2024年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件三角形導(dǎo)角模型

中考復(fù)習(xí)之三角形導(dǎo)角模型整理知識(shí)點(diǎn)1:三角形的有關(guān)概念名稱(chēng)內(nèi)容

三角形由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形.邊組成三角形的線段叫做三角形的邊,三角形的邊可以用一個(gè)小寫(xiě)字母或兩個(gè)大寫(xiě)字母表示,如:a,b,c或BC,CA,AB.頂點(diǎn)相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn)角相鄰兩條邊組成的角,叫做三角形的內(nèi)角,簡(jiǎn)稱(chēng)三角形的角三角形的記法三角形用符號(hào)“△”來(lái)表示,頂點(diǎn)是A,B,C的三角形記作“△ABC”,讀作“三角形ABC”三角形的分類(lèi)按邊分類(lèi):三邊都不相等的三角形和等腰三角形按角分類(lèi):直角三角形和斜角三角形(銳角三角形和鈍角三角形)知識(shí)點(diǎn)二:三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理:三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.如圖,在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°.知識(shí)點(diǎn)三:三角形的外角1.定義:三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角,叫做三角形的外角.2.性質(zhì):(1)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.如圖,∠BAE=∠2+∠3,∠FBC=∠1+∠3,∠ACD=∠1+∠2.(2)三角形的外角大于任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角.三角形的三邊關(guān)系文字語(yǔ)言數(shù)學(xué)語(yǔ)言理論依據(jù)應(yīng)用圖形三角形任意兩邊之和大于第三邊在△ABC中,兩點(diǎn)之間,線段最短(1)判斷三條線段能否組成三角形三角形任意兩邊之差小于第三邊在△ABC中,(2)已知三角形的兩邊,求第三邊的取值范圍三角形的角平分線,中線和高線三角形的角平分線三角形的中線三角形的高線三角形的“三線”的交點(diǎn)中線交點(diǎn)角平分線交點(diǎn)高線交點(diǎn)在三角形中,一個(gè)內(nèi)角的角平分線與它對(duì)邊相交,這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.連結(jié)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與該頂點(diǎn)的對(duì)邊中點(diǎn)的線段,叫做三角形的中線.從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線,頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線.一個(gè)三角形有三條中線,三條高線,三條角平分線,它們所在的直線都分別交于同一點(diǎn).三條中線交于三角形內(nèi)部,稱(chēng)為三角形的重心.三條角平分線交于三角形內(nèi)部,稱(chēng)為三角形的內(nèi)心.銳角三角形三條高都在內(nèi)部,直角三角形其中兩條邊就是直角邊,鈍角三角形兩條高在外部.三高的交點(diǎn)叫垂心.三角形具有穩(wěn)定性,而四邊形沒(méi)有穩(wěn)定性.當(dāng)三角形的三條邊長(zhǎng)確定時(shí),三角形的形狀,大小完全確定,這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.8字模型(蝴蝶模型)模型巧記:見(jiàn)8字,對(duì)頂外,剩余兩角和相等.∠A+∠B=∠C+∠D模型講解結(jié)論:如圖,AC與BD相交于點(diǎn)O,則∠A+∠B=∠C+∠D.拓展模型1(8字加角平分線)

拓展模型2(8字加等分線)

A字模型模型巧記:見(jiàn)A字,就求角,“兩個(gè)外角的和=180°+頂角”.什么是A字模型像上面這種,形似大寫(xiě)字母“A”字的圖形,只要涉及到求角度的問(wèn)題,就可以用A字模型去求解.模型講解結(jié)論:如圖所示,∠ADE的兩邊上各有一點(diǎn)B,C,連結(jié)BC,∠DBC+∠ECB=180°+∠A.(風(fēng)箏模型)鷹爪模型模型巧記:腋下兩角之和等于上下兩角之和.或腋下兩角之差等于上下兩角之和.模型講解結(jié)論:如圖所示,∠A+∠BFC=∠DBF+∠FCE.

F1）鷹爪模型（變形）：結(jié)論：∠A+∠O=∠2-∠1。模型3.角內(nèi)（外）翻模型條件:如圖4,將三角形紙片ABC沿EF邊折疊,當(dāng)點(diǎn)C落在四邊形ABFE外部時(shí),結(jié)論:2∠C=∠2-∠1。條件:如圖3,將三角形紙片ABC沿EF邊折疊,當(dāng)點(diǎn)C落在四邊形ABFE內(nèi)部時(shí),結(jié)論：2∠C=∠1+∠2；飛鏢模型(燕尾模型)模型巧記:見(jiàn)到飛鏢,有四個(gè)角,三個(gè)角的和等于最大的那個(gè)角.什么是飛鏢模型如圖,形似上圖這種的三角形飛鏢的圖形,我們統(tǒng)稱(chēng)為飛鏢模型.這里會(huì)出現(xiàn)四個(gè)角,分別是∠A,∠B,∠C.以及∠BDC.什么是燕尾模型如圖,像上圖這種形似燕子的剪刀尾巴的這種圖形,我們統(tǒng)稱(chēng)為燕尾模型.結(jié)論:如圖所示,已知凹四邊形ABCD,結(jié)論1:∠BDC=∠A+∠B+∠C.結(jié)論2:AB+AC＞BD+CD.模型講解

雙角平分線模型模型巧記:內(nèi)內(nèi)90°加一半,外外90°減一半,內(nèi)外就一半.模型講解:兩內(nèi)角平分線的夾角模型

當(dāng)這兩個(gè)角為內(nèi)角時(shí)，這夾角等于90°與第三個(gè)角的一半的和。2)凸多邊形雙內(nèi)角平分線的夾角模型1條件：如圖2,BP、CP平分∠ABC、∠DCB,兩條角平分線相交于點(diǎn)P;結(jié)論：2∠P=∠A+∠D。

模型講解當(dāng)這兩個(gè)角為外角時(shí)，這夾角等于90°與第三個(gè)角的一半的差2）旁心模型旁心：三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個(gè)角的外角平分線交于一點(diǎn)條件：如圖2，BD平分∠ABC，CD平分△ACB的外角，兩條角平分線相交于點(diǎn)D；結(jié)論：AD平分∠CAE。

模型講解當(dāng)這兩個(gè)角為一個(gè)內(nèi)角和一個(gè)外角時(shí)，這夾角等于第三個(gè)角的一半。1）一個(gè)內(nèi)角一個(gè)外角平分線的夾角模型2）一個(gè)內(nèi)角一個(gè)外角平分線的夾角模型（累計(jì)平分線）模型練習(xí)3(1)如圖1,在△ABC中,BE平分∠ABC,CE平分∠ACB,若∠A=80°,則∠BEC=_______.若∠A=n°,則∠BEC=______.(2)如圖2,在△ABC中,BD,BE三等分∠ABC,CD,CE三等分∠ACB,若∠A=n°,則∠BEC=_______.(3)如圖3,O是∠ABC的平分線BO與∠ACD的平分線CO的交點(diǎn),試分析∠BOC和∠A有怎樣的關(guān)系,并說(shuō)明理由.(4)如圖4,O是△ABC的外角∠DBC與∠BCE的平分線BO與CO的交點(diǎn),則∠BOC和∠A有怎樣的關(guān)系(只寫(xiě)結(jié)論,不需證明)角平分線模型線段垂直平分線及其性質(zhì):(1)定義:垂直一條線段,并且平分這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線.簡(jiǎn)稱(chēng)中垂線.(2)性質(zhì)定理:線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等.角平分線的性質(zhì):角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.角平分線的判定:角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上.模型拓展1.利用角平分線作對(duì)稱(chēng)2.角平分線的中垂線3.角平分線+平行線構(gòu)造等腰三角形在ON上截取OB=OA,連接PB延長(zhǎng)AP交ON于點(diǎn)B過(guò)點(diǎn)P作PA∥ON,交OM于點(diǎn)A1）角平分線加平行線必出等腰三角形．條件：如圖1，OO’平分∠MON，過(guò)OO’的一點(diǎn)P作PQ//ON.結(jié)論：△OPQ是等腰三角形.條件：如圖2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分線，DE

∥

BC.結(jié)論：△BDE是等腰三角形.條件：如圖3，△ABC中，BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,過(guò)點(diǎn)O作BC的平行線與AB,AC分別相交于點(diǎn)M,N.結(jié)論：△BOM,△CON都是等腰三角形.2）角平分線加射影模型必出等腰三角形．條件：如圖4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°.

結(jié)論：三角形CEF是等腰三角形。模型2.角平分線第二定理（內(nèi)角平分線定理與外角平分線定理）模型角平分線第二定理：三角形一個(gè)角的平分線與其對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。1）內(nèi)角平分線定理．

2）外角平分線定理?xiàng)l件：如圖2，在△ABC中，∠BAC的外角平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D。結(jié)論：AB:AC=BD:CD.奔馳模型

燕尾相鄰的兩個(gè)三角形同底不同高,他們的面積比等于對(duì)應(yīng)高的比.(燕尾模型)模型講解2在△ABC中,點(diǎn)D,E,F分別在BC,AC,AB上,且AD,BE,CF相交于同一點(diǎn)O則1.S△AOB:S△AOC=BD:CD2.S△AOB:S△COB=AE:CE3.S△BOC:S△AOC=BF:AF模型講解2四邊形ABCD中,連接AC,BD交于點(diǎn)O結(jié)論:1.S1:S2=S4:S3或S1·S3=S2·S42.AO:CO=(S1+S2):(S3+S4)風(fēng)箏模型等積變形模型

雙垂直倒角模型已知:∠BAD=90°,AC⊥BD,結(jié)論:∠1=∠3,∠2=∠4.三垂直倒角模型已知:∠B=∠D=∠ACE=90°,結(jié)論:∠1=∠3,∠2=∠4.高分線模型:過(guò)三角形一個(gè)頂點(diǎn)的高與角平分線的夾角等于另外兩個(gè)角差的絕對(duì)值的一半.

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