由三角形面積為23，得ab=23，則c＝1，∴C的方程是x2（2）（i）證明：由（1）知，點(diǎn)Q（2，0），設(shè)直線l的方程為x＝my+n，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由x=my+n3x2+4y2=12，得（3m2+4）y2+6mny+3則y1直線QA與QB的斜率分別為kQA=y于是k=3=3n2-124n2-16n+16=14，整理得n2+2n﹣8當(dāng)n＝2時(shí)，直線x＝my+2過點(diǎn)Q，不符合題意，因此n＝﹣4，此時(shí)直線l：x＝my﹣4恒過定點(diǎn)P（﹣4，0）；（ii）解：由（i）知，y1則|y因此△QAB的面積S≤3683=3故△QAB面積的最大值為33【點(diǎn)評】本題考查圓錐曲線中的幾何圖形面積范圍或最值問題，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．2．（2024?蘇州模擬）雙曲線C1：x2a2-y2b2=1(a，b＞0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為兩焦點(diǎn)，A1，A（1）證明：∠F1DF2，∠DF1F2的角平分線的交點(diǎn)的軌跡為一對平行直線的一部分，并求出這對平行線的方程；（2）若平面上僅有C1的曲線，沒有坐標(biāo)軸和坐標(biāo)原點(diǎn)，請給出確定C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的位置的方法并給出作長為a，b的線段的方法．（敘述即可）【考點(diǎn)】直線與雙曲線的位置關(guān)系及公共點(diǎn)個(gè)數(shù)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）證明見解答，x＝﹣a和x＝a；（2）作圖方法見解答．【分析】（1）利用內(nèi)切圓的性質(zhì)和雙曲線的定義，即可證明所求交點(diǎn)在直線x＝﹣a上或在直線x＝a上；（2）利用雙曲線的性質(zhì)先確定雙曲線的中心，再作圓確定坐標(biāo)軸，最后直接根據(jù)雙曲線的方程即可確定作法．【解答】解：（1）證明：設(shè)∠F1DF2，∠DF1F2的角平分線的交點(diǎn)為I，則I就是△DF1F2的內(nèi)心，設(shè)△DF1F2的內(nèi)切圓在邊F1F2，F(xiàn)2D，DF1上的切點(diǎn)分別為M，N，P，則|MF1|﹣|MF2|＝|PF1|﹣|NF2|＝（|PF1|+|DP|）﹣（|NF2|+|DN|）＝|DF1|﹣|DF2|，由|DF1|﹣|DF2|＝2a或|DF1|﹣|DF2|＝﹣2a，知|MF1|﹣|MF2|＝2a或|MF1|﹣|MF2|＝﹣2a，而|MF1|+|MF2|＝|F1F2|＝2c，故|MF或者|MF故M和A2重合，或者M(jìn)和A1重合，而M是I在x軸上的投影，故I的橫坐標(biāo)是a或﹣a，所以點(diǎn)I必定在直線x＝﹣a或x＝a上，結(jié)論得證．（2）任意作一對平行線l1，l2，使得它們和C1都有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么兩直線分別將C1截得一條弦，取這兩條弦的中點(diǎn)S，T，并設(shè)直線ST交C1于點(diǎn)Q，R，取QR的中點(diǎn)O，則O是坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)為圓心，作一半徑足夠大的圓，使得該圓與C1有四個(gè)公共點(diǎn)，這四個(gè)公共點(diǎn)構(gòu)成矩形，過O作該矩形兩條相鄰邊的平行線，則與C1有公共點(diǎn)的平行線是x軸，與C1無公共點(diǎn)的平行線是y軸，這就得到了兩個(gè)實(shí)軸的端點(diǎn)A1和A2，然后在x軸上方基于點(diǎn)O，A2作正方形OA2BE，并以O(shè)為圓心，以|OB|為半徑作圓，交x軸正半軸于點(diǎn)K，再過K作x軸的垂線，在x軸上方交C1于點(diǎn)U，則我們得到所求|OA2|＝a，|KU|＝b，最后以O(shè)為圓心，以|KU|為半徑作圓，交y軸正半軸于點(diǎn)V，再以O(shè)為圓心，以|A1V|為半徑作圓，交x軸于點(diǎn)F1，F(xiàn)2，則F1，F(xiàn)2就是C1的兩個(gè)焦點(diǎn)，下面我們說明上面的作法是可行的，需要論證的地方有二：①坐標(biāo)原點(diǎn)O的確定；②最后F1，F(xiàn)2的確定，關(guān)于①，利用韋達(dá)定理，我們可以證明用斜率為k的直線y＝kx+m截雙曲線x2弦的中點(diǎn)總在一條過原點(diǎn)的直線上，事實(shí)上，聯(lián)立x2a2-y2b2=1y=kx+m，可得（b2﹣a2k2）x2﹣2a2kmx﹣a2則兩交點(diǎn)（x1，y1）和（x2，y2）滿足x1+x代入y＝kx+m，可得弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為(a它總在直線y=b2k關(guān)于②，根據(jù)后續(xù)的作法不難看出B（a，a），K(2設(shè)U(2a，t)，則t＞0，(2從而|KU|＝b，故|A這就得到|OF1|＝|OF2|＝c，這就證明了②．【點(diǎn)評】本題主要考查直線與雙曲線的綜合，考查邏輯推理能力，屬于難題．3．（2024?莆田模擬）已知橢圓C：x23+y22=1的右焦點(diǎn)為F，過F的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，過F與l垂直的直線交C于D，E兩點(diǎn)，M（1）證明：直線MN過定點(diǎn)；（2）若直線AB，DE的斜率均存在，求△FMN面積的最大值．【考點(diǎn)】橢圓的定點(diǎn)及定值問題．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）證明見解答；（2）425【分析】（1）設(shè)AB的方程為y＝k（x﹣1），與橢圓方程聯(lián)立，由根與系數(shù)的關(guān)系可表示出點(diǎn)M的坐標(biāo)，同理可表示出N的坐標(biāo)，分k≠±1和k＝±1兩種情況即可證明直線MN過定點(diǎn)；（2）由面積公式及基本不等式即可求解△FMN面積的最大值．【解答】（1）證明：由題意知，F(xiàn)（1，0）．當(dāng)直線AB，DE的斜率均存在時(shí)，設(shè)AB的斜率為k，則DE的斜率為-1設(shè)AB的方程為y＝k（x﹣1）．由y=k(x-1)x23+y22=1，得（3k2+2）x2﹣6k2x所以xM=x即M(3因?yàn)镈E⊥AB，所以直線DE：同理可得N(3當(dāng)k≠±1時(shí)，kMN此時(shí)直線MN的方程為y-2k2這表明，直線MN過定點(diǎn)(3當(dāng)k＝±1時(shí)，M(35，-25)直線MN的方程均為x=35，直線MN過點(diǎn)當(dāng)直線AB或DE的斜率不存在時(shí)，易知直線MN為方程均為y＝0，也過點(diǎn)(3綜上，直線MN過定點(diǎn)(3（2）解：由（1）知直線MN過定點(diǎn)G(3所以S△FMNS△FMN=2(|k|+因?yàn)閗∈R，且k≠0，所以|k|+1|k|≥2，當(dāng)且僅當(dāng)k所以6(|k|+1所以S△FMN≤425，當(dāng)且僅當(dāng)|k所以△FMN面積的最大值為425【點(diǎn)評】本題主要考查橢圓的中恒過定點(diǎn)問題以及最值問題，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題．4．（2024?回憶版）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)P（4，0）的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，N為線段FP的中點(diǎn)，直線NB與MF交于Q，證明：AQ⊥y軸．【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓的幾何特征．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合橢圓的定義，以及勾股定理，求出a，再結(jié)合橢圓的性質(zhì)，求出b，即可求解；（2）結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，推得λx2=4+4λ-x1λy2=-y1【解答】解：（1）設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為F1，點(diǎn)M（1，32）在橢圓C上，且MF⊥x則|F1F|＝2，|MF|=3由勾股定理可知，|MF故2a＝|MF1|+|MF|＝4，解得a2＝4，b2＝a2﹣1＝3，故橢圓C的方程為x2（2）證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AP→則x1+λx2又由3x12+4結(jié)合①②可得，5λ﹣2λx2+3＝0，P（4，0），F(xiàn)（1，0），N(52，0)，B（x2則直線NB的方程為y﹣0=yMF⊥x軸，直線NB與MF交于Q，則xQ＝1，故yQ故AQ⊥y軸．【點(diǎn)評】本題主要考查直線與橢圓的綜合，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．5．（2024?棗莊模擬）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為（1）若雙曲線C的離心率為3，虛軸長為22，求雙曲線C（2）設(shè)a＝1，b=3，若l的斜率存在，且(F1（3）設(shè)l的斜率為35，|OA→【考點(diǎn)】雙曲線與平面向量．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）（±3，0）；（2）±155（3）x2-y2【分析】（1）由題意可得：e=ca=1+b2a2=3，2b＝2（2）a＝1，b=3，可得雙曲線C的方程為x2-y23=1，c＝2．設(shè)直線l的方程為y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），把y＝k（x﹣2）代入雙曲線C的方程可得關(guān)于x的一元二次方程，Δ＞0，由(F1A→+F1B→)?AB→=0，可得（x1+x2+4）?（x2﹣x（3）由|OA→+OB→|=|OA→-OB→|=4，可得OA→?OB→=0，OA⊥OB，|AB|＝4．直線l的方程為y=35（x﹣c），A（x1，y1），B（x2，y2），把直線l的方程代入雙曲線方程可得：（5b2﹣3a2）x2+6a【解答】解：（1）由題意可得：e=ca=1+b2a解得b=2，a＝1，c=∴雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±3，0）；（2）a＝1，b=3，∴雙曲線C的方程為x2-y23=1設(shè)直線l的方程為y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），把y＝k（x﹣2）代入雙曲線C的方程可得：（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3＝0，3﹣k2≠0，Δ＝16k4﹣4（3﹣k2）（﹣4k2﹣3）＝36（k2+1）＞0，則x1+x2=-4k23-k2∵(F∴（x1+x2+4，y1+y2）?（x2﹣x1，y2﹣y1）＝0，∴（x1+x2+4）?（x2﹣x1）+（y1+y2）?（y2﹣y1）＝0，∴x1+x2+4+k2（x1+x2﹣4）＝0，∴4-4k23-k2+k化為：k2=35，解得k＝±35（3）由|OA可得OA→?OB→=0，∴OA⊥OB，|AB|直線l的方程為y=35（x﹣c），A（x1，y1），B（x2，y把直線l的方程代入雙曲線方程可得：（5b2﹣3a2）x2+6a2cx﹣3a2c2﹣5b2a2＝0，Δ＞0，x1+x2=-6a2c5b∵OA→?OB→=0，∴x1x2+y1y2＝0，x1x2+35（x1﹣c）（x2化為8x1x2﹣3c（x1+x2）+3c2＝0，∴8×-3a2c2-5a2b25化為b2＝3a2，c2＝4a2，∴b=3a，c＝2a∴x1+x2=-6a2c5b2-3a∴4=(1+解得a＝1，b=3∴雙曲線C的方程為x2-y2【點(diǎn)評】本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與雙曲線相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、方程的解法、向量數(shù)量積性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．6．（2024?朝陽區(qū)一模）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的離心率為22，A，B分別是（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)N在直線x＝2上，N，P分別在x軸的兩側(cè)，且△APB與△NBP的面積相等．（i）求證：直線ON與直線AP的斜率之積為定值；（ⅱ）是否存在點(diǎn)P使得△APB≌△NBP，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．【考點(diǎn)】橢圓的定點(diǎn)及定值問題．【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（Ⅰ）x2（Ⅱ）（i）證明過程見詳解；（ii）不存在點(diǎn)P使得△APB?△NBP．【分析】（Ⅰ）由△PAB的面積的最大值可得ab的值，再由離心率的值，可得a，b的關(guān)系，進(jìn)而求出a，b的值，即求出橢圓的方程；（Ⅱ）（i）設(shè)N，P的坐標(biāo)，由△APB與△NBP的面積相等，可得N的縱坐標(biāo)與P的坐標(biāo)的關(guān)系，求出直線ON，AP的斜率之積，整理可證得ON，AP的斜率之積為定值；（ii）存在點(diǎn)P使得△APB≌△NBP，由（i）可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣2，由題意可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)不等于﹣2，可得假設(shè)不成立．【解答】解：（Ⅰ）由題知S△APB的最大值為12ab=22e=ca=22a所以E的方程為：x2（Ⅱ）設(shè)N（2，t），P（x0，y0）（x0≠±2），則y0t＜0，證明：（i）由題知SΔAPB＝SΔNBP，所以12|AB||y0|=12|BN|（2﹣即|t|=4|y0|設(shè)直線ON的斜率為kON，直線AP的斜率為kAP，所以kON所以直線ON與直線AP的斜率之積為定值﹣1；（ii）假設(shè)存在點(diǎn)P使得△APB≌△NBP，因?yàn)閨AB|，|AP|，|NP|＞|NB|，|BP|＝|BP|，所以|AP|＝|NB|，由（i）可知t=-4y02-x所以(x0+2所以(x0+2整理得(x0+2)48+2x02=0，解得所以不存在點(diǎn)P使得△APB?△NBP．【點(diǎn)評】本題考查橢圓的方程的求法及直線與橢圓的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．7．（2024?云南一模）已知拋物線C的焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上，頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)O．P是圓O：x2+y2＝3與C的一個(gè)交點(diǎn)，|PF|=32．A、B是C上的動(dòng)點(diǎn)，且A、B在x軸兩側(cè)，直線AB與圓O相切，線段OA、線段OB分別與圓O相交于點(diǎn)M、（1）求C的方程；（2）△OMN的面積是否存在最大值？若存在，求使△OMN的面積取得最大值的直線AB的方程；若不存在，請說明理由．【考點(diǎn)】直線與拋物線的綜合．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）y2＝2x；（2）存在，3x±【分析】（1）由拋物線的性質(zhì)結(jié)合已知條件列方程即可求解；（2）設(shè)直線AB的方程為x＝ty+m，A(y122，y1【解答】解：（1）由已知，設(shè)拋物線C的方程為y2又P是拋物線C與圓O：x2+y2＝3的一個(gè)交點(diǎn)，∴yP∴p2﹣2p+1＝0，解方程得p＝1，∴C的方程為y2＝2x；（2）由（1）知拋物線C的方程為y2＝2x，由題設(shè)直線AB的方程為x＝ty+m，A(y則OA→=(y聯(lián)立方程y2=2x，x=ty+m得y2﹣2ty﹣2m＝∴y1+y2＝2t，y1y2＝﹣2m，∵直線AB與圓O相切，∴|m|1+t2=3，化簡得t2=m2-33，又A，B在x則t∴S=1∵0＜∠AOB＜π，∴當(dāng)sin∠AOB＝1，即∠AOB=此時(shí)OA⊥OB，則OA→又OA→解得m＝0或m＝2，又m≥3，則m＝此時(shí)t2=m∴△OMN的面積存在最大值，此時(shí)直線AB的方程為x±33【點(diǎn)評】本題考查了直線與圓錐曲線的應(yīng)用，屬于難題．8．（2024?回憶版）已知A（0，3）和P（3，32）為橢圓C：x2a2+y2b（1）求C的離心率；（2）若過P的直線l交C于另一點(diǎn)B，且△ABP的面積為9，求l的方程．【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）12；（2）y=12【分析】（1）根據(jù)聯(lián)立關(guān)于a，b的方程組，再利用離心率公式得解；（2）分直線l的斜率不存在及存在兩種情況，結(jié)合△ABP的面積為9，可得答案．【解答】解：（1）依題意，9b2=1則離心率e=1-（2）由（1）可知，橢圓C的方程為x2當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝3，易知此時(shí)B(3，-點(diǎn)A到直線PB的距離為3，則S△ABP當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y-32設(shè)P（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立y=k(x-3)+32x212+y29=1，消去y整理可得，（4k2+3）x2﹣（24k2﹣12k）則x1由弦長公式可得，|PB|=1+點(diǎn)A到直線l的距離為d=|3k+則12解得k=12或則直線l的方程為y=12x【點(diǎn)評】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查直線與橢圓的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．9．（2024?開封模擬）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b（1）求C的離心率；（2）射線AF1與C交于點(diǎn)B，且|AB|=83，求△ABF【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；橢圓的幾何特征．【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）22（2）8．【分析】（1）由橢圓可得AF1→?AF2→（2）由（1）可得a與c，b與c的關(guān)系，設(shè)直線AF1的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，求出|AB|的表達(dá)式，由題意可得c，a的值，由橢圓的性質(zhì)可得△ABF2的周長為4a，即求出三角形的周長．【解答】解：（1）上頂點(diǎn)為A，且AF可得（﹣c，﹣b）?（c，﹣b）＝0，即b2＝c2，即a2﹣c2＝c2，所以離心率e=c（2）由（1）可得b＝c，a=2c射線AF1的方程為y=bcx+b＝x+聯(lián)立y=x+cx22c2+y2c解得x＝0或x=-43c，則y＝c或y＝x+c即B（-43c，-所以|AB|=(-43解得c=2則a＝2，所以△ABF2的周長為4a＝8．【點(diǎn)評】本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用及橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．10．（2024?商洛模擬）如圖，已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左頂點(diǎn)為A（﹣2，0），離心率為32，M，N是直線l：x＝（1）記直線AM，AN的斜率分別為k1、k2，求k1?k2的值；（2）求點(diǎn)O到直線BC的距離的最大值．【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；橢圓的幾何特征．【專題】分類討論；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）-19；（2）【分析】（1）利用斜率公式及兩直線垂直的條件即可求解；（2）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可求得橢圓方程，當(dāng)直線BC的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線BC的方程，并將其與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合（1）的結(jié)論，推出直線BC過定點(diǎn)；當(dāng)直線BC的斜率不存在時(shí)，寫出直線AM、AN的方程，從而得B，C的坐標(biāo)，進(jìn)而知直線BC的方程與所過定點(diǎn)，再求得該定點(diǎn)與點(diǎn)O之間的距離，即可得解．【解答】解：（1）設(shè)M（1，t），N（1，n），則kOM因?yàn)镺M⊥ON，所以kOM?kON＝tn＝﹣1，因?yàn)閗1所以k1（2）由題意知，a=2ca=所以橢圓E的方程為x2當(dāng)直線BC的斜率存在時(shí)，設(shè)直線BC的方程為y＝kx+m，B（x1，y1），C（x2，y2），聯(lián)立y=kx+mx24+y2=1，得（1+4k2）x2+8kmx+4所以x1+x2=-8km1+4k2，x1x2=4m2-41+4k2，Δ＝（8km）2﹣4（所以y1由（1）知k1所以kAB?kAC=y1y2(x1+2)(x2+2)=-19，整理得9y1y2+x1所以9×m2-4k21+4k2+4m2-4即（13m+10k）（m﹣2k）＝0，解得m=-1013k或m當(dāng)m＝2k時(shí)，直線BC的方程為y＝k（x+2），過定點(diǎn)A（﹣2，0），不符合題意，舍去；當(dāng)m=-1013k時(shí)，直線BC的方程為當(dāng)直線BC的斜率不存在時(shí)，由對稱性知，M，N關(guān)于x軸對稱，所以M（1，t），N（1，﹣t），因?yàn)镺M⊥ON，所以﹣t2＝﹣1，即t＝±1，不妨取M（1，1），N（1，﹣1），因?yàn)锳（﹣2，0），所以直線AM的方程為y=1聯(lián)立y=13(x+2)x24+y2=1，得13x2+16x﹣所以B(10同理可得C(10此時(shí)直線BC的方程為x=1013，過定點(diǎn)綜上，直線BC過定點(diǎn)P(10因?yàn)閨OP|=10所以點(diǎn)O到直線BC的距離的最大值為1013【點(diǎn)評】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，熟練掌握橢圓的幾何性質(zhì)，靈活運(yùn)用韋達(dá)定理，將問題轉(zhuǎn)化為求直線BC所過定點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于難題．

考點(diǎn)卡片1．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【知識點(diǎn)的認(rèn)識】橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式：（1）x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（±c，0），焦距|（2）y2a2+x2b2=1（a＞b＞0），焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，±c），焦距|兩種形式相同點(diǎn)：形狀、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2兩種形式不同點(diǎn)：位置不同；焦點(diǎn)坐標(biāo)不同．標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2+y2b中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上y2a2+x2b中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上圖形頂點(diǎn)A（a，0），A′（﹣a，0）B（0，b），B′（0，﹣b）A（b，0），A′（﹣b，0）B（0，a），B′（0，﹣a）對稱軸x軸、y軸，長軸長2a，短軸長2b焦點(diǎn)在長軸長上x軸、y軸，長軸長2a，短軸長2b焦點(diǎn)在長軸長上焦點(diǎn)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b2|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b2離心率e=ca（0＜e＜e=ca（0＜e＜準(zhǔn)線x＝±ay＝±a2．根據(jù)abc及其關(guān)系式求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【知識點(diǎn)的認(rèn)識】已知橢圓的方程中abc及其關(guān)系，可以直接代入標(biāo)準(zhǔn)方程中．關(guān)系式c2＝a2﹣b2可用于計(jì)算焦距．【解題方法點(diǎn)撥】1．確定a和b：從題目中給定的a和b得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．2．代入公式：標(biāo)準(zhǔn)方程形式為：x【命題方向】﹣給定a和b，直接求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．﹣利用a和b的關(guān)系確定標(biāo)準(zhǔn)方程．3．橢圓的幾何特征【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．橢圓的范圍2．橢圓的對稱性3．橢圓的頂點(diǎn)頂點(diǎn)：橢圓與對稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)．頂點(diǎn)坐標(biāo)（如上圖）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，線段A1A2，B1B2分別為橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長．4．橢圓的離心率①離心率：橢圓的焦距與長軸長的比ca叫做橢圓的離心率，用e表示，即：e=ca，且0＜e②離心率的意義：刻畫橢圓的扁平程度，如下面兩個(gè)橢圓的扁平程度不一樣：e越大越接近1，橢圓越扁平，相反，e越小越接近0，橢圓越圓．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，c＝0，橢圓變?yōu)閳A，方程為x2+y2＝a2．5．橢圓中的關(guān)系：a2＝b2+c2．4．直線與橢圓的綜合【知識點(diǎn)的認(rèn)識】直線與橢圓的位置判斷：將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去x（或y）的一元二次方程，則：直線與橢圓相交?Δ＞0；直線與橢圓相切?Δ＝0；直線與橢圓相離?Δ＜0；【解題方法點(diǎn)撥】（1）直線與橢圓位置關(guān)系的判斷方法①聯(lián)立方程，借助一元二次方程的判別式來判斷；②借助直線和橢圓的幾何性質(zhì)來判斷．根據(jù)直線系方程抓住直線恒過定點(diǎn)的特征，將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)和橢圓的位置關(guān)系，也是解決此類問題的難點(diǎn)所在．（2）弦長的求法設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（x1，y1），B（x2，y2），則|AB|=(1+k2注意：利用公式計(jì)算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式．（3）中點(diǎn)弦、弦中點(diǎn)常見問題①過定點(diǎn)被定點(diǎn)平分的弦所在直線的方程；②平行弦中點(diǎn)的軌跡；③過定點(diǎn)的弦的中點(diǎn)的軌跡．解決有關(guān)弦及弦中點(diǎn)問題常用方法是“韋達(dá)定理”和“點(diǎn)差法”，這兩種方法的前提都必須保證直線和橢圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．（4）橢圓切線問題①直線與橢圓相切，有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；②過橢圓外一點(diǎn)可以作兩條直線與橢圓相切；③過橢圓上一點(diǎn)只能作一條切線．（5）最值與