2024-2025學年湖北省荊門市德藝高級中學高二（上）期中數學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年湖北省荊門市德藝高級中學高二（上）期中數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.從1，2，3，4，5中有放回地依次取出兩個數，則下列各對事件是互斥而不對立事件的是(

)A.恰有1個是奇數和全是奇數 B.恰有1個是偶數和至少有1個是偶數

C.至少有1個是奇數和全是奇數 D.至少有1個是偶數和全是偶數2.兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列，則兩位女同學相鄰的概率是(

)A.16 B.14 C.13 3.如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側棱A.22

B.10

C.24.A={1,2,3}，B={x∈R|x2?ax+b=0,a∈A,b∈A}，則A∩B=B的概率是A.29 B.13 C.895.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，若點P滿足APA.25144 B.512 C.13206.已知直線l1：ax+2y+6=0和直線l2：x+(a?1)y+a2?1=0，以下論述中：

(1)當a≠?1或a≠2時，l1與l2相交；

(2)當l1//l2時，a=?1或a=2；

(3)當且僅當a=?1時，l1//A.1個 B.2個 C.3個 D.4個7.曲線y=1+4?x2與直線y=k(x?2)+4有兩個交點，則實數kA.(512,+∞) B.(13,8.在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D，中，E，F分別為棱AA1、BB1的中點，M為棱A1B1上的一點，且A.3λ

B.22

C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.在兩坐標軸上截距相等，且到點A(3,1)的距離為2的直線方程可以是(

)A.x+y?6=0 B.x+y?2=0 C.x+7y=0 D.x?y=010.已知圓C：(x?1)2+(y?2)2=25，直線lA.直線l恒過定點(3,1)

B.圓C被y軸截得的弦長為2+26

C.直線l與圓C恒相交

D.直線l被圓C截得最短弦長時，直線l11.在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AA1=1，點P滿足A.當λ=1時，△AB1P的周長為定值

B.當μ=1時，三棱錐P?A1BC的體積為定值

C.當λ=12時，有且僅有一個點P，使得A1P⊥BP三、填空題：本題共3小題，共20分。12.如圖所示，在一次游戲中，小明需要在9個小格子中填上1至9中不重復的整數，小明通過推理已經得到了4個小格子中的準確數字，a，b，c，d，e這5個數字未知，且b，d為奇數，則a+b>5的概率為______．13.已知直線l：3x?y?1=0及點A(4,1)，B(0,4)，點Q在l上，當|AQ|?|BQ|的值最大時，點的坐標為______，|AQ|?|BQ|的最大值為______．14.已知空間四邊形OABC各邊及對角線長都相等，E，F分別為AB，OC的中點，向量OE與BF夾角的余弦值______．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

隨著小汽車的普及，“駕駛證”已經成為現代人“必考”證件之一，若某人報名參加了駕駛證考試，要順利地拿到駕駛證，需要通過四個科目的考試，其中科目二為場地考試．在每一次報名中，每個學員有5次參加科目二考試的機會(這5次考試機會中任何一次通過考試，就算順利通過，即進入下一科目考試，若5次都沒有通過，則需要重新報名)，其中前2次參加科目二考試免費，若前2次都沒有通過，則以后每次參加科目二考試都需要交200元的補考費，某駕校通過幾年的資料統(tǒng)計，得到如下結論：男性學員參加科目二考試，每次通過的概率均為34，女性學員參加科目二考試，每次通過的概率均為23，現有這個駕校的一對夫妻學員同時報名參加駕駛證科目二考試，若這對夫妻每人每次是否通過科目二考試相互獨立，他們參加科目二考試的原則為：通過科目二考試或者用完所有機會為止．

(Ⅰ)求這對夫妻在本次報名參加科目二考試通過且都不需要交補考費的概率；

(Ⅱ)求這對夫妻在本次報名參加科目二考試通過且產生的補考費用之和為200元的概率．16.(本小題12分)

已知△ABC的頂點A(5,1)，AB邊上的中線CM所在直線方程為2x?y?5=0，AC的邊上的高BH所在直線方程為x?2y?5=0．

(1)求頂點C的坐標；

(2)求直線BC的方程．17.(本小題12分)

已知圓C：(x?1)2+(y+1)2=4．

(1)過點P(3,2)向圓C作切線l，求切線l的方程；

(2)若Q為直線m：3x?4y+8=0上的動點，過Q向圓C18.(本小題12分)

如圖，三棱錐A?BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60°，E為BC中點．

(1)證明BC⊥DA；

(2)點F滿足EF=DA，求二面角D?AB?F的正弦值．19.(本小題12分)

如圖，四面體ABCD中，AD⊥CD，AD=CD，∠ADB=∠BDC，E為AC的中點．

(1)證明：平面BED⊥平面ACD；

(2)設AB=BD=2，∠ACB=60°，點F在BD上，當△AFC的面積最小時，求CF與平面ABD所成的角的正弦值．

參考答案1.A

2.D

3.B

4.C

5.B

6.B

7.D

8.D

9.ABCD

10.ACD

11.BD

12.2313.(2,5)

514.?215.解：(1)設ξ表示“這對夫妻在本次報名中參加科目二考試都不需要交補考費的事件”，Ai表示“丈夫在第i次參加科目二考試中通過”，

Bi表示“妻子在第i次參加科目二考試中通過”，則P(Ai)=34,P(Bi)=23，

則P(ξ)=P(A1B1)+P(A1?B1A216.解：(1)設C(m,n)，

∵AB邊上的中線CM所在直線方程為2x?y?5=0，AC邊上的高BH所在直線方程為x?2y?5=0．

∴2m?n?5=0n?1m?5×12=?1，解得m=4，n=3，

∴C(4,3)．

(2)設B(a,b)，則a?2b?5=0①，邊AB的中點M(a+52,b+12)，

所以2×a+52?b+12?1=0，②

①②聯立解得b=?317.解：(1)切線l的斜率不存在時，x=2滿足條件．

切線l的斜率存在時，設方程為y?2=k(x?3)，即kx?y+2?3k=0，

圓心C(1,?1)到切線l的距離=|k+1+2?3k|k2+1=2，解得k=512，可得切線方程為：5x?12y+9=0，

綜上可得切線l的方程為：x=2，或5x?12y+9=0．

(2)當CQ⊥m時，18.證明：(1)連接AE，DE，

∵DB=DC，E為BC中點．

∴DE⊥BC，

又∵DA=DB=DC，∠ADB=∠ADC=60°，

∴△ACD與△ABD均為等邊三角形，

∴AC=AB，

∴AE⊥BC，AE∩DE=E，

∴BC⊥平面ADE，

∵AD?平面ADE，

∴BC⊥DA．

(2)解：設DA=DB=DC=2，

∴BC=22，

∵DE=AE=2，AD=2，

∴AE2+DE2=4=AD2，

∴AE⊥DE，

又∵AE⊥BC，DE∩BC=E，

∴AE⊥平面BCD，

以E為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，

D(2,0,0)，A(0,0,2)，B(0,2,0)，E(0,0,0)，

∵EF=DA，

∴F(?2,0,2)，

∴DA=(?2,0,2)，AB=(0,2,?2)，AF=(?2,0,0)，

設平面DAB與平面ABF的一個法向量分別為19.(1)證明：∵AD=CD，E為AC的中點．∴DE⊥AC，

又∵AD=CD，∠ADB=∠BDC，BD=BD，∴△ABD≌△CBD，

∴AB=BC，又∵E為AC的中點．∴EB⊥AC，

又BE∩DE=E，BE，DE?平面BED，

∴AC⊥平面BED，又AC?平面ACD，

∴平面BED⊥平面ACD；

(2)解：連接EF，由(1)知AC⊥EF，∴S△AFC=12AC×EF，

故EF最小時，△AFC的面積最小，∴EF⊥BD時，△AFC的面積最小，

又AC⊥平面BED，BD?平面BED，∴AC⊥BD，

又AC∩EF=E，AC，EF?平面AFC，

∴BD⊥平面AFC