2024-2025學(xué)年北京市海淀區(qū)清華大學(xué)附中高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年北京市海淀區(qū)清華大學(xué)附中高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合M={x|?3<x<1}，N={x|?1≤x<4}，則M∩N=(

)A.{x|?3<x<1} B.{x|x>?3} C.{x|?1≤x<1} D.{x|x<4}2.設(shè)命題p：?n∈N，n2>2n+5，則p的否定為(

)A.?n∈N，n2>2n+5 B.?n∈N，n2≤2n+5

C.?n∈N，n23.下列各組函數(shù)中，兩個(gè)函數(shù)相同的是(

)A.y=(3x)3和y=x B.y=(x)2和y=x

C.4.下列函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上為增函數(shù)的是(

)A.y=2x B.y=(x?1)2 C.5.若實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足a>b，則下列不等式成立的是(

)A.|a|>|b| B.a+c>b+c C.a2>b6.“a≥4”是“二次函數(shù)f(x)=x2?ax+a有零點(diǎn)”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.在下列區(qū)間中，一定包含函數(shù)f(x)=2x+x?5零點(diǎn)的區(qū)間是A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)8.已知函數(shù)f(x)=1,x≤01x,x>0，則使方程x+f(x)=m有解的實(shí)數(shù)mA.(1,2) B.(?∞,?2)

C.(?∞,1)∪(2,+∞) D.(?∞,1]∪[2,+∞)9.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿(mǎn)足：對(duì)任意的x1，x2∈[0,+∞)(x1≠x2)，都有A.(?∞,?3)∪(0,3) B.(?3,0)∪(3,+∞)

C.(?3,3) D.(?∞,?3)∪(3,+∞)10.現(xiàn)實(shí)生活中，空曠田野間兩根電線桿之間的電線與峽谷上空橫跨深澗的觀光索道的鋼索有相似的曲線形態(tài)，這類(lèi)曲線在數(shù)學(xué)上常被稱(chēng)為懸鏈線．在合適的坐標(biāo)系中，這類(lèi)曲線可用函數(shù)f(x)=ae2x+bA.若ab>0，則函數(shù)f(x)為奇函數(shù) B.若ab>0，則函數(shù)f(x)有最小值

C.若ab<0，則函數(shù)f(x)為增函數(shù) D.若ab<0，則函數(shù)f(x)存在零點(diǎn)二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.函數(shù)f(x)=x?1的定義域是______．12.已知函數(shù)f(x)=x+14x+1(x>0)，則當(dāng)且僅當(dāng)x=______時(shí)，f(x)13.已知集合A={a2,0}，B={a?3,9}，若滿(mǎn)足A∩B={9}，則實(shí)數(shù)a14.已知函數(shù)y=f(x)在R上是奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)=2x?1，則f(1)=______；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=15.已知非空集合A，B滿(mǎn)足以下四個(gè)條件：

①A∪B={1,2,3,4,5,6}；

②A∩B=?；

③A中的元素個(gè)數(shù)不是A中的元素；

④B中的元素個(gè)數(shù)不是B中的元素．

(i)如果集合A中只有1個(gè)元素，那么集合A的元素是______；

(ⅱ)有序集合對(duì)(A,B)的個(gè)數(shù)是______．三、解答題：本題共6小題，共40分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。16.(本小題9分)

已知集合A={x|?1≤x≤4}，B={x|a?1≤x≤a+1}．

(1)若a=4，求A∩B；

(2)若A∪B=A，求a的取值范圍．17.(本小題6分)

解下列關(guān)于x的不等式：

(1)2x+1x?2≤1；

(2)|2x?1|≥3；

18.(本小題6分)

已知函數(shù)f(x)=a?2x?2?x是定義在R上的奇函數(shù)．

(1)求a的值，并用定義法證明f(x)在R上單調(diào)遞增；

(2)解關(guān)于19.(本小題6分)

某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體形無(wú)蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m.如果池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為12020.(本小題7分)

已知函數(shù)f(x)=mx2?(m?1)x+m．

(1)若不等式f(x)>0的解集為R，求m的取值范圍；

(2)若不等式f(x)≤0對(duì)一切x∈(0,+∞)恒成立，求m21.(本小題6分)

設(shè)k是正整數(shù)，集合A至少有兩個(gè)元素，且A?N?.如果對(duì)于A中的任意兩個(gè)不同的元素x，y，都有|x?y|≠k，則稱(chēng)A具有性質(zhì)P(k)．

(1)試判斷集合B={1,2,3,4}和C={1,4,7,10}是否具有性質(zhì)P(2)？并說(shuō)明理由；

(2)若集合A={a1,a2,?,a12}?{1,2,?,20}，求證：A不可能具有性質(zhì)P(3)；

(3)參考答案1.C

2.B

3.A

4.A

5.B

6.A

7.B

8.D

9.C

10.D

11.[1,+∞)

12.12

213.?3

14.12

1?15.5

10

16.解：(1)當(dāng)a=4時(shí)，B={x|3≤x≤5}，

因?yàn)锳={x|?1≤x≤4}，

所以A∩B={x|3≤x≤4}．

(2)因?yàn)锳∪B=A，所以B?A，

又因?yàn)閍?1<a+1，所以B≠?，

所以a+1≤4a?1≥?1，解得0≤a≤3，

所以a的取值范圍是{a|0≤a≤3}．17.解：(1)由2x+1x?2≤1，即x+3x?2≤0，

即(x+3)(x?2)≤0x?2≠0，解得?3≤x<2；

所以不等式2x+1x?2≤1的解集為[?3,2)；

(2)|2x?1|≥3，即2x?1≥3或2x?1≤?3，解得x≥2或x≤?1；

所以不等式|2x?1|≥3的解集為(?∞,?1]∪[2,+∞)；

(3)將不等式ax2+(a?2)x?2≥0(a∈R)可分解為(ax?2)(x+1)≥0；

當(dāng)a=0時(shí)，不等式為?2(x+1)≥0，其解集為(?∞,?1]；

當(dāng)a<?2時(shí)，不等式(ax?2)(x+1)≥0的解集為[?1,2a]，

當(dāng)?2<a<0時(shí)，不等式(ax?2)(x+1)≥0的解集為[2a,?1]；

若a≠0時(shí)，不等式(ax?2)(x+1)≥0對(duì)應(yīng)方程有兩根，分別為x=2a和x=?1，

當(dāng)a=?2時(shí)，不等式為?2(x+1)2≥0，其解集為{x|x=?1}；

當(dāng)a>0時(shí)，不等式(ax?2)(x+1)≥0的解集為(?∞,?1]∪[2a,+∞)．

綜上可得，當(dāng)a<?2時(shí)，不等式的解集為[?1,2a18.解：(1)函數(shù)f(x)=a?2x?2?x是定義在R上的奇函數(shù)，

由奇函數(shù)性質(zhì)可知f(0)=a?1=0，可得a=1，

當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=2x?2?x滿(mǎn)足f(?x)=2?x?2x=?f(x)，

即a=1；

取任意x1，x2∈R，且x1<x2，2x1?2x2<0,1+12x1+x2>0，

則f(x1)?f(x219.解：水池容積為4800m3，深為3m，則底面積為1600m2，

水池底面一邊的長(zhǎng)度為x米，則另一邊的長(zhǎng)度為1600xm.

水池的總造價(jià)等于池底造價(jià)150×1600與池壁造價(jià)120(6x+6×1600x)的和．

即y=240000+720(x+1600x)(x>0)．

y≥240000+720×2x?1600x

=240000+720×2×40=297600．

20.解：(1)若mx2?(m?1)x+m>0的解集為R，

①當(dāng)m=0時(shí)，x>0，解集不為R，不合要求；

②當(dāng)m≠0時(shí)，只需m>0Δ=(m?1)2?4m2<0?m>13，

故m的取值范圍是(13,+∞)；

(2)因?yàn)閙x2?(m?1)x+m≤0可化為m(x2?x+1)≤?x，

由于x2?x+1=(x?1221.解：(1)因?yàn)锽={1,2,3,4}，又B?N?，

但對(duì)于B中4，2兩個(gè)元素，有|4?2|=2，

所以集合B不具有性質(zhì)P(2)，

因?yàn)镃={1,4,7,10}，又C?N?，

但對(duì)于C中任意兩個(gè)元素，有|4?1|=3，|7?1|=6，|10?1|=9，|7?4|=3，|10?4|=6，|10?7|=3，

所以集合C具有性質(zhì)P(2)．

(2)證明：將集合{1,2,?,20}中的元素分為如下11個(gè)集合，

{1,4}，{2,5}，{3,6}，{7,10}，{8,11}.{9,12}，{13,16}，{14,17}，{15,18}，{19}，{20}，

所以從集合{1,2,?,20}中取12個(gè)元素，則前9個(gè)集合至少要選10個(gè)元素，

所以必有2個(gè)元素取自前9個(gè)集合中的同一集合，即存在兩個(gè)元素差的絕對(duì)值為3，

所以A不可能具有性質(zhì)P(3)；

(3)先說(shuō)明連續(xù)的11個(gè)自然數(shù)中集合A中最多選取5項(xiàng)，

以1，2，3，???，11為例：構(gòu)造集合{1,8}，{2,9}，{3,10}，{4,11}，{5}，{6}，{7}，

①若5，6，7同時(shí)選，因?yàn)榫哂行再|(zhì)P(4)和P(7)，

所以選5則不選1，9；選6則不選2，10；選7則不選3，11；

則只剩4，8.故1，2，3，???，11中屬于集合A的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)5個(gè)；

②若5，6，7選2個(gè)，

若只選5，6，則1，2，9，10，7不可選，則{4,11}只能選一個(gè)元素，

3，8可以選，故1，2，3???，11中屬于集合A的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)5個(gè)；

若選5，7，則只能從2，4，8，10中選，但4，8不能同時(shí)選，

故1，2，3???，11中屬于集合A的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)5個(gè)；

若選6，7，則2，3，10，11，5不可選，又{1,8}只能選一個(gè)元素，

4，9可以選，故1，2，3???，11中屬于集合A的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)5個(gè)；

③若5，6，7中只選1個(gè)，

又四個(gè)集合{1,8}，{2,9}，{3,10}，{4,11}每個(gè)集合至多選1個(gè)元素，

故1，2，3???，11中屬于集合A的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)5個(gè)；

由上述①②③可知，連續(xù)11項(xiàng)自然數(shù)中屬于集合A的元素至多只有5個(gè)，

因?yàn)?023=183×11+10，則把每11個(gè)連續(xù)自然數(shù)分組，前183組每組至多選取5項(xiàng)；

從