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文檔簡介
湖南省張家界市2025屆高三一診考試數(shù)學試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖,在直三棱柱中,,,點分別是線段的中點,,分別記二面角,,的平面角為,則下列結論正確的是()A. B. C. D.2.阿基米德(公元前287年—公元前212年)是古希臘偉大的哲學家、數(shù)學家和物理學家,他和高斯、牛頓并列被稱為世界三大數(shù)學家.據(jù)說,他自己覺得最為滿意的一個數(shù)學發(fā)現(xiàn)就是“圓柱內切球體的體積是圓柱體積的三分之二,并且球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”.他特別喜歡這個結論,要求后人在他的墓碑上刻著一個圓柱容器里放了一個球,如圖,該球頂天立地,四周碰邊,表面積為的圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑,則該球的體積為()A. B. C. D.3.已知復數(shù)z滿足(其中i為虛數(shù)單位),則復數(shù)z的虛部是()A. B.1 C. D.i4.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),其右焦點F的坐標為(c,0),點A是第一象限內雙曲線漸近線上的一點,O為坐標原點,滿足|OA|=A.2 B.2 C.2335.我國古代數(shù)學著作《九章算術》中有如下問題:“今有器中米,不知其數(shù),前人取半,中人三分取一,后人四分取一,余米一斗五升(注:一斗為十升).問,米幾何?”下圖是解決該問題的程序框圖,執(zhí)行該程序框圖,若輸出的S=15(單位:升),則輸入的k的值為()?A.45 B.60 C.75 D.1006.設為等差數(shù)列的前項和,若,,則的最小值為()A. B. C. D.7.若,則函數(shù)在區(qū)間內單調遞增的概率是()A.B.C.D.8.的二項展開式中,的系數(shù)是()A.70 B.-70 C.28 D.-289.三棱柱中,底面邊長和側棱長都相等,,則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.10.已知集合,,則集合子集的個數(shù)為()A. B. C. D.11.曲線在點處的切線方程為,則()A. B. C.4 D.812.如圖所示的程序框圖輸出的是126,則①應為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若曲線(其中常數(shù))在點處的切線的斜率為1,則________.14.有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽,其中只有一位獲獎,有人走訪了四位歌手,甲說“是乙或丙獲獎.”乙說:“甲、丙都未獲獎.”丙說:“我獲獎了”.丁說:“是乙獲獎.”四位歌手的話只有兩句是對的,則獲獎的歌手是__________.15.的展開式中,常數(shù)項為______;系數(shù)最大的項是______.16.已知數(shù)列中,為其前項和,,,則_________,_________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,四棱錐中,平面平面,若,四邊形是平行四邊形,且.(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)若點在線段上,且平面,,,求二面角的余弦值.18.(12分)橢圓:()的離心率為,它的四個頂點構成的四邊形面積為.(1)求橢圓的方程;(2)設是直線上任意一點,過點作圓的兩條切線,切點分別為,,求證:直線恒過一個定點.19.(12分)為了檢測某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,從生產(chǎn)線上隨機抽取一批零件,根據(jù)其尺寸的數(shù)據(jù)得到如圖所示的頻率分布直方圖,若尺寸落在區(qū)間之外,則認為該零件屬“不合格”的零件,其中,s分別為樣本平均數(shù)和樣本標準差,計算可得(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表).(1)求樣本平均數(shù)的大小;(2)若一個零件的尺寸是100cm,試判斷該零件是否屬于“不合格”的零件.20.(12分)已知函數(shù),.(1)討論的單調性;(2)若存在兩個極值點,,證明:.21.(12分)已知數(shù)列滿足:,,且對任意的都有,(Ⅰ)證明:對任意,都有;(Ⅱ)證明:對任意,都有;(Ⅲ)證明:.22.(10分)已知,(其中).(1)求;(2)求證:當時,.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
過點作,以為原點,為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標系,利用向量法求解二面角的余弦值得答案.【詳解】解:因為,,所以,即過點作,以為原點,為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標系,則,0,,,,,,0,,,1,,,,,,,設平面的法向量,則,取,得,同理可求平面的法向量,平面的法向量,平面的法向量.,,..故選:D.【點睛】本題考查二面角的大小的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識,考查運算求解能力,屬于中檔題.2、C【解析】
設球的半徑為R,根據(jù)組合體的關系,圓柱的表面積為,解得球的半徑,再代入球的體積公式求解.【詳解】設球的半徑為R,根據(jù)題意圓柱的表面積為,解得,所以該球的體積為.故選:C【點睛】本題主要考查組合體的表面積和體積,還考查了對數(shù)學史了解,屬于基礎題.3、A【解析】
由虛數(shù)單位i的運算性質可得,則答案可求.【詳解】解:∵,∴,,則化為,∴z的虛部為.故選:A.【點睛】本題考查了虛數(shù)單位i的運算性質、復數(shù)的概念,屬于基礎題.4、C【解析】
計算得到Ac,bca【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為y=bax,A故Ac,bca,F(xiàn)c,0,故Mc,故選:C.【點睛】本題考查了雙曲線離心率,意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.5、B【解析】
根據(jù)程序框圖中程序的功能,可以列方程計算.【詳解】由題意,.故選:B.【點睛】本題考查程序框圖,讀懂程序的功能是解題關鍵.6、C【解析】
根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的通項公式,判斷出最小時的值,由此求得的最小值.【詳解】依題意,解得,所以.由解得,所以前項和中,前項的和最小,且.故選:C【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項公式和前項和公式的基本量計算,考查等差數(shù)列前項和最值的求法,屬于基礎題.7、B【解析】函數(shù)在區(qū)間內單調遞增,,在恒成立,在恒成立,,函數(shù)在區(qū)間內單調遞增的概率是,故選B.8、A【解析】試題分析:由題意得,二項展開式的通項為,令,所以的系數(shù)是,故選A.考點:二項式定理的應用.9、B【解析】
設,,,根據(jù)向量線性運算法則可表示出和;分別求解出和,,根據(jù)向量夾角的求解方法求得,即可得所求角的余弦值.【詳解】設棱長為1,,,由題意得:,,,又即異面直線與所成角的余弦值為:本題正確選項:【點睛】本題考查異面直線所成角的求解,關鍵是能夠通過向量的線性運算、數(shù)量積運算將問題轉化為向量夾角的求解問題.10、B【解析】
首先求出,再根據(jù)含有個元素的集合有個子集,計算可得.【詳解】解:,,,子集的個數(shù)為.故選:.【點睛】考查列舉法、描述法的定義,以及交集的運算,集合子集個數(shù)的計算公式,屬于基礎題.11、B【解析】
求函數(shù)導數(shù),利用切線斜率求出,根據(jù)切線過點求出即可.【詳解】因為,所以,故,解得,又切線過點,所以,解得,所以,故選:B【點睛】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義,切線方程,屬于中檔題.12、B【解析】試題分析:分析程序中各變量、各語句的作用,再根據(jù)流程圖所示的順序,可知:該程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值,并輸出滿足循環(huán)的條件.解:分析程序中各變量、各語句的作用,再根據(jù)流程圖所示的順序,可知:該程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值,并輸出滿足循環(huán)的條件.∵S=2+22+…+21=121,故①中應填n≤1.故選B點評:算法是新課程中的新增加的內容,也必然是新高考中的一個熱點,應高度重視.程序填空也是重要的考試題型,這種題考試的重點有:①分支的條件②循環(huán)的條件③變量的賦值④變量的輸出.其中前兩點考試的概率更大.此種題型的易忽略點是:不能準確理解流程圖的含義而導致錯誤.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
利用導數(shù)的幾何意義,由解方程即可.【詳解】由已知,,所以,解得.故答案為:.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義,考查學生的基本運算能力,是一道基礎題.14、丙【解析】若甲獲獎,則甲、乙、丙、丁說的都是錯的,同理可推知乙、丙、丁獲獎的情況,可知獲獎的歌手是丙.考點:反證法在推理中的應用.15、【解析】
求出二項展開式的通項,令指數(shù)為零,求出參數(shù)的值,代入可得出展開式中的常數(shù)項;求出項的系數(shù),利用作商法可求出系數(shù)最大的項.【詳解】的展開式的通項為,令,得,所以,展開式中的常數(shù)項為;令,令,即,解得,,,因此,展開式中系數(shù)最大的項為.故答案為:;.【點睛】本題考查二項展開式中常數(shù)項的求解,同時也考查了系數(shù)最大項的求解,涉及展開式通項的應用,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.16、8(寫為也得分)【解析】
由,得,.當時,,所以,所以的奇數(shù)項是以1為首項,以2為公比的等比數(shù)列;其偶數(shù)項是以2為首項,以2為公比的等比數(shù)列.則,.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)推導出BC⊥CE,從而EC⊥平面ABCD,進而EC⊥BD,再由BD⊥AE,得BD⊥平面AEC,從而BD⊥AC,進而四邊形ABCD是菱形,由此能證明AB=AD.(Ⅱ)設AC與BD的交點為G,推導出EC//FG,取BC的中點為O,連結OD,則OD⊥BC,以O為坐標原點,以過點O且與CE平行的直線為x軸,以BC為y軸,OD為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角A-BF-D的余弦值.【詳解】(Ⅰ)證明:,即,因為平面平面,所以平面,所以,因為,所以平面,所以,因為四邊形是平行四邊形,所以四邊形是菱形,故;解法一:(Ⅱ)設與的交點為,因為平面,平面平面于,所以,因為是中點,所以是的中點,因為,取的中點為,連接,則,因為平面平面,所以面,以為坐標原點,以過點且與平行的直線為軸,以所在直線為軸,以所在直線為軸建立空間直角坐標系.不妨設,則,,,,,,,設平面的法向量,則,取,同理可得平面的法向量,設平面與平面的夾角為,因為,所以二面角的余弦值為.解法二:(Ⅱ)設與的交點為,因為平面,平面平面于,所以,因為是中點,所以是的中點,因為,,所以平面,所以,取中點,連接、,因為,所以,故平面,所以,即是二面角的平面角,不妨設,因為,,在中,,所以,所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查求空間角中的二面角的余弦值,還考查由空間中線面關系進而證明線線相等,屬于中檔題.18、(1);(2)證明見解析.【解析】
(1)根據(jù)橢圓的基本性質列出方程組,即可得出橢圓方程;(2)設點,,,由,,結合斜率公式化簡得出,,即,滿足,由的任意性,得出直線恒過一個定點.【詳解】(1)依題意得,解得即橢圓:;(2)設點,,其中,由,得,即,注意到,于是,因此,滿足由的任意性知,,,即直線恒過一個定點.【點睛】本題主要考查了求橢圓的方程,直線過定點問題,屬于中檔題.19、(1)66.5(2)屬于【解析】
(1)利用頻率分布直方圖的平均數(shù)公式求解;(2)求出,即可判斷得解.【詳解】(1)(2)所以該零件屬于“不合格”的零件【點睛】本題主要考查頻率分布圖中平均數(shù)的計算和應用,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.20、(1)見解析;(2)見解析【解析】
(1)求得的導函數(shù),對分成兩種情況,討論的單調性.(2)由(1)判斷出的取值范圍,根據(jù)韋達定理求得的關系式,利用差比較法,計算,通過構造函數(shù),利用導數(shù)證得,由此證得,進而證得不等式成立.【詳解】(1).當時,,此時在上單調遞減;當時,由解得或,∵是增函數(shù),∴此時在和單調遞減,在單調遞增.(2)由(1)知.,,,不妨設,∴,,令,∴,∴在上是減函數(shù),,∴,即.【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調區(qū)間,考查利用導數(shù)證明不等式,考查分類討論的數(shù)學思想方法,考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法,屬于中檔題.21、(1)見解析(2)見解析(3)見解析【解析】分析:(1)用反證法證明,注意應用題中所給的條件,有效利用,再者就是注意應用反證法證題的步驟;(2)將式子進行相應的代換,結合不等式的性質證得結果;(3)結合題中的條件,應用反證法求得結果.詳解:證明:(Ⅰ)證明:采用反證法,若不成立,則若,則,與任意的都有矛盾;若,則有,則與任意的都有矛盾;故對任意,都有成立;(
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