2024高考數(shù)學(xué)講義-三角函數(shù)及其解題

2024高考數(shù)學(xué)講義一三角函數(shù)及其解題

目錄

1.第1講任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)..................................2

1.1.基礎(chǔ)知識(shí)整理...........................................................2

1.2.考試核心突破............................................................6

1.2.1.考向一角的概念及表示............................................6

1.2.2.考向二三角函數(shù)的定義及其應(yīng)用....................................8

1.2.3.考向三扇形的弧長(zhǎng)、面積公式.....................................11

1.3.課堂作業(yè)...............................................................13

2.第2講同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式.................................21

2.1.基礎(chǔ)知識(shí)整理..........................................................21

2.2.考試核心突破..........................................................23

2.2.1.考向一誘導(dǎo)公式的應(yīng)用...........................................23

2.2.2.考向二同角三角函數(shù)的基本關(guān)系...................................25

2.3.課堂作業(yè)..............................................................29

3.第3講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)...............................................37

3.1.基礎(chǔ)知識(shí)整理..........................................................37

3.2.考試核心突破..........................................................41

3.2.1.考向一三角函數(shù)的定義域.........................................41

3.2.2.考向二三角函數(shù)的值域...........................................42

3.2.3.考向三三角函數(shù)的性質(zhì)...........................................44

3.3.課堂作業(yè)..............................................................49

4.第4講函數(shù)y=Asin(sx+(p)的圖象及應(yīng)用.....................................60

4.1.基礎(chǔ)知識(shí)整理..........................................................60

4.2.考試核心突破..........................................................64

4.2.1.考向一“五點(diǎn)法"作y=Asin(ox+0)的圖象........................64

4.2.2.考向二三角函數(shù)的圖象變換.......................................65

4.2.3.考向三求函數(shù)y=Asin(sx+9)的解析式.............................67

4.2.4,考向四函數(shù))，=Asin(sx+0)的圖象與性質(zhì)..........................69

4.3.課堂作業(yè)..............................................................73

5.第5講簡(jiǎn)單的三角恒等變換.................................................86

5.1.基礎(chǔ)知識(shí)整理..........................................................86

第1頁(yè)共175頁(yè)

5.2.考試核心突破...........................................................89

5.2.1.考向一三角函數(shù)的化簡(jiǎn).............................................89

5.2.2.考向二三角函數(shù)的求值............................................91

5.2.3.考向三三角恒等變換的綜合應(yīng)用....................................96

5.3.課堂作業(yè).............................................................101

6.第6講正弦定理和余弦定理...............................................112

6.1.基礎(chǔ)知識(shí)整理..........................................................112

6.2.考試核心突破..........................................................115

6.2.1.考向一利用正、余弦定理解三角形.................................115

6.2.2.考向二利用正、余弦定理判斷三角形形狀..........................118

6.2.3.考向三正、余弦定理的綜合應(yīng)用...................................120

6.3.課堂作業(yè).............................................................129

7.第7講解三角形的應(yīng)用舉例................................................141

7.1.基礎(chǔ)知識(shí)整理.........................................................141

7.2.考試核心突破..........................................................144

7.2.1.考向一測(cè)量距離問題..............................................144

7.2.2.考向二測(cè)量高度問題..............................................146

7.2.3.考向三測(cè)量角度問題.............................................148

7.3.課堂作業(yè).............................................................150

1.第1講任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)

1.1.基礎(chǔ)知識(shí)整理

|。知識(shí)梳理

1.角的概念

按旋轉(zhuǎn)方向不同分為畫正角、畫負(fù)角、廚零角.

⑴分類

按終邊位置不同分為畫象限角和畫軸線角.

(2)終邊相同的角：所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)

集合S={⑼夕=a+%360°,kEZ}.

第2頁(yè)共175頁(yè)

2.弧度的定義和公式

(1)定義：長(zhǎng)度等于回半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作

rad.

(2)公式：①弧度與角度的換算：360。=畫紋弧度；180。=畫注弧度；②

弧長(zhǎng)公式：/=函業(yè)；③扇形面積公式：S扇形=回/=叵|皿.

說明：②③公式中的a必須為弧度制！

3.任意角的三角函數(shù)

(1)定義：設(shè)a是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(，y),則sina=

回2,cosa=回羽tana=回20).

(2)三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)

三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

1.任意角的三角函數(shù)的定義(推廣)

設(shè)P(x,y)是角?終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，其到原點(diǎn)。的距離為r,則sina

yx_y

=r,cosa=r,tana=(x^O7).

第3頁(yè)共175頁(yè)

終邊落在x軸上的角{a|aMn,AEZ}

線

角

的終邊落在y軸上的角ja|a=-y+A,7t,A-GZ

集

終邊落在坐標(biāo)軸上的角|a|a=-^-z,A-GZl

4.重要結(jié)論

若a€(0,2

,貝ljtana><z>sina.

1.（2020?濱州二模）已知角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（-4,3）,則sina+cosa=（）

答案B

解析由于角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)尸（一4,3）,貝ljx=-4,y=3,r=\OP\=

Ii、3x4]

*\J32+(-4)2=5,「.sina=r=5，cosa=：=一5，「.sina+cosa=一弓.故選B.

2.給出下列四個(gè)命題：

37r47r

①-彳是第二象限角；②至是第三象限角；

③一400。是第四象限角；④-315。是第一象限角.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2

C.3D.4

答案C

解析①中-彳37r是第三象限角，故①錯(cuò).②中4亍7r=兀+最it從而于47r是第三象限

角,②正確.③中-400°=-360°-40°,從而③正確.④中-315。=-360°+45°，

從而④正確.故選C.

971

3.下列與工的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是（）

第4頁(yè)共175頁(yè)

匕。+沁

A.2桁+45。伏€Z)B.3600

5兀

C.k360°—315。/€Z)D.kn+彳(&€Z)

答案C

9兀9兀

解析與彳的終邊相同的角可以寫成2E+7（&WZ）,但是角度制與弧度制

不能混用，所以只有選項(xiàng)C正確.

4.若sinOcos/O,則角。是（）

A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角

C.第三或第四象限角D.第二或第四象限角

答案D

sinft>0,sin8<0,

解析因?yàn)閟inOcosOvO,所以八，、或、八所以角夕是第二或第

lcosO<0lcosft>0.

四象限角.故選D.

5.單位圓中，200。的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為（）

A.10兀B.9兀

答案D

解析單位圓的半徑r=1,200。的弧度數(shù)是200X焉=晉，由弧度數(shù)的定

、，,口10兀Ib、-10兀

乂得一所以/=一§一.

6.（2021.安徽合肥一中月考）已知角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)P（x,坐），則

tana=（）

A.小B.±73

C,坐D.土坐

答案B

第5頁(yè)共175頁(yè)

坐

解析由已知得<+（當(dāng)）=1,解得x=±g,所以tana=-|~=±V§.

1.2.考試核心突破

1.2.1.考向一角的概念及表示

例1⑴設(shè)集合M={x|x=1180°+45°,ZWZ；,N=

卜，=%180。+45。，屐z1,判斷兩集合的關(guān)系為()

A.M=NB.MN

C.NMD.MCN=0

答案B

解析解法一：由于加=齷=與180。+45。，攵CZ；={…，-45。,45。，135。，

225°,-},7V=1x|x=^180°+45°,A6Z>={…，-45°,0°,45°,90°,135°,

180。，225°,-},顯然有MN.

解法二：在集合M中，x=/180°+45°=k90°+45°=45°,(2Z+l),2k+1>

奇數(shù)；在集合N中，x=180°+45°=k-45°+45°=(k+1)-45°,攵+1是整數(shù)，因

此必有MN.故選B.

(2)已知角a的終邊在第二象限，貝吟的終邊在第象限.

答案一或第三

7E7T

解析因?yàn)榻莂的終邊在第二象限，所以5+卜2兀?/<兀+卜2兀，k€Z,所以a

a7i,，一?

+Zf：7r<2<2+女兀,k€Z.

兀O.71

所以當(dāng)％=2m(m€Z)時(shí)，1+機(jī),2兀+加,2兀，

此嘴的終邊在第一象限；

第6頁(yè)共175頁(yè)

5兀o.3兀

當(dāng)k=2m+l(m€Z)時(shí)，了+兀+根?2兀,

此嘴的終邊在第三象限.

綜上，翔終邊在第一或第三象限.

(3)終邊在直線y=5x上，且在［-2無，2兀)內(nèi)的角a的集合為.

「J-15兀2兀兀4兀1

答案卜?，—至，3-TJ

解析如圖，在平面直角坐標(biāo)系中畫出直線>=小二可以發(fā)現(xiàn)它與X軸的

夾角是幸在［0,2兀)內(nèi)，終邊在直線>'=小》上的角有兩個(gè)，分別為三，y;在［-

2兀5兀

2兀，0)內(nèi)滿足條件的角有兩個(gè)，分別為-9，-丁.故滿足條件的角a構(gòu)成的集

人、,［5兀2兀兀4兀］

合為卜亍，一至，31TJ-

觸類旁通］1.終邊相同角的集合的應(yīng)用

利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個(gè)

角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對(duì)集合中的參數(shù)攵賦值來求得所需角.

2.象限角的兩種判斷方法

(1)圖象法：在平面直角坐標(biāo)系中作出已知角，并根據(jù)象限角的定義直接判

斷已知角是第幾象限角.

(2)轉(zhuǎn)化法：先將已知角化為2E+a(a€［0,2兀)，Z€Z)的形式，即找出與已

知角終邊相同的角a,再由角a終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角.

3.求(或〃伏〃€N*)所在象限的方法

(1)將。的范圍用不等式(含有3ZWZ)表示.

(2)兩邊同除以"或乘〃.

第7頁(yè)共175頁(yè)

n

(3)對(duì)k進(jìn)行討論，得到7或〃取〃€N*)所在的象限.

(4)對(duì)f判斷象限問題可采用等分象限法.

即時(shí)訓(xùn)練1.集合，也+?及也+與底Z；中的角所表示的范圍(陰影

部分)是()

答案C

兀?！鯻兀兀

解析當(dāng)k-2n(n€Z)時(shí),2mi+[WaW2幾兀+],此時(shí)a表示的范圍與

兀兀，

表示的范圍一樣；當(dāng)％=2〃+1(〃€Z)時(shí)，2〃兀++兀+兀+爹，此時(shí)。表

5兀3兀

示的范圍與了WaW了表示的范圍一樣.故選C.

2.與-2020。終邊相同的最小正角是_______.

答案140°

解析因?yàn)?2020°=(-6)X360°+140。，所以140。與-2020。終邊相同，又

終邊相同的兩個(gè)角相差360。的整數(shù)倍，所以在0。?360。中只有140。與-2020。終

邊相同，故與-2020。終邊相同的最小正角是140°.

多角度探究突破

1.2.2.考向二三角函數(shù)的定義及其應(yīng)用

角度1利用定義求三角函數(shù)的值

例2(1)已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-12a,5a)(a<0),則2sina+cosa的值為

)

第8頁(yè)共175頁(yè)

A--BB-13

C-0D-15或一15

答案B

解析因?yàn)閤=-12a,y=5a,a<0,所以r=-13a,所以sina=一|，cosa

12/5A122

二百,2sina+cosa=2XI-Y^I+—=B.

(2)若角。的終邊在直線3x+4y=0上，求sina,cosa和tana的值.

解設(shè)a終邊上任一點(diǎn)為P(-4a,3a),aWO,

,」343

當(dāng)4>0日寸，r=5a,sina=^,cosa=一予tana=一不

,」343

當(dāng)QVO時(shí)，r--5a,sina=一予cosa=^,tana=-4-

角度2判斷三角函數(shù)值的符號(hào)

例3(I)sin2cos3tan4的值()

A.小于0B.大于0

C.等于0D.不存在

答案A

兀3兀

解析,.12<2<3<7t<4<^_,.,.8^2>0,cos3<0,tan4>0..,.sin2cos3tan4

<0.故選A.

(2)(2020.全國(guó)卷II)若a為第四象限角，貝女)

A.cos2a>0B.cos2a<0

C.sin2a>0D.sin2a<0

答案D

解析當(dāng)a=—1時(shí),cos2a=cos1-引<0,A錯(cuò)誤；當(dāng)a=—春時(shí),cos2a=

cos(-*>0,B錯(cuò)誤；由a為第四象限角可得sina<0,cosa>0,則sin2a=

2sinacosa<0,C錯(cuò)誤，D正確.故選D.

第9頁(yè)共175頁(yè)

角度3利用三角函數(shù)的定義求參數(shù)

例4(1)若角a的終邊上有一點(diǎn)P(-4,a),且sinacosa=乎，則a的值為

)

A.4小B.±4小

C.—4小或一半

D.小

答案C

a—4

解析由三角函數(shù)的定義得sinacosa=i='i==

V(-4)2+?2勺(-4)2+〃

(_4)2：“2=j，即于/+I6a+16小=0,解得a=-4小或”-斗.故選C.

⑵若角a的終邊與直線y=3x重合，且sina<0,又尸(加，〃)是角a終邊上一

點(diǎn)，且10Pl=Vio,貝1J加一〃=.

答案2

解析由已知tana=3,所以n=3m,又m2+rr=10,所以m2=1.又sina<0,

所以〃？=一1,〃=一3,故加一〃=2.

觸類旁通」(1)用定義法求三角函數(shù)值的兩種情況

①已知角a終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離小然后

用三角函數(shù)的定義求解；

②已知角a的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出

此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后用三角函數(shù)的定義來求解.

(2)要判定三角函數(shù)值的符號(hào)，關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角,

再根據(jù)正、余弦函數(shù)值在各象限的符號(hào)確定值的符號(hào).如果不能確定角所在象

限，那就要進(jìn)行分類討論求解.

即時(shí)訓(xùn)練3.若角a的終邊過點(diǎn)P(2sin30。，-2cos30°),則since的值為

()

A-2B--2

第10頁(yè)共175頁(yè)

C.一日D.一半

答案C

解析*.'x=2sin30°=1,y=-2cos30°=-^/3,

/,r=\0P\=yjx2+=2,/.sina=^=-^^.故選（2.

4.設(shè)。是第四象限角，則以下函數(shù)值一定為負(fù)值的是（）

Aan?a

A.tan]B.sin^

C.cos]D.cos2a

答案A

JI兀a

解析因?yàn)?E-/Va＜2E（&€Z）,所以R兀一不4攵兀一兀＜2。＜4&兀，k€

Z.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，今是第四象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，5是第二象限角.因此ta琮

（Xa

<0.cos2a,cos],sin]的值正負(fù)不定.故選A.

5

5.若a是第二象限角，其終邊上一點(diǎn)P（x,?。襝osa=3"x,貝Usina的

值是（）

A.fR逅

B.4

D.-乎

c?乎

答案A

解析r=\P0\=\1^+5,由三角函數(shù)的定義知cosa=q￡j=乎X,則％2

+5=8.sina=故選A.

+4?

1.2.3.考向三扇形的弧長(zhǎng)、面積公式

例5已知一扇形的圓心角為a,半徑為R,弧長(zhǎng)為/,

第11頁(yè)共175頁(yè)

（1）若。=60。，R=Wcm,求扇形的弧長(zhǎng)/；

⑵若扇形周長(zhǎng)為20cm,當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最

大？

兀

解⑴...(/=60°=grad,7?=10cm,

兀10兀

二扇形的弧長(zhǎng)l=a-R=qX10=—(cm).

⑵由題意得/+2H=20,：.l=20-2R.

二S扇=?R=1(20-2R)R=一A?+IOR

=-(7?-5)2+25.

.,.當(dāng)R=5cm時(shí)，S扇有最大值25cm2.

止匕時(shí)/=20—2X5=10(cm),a=^=y=2rad.

.,.當(dāng)a=2rad時(shí)，扇形面積最大.

觸類旁通弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算方法

⑴在弧度制下，記住下列公式

①弧長(zhǎng)公式：Z=|a|r；

②扇形的面積公式：5=品=）產(chǎn)（其中/是扇形的弧長(zhǎng),a是扇形的圓心角,

r是扇形的半徑）.

（2）求扇形面積的關(guān)鍵是求得扇形的圓心角、半徑、弧長(zhǎng)三個(gè)量中的任意兩

個(gè)量.

即時(shí)訓(xùn)練6.侈選）已知扇形的周長(zhǎng)是6cm,面積是2cm2,下列選項(xiàng)正確

的有（）

A.扇形的半徑為2B.扇形的半徑為1

C.圓心角的弧度數(shù)是1D.圓心角的弧度數(shù)是2

答案ABC

第12頁(yè)共175頁(yè)

2r+ar=6,

解析設(shè)扇形半徑為「，圓心角弧度數(shù)為。，則由題意臉工，解

r=]r-2

得一;或一：可得圓心角的弧度數(shù)是4或1.

a=4[a=I,

7.如果一個(gè)圓的半徑變?yōu)樵瓉淼囊话?，而弧長(zhǎng)變?yōu)樵瓉淼膢倍，則該弧所對(duì)

的圓心角是原來的倍.

答案3

解析設(shè)圓原來的半徑為r,弧長(zhǎng)為I,則其弧度數(shù)為（.將半徑變?yōu)樵瓉淼囊?/p>

32lI

半，弧長(zhǎng)變?yōu)樵瓉淼?倍，則圓心角的弧度數(shù)變?yōu)?=31,即圓心角的弧度數(shù)變

2r

為原來的3倍.

1.3.課堂作業(yè)

一、單項(xiàng)選擇題

1.已知點(diǎn)P（tana,cosa）在第三象限，則角a的終邊在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案B

tana<0,

解析因?yàn)辄c(diǎn)p在第三象限，所以c所以角a的終邊在第二象

限.

2.若角a和夕的終邊關(guān)于），軸對(duì)稱，則必有（）

A.a+夕=1B.a+A=（2k+，兀，A6Z

C.a+[i=2kn,k￡ZD.a+/3=（2k+l）7r,k￡Z

答案D

第13頁(yè)共175頁(yè)

解析如圖所示，設(shè)0<a'<71,0</<兀分別是和角a,夕終邊相同的角，

則由角a'和夕的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，可得a'+夕=兀，由終邊相同的角可

得a+°=(2k+l)7i,攵€Z.

4

3.已知角。的終邊過點(diǎn)P(-8”-6sin30°),且cosa=-m，則用的值為

11

--

A.2B.2

C.—坐D.坐

答案B

/----------------87T144"/2

m>0

解析因?yàn)閺S=464"a+9,所以cosa=^64/?；2+9=一彳所以>64/?2+g

1_?1

=25，因止匕〃?=2-

4.(2020?黃岡模擬)中國(guó)傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn).一般情況下，折

扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形制作而成，設(shè)扇形的面積為5i,圓面中剩

余部分的面積為S2,當(dāng)S與S2的比值為'姿時(shí)，扇面看上去形狀較為美觀，

那么此時(shí)扇形的圓心角的弧度數(shù)為()

A.(3-小)兀B.(小-1)兀

C.(^5+l)nD.(^5-2)K

答案A

解析由題意知，s與S2所在扇形圓心角的比即為它們的面積比，設(shè)S與

第14頁(yè)共175頁(yè)

出所在扇形圓心角分別為a,夕，則工=痔°，又a+夕=2兀，解得a=（3-?。┴?/p>

5.（2020.山東威海月考）已知點(diǎn)榨，在角。的終邊上，且。€[0,2兀），

則e的值為（）

*5兀c2兀

A.dB.y

_1171-5兀

C.-T-D.v

。J

答案C

解析因?yàn)辄c(diǎn)榨，-目在第四象限，所以根據(jù)三角函數(shù)的定義可知tan。

211JT

=逅=一￥，又。€[0,2兀），所以。=可.

2

6.已知弧度數(shù)為2的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2,則這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是

（）

A.2B.2sinl

2

D.sin2

答案c

12

解析■.-2/?sinl=2,.■./?=-[./=37?=而.故選。

（5兀

7.已知角x的終邊上一點(diǎn)坐標(biāo)為（sin%~,cos%J,則角x的最小正值為（）

5兀5兀

A?不B-T

「11兀2兀

c-VD-T

答案B

、5兀、/35兀1兀

解析因?yàn)閟iox=cos/=-々-,cosx=sin%~=2,所以x=一§+2%兀（Z€Z）,

557r

當(dāng)左=1時(shí)，x=y,即角x的最小正值為可，故選B.

第15頁(yè)共175頁(yè)

.aa

sm/cos]

8.角a的終邊在第一象限，則丁+一下的取值集合為（）

|sin/||cos引

A.{-2,2}B.{0,2}

C.{2}D.{0,-2,2）

答案A

解析因?yàn)榻莂的終邊在第一象限,所以角會(huì)勺終邊在第一象限或第三象限,

.aa

sin]cos]

所以~-+-^=±2.故選A.

Isin^lIcos^l

9.已知。是第四象限角，貝sin（sin0）（）

A.大于0B.大于等于0

C.小于0D.小于等于0

答案C

解析”是第四象限角，??.sinee（-l,0）.

令sin6=a,當(dāng)-l<a<0時(shí)，sina<0.故sin（sin8）<0.故選C.

10.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章給出

計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積=；（弦X矢+矢2）,弧田（如圖）由圓

弧和其所對(duì)弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心

27r

到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為不，半徑等于4米的弧田，按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)

算所得弧田面積約是（）

A.6平方米B.9平方米

C.12平方米D.15平方米

答案B

第16頁(yè)共175頁(yè)

解析如圖，由題意可得NA08=7,0A=4,在RtZXA。。中，可得/A。。

71Tli171、/3

=Q,ZDAO=T,。。=5Ao=5X4=2,于是矢=4—2=2.A。=AOsinQ=4XJ

=25.弦AB=2AO=4小.所以弧田面積=g（弦X矢+矢2）=；x（4小X2+22）=

4小+2心9（平方米）.

C

二、多項(xiàng)選擇題

11.在平面直角坐標(biāo)系］。了中，角。頂點(diǎn)在原點(diǎn)0,以X正半軸為始邊,

終邊經(jīng)過點(diǎn)P(l,m)(m<0),則下列各式的值恒大于。的是()

?sin。c.

At.a-n-a"B.cosa-sina

C.sinacosaD.sina+cosa

答案AB

解析由題意知sina<0,cosa>0,tanavO.選項(xiàng)A,r^7>0;選項(xiàng)B,cosa

idllGt

-sina>0；選項(xiàng)C,sinacosa<0；選項(xiàng)D,sina+cosa符號(hào)不確定.故選AB.

12.(2020?山東荷澤模擬)已知點(diǎn)尸(sinx-cos,-3)在第三象限，則犬的可

能區(qū)間是()

A.|j，可B.1一彳,于

C"V工2,?2)D.(—41―4j"I

答案BD

解析由已知，點(diǎn)P(sin_r-cosx,-3)在第三象限，可得sinx-cosx<0,即

37rIT

sinx<cosx,所以-7~+2左兀4<3+2女兀，ZWZ.當(dāng)k=U時(shí)，x所在的一個(gè)區(qū)間是

(-竽，胃；當(dāng)％=1時(shí)，x所在的一個(gè)區(qū)間是借，空

第17頁(yè)共175頁(yè)

三、填空題

13.已知角a的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內(nèi)（不包括邊界），則角a用

集合可表示為.

y

/

/

3吐、"45?！?/p>

0x

答案^a\2kji+^<a<2kn+Z€z|

（TT5兀、

解析?.?在［0,2兀）內(nèi)，終邊落在陰影部分角的集合為（J，司，，所求角的集

7C5兀

合為+^<1<2攵兀+7,k€Zp

14.如圖所示，角的終邊與單位圓（圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓）交于第二象限

的點(diǎn)A（cosa,|j,貝ljcosa-sina=.

答案-i

解析由題意得COS2a+停下=1,cos2a=

又cosa<0,所以cosa=-g,

7

3-

又sina=g,所以cosa-sina=5

15.若一圓弧長(zhǎng)等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)，則其圓心角a（0<a<7i）

的弧度數(shù)為.

答案小

解析設(shè)圓半徑為乙則其內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)為小尸，所以小廠=的，所以

第18頁(yè)共175頁(yè)

a=

QJJ.

16.點(diǎn)尸從(-1,0)出發(fā)，沿單位圓順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)至弧長(zhǎng)到達(dá)點(diǎn)。，則點(diǎn)。

的坐標(biāo)為.

答案.明

解析設(shè)點(diǎn)4-1Q),點(diǎn)P從(-1Q)出發(fā)，沿單位圓順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)至弧長(zhǎng)

到達(dá)點(diǎn)Q,則NAOQ=與-2兀=用(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，所以/%。。=亨，cos,=1,

sig=坐，所以點(diǎn)。的坐標(biāo)為《，明.

四、解答題

17.如圖所示，十字形公路的交叉處周圍成扇形，某市規(guī)劃擬在這塊扇形土

地上修建一個(gè)圓形廣場(chǎng).已知NAO3=60。，AB的長(zhǎng)度為100兀m.怎樣設(shè)計(jì)能

使廣場(chǎng)的占地面積最大？其值是多少？

解如圖所示,

TT

?/ZAOB=60°=3,AB的長(zhǎng)度為100兀m,

100兀

OA=300(m).

兀

3

根據(jù)題意可知，當(dāng)。。是扇形AOB內(nèi)切圓時(shí)，廣場(chǎng)的占地面積最大，設(shè)。

第19頁(yè)共175頁(yè)

Oi與0A切于。點(diǎn)，連接0。，(91C.

IT

貝吐。。。=30。=不

兀

OOi=OA-OiC=300-01C,又OiC=OiOsin不

故OiC=(300-OiC)x1,

解得O\C=100m.

這時(shí)的面積為兀X10()2=io。。。無⑺?).

18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合且

與單位圓相交于A點(diǎn)，它的終邊與單位圓相交于x軸上方一點(diǎn)8,始邊不動(dòng)，終

邊在運(yùn)動(dòng).

4

⑴若點(diǎn)8的橫坐標(biāo)為-彳求tana的值；

(2)若△A03為等邊三角形，寫出與角a終邊相同的角§的集合；

(3)若a€(0,y,請(qǐng)寫出弓形A3的面積S與a的函數(shù)關(guān)系式.

解⑴由題意可得4-,，I],

根據(jù)三角函數(shù)的定義得tana="=

TT

(2)若aAOB為等邊三角形，則/AOB=y,故與角a終邊相同的角夕的集合

為1業(yè)=苧+2也，攵Wz|.

“公2兀]

⑶若ajo,yj,

貝US扇形=于嚴(yán)=2a,

第20頁(yè)共175頁(yè)

而S^AOB=2X1X1Xsince=pina,

??/2',~~

故弓形的面積s=s扇形-SyoB=]a-2sina,a€(0,y.

2.第2講同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式

2.1.基礎(chǔ)知識(shí)整理

卜。知識(shí)梳理

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

⑴平方關(guān)系：|01|sin2a+cos2a=1.

(2)商數(shù)關(guān)系：叵胖;tana.

2.六組誘導(dǎo)公式

/、.

公式一二三四五

2kn+n

角n+a—aIT—a2+a

a(kez)2~a

正弦sina一sina一sinasinacosacosa

余弦cosa—cosacosa—cosasina—sina

正切tanatana—tana-tana———

函數(shù)名改變，符號(hào)看象

口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限

限

知識(shí)拓展

同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的常用變形

(sina±cosa)2=l±2sinacosa；

(sina+cosa)2+(since-cosa)2=2;

(sina+cosa)2一(sina-cosa)2=4sinacosa;

sina=tanacosjaW,+Z兀,2€Z);

.9si/atan2a

sinex,—.92=21,

siira+cosatarra+1

9cos2a]

=

COS(X—s.in7'a+cos2/。t.arr2a+1?

第21頁(yè)共175頁(yè)

雙基自測(cè)

1.若cosa=（，a€2，0）,貝ljtana等于（）

A.一半B.申

C.-2y[2D.2啦

答案c

解析由已知得sina=-4-cos2a=一Y1一3=2^2...,sina

所以tana=

一3，1cosa

=-2^2,選C.

2.（2021.大同模擬）若角600。的終邊上有一點(diǎn)（-4,a）,則a的值是（）

A.-4sB.±4小

C.小D.4小

答案A

解析tan600°=~~=tan（540°+60°）=tan60°=,.'.a=-45.故選A.

—4

3.已知sin（兀+。）=—小COS（2TT—0）,也則。等于（）

答案D

解析,；sin（無+。）=-小cos（2兀-0）,

一sin8=-小cos。，.tanO=-\/3.'\0\<^,：.9=^.

4.（2020?杭州學(xué)軍中學(xué)模擬）已知COS31?！?，則sin239°-tanl49。的值為（）

1-a2I-----

\I-a2

A.aB.v

a1-1I-----

C.-D.-業(yè)-〃

答案B

第22頁(yè)共175頁(yè)

解析sin239°tanl49°=sin(270°-31°)tan(180°-31°)=-cos31°-(-tan31°)

=sin31°=y]l-a2.

(g

cosla-21

5,化簡(jiǎn)一7^—Yin(a—7i)cos(2兀一a)的結(jié)果為______.

sinl-y+a\

答案-sin%

解析原式=晨3-sina)cosa=-sin2a.

6.已知。是第二象限的角，tana=-;，貝l」cosa=.

依82^5

答案一寶

解析因?yàn)橄κ堑诙笙薜慕牵?/p>

所以sina>0,cosa<0,由tana=-;，

得since=-gcosa,代入sin2a+cos2a=1中，

5215

得^cos2a=1,所以cosa=-

2.2.考試核心突破

2.2.1.考向一誘導(dǎo)公式的應(yīng)用

tan(7t+a)cos(2兀+a)sinla-"

例化簡(jiǎn)：—QQ；

1(1)cIos(----a----3兀)sin(-3兀~-a)

答案-1

tanacosasin_2兀+(a+習(xí)]

解析原式-cos(3兀+a)[-sin(3兀+a)]

tanacosasin172+a)_t,anacosacosa

-cosasina-一cosasina

第23頁(yè)共175頁(yè)

_tanacosa_singcosa_1

一sina-cosasina-,

(2)已知cos(75o+a)=，，a是第三象限角，貝ljsin(195。-a)+cos(a-15。)的

值為.