2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之集合

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之集合一．選擇題（共10小題）1．（2024?西寧二模）已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為A．， B． C． D．，2．（2024?廣漢市校級(jí)模擬）設(shè)集合，1，2，，，0，1，2，，則A．，0，1，2， B．， C．，1，2， D．，2，3．（2024?貴池區(qū)校級(jí)一模）設(shè)全集，2，3，4，5，6，，集合，2，4，，，3，，則韋恩圖中陰影部分表示的集合為A．， B．， C．， D．，3，4．（2024?湖北模擬）已知集合，，，則下列表述正確的是A． B． C． D．5．（2024?開封模擬）設(shè)，已知集合，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．， C． D．，6．（2024?威海二模）在研究集合時(shí)，用（A）來表示有限集合中元素的個(gè)數(shù)．集合，2，3，，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A．， B．， C． D．7．（2024?長(zhǎng)沙模擬）集合，，則A． B． C． D．8．（2024?曲靖模擬）已知集合，，，，則中元素的個(gè)數(shù)為A．2 B．3 C．4 D．69．（2024?連云港模擬）已知全集，集合，滿足，則下列關(guān)系一定正確的是A． B． C． D．10．（2024?湖北模擬）已知集合，，，，若定義集合運(yùn)算：，，，則集合的所有元素之和為A．6 B．3 C．2 D．0二．多選題（共5小題）11．（2024?石家莊模擬）某校“五一田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)”上，共有12名同學(xué)參加100米、400米、1500米三個(gè)項(xiàng)目，其中有8人參加“100米比賽”，有7人參加“400米比賽”，有5人參加“1500米比賽”，“100米和400米”都參加的有4人，“100米和1500米”都參加的有3人，“400米和1500米”都參加的有3人，則下列說法正確的是A．三項(xiàng)比賽都參加的有2人 B．只參加100米比賽的有3人 C．只參加400米比賽的有3人 D．只參加1500米比賽的有1人12．（2024?南通模擬）設(shè)為全集，集合、、滿足條件，那么下列各式中不一定成立的是A． B． C． D．13．（2024?莊浪縣校級(jí)一模）函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋?，下列結(jié)論中一定成立的結(jié)論的序號(hào)是A．， B．， C． D．14．（2024?開封一模）設(shè)集合，，則A． B． C． D．，15．（2024?廣東模擬）設(shè)是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)數(shù)．若對(duì)于任意，，都有，，，且若，則，則稱是一個(gè)數(shù)域．例如，有理數(shù)集是數(shù)域．下列命題正確的是A．?dāng)?shù)域必含有0，1兩個(gè)數(shù) B．整數(shù)集是數(shù)域 C．若有理數(shù)集，則數(shù)集一定是數(shù)域 D．?dāng)?shù)域中有無限多個(gè)元素三．填空題（共5小題）16．（2024?三明模擬）記表示個(gè)元素的有限集，（E）表示非空數(shù)集中所有元素的和，若集合，則，若，則的最小值為．17．（2024?鄒城市校級(jí)三模）已知集合，1，，，，若，則實(shí)數(shù)．18．（2024?上海）設(shè)全集，2，3，4，，集合，，則．19．（2024?貴州模擬）已知集合，，若，則．20．（2024?斗門區(qū)校級(jí)模擬）已知集合，2，，，，，則集合的元素個(gè)數(shù)為．四．解答題（共5小題）21．（2024?順義區(qū)一模）給定正整數(shù)，設(shè)集合，，，．若對(duì)任意，，2，，，，兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于，則稱集合具有性質(zhì)．（Ⅰ）分別判斷集合，2，與，0，1，是否具有性質(zhì)；（Ⅱ）若集合，，具有性質(zhì)，求的值；（Ⅲ）若具有性質(zhì)的集合中包含6個(gè)元素，且，求集合．22．（2024?景德鎮(zhèn)模擬）設(shè)，是非空集合，定義二元有序?qū)?，為和的笛卡爾積．若，則稱是到的一個(gè)關(guān)系．當(dāng)時(shí)，則稱與是相關(guān)的，記作．已知非空集合上的關(guān)系是的一個(gè)子集，若滿足，有，則稱是自反的：若，，有，則，則稱是對(duì)稱的；若，，，有，，則，則稱是傳遞的．且同時(shí)滿足以上三種關(guān)系時(shí)，則稱是集合中的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，記作．（1）設(shè)，2，3，4，5，，，，，，，，，，，，，2，，，5，，求集合，與，；（2）設(shè)是非空有限集合中的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，記中的子集，為的等價(jià)類，求證：存在有限個(gè)元素，使得，且對(duì)任意，，，2，，；（3）已知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，其中，，數(shù)列滿足，其中，前項(xiàng)和為．若給出上的兩個(gè)關(guān)系和，請(qǐng)求出關(guān)系，判斷是否為上的等價(jià)關(guān)系．如果不是，請(qǐng)說明你的理由；如果是，請(qǐng)證明你的結(jié)論并請(qǐng)寫出中所有等價(jià)類作為元素構(gòu)成的商集合．23．（2024?馬鞍山模擬）已知是全體復(fù)數(shù)集的一個(gè)非空子集，如果，，總有，，，則稱是數(shù)環(huán)．設(shè)是數(shù)環(huán)，如果①內(nèi)含有一個(gè)非零復(fù)數(shù)；②，且，有，則稱是數(shù)域．由定義知有理數(shù)集是數(shù)域．（1）求元素個(gè)數(shù)最小的數(shù)環(huán)；（2）證明：記，證明：是數(shù)域；（3）若，是數(shù)域，判斷是否是數(shù)域，請(qǐng)說明理由．24．（2024?重慶模擬）設(shè)集合、為正整數(shù)集的兩個(gè)子集，、至少各有兩個(gè)元素．對(duì)于給定的集合，若存在滿足如下條件的集合①對(duì)于任意，，若，都有；②對(duì)于任意，，若，則．則稱集合為集合的“集”．（1）若集合，3，，求的“集”；（2）若三元集存在“集”，且中恰含有4個(gè)元素，求證：；（3）若，，，存在“集”，且，求的最大值．25．（2023?東城區(qū)模擬）對(duì)非空數(shù)集，，定義，，記有限集的元素個(gè)數(shù)為．（1）若，3，，，2，，求，，；（2）若，，，2，3，，當(dāng)最大時(shí)，求中最大元素的最小值；（3）若，，求的最小值．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之集合參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?西寧二模）已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為A．， B． C． D．，【答案】【考點(diǎn)】圖表示交并補(bǔ)混合運(yùn)算【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；集合；數(shù)形結(jié)合法；轉(zhuǎn)化思想【分析】陰影部分表示的集合為，根據(jù)集合關(guān)系即可得到結(jié)論．【解答】解：由圖可知陰影部分對(duì)應(yīng)的集合為，集合，，或，即．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，利用圖象先確定集合關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024?廣漢市校級(jí)模擬）設(shè)集合，1，2，，，0，1，2，，則A．，0，1，2， B．， C．，1，2， D．，2，【答案】【考點(diǎn)】求集合的交集【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；運(yùn)算求解【分析】根據(jù)集合交集運(yùn)算求解即可．【解答】解：，1，2，，，0，1，2，，則，1，2，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查并集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．3．（2024?貴池區(qū)校級(jí)一模）設(shè)全集，2，3，4，5，6，，集合，2，4，，，3，，則韋恩圖中陰影部分表示的集合為A．， B．， C．， D．，3，【答案】【考點(diǎn)】圖表示交并補(bǔ)混合運(yùn)算【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；集合；整體思想【分析】根據(jù)圖中集合之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．【解答】解：由題意得，6，，，3，，所以陰影部分表示的集合為，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圖表達(dá)集合的關(guān)系和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．4．（2024?湖北模擬）已知集合，，，則下列表述正確的是A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】判斷兩個(gè)集合的包含關(guān)系【專題】集合思想；邏輯推理；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法【分析】由集合間的關(guān)系判斷即可得解．【解答】解：，，、，，、為奇數(shù)、為任意整數(shù)、．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的關(guān)系的判斷，集合的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題．5．（2024?開封模擬）設(shè)，已知集合，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．， C． D．，【考點(diǎn)】：交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算【專題】38：對(duì)應(yīng)思想；：定義法；：集合【分析】根據(jù)集合的定義與運(yùn)算性質(zhì)，進(jìn)行化簡(jiǎn)、運(yùn)算即可．【解答】解：，集合，，，，又，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的定義與運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題目．6．（2024?威海二模）在研究集合時(shí)，用（A）來表示有限集合中元素的個(gè)數(shù)．集合，2，3，，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A．， B．， C． D．【答案】【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算【專題】整體思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解【分析】根據(jù)題意，確定，，從而求出的值．【解答】解：由題：，所以，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．7．（2024?長(zhǎng)沙模擬）集合，，則A． B． C． D．【考點(diǎn)】：交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算【專題】65：數(shù)學(xué)運(yùn)算；37：集合思想；：定義法；：集合【分析】根據(jù)集合的定義計(jì)算即可．【解答】解：由，，所以，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的定義與運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題．8．（2024?曲靖模擬）已知集合，，，，則中元素的個(gè)數(shù)為A．2 B．3 C．4 D．6【答案】【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算【專題】定義法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算；集合思想【分析】利用交集定義求出，，，，則答案可求．【解答】解：集合，，，，，，，，．中元素的個(gè)數(shù)為4．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查交集及其運(yùn)算，考查交集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．9．（2024?連云港模擬）已知全集，集合，滿足，則下列關(guān)系一定正確的是A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算；集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用【專題】集合；定義法；對(duì)應(yīng)思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)已知條件，求得，再進(jìn)行選擇即可．【解答】解：因?yàn)榧?，滿足，故可得，對(duì)：當(dāng)為的真子集時(shí)，不成立；對(duì)：當(dāng)為的真子集時(shí)，也不成立；對(duì)，恒成立；對(duì)：當(dāng)為的真子集時(shí)，不成立；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．10．（2024?湖北模擬）已知集合，，，，若定義集合運(yùn)算：，，，則集合的所有元素之和為A．6 B．3 C．2 D．0【答案】【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷【專題】集合思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)的定義即可求出的元素，從而得解．【解答】解：因?yàn)椋?，，所以集合的所有元素之和為6．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了元素與集合的關(guān)系，的定義，是基礎(chǔ)題．二．多選題（共5小題）11．（2024?石家莊模擬）某?！拔逡惶飶竭\(yùn)動(dòng)會(huì)”上，共有12名同學(xué)參加100米、400米、1500米三個(gè)項(xiàng)目，其中有8人參加“100米比賽”，有7人參加“400米比賽”，有5人參加“1500米比賽”，“100米和400米”都參加的有4人，“100米和1500米”都參加的有3人，“400米和1500米”都參加的有3人，則下列說法正確的是A．三項(xiàng)比賽都參加的有2人 B．只參加100米比賽的有3人 C．只參加400米比賽的有3人 D．只參加1500米比賽的有1人【答案】【考點(diǎn)】圖表示交并補(bǔ)混合運(yùn)算【專題】集合；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；綜合法【分析】作出韋恩圖，數(shù)形結(jié)合求解．【解答】解：設(shè)參加100米、400米、1500米三個(gè)項(xiàng)目的集合分別為、、，則（A），（B），（C），，，，設(shè)，可得，解得，所以三項(xiàng)比賽都參加的有2人，只參加100米比賽的有3人，只參加400米比賽的有2人，只參加1500米比賽的有1人，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查韋恩圖、交集等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．12．（2024?南通模擬）設(shè)為全集，集合、、滿足條件，那么下列各式中不一定成立的是A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用；交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算【專題】集合思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】分①，②，，③，三種情況討論判斷即可．【解答】解：①當(dāng)時(shí)，滿足，但是不一定成立，也不一定成立，成立，②當(dāng)，時(shí)，此時(shí)，但是不一定成立，成立，③若，時(shí)，此時(shí)，所以不一定成立的是．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合間的基本關(guān)系，考查了集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．13．（2024?莊浪縣校級(jí)一模）函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋?，下列結(jié)論中一定成立的結(jié)論的序號(hào)是A．， B．， C． D．【答案】【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用；函數(shù)的定義域及其求法【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；集合；整體思想【分析】先研究值域?yàn)?，時(shí)函數(shù)的定義域，再研究使得值域?yàn)?，得函?shù)的最小值的自變量的取值集合，研究函數(shù)值取1，2時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的取值，由此可判斷各個(gè)選項(xiàng)．【解答】解：由于，，，，，，，，，，即函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)函數(shù)的最小值為1時(shí)，僅有滿足，所以，故正確；當(dāng)函數(shù)的最大值為2時(shí)，僅有滿足，所以，故正確；即當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，，故，，故，不一定正確，故正確，錯(cuò)誤；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，解題的關(guān)鍵是通過函數(shù)的值域求出函數(shù)的定義域，再利用元素與集合關(guān)系的判斷，集合的包含關(guān)系判斷，考查了學(xué)生的邏輯推理與轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．14．（2024?開封一模）設(shè)集合，，則A． B． C． D．，【答案】【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用；集合的表示法；集合的相等【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；集合；集合思想【分析】由，，，可得．【解答】解：集合，，，則，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．15．（2024?廣東模擬）設(shè)是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)數(shù)．若對(duì)于任意，，都有，，，且若，則，則稱是一個(gè)數(shù)域．例如，有理數(shù)集是數(shù)域．下列命題正確的是A．?dāng)?shù)域必含有0，1兩個(gè)數(shù) B．整數(shù)集是數(shù)域 C．若有理數(shù)集，則數(shù)集一定是數(shù)域 D．?dāng)?shù)域中有無限多個(gè)元素【答案】【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷；集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用【專題】轉(zhuǎn)化思想；集合；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)數(shù)域的定義逐項(xiàng)進(jìn)行分析即可．【解答】解：因?yàn)槭且粋€(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)數(shù)，可知中必有一個(gè)非零實(shí)數(shù)，對(duì)于選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，、，故正確；對(duì)于選項(xiàng)：例如，，但，不滿足條件，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)：例如，取，，但，所以數(shù)集不是一個(gè)數(shù)域，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)：由選項(xiàng)可知：數(shù)域必含有0，1兩個(gè)數(shù)，根據(jù)數(shù)域的性質(zhì)可知：數(shù)域必含有0，1，2，3，，必為無限集，故可知正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)域的定義，元素與集合的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．三．填空題（共5小題）16．（2024?三明模擬）記表示個(gè)元素的有限集，（E）表示非空數(shù)集中所有元素的和，若集合，則，7，8，，若，則的最小值為．【答案】，7，8，；21．【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；定義法；集合；集合思想【分析】第一空，根據(jù)集合新定義可寫出的所有可能情況，即可求得答案；第二空，由題意求出，4，5，，，利用等差數(shù)列的求和公式列不等式，結(jié)合解一元二次不等式求出的范圍，即可求得答案．【解答】解：當(dāng)，時(shí)，表示3個(gè)元素的有限集，由可知，2，或，2，或，3，或，3，，故，7，8，；由題意知，4，5，，，故由可得，即，解得或（舍去），結(jié)合，故的最小值為21，故答案為：，7，8，；21．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合新定義，屬于中檔題．17．（2024?鄒城市校級(jí)三模）已知集合，1，，，，若，則實(shí)數(shù)．【答案】．【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用【專題】整體思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；集合【分析】據(jù)子集關(guān)系求出可能解，再利用集合中元素的互異性求出不能取的值即可得出的值．【解答】解：因?yàn)?，所以或，或，又由集合中元素的互異性可知且且，且，綜上．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合包含關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．18．（2024?上海）設(shè)全集，2，3，4，，集合，，則，3，．【答案】，3，．【考點(diǎn)】補(bǔ)集及其運(yùn)算【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合【分析】結(jié)合補(bǔ)集的定義，即可求解．【解答】解：全集，2，3，4，，集合，，則，3，．故答案為：，3，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查補(bǔ)集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．19．（2024?貴州模擬）已知集合，，若，則．【答案】．【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；定義法；集合；集合思想【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系列方程求解．【解答】解：由題意，或者，解得或，當(dāng)時(shí)，不符合集合元素的互異性，故．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．20．（2024?斗門區(qū)校級(jí)模擬）已知集合，2，，，，，則集合的元素個(gè)數(shù)為2．【答案】2．【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷；集合中元素個(gè)數(shù)的最值【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；集合思想；集合；定義法【分析】利用列舉法表示集合，能求出結(jié)果．【解答】解：集合，2，，，，，，則集合的元素個(gè)數(shù)為2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查元素與集合的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．四．解答題（共5小題）21．（2024?順義區(qū)一模）給定正整數(shù)，設(shè)集合，，，．若對(duì)任意，，2，，，，兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于，則稱集合具有性質(zhì)．（Ⅰ）分別判斷集合，2，與，0，1，是否具有性質(zhì)；（Ⅱ）若集合，，具有性質(zhì)，求的值；（Ⅲ）若具有性質(zhì)的集合中包含6個(gè)元素，且，求集合．【答案】（Ⅰ）集合，2，不具有性質(zhì)，集合，0，1，具有性質(zhì)．（Ⅱ）．（Ⅲ）或．【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷；數(shù)列的應(yīng)用【專題】計(jì)算題；集合思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（Ⅰ）根據(jù)性質(zhì)的定義，即可判斷兩個(gè)集合是否滿足．（Ⅱ）根據(jù)性質(zhì)的定義，首先確定，，，再討論是否屬于集合，0，，即可確定的取值，即可求解．（Ⅲ）首先確定集合中有0，并且有正數(shù)和負(fù)數(shù)，然后根據(jù)性質(zhì)討論集合中元素的關(guān)系，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）集合，2，中的，2，，，2，，所以集合，2，不具有性質(zhì)，集合，0，1，中的任何兩個(gè)相同或不同的元素，相加或相減，兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于集合，0，1，，所以集合，0，1，具有性質(zhì)；（Ⅱ）若集合，，具有性質(zhì)，記，，，則，令，則，，，從而必有，，，不妨設(shè)，則，0，，且，令，，則，，0，，且，，0，，且，以下分類討論：①當(dāng)，0，時(shí)，若，此時(shí)，，0，滿足性質(zhì)；若，舍；若，無解；②當(dāng)，0，時(shí)，則，，0，，注意且，可知無解；經(jīng)檢驗(yàn)，0，符合題意，綜上；（Ⅲ）首先容易知道集合中有0，有正數(shù)也有負(fù)數(shù)，不妨設(shè)，，，，0，，，，，其中，，，根據(jù)題意，，，，，，且，，，，，，從而，，或，①當(dāng)，，時(shí)，，，，并且，，，，，由上可得，，，，，并且，綜上可知，，，0，，；②當(dāng)，，時(shí)，同理可得，，0，，，，據(jù)此，當(dāng)中有包含6個(gè)元素，且時(shí)，符合條件的集合有5個(gè)，分別是，，0，1，2，，，，0，，1，，，，0，，，，，，，0，1，，，，，0，，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查元素和集合的關(guān)系，屬于中檔題．22．（2024?景德鎮(zhèn)模擬）設(shè)，是非空集合，定義二元有序?qū)?，為和的笛卡爾積．若，則稱是到的一個(gè)關(guān)系．當(dāng)時(shí)，則稱與是相關(guān)的，記作．已知非空集合上的關(guān)系是的一個(gè)子集，若滿足，有，則稱是自反的：若，，有，則，則稱是對(duì)稱的；若，，，有，，則，則稱是傳遞的．且同時(shí)滿足以上三種關(guān)系時(shí)，則稱是集合中的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，記作．（1）設(shè)，2，3，4，5，，，，，，，，，，，，，2，，，5，，求集合，與，；（2）設(shè)是非空有限集合中的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，記中的子集，為的等價(jià)類，求證：存在有限個(gè)元素，使得，且對(duì)任意，，，2，，；（3）已知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，其中，，數(shù)列滿足，其中，前項(xiàng)和為．若給出上的兩個(gè)關(guān)系和，請(qǐng)求出關(guān)系，判斷是否為上的等價(jià)關(guān)系．如果不是，請(qǐng)說明你的理由；如果是，請(qǐng)證明你的結(jié)論并請(qǐng)寫出中所有等價(jià)類作為元素構(gòu)成的商集合．【答案】（1），3，4，5，，，2，4，；（2）證明見解答；（3）為奇數(shù)，是上的等價(jià)關(guān)系，證明見解答．【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；集合；整體思想；綜合題【分析】（1）結(jié)合所給定義，分別求出，2，3時(shí)對(duì)應(yīng)的的值，，5，6時(shí)對(duì)應(yīng)的的值；（2）結(jié)合所給定義中的自反性、對(duì)稱性與傳遞性，借助反證法可得：，，總有或，即可得證；（3）借助等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算可得數(shù)列為等差數(shù)列，結(jié)合題目所給條件借助反證法可得，結(jié)合所給定義及奇偶性的討論即可得解．【解答】解：（1）由，，，2，，，，，，，，，，，，當(dāng)時(shí)，有，3，4，6，當(dāng)時(shí)，有，5，當(dāng)時(shí)，有，有，3，4，5，，又，5，，，，當(dāng)時(shí)，有，4，當(dāng)時(shí)，有，5，當(dāng)時(shí)，有，則，2，4，；（2）證明：因?yàn)槭侵械囊粋€(gè)等價(jià)關(guān)系，由自反性可知，故不為空集．若，不妨假設(shè)，所以必有與，由自反性可知即，再由傳遞性可知．，則，而，即，于是由傳遞性有，故，所以．同理可證明，所以．綜上所述，，，總有或．任取構(gòu)成，又任取構(gòu)成，再任取構(gòu)成，，以此類推，因?yàn)槭怯邢藜希Y(jié)合上述結(jié)論可知必存在有限個(gè)元素，2，，，使得，其中；（3）證明：因?yàn)椋?，所以，故，，所以必存在．由題意可知當(dāng)時(shí)，有，整理即：，將代入得：，即，所以數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，當(dāng)時(shí)，有，顯然成立．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，即?shù)列不為常數(shù)列，則，所以，所以，即，由．而，因?yàn)椋?，而，顯然此方程無解，所以，與題意矛盾，綜上所述只有．所以．因?yàn)?，由于?shù)列不為常數(shù)列，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，故為奇數(shù)．所以，，而為奇數(shù)，所以與一奇一偶，所以，，，三奇一偶或兩奇兩偶，又，所以，，，不可能三奇一偶，故，均為奇數(shù)，，均為偶數(shù)或，均為偶數(shù)，，均為奇數(shù)．所以或，當(dāng)時(shí)，，，所以是自反的；當(dāng)，，將，與，取值對(duì)調(diào)，則，，所以是對(duì)稱的；當(dāng)，與，，即，其中，，為奇數(shù)，，，為偶數(shù)或，，為偶數(shù)，，，為奇數(shù)，所以，，所以是傳遞的．綜上所述，是上的等價(jià)關(guān)系，其中．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查元素和集合的關(guān)系，屬于難題．23．（2024?馬鞍山模擬）已知是全體復(fù)數(shù)集的一個(gè)非空子集，如果，，總有，，，則稱是數(shù)環(huán)．設(shè)是數(shù)環(huán)，如果①內(nèi)含有一個(gè)非零復(fù)數(shù)；②，且，有，則稱是數(shù)域．由定義知有理數(shù)集是數(shù)域．（1）求元素個(gè)數(shù)最小的數(shù)環(huán)；（2）證明：記，證明：是數(shù)域；（3）若，是數(shù)域，判斷是否是數(shù)域，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）證明過程見解析；（3）不一定是數(shù)域，理由見解析．【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷【專題】集合思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）根據(jù)數(shù)環(huán)的概念求解；（2）根據(jù)數(shù)域的概念證明；（3）不一定是數(shù)域，舉反例說明即可．【解答】解：（1）是數(shù)環(huán)，所以集合非空，即至少含有一個(gè)復(fù)數(shù)，取，則，而顯然是一個(gè)數(shù)環(huán)，故；（2）證明：顯然，對(duì)任意，，，，，，所以，，所以是數(shù)環(huán)，又因?yàn)椋适且粋€(gè)數(shù)域；（3）不一定是數(shù)域，理由如下：取，，，則，但，故不是數(shù)域，而若，是數(shù)域，且，則是數(shù)域．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合中的新定義問題，考查了元素與集合的關(guān)系，屬于中檔題．24．（2024?重慶模擬）設(shè)集合、為正整數(shù)集的兩個(gè)子集，、至少各有兩個(gè)元素．對(duì)于給定的集合，若存在滿足如下條件的集合①對(duì)于任意，，若，都有；②對(duì)于任意，，若，則．則稱集合為集合的“集”．（1）若集合，3，，求的“集”；（2）若三元集存在“集”，且中恰含有4個(gè)元素，求證：；（3）若，，，存在“集”，且，求的最大值．【答案】（1），9，；（2）證明見解答；（3）4．【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷【專題】集合思想；綜合題；集合；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）根據(jù)定義直接求解；（2）利用反證法推矛盾即可證明；（3）設(shè)，結(jié)合（2）的結(jié)論推出不成立，結(jié)合定義和得即可求解．【解答】解：（1）若，3，，由題意可得，，，，即3，9，，此時(shí)，滿足題意，假設(shè)集合中還有第四個(gè)元素為，則由題意可知：若，即，則，所以不成立；若，則，所以或9或27，矛盾．故集合中無四個(gè)元素，所以集合，9，．（2）設(shè)集合，，，不妨設(shè)，假設(shè)，即，則且，，，由②知，注意到，故有，即，所以，故，即，因?yàn)榧现杏?個(gè)元素，故設(shè)，由②可得：若，則，所以，矛盾；若，則或或，所以或或，與集合元素的互異性矛盾，假設(shè)錯(cuò)誤，故．（3），不妨設(shè)，所以，，又，故，同理可得，若，與（2）類似得，從而必有，對(duì)任意的，有，即，所以，即．若，即，故，所以，即，從而必有，對(duì)任意的，必有，即，所以，即．綜上，得，又時(shí)，有，4，8，，，16，32，64，符合題意，所以的最大值為4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查元素和集合的關(guān)系，屬于中檔題．25．（2023?東城區(qū)模擬）對(duì)非空數(shù)集，，定義，，記有限集的元素個(gè)數(shù)為．（1）若，3，，，2，，求，，；（2）若，，，2，3，，當(dāng)最大時(shí)，求中最大元素的最小值；（3）若，，求的最小值．【答案】（1），，．（2）13．（3）15．【考點(diǎn)】子集與交集、并集運(yùn)算的轉(zhuǎn)換【專題】集合思想；轉(zhuǎn)化法；集合；邏輯推理【分析】（1）根據(jù)新定義求出，，，進(jìn)而可得答案．（2）設(shè)，，，，，當(dāng)中元素與中元素的差均不相同時(shí)，最大值，進(jìn)而可求得最大值，再通過，，，得到，推出中最大元素的最小值．（3）對(duì)非空數(shù)集，定義運(yùn)算，，，首先確定中不同的元素的差均不同，中不同的元素的差均不相同，由可得的最小值，然后驗(yàn)證最小值可以取到即可．【解答】解：（1）因?yàn)椋?，，，2，，所以，，0，2，，，，，0，1，2，，，，0，1，2，3，，所以，，．（2）設(shè)，，，，，①因?yàn)椋?，?dāng)中元素與中元素的差均不相同時(shí)等號(hào)成立，所以最大值為16．②當(dāng)時(shí)，中元素與中元素的差均不同，所以，又因?yàn)椋?，?，1，2，，所以，，，所以，則，綜上最大值為16，中最大元素的最小值為13．（3）對(duì)非空數(shù)集，定義運(yùn)算，，，①，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又因?yàn)椋灾胁煌氐牟罹幌嗤?，同理，中不同的元素的差均不相同，若，，，，因?yàn)?，所以，②令?，4，8，，，，，，，所以，中不同元素的差均不同，中不同元素的差均不同，所以，經(jīng)檢驗(yàn)，，符合題意，綜上，的最小值為15．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的新定義問題，正確理解題意是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．集合的表示法【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．列舉法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列舉出來，寫在大括號(hào)內(nèi)，這種表示集合的方法叫做列舉法．{1，2，3，…}，注意元素之間用逗號(hào)分開．2．描述法：常用于表示無限集合，把集合中元素的公共屬性用文字，符號(hào)或式子等描述出來，寫在大括號(hào)內(nèi)，這種表示集合的方法叫做描述法．即：{x|P}（x為該集合的元素的一般形式，P為這個(gè)集合的元素的共同屬性）如：小于π的正實(shí)數(shù)組成的集合表示為：{x|0＜x＜π}3．圖示法（Venn圖）：為了形象表示集合，我們常常畫一條封閉的曲線（或者說圓圈），用它的內(nèi)部表示一個(gè)集合．4．自然語言（不常用）．【解題方法點(diǎn)撥】在掌握基本知識(shí)的基礎(chǔ)上，（例如方程的解，不等式的解法等等），初步利用數(shù)形結(jié)合思想解答問題，例如數(shù)軸的應(yīng)用，Venn圖的應(yīng)用，通過轉(zhuǎn)化思想解答．注意解題過程中注意元素的屬性的不同，例如：{x|2x﹣1＞0}，表示實(shí)數(shù)x的范圍；{（x，y）|y﹣2x＝0}表示方程的解或點(diǎn)的坐標(biāo)．【命題方向】本考點(diǎn)是考試命題?？純?nèi)容，多在選擇題，填空題值出現(xiàn)，可以與集合的基本關(guān)系，不等式，簡(jiǎn)易邏輯，立體幾何，線性規(guī)劃，概率等知識(shí)相結(jié)合．2．元素與集合關(guān)系的判斷【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、元素與集合的關(guān)系：一般地，我們把研究對(duì)象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡(jiǎn)稱集．元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號(hào)表示如：a∈A或a?A．2、集合中元素的特征：（1）確定性：作為一個(gè)集合中的元素，必須是確定的．即一個(gè)集合一旦確定，某一個(gè)元素屬于還是不屬于這集合是確定的．要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一，這個(gè)特性通常被用來判斷涉及的總體是否能構(gòu)成集合．（2）互異性：集合中的元素必須是互異的．對(duì)于一個(gè)給定的集合，他的任何兩個(gè)元素都是不同的．這個(gè)特性通常被用來判斷集合的表示是否正確，或用來求集合中的未知元素．（3）無序性：集合于其中元素的排列順序無關(guān)．這個(gè)特性通常被用來判斷兩個(gè)集合的關(guān)系．【命題方向】題型一：驗(yàn)證元素是否是集合的元素典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求證：（1）3∈A；（2）偶數(shù)4k﹣2（k∈Z）不屬于A．分析：（1）根據(jù)集合中元素的特性，判斷3是否滿足即可；（2）用反證法，假設(shè)屬于A，再根據(jù)兩偶數(shù)的積為4的倍數(shù)；兩奇數(shù)的積仍為奇數(shù)得出矛盾，從而證明要證的結(jié)論．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）設(shè)4k﹣2∈A，則存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、當(dāng)m，n同奇或同偶時(shí)，m﹣n，m+n均為偶數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為4的倍數(shù)，與4k﹣2不是4的倍數(shù)矛盾．2、當(dāng)m，n一奇，一偶時(shí)，m﹣n，m+n均為奇數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為奇數(shù)，與4k﹣2是偶數(shù)矛盾．綜上4k﹣2?A．點(diǎn)評(píng)：本題考查元素與集合關(guān)系的判斷．分類討論的思想．題型二：知元素是集合的元素，根據(jù)集合的屬性求出相關(guān)的參數(shù)．典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求實(shí)數(shù)a的值．分析：通過3是集合A的元素，直接利用a+2與2a2+a＝3，求出a的值，驗(yàn)證集合A中元素不重復(fù)即可．解答：解：因?yàn)?∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）當(dāng)a+2＝3時(shí)，a＝1，…（5分）此時(shí)A＝{3，3}，不合條件舍去，…（7分）當(dāng)2a2+a＝3時(shí)，a＝1（舍去）或，…（10分）由，得，成立…（12分）故…（14分）點(diǎn)評(píng)：本題考查集合與元素之間的關(guān)系，考查集合中元素的特性，考查計(jì)算能力．【解題方法點(diǎn)撥】集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時(shí)要特別注意．分類討論的思想方法常用于解決集合問題．3．集合的相等【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】（1）若集合A與集合B的元素相同，則稱集合A等于集合B．（2）對(duì)集合A和集合B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，記作A＝B．就是如果A?B，同時(shí)B?A，那么就說這兩個(gè)集合相等，記作A＝B．（3）對(duì)于兩個(gè)有限數(shù)集A＝B，則這兩個(gè)有限數(shù)集A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性質(zhì)：①兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相等；②兩個(gè)集合的元素之和相等；③兩個(gè)集合的元素之積相等．由此知，以上敘述實(shí)質(zhì)是一致的，只是表達(dá)方式不同而已．上述概念是判斷或證明兩個(gè)集合相等的依據(jù)．【解題方法點(diǎn)撥】集合A與集合B相等，是指A的每一個(gè)元素都在B中，而且B中的每一個(gè)元素都在A中．解題時(shí)往往只解答一個(gè)問題，忽視另一個(gè)問題；解題后注意集合滿足元素的互異性．【命題方向】通常是判斷兩個(gè)集合是不是同一個(gè)集合；利用相等集合求出變量的值；與集合的運(yùn)算相聯(lián)系，也可能與函數(shù)的定義域、值域聯(lián)系命題，多以小題選擇題與填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)出現(xiàn)在大題的一小問．4．集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】概念：1．如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個(gè)元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A?B；2．如果集合A的每一個(gè)元素都是集合B的元素，反過來，集合B的每一個(gè)元素也都是集合A的元素，那么我們就說集合A等于集合B，即A＝B．【解題方法點(diǎn)撥】1．按照子集包含元素個(gè)數(shù)從少到多排列．2．注意觀察兩個(gè)集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性質(zhì)來判斷兩個(gè)集合之間的關(guān)系．4．有時(shí)借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法．【命題方向】通常命題的方式是小題，直接求解或判斷兩個(gè)或兩個(gè)以上的集合的關(guān)系，可以與函數(shù)的定義域，三角函數(shù)的解集，子集的個(gè)數(shù)，簡(jiǎn)易邏輯等知識(shí)相結(jié)合命題．5．判斷兩個(gè)集合的包含關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個(gè)元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A?B；【解題方法點(diǎn)撥】1．按照子集包含元素個(gè)數(shù)從少到多排列．2．注意觀察兩個(gè)集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性質(zhì)來判斷兩個(gè)集合之間的關(guān)系．4．有時(shí)借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法．【命題方向】通常命題的方式是小題，直接求解或判斷兩個(gè)或兩個(gè)以上的集合的關(guān)系．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2，3}，則（）A．A＞BB．B∈AC．A?BD．B?A解：由題意可得，B?A．故選：D．6．集合中元素個(gè)數(shù)的最值【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】求集合中元素個(gè)數(shù)的最大（?。┲祮栴}的方法通常有：類分法、構(gòu)造法、反證法、一般問題特殊化、特殊問題一般化等．需要注意的是，有時(shí)一道題需要綜合運(yùn)用幾種方法才能解決．7．交集及其運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號(hào)語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實(shí)際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當(dāng)兩個(gè)集合沒有公共元素時(shí)，兩個(gè)集合的交集是空集，而不能說兩個(gè)集合沒有交集．運(yùn)算性質(zhì)：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．⑤A∩B＝A?A?B．⑥A∩B＝?，兩個(gè)集合沒有相同元素．⑦A∩（?UA）＝?．⑧?U（A∩B）＝（?UA）∪（?UB）．【解題方法點(diǎn)撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖．【命題方向】掌握交集的表示法，會(huì)求兩個(gè)集合的交集．命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域，函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性等聯(lián)合命題．8．求集合的交集【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號(hào)語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實(shí)際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當(dāng)兩個(gè)集合沒有公共元素時(shí)，兩個(gè)集合的交集是空集，而不能說兩個(gè)集合沒有交集．運(yùn)算性質(zhì)：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．【解題方法點(diǎn)撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖．【命題方向】掌握交集的表示法，會(huì)求兩個(gè)集合的交集．已知集合A＝{x∈Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，則A∩B＝（）解：因?yàn)锳＝{x∈Z|x+1≥0}＝{x∈Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，所以A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故選：D．9．補(bǔ)集及其運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集，通常記作U．（通常把給定的集合作為全集）．對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱為集合A的補(bǔ)集，記作?UA，即?UA＝{x|x∈U，且x?A}．其圖形表示如圖所示的Venn圖．．【解題方法點(diǎn)撥】常用數(shù)軸以及韋恩圖幫助分析解答，補(bǔ)集常用于對(duì)立事件，否命題，反證法．【命題方向】通常情況下以小題出現(xiàn)，高考中直接求解補(bǔ)集的選擇題，有時(shí)出現(xiàn)在簡(jiǎn)易邏輯中，也可以與函數(shù)的定義域、值域，不等式的解集相結(jié)合命題，也可以在恒成立中出現(xiàn)．10．交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】集合交換律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合結(jié)合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C