專題07 全等三角形證明方法：半角模型【考點串講+熱點題型專訓】-2022-2023學年七年級數(shù)學下學期期中期末考點大串講（北師大版）

專題07全等三角形證明方法——半角模型基本模型：（1）條件：如圖，正方形，，作法：在延長線上截取，使得，連接，結(jié)論：①；②；③.（2）條件：如圖，為等邊三角形，是等腰三角形，，，，作法：在延長線上截取，使得，連接，結(jié)論：①；②；③.例題精講：例1．已知：正方形中，，繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交，（或它們的延長線）于點M，N．（1）當繞點A旋轉(zhuǎn)到時（如圖1），求證：；（2）當繞點A旋轉(zhuǎn)到時（如圖2），則線段，和之間數(shù)量關(guān)系是；（3）當繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，猜想線段，和之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？并對你的猜想加以說明．例2．探究：（1）如圖1，在正方形中，E、F分別是、上的點，且，試判斷、與三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出判斷結(jié)果：；（2）如圖2，若把（1）問中的條件變?yōu)椤霸谒倪呅沃校?，E、F分別是邊、上的點，且”，則（1）問中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由；（3）在（2）問中，若將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，當點分別E、F運動到、延長線上時，如圖3所示，其它條件不變，則（1）問中的結(jié)論是否發(fā)生變化？若變化，請給出結(jié)論并予以證明．例3．已知，如圖，在四邊形中，，，E，F(xiàn)分別是線段、上的點，且．求證：．例4．【感知】如圖①，點M是正方形的邊上一點，點N是延長線上一點，且，易證，進而證得（不要求證明）【應用】如圖②，在正方形中，點E、F分別在邊、上，且．求證：．【拓展】如圖③，在四邊形中，，，，點E、F分別在邊、上，且，若，，則四邊形的周長為．例5．在等邊三角形的兩邊、所在直線上分別有兩點M、N，P為外一點，且，，．探究：當點M、N分別在直線、上移動時，，，之間的數(shù)量關(guān)系．（1）如圖①，當點M、N在邊、上，且時，試說明．（2）如圖②，當點M、N在邊、上，且時，還成立嗎？答：．（請在空格內(nèi)填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．（3）如圖③，當點M、N分別在邊、的延長線上時，請直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系．專練過關(guān)：1．（1）如圖①，在四邊形中，，，E，F(xiàn)分別是邊，上的點，且．請直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖②，在四邊形中，，，E，F(xiàn)分別是邊，上的點，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請寫出證明過程；（3）在四邊形中，，，E，F(xiàn)分別是邊，所在直線上的點，且．請直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系：．2．如圖，在四邊形中，，，點E，F(xiàn)分別是，上的點，且，若，求的度數(shù)．3．已知四邊形是正方形，M、N分別是邊，上的動點，正方形的邊長為4cm．（1）如圖①，O是正方形對角線的交點，若，求四邊形的面積；（2）如圖②，若，求的周長．4．（1）閱讀理解：如圖①，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點E使，再連接，這樣就把，，集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系可判斷線段的取值范圍是；則中線的取值范圍是；（2）問題解決：如圖②，在中，D是邊的中點，于點D，交于點E，交于點F，連接，此時：（填“＞”或“＝”或“＜”）；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形中，，，，以C為頂點作，邊，分別交，于E，F(xiàn)兩點，連接，此時：（填“＞”或“＝”或“＜“）；（4）若在圖③的四邊形中，，，，且（3）中的結(jié)論仍然成立，則（用含的代數(shù)式表示）5．如圖，正方形中，M為上除點B、C外的任意一點，是等腰直角三角形，斜邊與交于點F，延長與的延長線交于點E，連接、．（1）求證：；（2）求的度數(shù)．6．在等邊的兩邊、所在直線上分別有兩點M、N，D為外一點，且，，．探究：當M、N分別在直線、上移動時，、、之間的數(shù)量關(guān)系及的周長Q與等邊的周長L的關(guān)系．（1）如圖1，是周長為9的等邊三角形，則的周長Q＝；（2）如圖2，當點M、N邊、上，且時，、、之間的數(shù)量關(guān)系是；此時＝；（3）點M、N在邊、上，且當時，猜想（2）問的兩個結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明．7．如圖，是等邊三角形，D是邊上一點（點D不與點B，C重合），作，使角的兩邊分別交邊，于點E，F(xiàn)，且．（1）如圖①，若，則度；（2）如