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2023屆陜西省西安市第六十六中學(xué)高三第二學(xué)期質(zhì)量調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知拋物線和點(diǎn),直線與拋物線交于不同兩點(diǎn),,直線與拋物線交于另一點(diǎn).給出以下判斷:①以為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線相離;②直線與直線的斜率乘積為;③設(shè)過(guò)點(diǎn),,的圓的圓心坐標(biāo)為,半徑為,則.其中,所有正確判斷的序號(hào)是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③2.已知等差數(shù)列中,若,則此數(shù)列中一定為0的是()A. B. C. D.3.是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.已知等差數(shù)列滿足,公差,且成等比數(shù)列,則A.1 B.2 C.3 D.45.若雙曲線:的一條漸近線方程為,則()A. B. C. D.6.在長(zhǎng)方體中,,則直線與平面所成角的余弦值為()A. B. C. D.7.已知雙曲線滿足以下條件:①雙曲線E的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)F重合;②雙曲線E與過(guò)點(diǎn)的冪函數(shù)的圖象交于點(diǎn)Q,且該冪函數(shù)在點(diǎn)Q處的切線過(guò)點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).則雙曲線的離心率是()A. B. C. D.8.關(guān)于函數(shù),下列說(shuō)法正確的是()A.函數(shù)的定義域?yàn)锽.函數(shù)一個(gè)遞增區(qū)間為C.函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱D.將函數(shù)圖像向左平移個(gè)單位可得函數(shù)的圖像9.“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶”和“21世紀(jì)海上絲綢之路”的簡(jiǎn)稱,旨在積極發(fā)展我國(guó)與沿線國(guó)家經(jīng)濟(jì)合作關(guān)系,共同打造政治互信、經(jīng)濟(jì)融合、文化包容的命運(yùn)共同體.自2015年以來(lái),“一帶一路”建設(shè)成果顯著.如圖是2015—2019年,我國(guó)對(duì)“一帶一路”沿線國(guó)家進(jìn)出口情況統(tǒng)計(jì)圖,下列描述錯(cuò)誤的是()A.這五年,出口總額之和比進(jìn)口總額之和大B.這五年,2015年出口額最少C.這五年,2019年進(jìn)口增速最快D.這五年,出口增速前四年逐年下降10.設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,且,則()A. B. C.1 D.211.設(shè),均為非零的平面向量,則“存在負(fù)數(shù),使得”是“”的A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件12.正三棱錐底面邊長(zhǎng)為3,側(cè)棱與底面成角,則正三棱錐的外接球的體積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知集合,,則_________.14.函數(shù)的最小正周期是_______________,單調(diào)遞增區(qū)間是__________.15.在棱長(zhǎng)為的正方體中,是正方形的中心,為的中點(diǎn),過(guò)的平面與直線垂直,則平面截正方體所得的截面面積為_(kāi)_____.16.執(zhí)行如圖所示的偽代碼,若輸出的y的值為13,則輸入的x的值是_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)若是的極值點(diǎn),求的極大值;(2)求實(shí)數(shù)的范圍,使得恒成立.18.(12分)已知函數(shù),,且.(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的減區(qū)間;(2)求證:方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(3)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是,試比較,與的大小,并說(shuō)明理由.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量,,其中.(1)求的值;(2)若,且,求的值.20.(12分)本小題滿分14分)已知曲線的極坐標(biāo)方程為,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),求直線被曲線截得的線段的長(zhǎng)度21.(12分)已知函數(shù),.(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線方程;(Ⅱ)求函數(shù)在上的最小值;(Ⅲ)若函數(shù),當(dāng)時(shí),的最大值為,求證:.22.(10分)已知函數(shù),其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)用表示中較大者,記函數(shù).若函數(shù)在上恰有2個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】
對(duì)于①,利用拋物線的定義,利用可判斷;對(duì)于②,設(shè)直線的方程為,與拋物線聯(lián)立,用坐標(biāo)表示直線與直線的斜率乘積,即可判斷;對(duì)于③,將代入拋物線的方程可得,,從而,,利用韋達(dá)定理可得,再由,可用m表示,線段的中垂線與軸的交點(diǎn)(即圓心)橫坐標(biāo)為,可得a,即可判斷.【詳解】如圖,設(shè)為拋物線的焦點(diǎn),以線段為直徑的圓為,則圓心為線段的中點(diǎn).設(shè),到準(zhǔn)線的距離分別為,,的半徑為,點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,顯然,,三點(diǎn)不共線,則.所以①正確.由題意可設(shè)直線的方程為,代入拋物線的方程,有.設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,,則,.所以.則直線與直線的斜率乘積為.所以②正確.將代入拋物線的方程可得,,從而,.根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知,,兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,所以過(guò)點(diǎn),,的圓的圓心在軸上.由上,有,,則.所以,線段的中垂線與軸的交點(diǎn)(即圓心)橫坐標(biāo)為,所以.于是,,代入,,得,所以.所以③正確.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)綜合,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于較難題.2.A【解析】
將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式,由此確定數(shù)列為的項(xiàng).【詳解】由于等差數(shù)列中,所以,化簡(jiǎn)得,所以為.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的基本量計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.3.D【解析】
求出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo),即可得出結(jié)論.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,該點(diǎn)位于第四象限.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置的判斷,屬于基礎(chǔ)題.4.D【解析】
先用公差表示出,結(jié)合等比數(shù)列求出.【詳解】,因?yàn)槌傻缺葦?shù)列,所以,解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.屬于簡(jiǎn)單題,化歸基本量,尋求等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.5.A【解析】
根據(jù)雙曲線的漸近線列方程,解方程求得的值.【詳解】由題意知雙曲線的漸近線方程為,可化為,則,解得.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線,屬于基礎(chǔ)題.6.C【解析】
在長(zhǎng)方體中,得與平面交于,過(guò)做于,可證平面,可得為所求解的角,解,即可求出結(jié)論.【詳解】在長(zhǎng)方體中,平面即為平面,過(guò)做于,平面,平面,平面,為與平面所成角,在,,直線與平面所成角的余弦值為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面所成的角,定義法求空間角要體現(xiàn)“做”“證”“算”,三步驟缺一不可,屬于基礎(chǔ)題.7.B【解析】
由已知可求出焦點(diǎn)坐標(biāo)為,可求得冪函數(shù)為,設(shè)出切點(diǎn)通過(guò)導(dǎo)數(shù)求出切線方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切點(diǎn)坐標(biāo),然后求解雙曲線的離心率.【詳解】依題意可得,拋物線的焦點(diǎn)為,F(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn);,,所以,,設(shè),則,解得,∴,可得,又,,可解得,故雙曲線的離心率是.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì),已知拋物線方程求焦點(diǎn)坐標(biāo),求冪函數(shù)解析式,直線的斜率公式及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,難度一般.8.B【解析】
化簡(jiǎn)到,根據(jù)定義域排除,計(jì)算單調(diào)性知正確,得到答案.【詳解】,故函數(shù)的定義域?yàn)椋叔e(cuò)誤;當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,故正確;當(dāng),關(guān)于的對(duì)稱的直線為不在定義域內(nèi),故錯(cuò)誤.平移得到的函數(shù)定義域?yàn)椋什豢赡転?,錯(cuò)誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換,三角函數(shù)單調(diào)性,定義域,對(duì)稱,三角函數(shù)平移,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.9.D【解析】
根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)據(jù)的含義進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)A項(xiàng),由統(tǒng)計(jì)圖可得,2015年出口額和進(jìn)口額基本相等,而2016年到2019年出口額都大于進(jìn)口額,則A正確;對(duì)B項(xiàng),由統(tǒng)計(jì)圖可得,2015年出口額最少,則B正確;對(duì)C項(xiàng),由統(tǒng)計(jì)圖可得,2019年進(jìn)口增速都超過(guò)其余年份,則C正確;對(duì)D項(xiàng),由統(tǒng)計(jì)圖可得,2015年到2016年出口增速是上升的,則D錯(cuò)誤;故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖和折線統(tǒng)計(jì)圖解決實(shí)際問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.10.C【解析】
利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)已知條件,求得的值.【詳解】由于等差數(shù)列滿足,所以,,.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.11.B【解析】
根據(jù)充分條件、必要條件的定義進(jìn)行分析、判斷后可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋鶠榉橇愕钠矫嫦蛄?,存在?fù)數(shù),使得,所以向量,共線且方向相反,所以,即充分性成立;反之,當(dāng)向量,的夾角為鈍角時(shí),滿足,但此時(shí),不共線且反向,所以必要性不成立.所以“存在負(fù)數(shù),使得”是“”的充分不必要條件.故選B.【點(diǎn)睛】判斷p是q的什么條件,需要從兩方面分析:一是由條件p能否推得條件q;二是由條件q能否推得條件p,定義法是判斷充分條件、必要條件的基本的方法,解題時(shí)注意選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄅ袛嗝}是否正確.12.D【解析】
由側(cè)棱與底面所成角及底面邊長(zhǎng)求得正棱錐的高,再利用勾股定理求得球半徑后可得球體積.【詳解】如圖,正三棱錐中,是底面的中心,則是正棱錐的高,是側(cè)棱與底面所成的角,即=60°,由底面邊長(zhǎng)為3得,∴.正三棱錐外接球球心必在上,設(shè)球半徑為,則由得,解得,∴.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查球體積,考查正三棱錐與外接球的關(guān)系.掌握正棱錐性質(zhì)是解題關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
根據(jù)交集的定義即可寫出答案。【詳解】,,故填【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集,需熟練掌握集合交集的定義,屬于基礎(chǔ)題。14.,,【解析】
化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可.【詳解】函數(shù),最小正周期,令,,可得,,所以單調(diào)遞增區(qū)間是,,.故答案為:,,,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二倍角的公式的應(yīng)用,余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于中檔題.15.【解析】
確定平面即為平面,四邊形是菱形,計(jì)算面積得到答案.【詳解】如圖,在正方體中,記的中點(diǎn)為,連接,則平面即為平面.證明如下:由正方體的性質(zhì)可知,,則,四點(diǎn)共面,記的中點(diǎn)為,連接,易證.連接,則,所以平面,則.同理可證,,,則平面,所以平面即平面,且四邊形即平面截正方體所得的截面.因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為,易知四邊形是菱形,其對(duì)角線,,所以其面積.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的截面面積,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.16.8【解析】
根據(jù)偽代碼逆向運(yùn)算求得結(jié)果.【詳解】輸入,若,則,不合題意若,則,滿足題意本題正確結(jié)果:【點(diǎn)睛】本題考查算法中的語(yǔ)言,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1).(2)【解析】
(1)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),結(jié)合極值存在的條件可求t,然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)可研究函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而可求極大值;(2)由已知代入可得,x2+(t﹣2)x﹣tlnx≥0在x>0時(shí)恒成立,構(gòu)造函數(shù)g(x)=x2+(t﹣2)x﹣tlnx,結(jié)合導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)可求.【詳解】(1),x>0,由題意可得,0,解可得t=﹣4,∴,易得,當(dāng)x>2,0<x<1時(shí),f′(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)1<x<2時(shí),f′(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減,故當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)取得極大值f(1)=﹣3;(2)由f(x)=x2+(t﹣2)x﹣tlnx+2≥2在x>0時(shí)恒成立可得,x2+(t﹣2)x﹣tlnx≥0在x>0時(shí)恒成立,令g(x)=x2+(t﹣2)x﹣tlnx,則,(i)當(dāng)t≥0時(shí),g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)min=g(1)=t﹣1≥0,解可得t≥1,(ii)當(dāng)﹣2<t<0時(shí),g(x)在()上單調(diào)遞減,在(0,),(1,+∞)上單調(diào)遞增,此時(shí)g(1)=t﹣1<﹣1不合題意,舍去;(iii)當(dāng)t=﹣2時(shí),g′(x)0,即g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,此時(shí)g(1)=﹣3不合題意;(iv)當(dāng)t<﹣2時(shí),g(x)在(1,)上單調(diào)遞減,在(0,1),()上單調(diào)遞增,此時(shí)g(1)=t﹣1<﹣3不合題意,綜上,t≥1時(shí),f(x)≥2恒成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性及極值,利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)處理不等式的恒成立問(wèn)題,分類討論思想,屬于中檔題.18.(1)(2)詳見(jiàn)解析(3)【解析】
試題分析:(1)當(dāng)時(shí),,由得減區(qū)間;(2)因?yàn)?,所以,因?yàn)樗?,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(3)因?yàn)椋?,所以試題解析:(1)當(dāng)時(shí),,由得減區(qū)間;(2)法1:,,,所以,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;法2:,,是開(kāi)口向上的二次函數(shù),所以,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(3)因?yàn)?,,又在和增,在減,所以.考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)減區(qū)間,二次函數(shù)與二次方程關(guān)系19.(1)(2).【解析】
(1)根據(jù),由向量,的坐標(biāo)直接計(jì)算即得;(2)先求出,再根據(jù)向量平行的坐標(biāo)關(guān)系解得.【詳解】(1)由題,向量,,則.(2),.,,整理得,化簡(jiǎn)得,即,,,,即.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,以及向量平行,是??碱}型.20.【解析】解:解:將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為,即,它表示以為圓心,2為半徑圓,………4分直線方程的普通方程為,………8分圓C的圓心到直線l的距離,……………10分故直線被曲線截得的線段長(zhǎng)度為.……………14分21.(Ⅰ)(Ⅱ)見(jiàn)解析;(Ⅲ)見(jiàn)解析.【解析】試題分析:(Ⅰ)由題,所以故,,代入點(diǎn)斜式可得曲線在處的切線方程;(Ⅱ)由題(1)當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增.則函數(shù)在上的最小值是(2)當(dāng)時(shí),令,即,令,即(i)當(dāng),即時(shí),在上單調(diào)遞增,所以在上的最小值是(ii)當(dāng),即時(shí),由的單調(diào)性可得在上的最小值是(iii)當(dāng),即時(shí),在上單調(diào)遞減,在上的最小值是(Ⅲ)當(dāng)時(shí),令,則是單調(diào)遞減函數(shù).因?yàn)?,,所以在上存在,使得,即討論可得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí),取得最大值是因?yàn)椋杂纱丝勺C試題解析:(Ⅰ)因?yàn)楹瘮?shù),且,所以,所以所以,所以曲線在處的切線方程是,即(Ⅱ)因?yàn)楹瘮?shù),
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