2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（多選題）：統(tǒng)計(jì)（10題）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（多選題）：統(tǒng)計(jì)（10題）一．多選題（共10小題）（多選）1．（2024?邵陽(yáng)三模）為了解一片經(jīng)濟(jì)林的生長(zhǎng)情況，隨機(jī)抽取了其中60株樹(shù)木，測(cè)量底部周長(zhǎng)（單位：cm），所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[80，130]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示，則（）A．圖中a的值為0.025 B．樣本中底部周長(zhǎng)不小于110cm的樹(shù)木有12株 C．估計(jì)該片經(jīng)濟(jì)林中樹(shù)木的底部周長(zhǎng)的80%分位數(shù)為115 D．估計(jì)該片經(jīng)濟(jì)林中樹(shù)木的底部周長(zhǎng)的平均數(shù)為104（每組數(shù)據(jù)用該組所在區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）（多選）2．（2024?莆田模擬）若正整數(shù)數(shù)據(jù)組x1，x2，…，x7的平均數(shù)和中位數(shù)均為3，且該組數(shù)據(jù)中有唯一的眾數(shù)4，則（）A．該組數(shù)據(jù)的極差為2 B．該組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)是2 C．去掉一個(gè)最大數(shù)和一個(gè)最小數(shù)之后，剩余5個(gè)數(shù)的平均數(shù)變大 D．去掉一個(gè)最大數(shù)和一個(gè)最小數(shù)之后，剩余5個(gè)數(shù)的方差不變（多選）3．（2024?金安區(qū)校級(jí)模擬）從某小區(qū)抽取100戶居民用戶進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在50～350KW?h之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開(kāi)區(qū)間），畫(huà)出頻率分布直方圖如圖所示，記直方圖中六個(gè)小矩形的面積從左到右依次為si（i＝1，2，…，6），則（）A．x的值為0.0044 B．這100戶居民該月用電量的中位數(shù)為175 C．用電量落在區(qū)間[150，350）內(nèi)的戶數(shù)為75 D．這100戶居民該月的平均用電量為i=1（多選）4．（2024?福清市校級(jí)模擬）下列說(shuō)法中，正確的是（）A．?dāng)?shù)據(jù)40，27，32，30，38，54，31，50的第50百分位數(shù)為32 B．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（2，δ2），P（ξ＜4）＝0.84，則P（2＜ξ＜4）＝0.34 C．已知兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程為y?=a?+b?x，若D．若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的方差為2，則數(shù)據(jù)2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的方差為4（多選）5．（2024?安徽二模）已知由樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，3，?，10）組成的一個(gè)樣本，得到回歸直線方程為y?=-x+3，且x=4．剔除一個(gè)偏離直線較大的異常點(diǎn)（﹣5，﹣1）后，得到新的回歸直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（6A．相關(guān)變量x，y具有正相關(guān)關(guān)系 B．剔除該異常點(diǎn)后，樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值變大 C．剔除該異常點(diǎn)后的回歸直線方程經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5，﹣1） D．剔除該異常點(diǎn)后，隨x值增加相關(guān)變量y值減小速度變?。ǘ噙x）6．（2024?南海區(qū)校級(jí)模擬）已知10個(gè)樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，設(shè)剩下的8個(gè)樣本數(shù)據(jù)的方差為s12，平均數(shù)x1；最大和最小兩個(gè)數(shù)據(jù)的方差為s22，平均數(shù)x2；原樣本數(shù)據(jù)的方差為SA．剩下的8個(gè)樣本數(shù)據(jù)與原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)不變 B．x=C．剩下8個(gè)數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)大于原樣本數(shù)據(jù)的下四分位數(shù) D．S（多選）7．（2024?安徽模擬）已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5（x1＜0，x2，x3，x4，x5＞0）的方差為s2，平均數(shù)x＞A．?dāng)?shù)據(jù)3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的方差為9s2 B．?dāng)?shù)據(jù)3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均數(shù)大于0 C．?dāng)?shù)據(jù)x2，x3，x4，x5的方差大于s2 D．?dāng)?shù)據(jù)x2，x3，x4，x5的平均數(shù)大于x（多選）8．（2024?衡水一模）已知10個(gè)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是31，則下列說(shuō)法正確的是（）A．這10個(gè)數(shù)據(jù)中至少有8個(gè)數(shù)小于或等于31 B．把這10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，第8個(gè)數(shù)據(jù)是31 C．把這10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，第7個(gè)與第8個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是31 D．把這10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，第6個(gè)與第7個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是31（多選）9．（2024?安徽模擬）某實(shí)驗(yàn)室搜集了大量的A，B兩種相似物種，記錄其身長(zhǎng)為x（單位：cm）與體重y（單位：kg）．得A，B兩物種的平均身長(zhǎng)分別為xA=5.2，x0=6，標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.3，0.1．令A(yù)，B兩物種的平均體重分別為yA，yB．若A，B兩物種其體重y對(duì)身長(zhǎng)x的回歸直線方程分別為lA：y?=2x﹣0.6，lB：y?=1.5x+0.4，相關(guān)系數(shù)分別為0.6，0.3．現(xiàn)發(fā)現(xiàn)A．yAB．A物種的體重標(biāo)準(zhǔn)差大于B物種的體重標(biāo)準(zhǔn)差 C．點(diǎn)（5.6，8.6）到直線lA的距離小于其到直線lB的距離 D．點(diǎn)（5.6，8.6）與點(diǎn)(xA，（多選）10．（2024?三門(mén)峽一模）袋子中有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取5次，每次取一個(gè)球．記錄每次取到的數(shù)字，統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)這5個(gè)數(shù)字的平均數(shù)為2，方差小于1，則（）A．可能取到數(shù)字4 B．中位數(shù)可能是2 C．極差可能是4 D．眾數(shù)可能是2

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（多選題）：統(tǒng)計(jì)（10題）參考答案與試題解析一．多選題（共10小題）（多選）1．（2024?邵陽(yáng)三模）為了解一片經(jīng)濟(jì)林的生長(zhǎng)情況，隨機(jī)抽取了其中60株樹(shù)木，測(cè)量底部周長(zhǎng)（單位：cm），所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[80，130]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示，則（）A．圖中a的值為0.025 B．樣本中底部周長(zhǎng)不小于110cm的樹(shù)木有12株 C．估計(jì)該片經(jīng)濟(jì)林中樹(shù)木的底部周長(zhǎng)的80%分位數(shù)為115 D．估計(jì)該片經(jīng)濟(jì)林中樹(shù)木的底部周長(zhǎng)的平均數(shù)為104（每組數(shù)據(jù)用該組所在區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）【考點(diǎn)】畫(huà)頻率分布直方圖．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】AC【分析】根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，以及平均數(shù)和百分位數(shù)，以及頻數(shù)與頻率的計(jì)算方法，逐項(xiàng)判定，即可求解．【解答】解：對(duì)于A中，由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得（0.015+a+0.030+0.020+0.010）×10＝1，解得a＝0.025，故A正確；對(duì)于B中，不小于110cm的頻數(shù)為（0.020+0.010）×10＝0.3，所以不小于110cm的樹(shù)木有0.3×60＝18株，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，前三個(gè)矩形的面積為（0.015+0.025+0.030）×10＝0.7，前四個(gè)矩形的面積為（0.015+0.025+0.030+0.020）×10＝0.9，所以80%分位數(shù)位于區(qū)間[110，120），則110+0.0100.020×10=115對(duì)于D中，估計(jì)平均數(shù)為：（85×0.015+95×0.025+105×0.030+115×0.020+125×0.010）×10＝103.5，故D錯(cuò)誤．故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)，考查了百分位數(shù)和平均數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．（多選）2．（2024?莆田模擬）若正整數(shù)數(shù)據(jù)組x1，x2，…，x7的平均數(shù)和中位數(shù)均為3，且該組數(shù)據(jù)中有唯一的眾數(shù)4，則（）A．該組數(shù)據(jù)的極差為2 B．該組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)是2 C．去掉一個(gè)最大數(shù)和一個(gè)最小數(shù)之后，剩余5個(gè)數(shù)的平均數(shù)變大 D．去掉一個(gè)最大數(shù)和一個(gè)最小數(shù)之后，剩余5個(gè)數(shù)的方差不變【考點(diǎn)】百分位數(shù)；平均數(shù)；中位數(shù)．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】BC【分析】易知該組數(shù)據(jù)為1，2，3，3，4，4，4，再根據(jù)極差、百分位數(shù)、平均數(shù)和方差的定義求解．【解答】解：易知該組數(shù)據(jù)為1，2，3，3，4，4，4，所以極差為4﹣1＝3，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?×25%＝1.75，所以該組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)是2，故B正確；去掉1和4后，平均數(shù)為2+3+3+4+45=所以去掉一個(gè)最大數(shù)和一個(gè)最小數(shù)之后，剩余5個(gè)數(shù)的平均數(shù)變大，故C正確；去掉1和4后，數(shù)據(jù)的離散程度變小，所以方差變小，故D錯(cuò)誤．故選：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平均數(shù)、中位數(shù)、極差和方差的定義，屬于基礎(chǔ)題．（多選）3．（2024?金安區(qū)校級(jí)模擬）從某小區(qū)抽取100戶居民用戶進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在50～350KW?h之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開(kāi)區(qū)間），畫(huà)出頻率分布直方圖如圖所示，記直方圖中六個(gè)小矩形的面積從左到右依次為si（i＝1，2，…，6），則（）A．x的值為0.0044 B．這100戶居民該月用電量的中位數(shù)為175 C．用電量落在區(qū)間[150，350）內(nèi)的戶數(shù)為75 D．這100戶居民該月的平均用電量為i=1【考點(diǎn)】頻率分布直方圖的應(yīng)用．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】AD【分析】根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)可判斷AC，根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的定義可判斷BD．【解答】解：對(duì)于A，由頻率分布直方圖的性質(zhì)可知，（0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012）×50＝1，解得x＝0.0044，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?.0024+0.0036）×50＝0.3＜0.5，（0.0024+0.0036+0.0060）×50＝0.6＞0.5，所以中位數(shù)落在區(qū)間[150，200）內(nèi)，設(shè)其為m，則0.3+（m﹣150）×0.006＝0.5，解得m≈183，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，用電量落在區(qū)間[150，350）內(nèi)的戶數(shù)為（0.0060+0.0044+0.0024+0.0012）×50×100＝70，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，這100戶居民該月的平均用電量為（50+25）s1+（50×2+25）s2+…+（50×6+25）s6=i=16(50i+25)s故選：AD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了中位數(shù)和平均數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．（多選）4．（2024?福清市校級(jí)模擬）下列說(shuō)法中，正確的是（）A．?dāng)?shù)據(jù)40，27，32，30，38，54，31，50的第50百分位數(shù)為32 B．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（2，δ2），P（ξ＜4）＝0.84，則P（2＜ξ＜4）＝0.34 C．已知兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程為y?=a?+b?x，若D．若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的方差為2，則數(shù)據(jù)2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的方差為4【考點(diǎn)】經(jīng)驗(yàn)回歸方程與經(jīng)驗(yàn)回歸直線；正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義；用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)；百分位數(shù)．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】BC【分析】求出樣本的中位數(shù)判定A；利用正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性求概率判定B；由線性回歸方程恒過(guò)樣本點(diǎn)的中心求解a?判定C；利用方差公式求解判斷D【解答】解：數(shù)據(jù)40，27，32，30，38，54，31，50按從小到大排列為：27，30，31，32，38，40，50，54，改組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)即為中位數(shù)，等于32+382=35，故已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（2，δ2），P（ξ＜4）＝0.84，則P（2＜ξ＜4）=1-2×0.162=0.34已知兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程為y?=a?+b?則a?=3-2×1=1，故若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的方差為2，則數(shù)據(jù)2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的方差為222×2＝8，故D錯(cuò)誤．故選：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查統(tǒng)計(jì)及其有關(guān)概念，熟記公式是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．（多選）5．（2024?安徽二模）已知由樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，3，?，10）組成的一個(gè)樣本，得到回歸直線方程為y?=-x+3，且x=4．剔除一個(gè)偏離直線較大的異常點(diǎn)（﹣5，﹣1）后，得到新的回歸直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（6A．相關(guān)變量x，y具有正相關(guān)關(guān)系 B．剔除該異常點(diǎn)后，樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值變大 C．剔除該異常點(diǎn)后的回歸直線方程經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5，﹣1） D．剔除該異常點(diǎn)后，隨x值增加相關(guān)變量y值減小速度變小【考點(diǎn)】經(jīng)驗(yàn)回歸方程與經(jīng)驗(yàn)回歸直線．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】BC【分析】利用回歸直線方程的斜率判斷A；根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)判斷B；求出去除異常點(diǎn)后的回歸直線方程，再分別計(jì)算判斷CD．【解答】解：由回歸直線方程的斜率為﹣1，知變量x，y具有負(fù)相關(guān)關(guān)系，A錯(cuò)誤；剔除一個(gè)偏離直線較大的異常點(diǎn)（﹣5，﹣1）后，擬合程度變大，故樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值變大，B正確；回歸直線方程為y?=-x+3，且x=4，則剔除一個(gè)偏離直線較大的異常點(diǎn)（﹣5，﹣1）后，得到新的x=4×10+59=5故剔除該異常點(diǎn)后的回歸直線方程經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5，﹣1），C正確；新的回歸直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（6，﹣4），列方程組-1=b?×5+a?-4=故剔除該異常點(diǎn)后的回歸直線方程為y?斜率由﹣1變成﹣3，所以剔除該異常點(diǎn)后，隨x值增加相關(guān)變量y值減小速度變大，D錯(cuò)誤．故選：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查回歸方程的應(yīng)用，屬于中檔題．（多選）6．（2024?南海區(qū)校級(jí)模擬）已知10個(gè)樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，設(shè)剩下的8個(gè)樣本數(shù)據(jù)的方差為s12，平均數(shù)x1；最大和最小兩個(gè)數(shù)據(jù)的方差為s22，平均數(shù)x2；原樣本數(shù)據(jù)的方差為SA．剩下的8個(gè)樣本數(shù)據(jù)與原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)不變 B．x=C．剩下8個(gè)數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)大于原樣本數(shù)據(jù)的下四分位數(shù) D．S【考點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)；用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】ABD【分析】設(shè)10個(gè)樣本數(shù)據(jù)從小到大排列分別為x1，x2，x3...x10，再根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)、百分位數(shù)與方差的定義與公式推導(dǎo)即可．【解答】解：設(shè)10個(gè)樣本數(shù)據(jù)從小到大排列分別為x1，x2，x3...x10，則剩下的8個(gè)樣本數(shù)據(jù)為x2，x3...x9．對(duì)于選項(xiàng)A：原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為x5+x62，剩下的8對(duì)于選項(xiàng)B，由題意x1=18(因?yàn)閤1=x故110(x1+對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?×14=2，故剩下8個(gè)數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為12(x3+x4)，又10×14=2.5對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)閤=x1=x2，故故x22+故S2=1故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：頻率分布直方圖，中位數(shù)，均值和方差，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．（多選）7．（2024?安徽模擬）已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5（x1＜0，x2，x3，x4，x5＞0）的方差為s2，平均數(shù)x＞A．?dāng)?shù)據(jù)3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的方差為9s2 B．?dāng)?shù)據(jù)3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均數(shù)大于0 C．?dāng)?shù)據(jù)x2，x3，x4，x5的方差大于s2 D．?dāng)?shù)據(jù)x2，x3，x4，x5的平均數(shù)大于x【考點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)；用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】AD【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷各個(gè)選項(xiàng)即可．【解答】解：對(duì)于A，由方差的性質(zhì)可知，數(shù)據(jù)3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的方差為32×s2＝9s2，故A正確；對(duì)于B，由平均數(shù)的性質(zhì)可知，數(shù)據(jù)3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均數(shù)為3x-2因?yàn)閤＞0，所以3x-2的正負(fù)無(wú)法判斷，故對(duì)于C，因?yàn)閤1＜0，x2，x3，x4，x5＞0，所以x1是這組數(shù)據(jù)中最小的數(shù)，去掉x1后，數(shù)據(jù)顯然更集中，所以數(shù)據(jù)x2，x3，x4，x5的方差小于s2，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，數(shù)據(jù)x2，x3，x4，x5的平均數(shù)為x2因?yàn)閤1＜0，x＞所以x-x所以x+即數(shù)據(jù)x2，x3，x4，x5的平均數(shù)大于x，故D正確．故選：AD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平均數(shù)和方差的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．（多選）8．（2024?衡水一模）已知10個(gè)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是31，則下列說(shuō)法正確的是（）A．這10個(gè)數(shù)據(jù)中至少有8個(gè)數(shù)小于或等于31 B．把這10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，第8個(gè)數(shù)據(jù)是31 C．把這10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，第7個(gè)與第8個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是31 D．把這10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，第6個(gè)與第7個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是31【考點(diǎn)】百分位數(shù)；用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】AB【分析】由百分位數(shù)的概念可判斷．【解答】解：因?yàn)檫@10個(gè)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是31，由10×0.75＝7.5，可知把這10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，第8個(gè)數(shù)為31，可知，選項(xiàng)A，B正確，C，D錯(cuò)誤．故選：AB．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了百分位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．（多選）9．（2024?安徽模擬）某實(shí)驗(yàn)室搜集了大量的A，B兩種相似物種，記錄其身長(zhǎng)為x（單位：cm）與體重y（單位：kg）．得A，B兩物種的平均身長(zhǎng)分別為xA=5.2，x0=6，標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.3，0.1．令A(yù)，B兩物種的平均體重分別為yA，yB．若A，B兩物種其體重y對(duì)身長(zhǎng)x的回歸直線方程分別為lA：y?=2x﹣0.6，lB：y?=1.5x+0.4，相關(guān)系數(shù)分別為0.6，0.3．現(xiàn)發(fā)現(xiàn)A．yAB．A物種的體重標(biāo)準(zhǔn)差大于B物種的體重標(biāo)準(zhǔn)差 C．點(diǎn)（5.6，8.6）到直線lA的距離小于其到直線lB的距離 D．點(diǎn)（5.6，8.6）與點(diǎn)(xA，【考點(diǎn)】經(jīng)驗(yàn)回歸方程與經(jīng)驗(yàn)回歸直線；樣本相關(guān)系數(shù)．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】BD【分析】根據(jù)平均數(shù)的概念，距離公式，針對(duì)各個(gè)問(wèn)題分別求解即可．【解答】解：對(duì)A選項(xiàng)，將xA=5.2，xB=6分別代入方程lA：y＝2x﹣0.6，lB：y＝可得yA=9.8，yB=9.4，∴對(duì)B選項(xiàng)，∵A物種的體重標(biāo)準(zhǔn)差為0.3，B物種的體重標(biāo)準(zhǔn)差為0.1，∴A物種的體重標(biāo)準(zhǔn)差大于B物種的體重標(biāo)準(zhǔn)差，∴B選項(xiàng)正確；對(duì)C選項(xiàng)，∵點(diǎn)（5.6，8.6）到直線lA：y?=2x﹣|2×5.6-0.6-8.6|2點(diǎn)（5.6，8.6）到直線lB：y?=1.5x|1.5×5.6+0.4-8.6|(1.5∴點(diǎn)（5.6，8.6）到直線lA的距離大于其到直線lB的距離，∴C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)D選項(xiàng)，∵點(diǎn)（5.6，8.6）與點(diǎn)(x(5.6-點(diǎn)（5.6，8.6）與點(diǎn)(x(5.6-∴點(diǎn)（5.6，8.6）與點(diǎn)(xA，yA故選：BD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性回歸分析，屬中檔題．（多選）10．（2024?三門(mén)峽一模）袋子中有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取5次，每次取一個(gè)球．記錄每次取到的數(shù)字，統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)這5個(gè)數(shù)字的平均數(shù)為2，方差小于1，則（）A．可能取到數(shù)字4 B．中位數(shù)可能是2 C．極差可能是4 D．眾數(shù)可能是2【考點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)；用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】BD【分析】根據(jù)題意，對(duì)于A、C，利用平均數(shù)、方差和極差的定義分析判斷；對(duì)于B、D，舉例說(shuō)明即可得到答案．【解答】解：設(shè)這5個(gè)數(shù)字為x1，x2，x3，x4，x5，對(duì)于A，若取到數(shù)字4，不妨設(shè)為x1＝4，則它們的平均數(shù)15(4+x2+x3+x4+x5)=2，可得可知這4個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)1，不妨設(shè)為x2＝x3＝1，則這5個(gè)數(shù)字的方差s2=1對(duì)于C：因?yàn)檫@5個(gè)數(shù)字的平均數(shù)為2，這5個(gè)數(shù)字至少有1個(gè)1，不妨設(shè)為x1＝1，若極差是4，這最大數(shù)為5，不妨設(shè)為x2＝5，則這5個(gè)數(shù)字的平均數(shù)x=則x3+x4+x5＝4，可知這3個(gè)數(shù)有2個(gè)1，1個(gè)2，此時(shí)，這5個(gè)數(shù)字的方差s2不合題意，故C錯(cuò)誤；對(duì)于B、D，例如2，2，2，2，2，可知這5個(gè)數(shù)字的平均數(shù)為2，方差為0，符合題意，且中位數(shù)是2，眾數(shù)是2，故B、D正確．故選：BD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平均數(shù)、方差和極差的定義與計(jì)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．正態(tài)曲線及性質(zhì)（1）正態(tài)曲線的定義函數(shù)φμ，σ（x）=12πσe-(x-μ)22σ2，x∈（﹣∞，+∞），其中實(shí)數(shù)μ和σ（σ＞（2）正態(tài)曲線的解析式①指數(shù)的自變量是x定義域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有兩個(gè)常數(shù)：π和e，這是兩個(gè)無(wú)理數(shù)．③解析式中含有兩個(gè)參數(shù)：μ和σ，其中μ可取任意實(shí)數(shù)，σ＞0這是正態(tài)分布的兩個(gè)特征數(shù)．④解析式前面有一個(gè)系數(shù)為12πσ，后面是一個(gè)以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的形式，冪指數(shù)為2．正態(tài)分布（1）正態(tài)分布的定義及表示如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，b（a＜b），隨機(jī)變量X滿足P（a＜X≤b）=abφμ，σ（x）dx，則稱(chēng)X的分布為正態(tài)分布，記作N（μ，（2）正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正態(tài)曲線的性質(zhì)正態(tài)曲線φμ，σ（x）=12πσe-（1）曲線位于x軸上方，與x軸不相交；（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱(chēng)；（3）曲線在x＝μ處達(dá)到峰值12π（4）曲線與x軸圍成的圖形的面積為1；（5）當(dāng)σ一定時(shí)，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；（6）當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．4．三個(gè)鄰域會(huì)用正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值結(jié)合正態(tài)曲線求隨機(jī)變量的概率．落在三個(gè)鄰域之外是小概率事件，這也是對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)的理論依據(jù)．【解題方法點(diǎn)撥】正態(tài)分布是高中階段唯一連續(xù)型隨機(jī)變量的分布，這個(gè)考點(diǎn)雖然不是高考的重點(diǎn)，但在近幾年新課標(biāo)高考中多次出現(xiàn)，其中數(shù)值計(jì)算是考查的一個(gè)熱點(diǎn)，考生往往不注意對(duì)這些數(shù)值的記憶而導(dǎo)致解題無(wú)從下手或計(jì)算錯(cuò)誤．對(duì)正態(tài)分布N（μ，σ2）中兩個(gè)參數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)值及其意義應(yīng)該理解透徹并記住，且注意第二個(gè)數(shù)值應(yīng)該為σ2而不是σ，同時(shí)，記住正態(tài)密度曲線的六條性質(zhì)．【命題方向】題型一：概率密度曲線基礎(chǔ)考察典例1：設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)f（x）的圖象，且f（x）=18πeA．10與8B．10與2C．8與10D．2與10解析：由18πe-(x-10)28=1答案：B．典例2：已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，則P（0＜ξ＜2）等于（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故選C．典例3：已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，則P（X＞4）等于（）A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585解析由正態(tài)曲線性質(zhì)知，其圖象關(guān)于直線x＝3對(duì)稱(chēng)，∴P（X＞4）＝0.5﹣12P（2≤X≤4）＝0.5-12×0.6826＝題型二：正態(tài)曲線的性質(zhì)典例1：若一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為14（1）求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式；（2）求正態(tài)總體在（﹣4，4]的概率．分析：要確定一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是求解析式中的兩個(gè)參數(shù)μ，σ的值，其中μ決定曲線的對(duì)稱(chēng)軸的位置，σ則與曲線的形狀和最大值有關(guān)．解（1）由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，即μ＝0．由12πσ=14φμ，σ（x）=142πe-x（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是正確理解函數(shù)解析式與正態(tài)曲線的關(guān)系，掌握函數(shù)解析式中參數(shù)的取值變化對(duì)曲線的影響．典例2：設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N（μ1，σ12）（σ1＞0）和N（μ2，σ22）（σ2＞0A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析：根據(jù)正態(tài)分布N（μ，σ2）函數(shù)的性質(zhì)：正態(tài)分布曲線是一條關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱(chēng)，在x＝μ處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線；σ越大，曲線的最高點(diǎn)越低且較平緩；反過(guò)來(lái)，σ越小，曲線的最高點(diǎn)越高且較陡峭，故選A．答案：A．題型三：服從正態(tài)分布的概率計(jì)算典例1：設(shè)X～N（1，22），試求（1）P（﹣1＜X≤3）；（2）P（3＜X≤5）；（3）P（X≥5）．分析：將所求概率轉(zhuǎn)化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱(chēng)性求解．解析：∵X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2．（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（1﹣2＜X≤1+2）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．（2）∵P（3＜X≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），∴P（3＜X≤5）=12[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3=12[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2=12[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ=12×（0.9544＝0.1359．（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），∴P（X≥5）=12[1﹣P（﹣3＜X≤5=12[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4=12[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ=12×（1﹣0.9544求服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間取值的概率，只需借助正態(tài)曲線的性質(zhì)，把所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知概率的三個(gè)區(qū)間上．典例2：隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，則P（ξ＜2）＝．解析：由題意可知，正態(tài)分布的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)，所以P（ξ＞2）＝P（ξ＜0）＝0.3，P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7．答案：0.7．題型4：正態(tài)分布的應(yīng)用典例1：2011年中國(guó)汽車(chē)銷(xiāo)售量達(dá)到1700萬(wàn)輛，汽車(chē)耗油量對(duì)汽車(chē)的銷(xiāo)售有著非常重要的影響，各個(gè)汽車(chē)制造企業(yè)積極采用新技術(shù)降低耗油量，某汽車(chē)制造公司為調(diào)查某種型號(hào)的汽車(chē)的耗油情況，共抽查了1200名車(chē)主，據(jù)統(tǒng)計(jì)該種型號(hào)的汽車(chē)的平均耗油為百公里8.0升，并且汽車(chē)的耗油量ξ服從正態(tài)分布N（8，σ2），已知耗油量ξ∈[7，9]的概率為0.7，那么耗油量大于9升的汽車(chē)大約有輛．解析：由題意可知ξ～N（8，σ2），故正態(tài)分布曲線以μ＝8為對(duì)稱(chēng)軸，又因?yàn)镻（7≤ξ≤9）＝0.7，故P（7≤ξ≤9）＝2P（8≤ξ≤9）＝0.7，所以P（8≤ξ≤9）＝0.35，而P（ξ≥8）＝0.5，所以P（ξ＞9）＝0.15，故耗油量大于9升的汽車(chē)大約有1200×0.15＝180輛．點(diǎn)評(píng)：服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在一個(gè)區(qū)間上的概率就是這個(gè)區(qū)間上，正態(tài)密度曲線和x軸之間的曲邊梯形的面積，根據(jù)正態(tài)密度曲線的對(duì)稱(chēng)性，當(dāng)P（ξ＞x1）＝P（ξ＜x2）時(shí)必然有x1+典例2：工廠制造的某機(jī)械零件尺寸X服從正態(tài)分布N（4，19），問(wèn)在一次正常的試驗(yàn)中，取1000個(gè)零件時(shí)，不屬于區(qū)間（3，5]解∵X～N（4，19），∴μ＝4，σ=∴不屬于區(qū)間（3，5]的概率為P（X≤3）+P（X＞5）＝1﹣P（3＜X≤5）＝1﹣P（4﹣1＜X≤4+1）＝1﹣P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝1﹣0.9974＝0.0026≈0.003，∴1000×0.003＝3（個(gè)），即不屬于區(qū)間（3，5]這個(gè)尺寸范圍的零件大約有3個(gè)．2．畫(huà)頻率分布直方圖【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣畫(huà)頻率分布直方圖．【解題方法點(diǎn)撥】﹣繪制：根據(jù)頻率分布表的數(shù)據(jù)，繪制直方圖，確保每個(gè)柱子代表一個(gè)組的頻數(shù)或頻率．﹣調(diào)整：根據(jù)數(shù)據(jù)范圍和組距調(diào)整直方圖的分組和刻度．【命題方向】﹣主要考察如何根據(jù)頻率分布表繪制直方圖及其解釋?zhuān)?．頻率分布直方圖的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣應(yīng)用：用于數(shù)據(jù)的分布可視化，幫助分析數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)、離散程度等．【解題方法點(diǎn)撥】﹣分析：通過(guò)直方圖觀察數(shù)據(jù)的分布特征，識(shí)別數(shù)據(jù)的集中區(qū)域和離散程度．【命題方向】﹣重點(diǎn)考察如何解讀頻率分布直方圖及其對(duì)數(shù)據(jù)分析的貢獻(xiàn)．4．用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的特征數(shù)，只是描述的角度不同，其中以平均數(shù)的應(yīng)用最為廣泛．（1）眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；（2）中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（3）平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即x=2．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)【解題方法點(diǎn)撥】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的選?。海?）平均數(shù)能較好地反映一組數(shù)據(jù)的總體情況；（2）中位數(shù)不受極端值影響，有時(shí)用它代表全體數(shù)據(jù)的中等水平（或一般水平）；（3）眾數(shù)能反映一組數(shù)據(jù)的集中情況（即多數(shù)水平）．根據(jù)頻率分布直方圖估算眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)：（1）眾數(shù)：在頻率分布直方圖中，最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是眾數(shù)．（2）中位數(shù)：在樣本中，有50%的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個(gè)體大于或等于中位數(shù)，因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值．（3）平均數(shù)：是頻率分布直方圖的“重心”，是直方圖的平衡點(diǎn)．平均數(shù)等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積（即落在該組中的頻率）乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)（組中值）之和．5．平均數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣平均數(shù)：數(shù)據(jù)集中所有值的算術(shù)平均，計(jì)算公式為x=【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算：求出數(shù)據(jù)集中所有值的總和，再除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)．【命題方向】﹣主要考察平均數(shù)的計(jì)算和解釋?zhuān)?．中位數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣中位數(shù)：數(shù)據(jù)集中將數(shù)據(jù)分為兩部分的中間值，數(shù)據(jù)需按順序排列．【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算：對(duì)于奇數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)，中位數(shù)為中間值；對(duì)于偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)，中位數(shù)為中間兩個(gè)值的平均．【命題方向】﹣考察中位數(shù)的計(jì)算和在數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用．7．用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】用一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)減去最小數(shù)據(jù)的差來(lái)反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，這個(gè)數(shù)據(jù)就叫極差．一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與平均數(shù)差的平方和的平均數(shù)叫做方差．方差的算術(shù)平方根就為標(biāo)準(zhǔn)差．方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是反映這組數(shù)據(jù)波動(dòng)的大小，方差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大．【解題方法點(diǎn)撥】例：求數(shù)據(jù)98，100，101，102，99的極差，方差，標(biāo)準(zhǔn)差．解：極差是：102﹣98＝4；平均數(shù)x=15（98+100+101+102+99則方差是：S2=15[（98﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+（99﹣100）2]＝標(biāo)準(zhǔn)差S=2可以看出這類(lèi)題考查的基本上是對(duì)概念的理解，根據(jù)概念去解題就可以了．【命題方向】這個(gè)考點(diǎn)很重要，也很容易，所以大家都應(yīng)該好好的看看概念，