2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練15

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練15一．選擇題（共10小題）1．（2024?利通區(qū)校級(jí)模擬）某禮品店銷售的一裝飾擺件如圖所示，由球和正三棱柱加工組合而成，球嵌入正三棱柱內(nèi)一部分且與上底面三條棱均相切，正三棱柱的高為4，底面正三角形邊長(zhǎng)為6，球的體積為，則該幾何體最高點(diǎn)到正三棱柱下底面的距離為A．5 B．6 C．7 D．82．（2024?濮陽(yáng)模擬）如圖，將繪有函數(shù)部分圖像的紙片沿軸折成直二面角，此時(shí)，之間的距離為，則A． B． C． D．3．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）如圖，三棱柱滿足棱長(zhǎng)都相等且平面，是棱的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)．設(shè)，隨著增大，平面與底面所成銳二面角的平面角是A．先增大再減小 B．減小 C．增大 D．先減小再增大4．（2024?日照模擬）如圖，已知四面體的棱平面，且，其余的棱長(zhǎng)均為．四面體以所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)弧度，且四面體始終在水平放置的平面的上方．如果將四面體在平面內(nèi)正投影面積看成關(guān)于的函數(shù)，記為，則函數(shù)的最小正周期與取得最小值時(shí)平面與平面所成角分別為A．，0 B． C． D．5．（2024?榆林三模）已知正三棱錐的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)的比值為，則三棱錐的側(cè)棱與底面所成角的正弦值為A． B． C． D．6．（2024?廣東模擬）半正多面體是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體，如圖所示的多面體就是一個(gè)半正多面體，其中四邊形和四邊形均為正方形，其余八個(gè)面為等邊三角形，已知該多面體的所有棱長(zhǎng)均為2，則平面與平面之間的距離為A． B． C． D．7．（2024?遼寧二模）已知二面角的平面角為，與平面所成角為．記的面積為，的面積為，則的取值范圍為A． B． C． D．8．（2024?臨沂二模）已知正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則A．直線與所成角的余弦值為 B．平面與平面夾角的余弦值為 C．在上存在點(diǎn)，使得 D．在上存在點(diǎn)，使得平面9．（2024?河南模擬）如圖是棱長(zhǎng)均為2的柏拉圖多面體，已知該多面體為正八面體，四邊形為正方形，、分別為、的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為A． B．1 C． D．10．（2024?荊州區(qū)校級(jí)模擬）已知正四棱臺(tái)上底面邊長(zhǎng)為1，下底面邊長(zhǎng)為2，體積為7，則正四棱臺(tái)的側(cè)棱與底面所成角的正切值為A． B． C． D．二．多選題（共5小題）11．（2024?故城縣校級(jí)模擬）如圖，已知圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線長(zhǎng)為2，，分別為上、下底面的直徑，，為圓臺(tái)的母線，為弧的中點(diǎn)，則A．圓臺(tái)的側(cè)面積為 B．直線與下底面所成的角的大小為 C．圓臺(tái)的體積為 D．異面直線和所成的角的大小為12．（2024?全國(guó)模擬）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則A．與是異面直線 B．存在點(diǎn)，使得，且平面 C．與平面所成角的余弦值為 D．點(diǎn)到平面的距離為13．（2024?中山市校級(jí)模擬）四棱錐的底面為正方形，與底面垂直，，，動(dòng)點(diǎn)在線段上，則A．不存在點(diǎn)，使得 B．的最小值為 C．四棱錐的外接球表面積為 D．點(diǎn)到直線的距離的最小值為14．（2024?遼寧模擬）如圖，圓錐的底面圓的直徑，母線長(zhǎng)為，點(diǎn)是圓上異于，的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是A．與底面所成角為 B．圓錐的表面積為 C．的取值范圍是 D．若點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，則二面角的平面角大小為15．（2024?青羊區(qū)校級(jí)模擬）已知正三棱柱的各棱長(zhǎng)都為1，為的中點(diǎn)，則A．直線與直線為異面直線 B．平面 C．二面角的正弦值為 D．若棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為三．填空題（共5小題）16．（2024?南昌模擬）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為．17．（2024?通州區(qū)模擬）如圖，幾何體是以正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體，點(diǎn)是圓弧的中點(diǎn)，點(diǎn)是圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，，給出下列四個(gè)結(jié)論：①不存在點(diǎn)，使得平面平面；②存在點(diǎn)，使得平面；③不存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離大于；④存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．18．（2024?博白縣模擬）如圖，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)處，測(cè)得從，到庫(kù)底與水壩的交線的距離分別為，．又測(cè)得的長(zhǎng)為，的長(zhǎng)為，則水庫(kù)底面與水壩斜面所成的二面角的大小為．19．（2024?洪山區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在直三棱柱中，，，，為線段上的一點(diǎn)，且二面角的正切值為3，則三棱錐的外接球的體積為．20．（2024?長(zhǎng)沙三模）如圖所示，直角三角形所在平面垂直于平面，一條直角邊在平面內(nèi)，另一條直角邊長(zhǎng)為且，若平面上存在點(diǎn)，使得△的面積為，則線段長(zhǎng)度的最小值為．四．解答題（共5小題）21．（2024?王益區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．22．（2024?天心區(qū)校級(jí)模擬）如圖，圓柱的軸截面是正方形，點(diǎn)在底面圓周上，，為垂足．（1）求證：．（2）當(dāng)直線與平面所成角的正切值為2時(shí)．①求平面與平面夾角的余弦值；②求點(diǎn)到平面的距離．23．（2024?東莞市校級(jí)三模）如圖，在矩形紙片中，，，沿將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，點(diǎn)在平面的射影落在邊上．（1）求的長(zhǎng)度；（2）若是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角余弦值為？若存在，求的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由．24．（2024?西城區(qū)模擬）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．25．（2024?開州區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，平面平面，點(diǎn)在上，且，，．（1）求證：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練15參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?利通區(qū)校級(jí)模擬）某禮品店銷售的一裝飾擺件如圖所示，由球和正三棱柱加工組合而成，球嵌入正三棱柱內(nèi)一部分且與上底面三條棱均相切，正三棱柱的高為4，底面正三角形邊長(zhǎng)為6，球的體積為，則該幾何體最高點(diǎn)到正三棱柱下底面的距離為A．5 B．6 C．7 D．8【答案】【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】設(shè)球的半徑為，由球的體積求出，求出正三棱柱底面正三角形的內(nèi)切圓半徑，設(shè)球心為，正三角形的內(nèi)切圓圓心為，取的中點(diǎn)，并將這三點(diǎn)順次連接，由球的幾何性質(zhì)求出，即可得到答案．【解答】解：設(shè)球的半徑為，三棱柱上底面正三角形的內(nèi)切圓半徑為，因?yàn)榍虻捏w積為，則，解得，因?yàn)檎庵母邽?，底面正三角形邊長(zhǎng)為6，所以底面正三角形的內(nèi)切圓半徑為，正三棱柱的高為4，設(shè)球心為，正三角形的內(nèi)切圓圓心為，取的中點(diǎn)，并將這三點(diǎn)順次連接，則由球的幾何知識(shí)可得△為直角三角形，所以，于是該幾何體最高點(diǎn)到正三棱柱下底面的距離為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間中點(diǎn)到平面的距離問(wèn)題，球的體積公式的應(yīng)用，球的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，正棱柱幾何性質(zhì)的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力、空間想象能力與化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．2．（2024?濮陽(yáng)模擬）如圖，將繪有函數(shù)部分圖像的紙片沿軸折成直二面角，此時(shí)，之間的距離為，則A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象；幾何法求解二面角及兩平面的夾角【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；立體幾何【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)圖象求解即可．【解答】解：如圖，因?yàn)榈闹芷跒?，所以，，所以折成直二面角時(shí)，，解得，所以，所以，，因?yàn)?，所以或，又因?yàn)楹瘮?shù)在軸右側(cè)附近單調(diào)遞減，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)圖象應(yīng)用，考查二面角的計(jì)算，屬于中檔題．3．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）如圖，三棱柱滿足棱長(zhǎng)都相等且平面，是棱的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)．設(shè)，隨著增大，平面與底面所成銳二面角的平面角是A．先增大再減小 B．減小 C．增大 D．先減小再增大【考點(diǎn)】：二面角的平面角及求法【專題】11：計(jì)算題；31：數(shù)形結(jié)合；41：向量法；：空間角；63：數(shù)學(xué)建模【分析】以為原點(diǎn)，在平面中過(guò)作的垂線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面與底面所成銳二面角的平面角隨著增大而增大．【解答】解：以為原點(diǎn)，在平面中過(guò)作的垂線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正三棱柱中所在棱長(zhǎng)都是2，則，1，，，2，，，0，，，1，，，，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，，，平面的法向量，0，，設(shè)平面與底面所成銳二面角的平面角為，，隨著增大而先增大后減小，隨著增大而先減小后增大．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二面角的平面角的變化趨勢(shì)的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．4．（2024?日照模擬）如圖，已知四面體的棱平面，且，其余的棱長(zhǎng)均為．四面體以所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)弧度，且四面體始終在水平放置的平面的上方．如果將四面體在平面內(nèi)正投影面積看成關(guān)于的函數(shù)，記為，則函數(shù)的最小正周期與取得最小值時(shí)平面與平面所成角分別為A．，0 B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】直線與平面所成的角【專題】轉(zhuǎn)化法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；立體幾何【分析】根據(jù)對(duì)稱性得出的周期；取中點(diǎn)，可得，到的距離為，且直線與平面所成的角為，面，面面，設(shè)在平面的投影為，可得，討論一個(gè)周期內(nèi)的情形，當(dāng)，時(shí)，，則；當(dāng)，時(shí)，，求出及此時(shí)與的關(guān)系，即可求出此時(shí)平面與平面所成角．【解答】解：設(shè)過(guò)且平行于平面的平面為，由題意知，四面體在平面的上方時(shí)和下方時(shí)完全對(duì)稱，故函數(shù)的周期為，取中點(diǎn)，連接、，如圖，，，，，，，，，則，而，故，，到的距離為．又，，，平面，平面，則為直線與平面所成的角，又，直線與平面所成的角為，，，為中點(diǎn)，，，又，，在平面內(nèi)，則面，又面，則，，，，，在平面內(nèi)，則面，又面，則面面，設(shè)在平面的投影為，可得，下面討論一個(gè)周期內(nèi)的情形：當(dāng)時(shí)，如圖，，，，則，故，當(dāng)時(shí)，如圖，到的距離為，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，即，綜上所述，，此時(shí)，又直線與平面所成的角為，平面與平面所成的角為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，屬于難題．5．（2024?榆林三模）已知正三棱錐的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)的比值為，則三棱錐的側(cè)棱與底面所成角的正弦值為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】幾何法求解直線與平面所成的角【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)三棱錐的側(cè)棱與底面所成角為，即可求解．【解答】解：如圖，為等邊三角形，為中點(diǎn)，面，設(shè)，則，，，所以，則三棱錐的側(cè)棱與底面所成角為，則．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面角的求法，屬于中檔題．6．（2024?廣東模擬）半正多面體是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體，如圖所示的多面體就是一個(gè)半正多面體，其中四邊形和四邊形均為正方形，其余八個(gè)面為等邊三角形，已知該多面體的所有棱長(zhǎng)均為2，則平面與平面之間的距離為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】空間中兩平行平面間的距離及平行于平面的直線到平面的距離【專題】計(jì)算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；空間位置關(guān)系與距離；綜合法【分析】分別取，的中點(diǎn)，，作出截面，結(jié)合幾何體的性質(zhì)，確定梯形的高即為平面與平面之間的距離，由此即可求得答案．【解答】解：分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，，根據(jù)半正多面體的性質(zhì)可知，四邊形為等腰梯形；根據(jù)題意可知，，而，，平面，故平面，又平面，故平面平面，則平面平面，作，垂足為，平面平面，平面，故平面，則梯形的高即為平面與平面之間的距離；，故，即平面與平面之間的距離為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間想象能力，解答的關(guān)鍵是根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，作出其截面圖，確定梯形的高即為平面與平面之間的距離，即可求得答案，屬中檔題．7．（2024?遼寧二模）已知二面角的平面角為，與平面所成角為．記的面積為，的面積為，則的取值范圍為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】幾何法求解二面角及兩平面的夾角【專題】對(duì)應(yīng)思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；立體幾何【分析】作出二面角的平面角以及與平面所成角，并表示出，結(jié)合三角形面積公式以及正弦定理表示出，結(jié)合范圍確定范圍，即可求得答案．【解答】解：作，垂足為，連接，，即，，，平面，平面，平面，，又，故平面，平面，為在內(nèi)的射影，則為與平面所成角，即，，，為二面角的平面角，即，，在中，由正弦定理有：，，，又，，，又，，即，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二面角的平面角及線面角的作法，然后將三角形面積比轉(zhuǎn)化為邊之比來(lái)解決問(wèn)題，屬于中檔題．8．（2024?臨沂二模）已知正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則A．直線與所成角的余弦值為 B．平面與平面夾角的余弦值為 C．在上存在點(diǎn)，使得 D．在上存在點(diǎn)，使得平面【答案】【考點(diǎn)】空間向量法求解二面角及兩平面的夾角【專題】數(shù)形結(jié)合；向量法；綜合法；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，由空間向量計(jì)算異面直線所成角，二面角和線線垂直可判斷，，；由，，，四點(diǎn)共面，而平面可判斷．【解答】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，0，，，0，，，1，，，1，，，0，，，0，，，1，，，1，，，對(duì)于，因?yàn)?，，所以直線與所成角的余弦值為，故錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)?，，設(shè)平面的法向量為，則，所以，令，可得，，所以，因?yàn)?，，設(shè)平面的法向量為，則，所以，令，可得，，所以，平面與平面夾角的余弦值為：，故錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)樵谏?，設(shè)，1，，所以，，則，所以，，所以，1，，，所以，解得：．故上存在點(diǎn)，使得，故正確；對(duì)于，因?yàn)?，所以，，，四點(diǎn)共面，而平面，所以上不存在點(diǎn)，使得平面，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系與空間角的求法，屬于中檔題．9．（2024?河南模擬）如圖是棱長(zhǎng)均為2的柏拉圖多面體，已知該多面體為正八面體，四邊形為正方形，、分別為、的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為A． B．1 C． D．【答案】【考點(diǎn)】空間中點(diǎn)到平面的距離【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；等體積法；空間位置關(guān)系與距離；轉(zhuǎn)化思想【分析】由三棱錐等體積法，可得，運(yùn)算得解．【解答】解：連接，，由已知得為的中位線，所以，又為正三角形的中線，所以，又，所以，所以為直角三角形，所以，因?yàn)椋缘狡矫娴木嚯x為，設(shè)到平面的距離為，因?yàn)?，所以，所以，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用等體積法求點(diǎn)到平面的距離，屬中檔題．10．（2024?荊州區(qū)校級(jí)模擬）已知正四棱臺(tái)上底面邊長(zhǎng)為1，下底面邊長(zhǎng)為2，體積為7，則正四棱臺(tái)的側(cè)棱與底面所成角的正切值為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】幾何法求解直線與平面所成的角【專題】立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化法；轉(zhuǎn)化思想【分析】畫出相應(yīng)圖形，借助正四棱臺(tái)的性質(zhì)及體積公式可得其高，結(jié)合線面角定義計(jì)算即可得解．【解答】解：如圖所示，作于點(diǎn)，則，即，，則，由正四棱臺(tái)的側(cè)棱與底面所成角即為與底面所成角，設(shè)其為，則，即，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱臺(tái)的體積公式以及線面角的計(jì)算，屬于中檔題．二．多選題（共5小題）11．（2024?故城縣校級(jí)模擬）如圖，已知圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線長(zhǎng)為2，，分別為上、下底面的直徑，，為圓臺(tái)的母線，為弧的中點(diǎn)，則A．圓臺(tái)的側(cè)面積為 B．直線與下底面所成的角的大小為 C．圓臺(tái)的體積為 D．異面直線和所成的角的大小為【答案】【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；異面直線及其所成的角；直線與平面所成的角；旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）的體積；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積【專題】空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法【分析】由圓臺(tái)的側(cè)面積公式以及體積公式可判斷；由線面角的定義可判斷；由異面直線所成角的定義可判斷．【解答】解：由題意可得上底面半徑為，下底面圓半徑為，母線，則圓臺(tái)的側(cè)面積為，故正確；作圓臺(tái)的軸截面如圖所示，作，，則直線與下底面所成角為，且，則，且，則，，故正確；上底面圓的面積，，圓臺(tái)的高，則圓臺(tái)的體積為，故錯(cuò)誤；取中點(diǎn)，連接，，，由為弧的中點(diǎn)，可得，過(guò)點(diǎn)，作，連接，則，且，，則四邊形為平行四邊形，，異面直線和所成角即為與所成角，，，，在中，，，為直角三角形，則，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓臺(tái)側(cè)面積、體積、線面角定義、異面直線所成角定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中等題．12．（2024?全國(guó)模擬）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則A．與是異面直線 B．存在點(diǎn)，使得，且平面 C．與平面所成角的余弦值為 D．點(diǎn)到平面的距離為【答案】【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；直線與平面平行；異面直線及其所成的角；直線與平面所成的角【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；空間向量及應(yīng)用；綜合法【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)向量的關(guān)系逐項(xiàng)判斷各個(gè)選項(xiàng)．【解答】解：選項(xiàng)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，0，，，2，，，1，，，2，，，0，，，0，，，2，，則，，由于，故與平行，錯(cuò)誤；選項(xiàng)，設(shè)，，，因?yàn)?，所以，，，，，即，解得，，，故，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，則，因?yàn)?，故，平面，故存在點(diǎn)，使得，且平面，正確；選項(xiàng)，平面的法向量為，故與平面所成角的正弦值為，則與平面所成角的余弦值為，正確；選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，故，則點(diǎn)到平面的距離為，錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的應(yīng)用，考查點(diǎn)到面的距離，考查線面的位置關(guān)系，屬于中檔題．13．（2024?中山市校級(jí)模擬）四棱錐的底面為正方形，與底面垂直，，，動(dòng)點(diǎn)在線段上，則A．不存在點(diǎn)，使得 B．的最小值為 C．四棱錐的外接球表面積為 D．點(diǎn)到直線的距離的最小值為【答案】【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；球的體積和表面積【專題】整體思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離；綜合法【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可判斷選項(xiàng)，根據(jù)平面知識(shí)兩點(diǎn)間距離最短，把幾何圖形展開成平面圖形可判斷選項(xiàng)，易知四棱錐的外接球的直徑為可判斷選項(xiàng)，把點(diǎn)線距轉(zhuǎn)化為線線距，由線面平行的判定定理，把線線距轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距可判斷選項(xiàng)．【解答】解：對(duì)于：連接，且，如圖所示，當(dāng)在中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)闉檎叫?，所以．又因?yàn)椋?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，所以錯(cuò)誤；對(duì)于：將和所在的平面沿著展開在一個(gè)平面上，如圖所示，則的最小值為，直角斜邊上高為，即，直角斜邊上高也為，所以的最小值為，所以正確；對(duì)于：易知四棱錐的外接球直徑為，半徑，表面積，所以正確；對(duì)于：點(diǎn)到直線的距離的最小值即為異面直線與的距離，因?yàn)?，且平面，平面，所以平面，所以直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，過(guò)點(diǎn)作，因?yàn)槠矫?，所以，又，且，故平面，平面，所以，因?yàn)椋?，平面，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離，即為的長(zhǎng)，如圖所示，在中，，，可得，所以由等面積得，即直線到平面的距離等于，所以正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查球的表面積和點(diǎn)，線，面的距離，屬于中檔題．14．（2024?遼寧模擬）如圖，圓錐的底面圓的直徑，母線長(zhǎng)為，點(diǎn)是圓上異于，的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是A．與底面所成角為 B．圓錐的表面積為 C．的取值范圍是 D．若點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，則二面角的平面角大小為【答案】【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）的體積；二面角的平面角及求法【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；立體幾何；數(shù)形結(jié)合【分析】由線面角定義，可得即為與底面所成角，求其大小即可判定；由圓錐的表面積公式即可判斷；求出的范圍，再利用，求范圍即可判斷；取的中點(diǎn)，證得面，則為二面角的平面角，求解可判斷．【解答】解：如圖，在中，，半徑，對(duì)于，由線面角定義，即為與底面所成角，滿足，即，故正確；對(duì)于，圓錐的側(cè)面積為：，底面積為，故圓錐表面積為，故錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，為最小角，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，達(dá)到最大值，又因?yàn)榕c，不重合，則，又，可得，故正確；對(duì)于，取的中點(diǎn)，連接，，又為的中點(diǎn)，則，，，面，面，，，面，面，，故為二面角的平面角，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，，，則，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面角，二面角，空間幾何體表面積等知識(shí)，屬難題．15．（2024?青羊區(qū)校級(jí)模擬）已知正三棱柱的各棱長(zhǎng)都為1，為的中點(diǎn)，則A．直線與直線為異面直線 B．平面 C．二面角的正弦值為 D．若棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為【答案】【考點(diǎn)】異面直線的判定；二面角的平面角及求法；球的體積和表面積；直線與平面平行【專題】綜合法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理【分析】利用異面直線的判定定理即可判斷；連接與交于點(diǎn)，連接，易證，繼而可證得平面，從而判定；易證平面，利用線面垂直的性質(zhì)可得，，則為二面角的平面角，再利用求解即可判定；將上下底面與的外心連接，其中點(diǎn)即為外接球球心，繼而利用以及球的表面積公式即可求解判斷．【解答】解：對(duì)于，因?yàn)槠矫?，平面，，平面，所以直線與直線為異面直線，故正確；對(duì)于，連接與交于點(diǎn)，連接，正三棱柱的各棱長(zhǎng)都為1，則為正方形，則點(diǎn)為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，故正確；對(duì)于，正三棱柱中，底面，又底面，所以，又正三棱柱的各棱長(zhǎng)都為1，則為正三角形，為中點(diǎn)，所以，又，，平面，所以平面，又，平面，所以，，所以為二面角的平面角，又，，所以，所以二面角的正弦值為，故錯(cuò)誤；對(duì)于，將上下底面與的外心連接，其中點(diǎn)即為外接球球心，設(shè)球的半徑為，則，則該球的表面積為，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線的判定，考查線面平行的判定，考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查二面角，考查球，屬難題．三．填空題（共5小題）16．（2024?南昌模擬）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為．【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；向量法；空間位置關(guān)系與距離【分析】以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)到平面的距離．【解答】解：在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，2，，，2，，1，，，0，，，1，，，1，，，，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，1，，點(diǎn)到平面的距離：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．17．（2024?通州區(qū)模擬）如圖，幾何體是以正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體，點(diǎn)是圓弧的中點(diǎn)，點(diǎn)是圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，，給出下列四個(gè)結(jié)論：①不存在點(diǎn)，使得平面平面；②存在點(diǎn)，使得平面；③不存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離大于；④存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是②③④．【答案】②③④．【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算【專題】綜合法；直觀想象；空間向量及應(yīng)用；整體思想【分析】將圖形補(bǔ)全為一個(gè)正方體，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在的直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷各選項(xiàng)的正誤【解答】解：由題意可將圖形補(bǔ)全為一個(gè)正方體，如圖所示：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在的直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，、，0，、，0，、，0，、，2，、，2，，，設(shè)點(diǎn)，，，其中，對(duì)于①，，，設(shè)，，平面，則，取，則，，可得，，，設(shè)為平面的法向量，，，則，取，則，，可得，，，若平面平面，則，解得，所以存在，使得平面平面，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，，，，若平面，則，即，即，，故，0，，故存在點(diǎn)，使得平面，故②正確；對(duì)于③，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，因?yàn)椋?，所以，，所以，所以不存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離大于，故③正確；對(duì)于④，，，，，則直線與平面的所成角為，所以，，整理可得，因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)的圖象是連續(xù)的，且，，所以存在，使得，所以存在點(diǎn)，使得直線與平面的所成角的余弦值為，④正確．故答案為：②③④．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了空間向量在平行及垂直關(guān)系的應(yīng)用，還考查了空間向量在空間角及空間距離求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．18．（2024?博白縣模擬）如圖，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)處，測(cè)得從，到庫(kù)底與水壩的交線的距離分別為，．又測(cè)得的長(zhǎng)為，的長(zhǎng)為，則水庫(kù)底面與水壩斜面所成的二面角的大小為．【答案】．【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法【專題】立體幾何；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化法【分析】作且，連接，可得是所求二面角的平面角，進(jìn)而求得，，再利用余弦定理可求得，可求得．【解答】解：如圖，作且，連接，又，則四邊形是矩形，．又，所以是所求二面角的平面角，因?yàn)?，，則，又，，，平面，所以平面，而平面，所以，，所以，，由題可知，則，又是三角形的內(nèi)角，所以．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二面角的計(jì)算，屬于中檔題．19．（2024?洪山區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在直三棱柱中，，，，為線段上的一點(diǎn)，且二面角的正切值為3，則三棱錐的外接球的體積為．【答案】．【考點(diǎn)】球的體積和表面積；二面角的平面角及求法【專題】空間角；空間位置關(guān)系與距離；直觀想象；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；計(jì)算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)題意，由條件可得是二面角的平面角，再將三棱錐補(bǔ)為長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的外接球即為三棱錐的外接球，再由球的體積公式，即可得到結(jié)果．【解答】解：如圖，作，交于，則，過(guò)作交于點(diǎn)，連接．因?yàn)闉橹比庵瑒t平面，且，則平面，且平面，所以，又，，，平面，所以平面，平面，所以，則是二面角的平面角，所以，所以，又，，所以，所以，．可把三棱錐補(bǔ)成棱長(zhǎng)為，，3的長(zhǎng)方體，則三棱錐的外接球的半徑為，所以三棱錐的外接球的體積為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的體積計(jì)算問(wèn)題，涉及二面角的求法，是中檔題．20．（2024?長(zhǎng)沙三模）如圖所示，直角三角形所在平面垂直于平面，一條直角邊在平面內(nèi)，另一條直角邊長(zhǎng)為且，若平面上存在點(diǎn)，使得△的面積為，則線段長(zhǎng)度的最小值為．【答案】．【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】由題意，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，利用線面垂直的性質(zhì)可得，進(jìn)而，由三角形的面積公式可得，即可求解．【解答】解：在△中，，，則，又平面，平面，，平面，所以平面，連接，，所以，得，設(shè)，則，即，得，當(dāng)，即，即時(shí)，取到最小值1，此時(shí)取到最小值．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理和三角形面積公式在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．四．解答題（共5小題）21．（2024?王益區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【考點(diǎn)】直線與平面平行；空間向量法求解二面角及兩平面的夾角【專題】立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，根據(jù)是的中點(diǎn)，得到，，從而四邊形是平行四邊形，得到，再利用線面平行的判定定理證明；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面所成銳二面角的大小為，由求解．【解答】解：（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，，又，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）因?yàn)槠矫妫?，平面，所以，，又，，所以，以為坐?biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，0，，，0，，，0，，，1，，，2，，所以，1，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，又，，所以令，解得，，所以平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量，又，，所以令，解得，，所以平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面所成銳二面角的大小為，所以．即平面與平面所成銳二面角的余弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的判定，以及二面角的計(jì)算，屬于中檔題．22．（2024?天心區(qū)校級(jí)模擬）如圖，圓柱的軸截面是正方形，點(diǎn)在底面圓周上，，為垂足．（1）求證：．（2）當(dāng)直線與平面所成角的正切值為2時(shí)．①求平面與平面夾角的余弦值；②求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）證明見解答；（2）①；②．【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；二面角的平面角及求法【專題】向量法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)運(yùn)算；立體幾何；計(jì)算題【分析】（1）先證明平面，證明，進(jìn)而證明平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可證明結(jié)論；（2）①建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出相關(guān)向量的坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用空間向量的夾角公式即可求出答案；②利用空間向量的距離公式求出答案即可．【解答】解：（1）證明：由題意可知底面，平面，故，又，，，平面，故平面，由平面，得，又，，，平面，故平面，由平面，可得；（2）①由題意，以為原點(diǎn)，分別以，所在直線為軸、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)的長(zhǎng)度為2，則，0，，，2，，，2，，，0，，因?yàn)槠矫?，所以就是直線與平面所成的角，所以，所以，所以由以上可得，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，取，得，又，0，是平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面夾角的大小為，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為；②因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面垂直的性質(zhì)，考查了二面角以及點(diǎn)到面距離的求法，屬于中檔題．23．（2024?東莞市校級(jí)三模）如圖，在矩形紙片中，，，沿將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，點(diǎn)在平面的射影落在邊上．（1）求的長(zhǎng)度；（2）若是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角余弦值為？若存在，求的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）1；（2）．【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；向量法；數(shù)形結(jié)合；立體幾何【分析】（1）利用投影性質(zhì)以及線面垂直性質(zhì)可得，再利用三角形相似可求得；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，并根據(jù)坐標(biāo)分別求得平面與平面的法向量，由兩平面夾角的余弦值列方程解得，可得．【解答】解：（1）作，垂足為，連接，如圖所示：由點(diǎn)在平面的射影落在邊上可得平面，又平面，所以，因?yàn)椋?，平面，所以平面，又平面，所以，又因?yàn)闉榫匦危?，可得，由，可得，所以，；由可得，即；即的長(zhǎng)度為1．（2）根據(jù)題意，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過(guò)點(diǎn)且平行于的直線為軸，分別以，所在直線為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，所以，設(shè)，則，所以；易知，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，所以，解得，取，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，所以，解得，取，則，所以，因此可得，整理可得，解得（舍或；因此，即可得．所以的長(zhǎng)度為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中兩點(diǎn)間的距離，二面角的求法，屬于中檔題．24．（2024?西城區(qū)模擬）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．【答案】證明過(guò)程請(qǐng)見解答；（Ⅱ）．【考點(diǎn)】直線與平面平行；二面角的平面角及求法【專題】空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；向量法；空間角；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】連接，設(shè)，連接，由中位線的性質(zhì)知，再由線面平行的判定定理，即可得證；（Ⅱ）先證，，兩兩相互垂直，再以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角，即可得解．【解答】證明：連接，設(shè)，連接，則為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面．（Ⅱ）解：因?yàn)?，，且，所以平面，又平面，所以，又，所以，，兩兩相互垂直，故以為坐?biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，1，，，2，，所以，設(shè)平面的法向量為，則即令，所以，1，，因?yàn)槠矫?，所以是平面的一個(gè)法向量，所以，由題意知，二面角的平面角為鈍角，所以二面角的余弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面平行的判定定理，線面垂直的判定、性質(zhì)定理，以及利用向量法求二面角是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．25．（2024?開州區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，平面平面，點(diǎn)在上，且，，．（1）求證：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明過(guò)程見解答；（2）．【考點(diǎn)】直線與平面垂直；二面角的平面角及求法【專題】數(shù)形結(jié)合；向量法；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算；立體幾何；綜合法【分析】（1）由余弦定理和勾股定理的逆定理可證，再由面面垂直的性質(zhì)定理可證平面，再由線面垂直的定義和線面垂直的判定定理即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法求夾角即可．【解答】解：（1）證明：不妨設(shè)，因?yàn)?，，所以，，，在中，由余弦定理得：，在中，，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，又因?yàn)椋移矫?，平面，所以平面．?）在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)樗倪呅问橇庑?，，所以，所以，均為等邊三角形，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線及過(guò)點(diǎn)平行于的直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則，0，，，，0，，，所以，，由（1）平面，所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，，，則，令，可得，所以，，所以平面與平面的夾角的余弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直的證明，平面與平面所成角的求解，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．正弦函數(shù)的圖象【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R單調(diào)性遞增區(qū)間：（2kπ﹣，2kπ+）（k∈Z）；遞減區(qū)間：（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）遞增區(qū)間：（2kπ﹣π，2kπ）（k∈Z）；遞減區(qū)間：（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）遞增區(qū)間：（kπ﹣，kπ+）（k∈Z）最值x＝2kπ+（k∈Z）時(shí)，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）時(shí)，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）時(shí)，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）時(shí)，ymin＝﹣1無(wú)最值奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對(duì)稱性對(duì)稱中心：（kπ，0）（k∈Z）對(duì)稱軸：x＝kπ+，k∈Z對(duì)稱中心：（kπ+，0）（k∈Z）對(duì)稱軸：x＝kπ，k∈Z對(duì)稱中心：（，0）（k∈Z）無(wú)對(duì)稱軸周期2π2ππ2．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】側(cè)面積和全面積的定義：（1）側(cè)面積的定義：把柱、錐、臺(tái)的側(cè)面沿著它們的一條側(cè)棱或母線剪開，所得到的展開圖的面積，就是空間幾何體的側(cè)面積．（2）全面積的定義：空間幾何體的側(cè)面積與底面積的和叫做空間幾何體的全面積．柱體、錐體、臺(tái)體的表面積公式（c為底面周長(zhǎng)，h為高，h′為斜高，l為母線）S圓柱表＝2πr（r+l），S圓錐表＝πr（r+l），S圓臺(tái)表＝π（r2+rl+Rl+R2）3．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式：V柱＝sh，V錐＝Sh．4．旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）的體積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征：一條平面曲線繞著它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)面；該定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸；封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫作旋轉(zhuǎn)體．1．圓柱①定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱．圓柱用軸字母表示，如下圖圓柱可表示為圓柱OO′．②認(rèn)識(shí)圓柱③圓柱的特征及性質(zhì)圓柱與底面平行的截面是圓，與軸平行的截面是矩形．④圓柱的體積和表面積公式設(shè)圓柱底面的半徑為r，高為h：2．圓錐①定義：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐．圓錐用軸字母表示，如下圖圓錐可表示為圓錐SO．②認(rèn)識(shí)圓錐③圓錐的特征及性質(zhì)與圓錐底面平行的截面是圓，過(guò)圓錐的頂點(diǎn)的截面是等腰三角形，兩個(gè)腰都是母線．母線長(zhǎng)l與底面半徑r和高h(yuǎn)的關(guān)系：l2＝h2+r2④圓錐的體積和表面積公式設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長(zhǎng)為l：3．圓臺(tái)①定義：以直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓臺(tái)．圓臺(tái)用軸字母表示，如下圖圓臺(tái)可表示為圓臺(tái)OO′．②認(rèn)識(shí)圓臺(tái)③圓臺(tái)的特征及性質(zhì)平行于底面的截面是圓，軸截面是等腰梯形．④圓臺(tái)的體積和表面積公式設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為r，下底面半徑為R，高為h，母線長(zhǎng)為l：．5．球的體積和表面積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．球體：在空間中，到定點(diǎn)的距離等于或小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合稱為球體，簡(jiǎn)稱球．其中到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合為球面．2．球體的體積公式設(shè)球體的半徑為R，V球體＝3．球體的表面積公式設(shè)球體的半徑為R，S球體＝4πR2．【命題方向】考查球體的體積和表面積公式的運(yùn)用，常見結(jié)合其他空間幾何體進(jìn)行考查，以增加試題難度，根據(jù)題目所給條件得出球體半徑是解題關(guān)鍵．6．異面直線及其所成的角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．異面直線所成的角的范圍：θ∈（0，]．當(dāng)θ＝90°時(shí)，稱兩條異面直線互相垂直．2、求異面直線所成的角的方法：求異面直線的夾角關(guān)鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來(lái)轉(zhuǎn)移直線．3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識(shí)：7．異面直線的判定【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】（1）判定空間直線是異面直線方法：①根據(jù)異面直線的定義；②異面直線的判定定理．8．直線與平面平行【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行．用符號(hào)表示為：若a?α，b?α，a∥b，則a∥α．2、直線與平面平行的判定定理的實(shí)質(zhì)是：對(duì)于平面外的一條直線，只需在平面內(nèi)找到一條直線和這條直線平行，就可判定這條直線必和這個(gè)平面平行．即由線線平行得到線面平行．1、直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行．用符號(hào)表示為：若a∥α，a?β，α∩β＝b，則a∥b．2、直線和平面平行的性質(zhì)定理的實(shí)質(zhì)是：已知線面平行，過(guò)已知直線作一平面和已知平面相交，其交線必和已知直線平行．即由線面平行?線線平行．由線面平行?線線平行，并不意味著平面內(nèi)的任意一條直線都與已知直線平行．正確的結(jié)論是：a∥α，若b?α，則b與a的關(guān)系是：異面或平行．即平面α內(nèi)的直線分成兩大類，一類與a平行有無(wú)數(shù)條，另一類與a異面，也有無(wú)數(shù)條．9．直線與平面垂直【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】直線與平面垂直：如果一條直線l和一個(gè)平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么就說(shuō)直線l和平面α互相垂直，記作l⊥α，其中l(wèi)叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直的判定：（1）定義法：對(duì)于直線l和平面α，l⊥α?l垂直于α內(nèi)的任一條直線．（2）判定定理1：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面．（3）判定定理2：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面．直線與平面垂直的性質(zhì)：①定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行．符號(hào)表示為：a⊥α，b⊥α?a∥b②由定義可知：a⊥α，b?α?a⊥b．10．直線與平面所成的角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、直線和平面所成的角，應(yīng)分三種情況：（1）直線與平面斜交時(shí)，直線和平面所成的角是指此直線和它在平面上的射影所成的銳角；（2）直線和平面垂直時(shí)，直線和平面所成的角的大小為90°；（3）直線和平面平行或在平面內(nèi)時(shí)，直線和平面所成的角的大小為0°．顯然，斜線和平面所成角的范圍是（0，）；直線和平面所成的角的范圍為[0，]．2、一條直線和一個(gè)平面斜交，它們所成的角的度量問(wèn)題（空間問(wèn)題）是通過(guò)斜線在平面內(nèi)的射影轉(zhuǎn)化為兩條相交直線的度量問(wèn)題（平面問(wèn)題）來(lái)解決的．具體的解題步驟與求異面直線所成的角類似，有如下的環(huán)節(jié)：（1）作﹣﹣?zhàn)鞒鲂本€與射影所成的角；（2）證﹣﹣論證所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂線段、斜線段、斜線段的射影所組成的直角三角形）求出角．（4）答﹣﹣回答求解問(wèn)題．在求直線和平面所成的角時(shí)，垂線段是其中最重要的元素，它可起到聯(lián)系各線段的紐帶的作用．在直線與平面所成的角的定義中體現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化和分類與整合的數(shù)學(xué)思想．3、斜線和平面所成角的最小性：斜線和平面所成的角是用兩條相交直線所成的銳角來(lái)定義的，其中一條直線就是斜線本身，另一條直線是斜線在平面上的射影．在平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的直線有無(wú)數(shù)條，它們和斜線都組成相交的兩條直線，為什么選中射影和斜線這兩條相交直線，用它們所成的銳角來(lái)定義斜線和平面所成的角呢？原因是斜線和平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的直線所成的一切角中，它是最小的角．對(duì)于已知的斜線來(lái)說(shuō)這個(gè)角是唯一確定的，它的大小反映了斜線關(guān)于平面的“傾斜程度”．根據(jù)線面所成的角的定義，有結(jié)論：斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角．用空間向量直線與平面所成角的求法：（1）傳統(tǒng)求法：可通過(guò)已知條件，在斜線上取一點(diǎn)作該平面的垂線，找出該斜線在平面內(nèi)的射影，通過(guò)解直角三角形求得．（2）向量求法：設(shè)直線l的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為θ，與的夾角為φ，則有sinθ＝|cosφ|＝．11．幾何法求解直線與平面所成的角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、直線和平面所成的角，應(yīng)分三種情況：（1）直線與平面斜交時(shí)，直線和平面所成的角是指此直線和它在平面上的射影所成的銳角；（2）直線和平面垂直時(shí)，直線和平面所成的角的大小為90°；（3）直線和平面平行或在平面內(nèi)時(shí)，直線和平面所成的角的大小為0°．顯然，斜線和平面所成角的范圍是（0，）；直線和平面所成的角的范圍為[0，]．2、一條直線和一個(gè)平面斜交，它們所成的角的度量問(wèn)題（空間問(wèn)題）是通過(guò)斜線在平面內(nèi)的射影轉(zhuǎn)化為兩條相交直線的度量問(wèn)題（平面問(wèn)題）來(lái)解決的．【解題方法點(diǎn)撥】具體的解題步驟與求異面直線所成的角類似，有如下的環(huán)節(jié)：（1）作﹣﹣?zhàn)鞒鲂本€與射影所成的角；（2）證﹣﹣論證所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂線段、斜線段、斜線段的射影所組成的直角三角形）求出角．（4）答﹣﹣回答求解問(wèn)題．在求直線和平面所成的角時(shí)，垂線段是其中最重要的元素，它可起到聯(lián)系各線段的紐帶的作用．在直線與平面所成的角的定義中體現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化和分類與整合的數(shù)學(xué)思想．【命題方向】﹣夾角計(jì)算：考查如何使用幾何方法計(jì)算直線與平面之間的夾角．12．二面角的平面角及求法【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面．棱為AB、面分別為α、β的二面角記作二面角α﹣AB﹣β．有時(shí)為了方便，也可在α、β內(nèi)（棱以外的半平面部分）分別取點(diǎn)P、Q，將這個(gè)二面角記作P﹣AB﹣Q．如果棱記作l，那么這個(gè)二面角記作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．2、二面角的平面角﹣﹣在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角來(lái)度量，二面角的平面角是多少度，就說(shuō)