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文檔簡介
2025屆河北省唐山市十一中高考數(shù)學(xué)一模試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若函數(shù)f(x)=x3+x2-在區(qū)間(a,a+5)上存在最小值,則實數(shù)a的取值范圍是A.[-5,0) B.(-5,0) C.[-3,0) D.(-3,0)2.已知滿足,,,則在上的投影為()A. B. C. D.23.已知集合,則()A. B. C. D.4.把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)是偶函數(shù),則實數(shù)的最小值是()A. B. C. D.5.若等差數(shù)列的前項和為,且,,則的值為().A.21 B.63 C.13 D.846.已知實數(shù),滿足約束條件,則目標函數(shù)的最小值為A. B.C. D.7.()A. B. C. D.8.如圖,正方形網(wǎng)格紙中的實線圖形是一個多面體的三視圖,則該多面體各表面所在平面互相垂直的有()A.2對 B.3對C.4對 D.5對9.如圖所示,在平面直角坐標系中,是橢圓的右焦點,直線與橢圓交于,兩點,且,則該橢圓的離心率是()A. B. C. D.10.點是單位圓上不同的三點,線段與線段交于圓內(nèi)一點M,若,則的最小值為()A. B. C. D.11.給甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三項工作,每項工作至少一人,每人做且僅做一項工作,甲不能安排木工工作,則不同的安排方法共有()A.12種 B.18種 C.24種 D.64種12.閱讀如圖所示的程序框圖,運行相應(yīng)的程序,則輸出的結(jié)果為()A. B.6 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若直線與直線交于點,則長度的最大值為____.14.已知函數(shù),若在定義域內(nèi)恒有,則實數(shù)的取值范圍是__________.15.設(shè)函數(shù),若在上的最大值為,則________.16.過直線上一點作圓的兩條切線,切點分別為,,則的最小值是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知,函數(shù).(Ⅰ)若在區(qū)間上單調(diào)遞增,求的值;(Ⅱ)若恒成立,求的最大值.(參考數(shù)據(jù):)18.(12分)已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),試求的取值范圍;(2)若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個零點,且,求的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù),.(Ⅰ)求的最小正周期;(Ⅱ)求在上的最小值和最大值.20.(12分)已知函數(shù),.(1)當時,求函數(shù)的值域;(2),,求實數(shù)的取值范圍.21.(12分)在三角形中,角,,的對邊分別為,,,若.(Ⅰ)求角;(Ⅱ)若,,求.22.(10分)在平面直角坐標系中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),在以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,且與直角坐標系長度單位相同的極坐標系中,曲線C的極坐標方程是.(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程;(2)若直線l與曲線C相交于兩點A,B,求線段的長.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
求函數(shù)導(dǎo)數(shù),分析函數(shù)單調(diào)性得到函數(shù)的簡圖,得到a滿足的不等式組,從而得解.【詳解】由題意,f′(x)=x2+2x=x(x+2),故f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上是增函數(shù),在(-2,0)上是減函數(shù),作出其圖象如圖所示.令x3+x2-=-,得x=0或x=-3,則結(jié)合圖象可知,解得a∈[-3,0),故選C.【點睛】本題主要考查了利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,進而研究函數(shù)的最值,屬于??碱}型.2、A【解析】
根據(jù)向量投影的定義,即可求解.【詳解】在上的投影為.故選:A【點睛】本題考查向量的投影,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】
考慮既屬于又屬于的集合,即得.【詳解】.故選:【點睛】本題考查集合的交運算,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】
先求出的解析式,再求出的解析式,根據(jù)三角函數(shù)圖象的對稱性可求實數(shù)滿足的等式,從而可求其最小值.【詳解】的圖象向右平移個單位長度,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為,故.令,,解得,.因為為偶函數(shù),故直線為其圖象的對稱軸,令,,故,,因為,故,當時,.故選:A.【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象變換以及三角函數(shù)的圖象性質(zhì),注意平移變換是對自變量做加減,比如把的圖象向右平移1個單位后,得到的圖象對應(yīng)的解析式為,另外,如果為正弦型函數(shù)圖象的對稱軸,則有,本題屬于中檔題.5、B【解析】
由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項公式及求和公式可求,,然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】解:因為,,所以,解可得,,,則.故選:B.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式及求和公式的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域,目標函數(shù)的幾何意義為動點到定點的斜率,利用數(shù)形結(jié)合即可得到的最小值.【詳解】解:作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖:目標函數(shù)的幾何意義為動點到定點的斜率,當位于時,此時的斜率最小,此時.故選B.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及兩點之間的斜率公式的計算,利用z的幾何意義,通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.7、D【解析】
利用,根據(jù)誘導(dǎo)公式進行化簡,可得,然后利用兩角差的正弦定理,可得結(jié)果.【詳解】由所以,所以原式所以原式故故選:D【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式以及兩角差的正弦公式,關(guān)鍵在于掌握公式,屬基礎(chǔ)題.8、C【解析】
畫出該幾何體的直觀圖,易證平面平面,平面平面,平面平面,平面平面,從而可選出答案.【詳解】該幾何體是一個四棱錐,直觀圖如下圖所示,易知平面平面,作PO⊥AD于O,則有PO⊥平面ABCD,PO⊥CD,又AD⊥CD,所以,CD⊥平面PAD,所以平面平面,同理可證:平面平面,由三視圖可知:PO=AO=OD,所以,AP⊥PD,又AP⊥CD,所以,AP⊥平面PCD,所以,平面平面,所以該多面體各表面所在平面互相垂直的有4對.【點睛】本題考查了空間幾何體的三視圖,考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征,考查了面面垂直的證明,屬于中檔題.9、A【解析】
聯(lián)立直線方程與橢圓方程,解得和的坐標,然后利用向量垂直的坐標表示可得,由離心率定義可得結(jié)果.【詳解】由,得,所以,.由題意知,所以,.因為,所以,所以.所以,所以,故選:A.【點睛】本題考查了直線與橢圓的交點,考查了向量垂直的坐標表示,考查了橢圓的離心率公式,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】
由題意得,再利用基本不等式即可求解.【詳解】將平方得,(當且僅當時等號成立),,的最小值為,故選:D.【點睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用,考查基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.11、C【解析】
根據(jù)題意,分2步進行分析:①,將4人分成3組,②,甲不能安排木工工作,甲所在的一組只能安排給泥工或油漆,將剩下的2組全排列,安排其他的2項工作,由分步計數(shù)原理計算可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,分2步進行分析:①,將4人分成3組,有種分法;②,甲不能安排木工工作,甲所在的一組只能安排給泥工或油漆,有2種情況,將剩下的2組全排列,安排其他的2項工作,有種情況,此時有種情況,則有種不同的安排方法;故選:C.【點睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用,涉及分步計數(shù)原理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】
用列舉法,通過循環(huán)過程直接得出與的值,得到時退出循環(huán),即可求得.【詳解】執(zhí)行程序框圖,可得,,滿足條件,,,滿足條件,,,滿足條件,,,由題意,此時應(yīng)該不滿足條件,退出循環(huán),輸出S的值為.故選D.【點睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用,正確依次寫出每次循環(huán)得到的與的值是解題的關(guān)鍵,難度較易.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)題意可知,直線與直線分別過定點,且這兩條直線互相垂直,由此可知,其交點在以為直徑的圓上,結(jié)合圖形求出線段的最大值即可.【詳解】由題可知,直線可化為,所以其過定點,直線可化為,所以其過定點,且滿足,所以直線與直線互相垂直,其交點在以為直徑的圓上,作圖如下:結(jié)合圖形可知,線段的最大值為,因為為線段的中點,所以由中點坐標公式可得,所以線段的最大值為.故答案為:【點睛】本題考查過交點的直線系方程、動點的軌跡問題及點與圓的位置關(guān)系;考查數(shù)形結(jié)合思想和運算求解能力;根據(jù)圓的定義得到交點在以為直徑的圓上是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.14、【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象可將原題轉(zhuǎn)化為恒成立問題,湊而可知的圖象在過原點且與兩函數(shù)相切的兩條切線之間;利用過一點的曲線切線的求法可求得兩切線斜率,結(jié)合分母不為零的條件可最終確定的取值范圍.【詳解】由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象可知:,恒成立可轉(zhuǎn)化為恒成立,即恒成立,,即是夾在函數(shù)與的圖象之間,的圖象在過原點且與兩函數(shù)相切的兩條切線之間.設(shè)過原點且與相切的直線與函數(shù)相切于點,則切線斜率,解得:;設(shè)過原點且與相切的直線與函數(shù)相切于點,則切線斜率,解得:;當時,,又,滿足題意;綜上所述:實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查恒成立問題的求解,重點考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用中的過一點的曲線切線的求解方法;關(guān)鍵是能夠結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象將問題轉(zhuǎn)化為切線斜率的求解問題;易錯點是忽略分母不為零的限制,忽略對于臨界值能否取得的討論.15、【解析】
求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由在上,可得在上單調(diào)遞增,則函數(shù)最大值為,即可求出參數(shù)的值.【詳解】解:定義域為,在上單調(diào)遞增,故在上的最大值為故答案為:【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
由切線的性質(zhì),可知,切由直角三角形PAO,PBO,即可設(shè),進而表示,由圖像觀察可知進而求出x的范圍,再用的式子表示,整理后利用換元法與雙勾函數(shù)求出最小值.【詳解】由題可知,,設(shè),由切線的性質(zhì)可知,則顯然,則或(舍去)因為令,則,由雙勾函數(shù)單調(diào)性可知其在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以故答案為:【點睛】本題考查在以直線與圓的位置關(guān)系為背景下求向量數(shù)量積的最值問題,應(yīng)用函數(shù)形式表示所求式子,進而利用分析函數(shù)單調(diào)性或基本不等式求得最值,屬于較難題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ)3.【解析】
(Ⅰ)先求導(dǎo),得,已知導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增,又在區(qū)間上單調(diào)遞增,故,令,求得,討論得,而,故,進而得解;(Ⅱ)可通過必要性探路,當時,由知,又由于,則,當,,結(jié)合零點存在定理可判斷必存在使得,得,,化簡得,再由二次函數(shù)性質(zhì)即可求證;【詳解】(Ⅰ)的定義域為.易知單調(diào)遞增,由題意有.令,則.令得.所以當時,單調(diào)遞增;當時,單調(diào)遞減.所以,而又有,因此,所以.(Ⅱ)由知,又由于,則.下面證明符合條件.若.所以.易知單調(diào)遞增,而,,因此必存在使得,即.且當時,單調(diào)遞減;當時,,單調(diào)遞增;則.綜上,的最大值為3.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計算,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性和最值,屬于中檔題18、(1);(2).【解析】
(1)求出,再求恒成立,以及恒成立時,的取值范圍;(2)由已知,在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點,轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點,由(1)的結(jié)論對分類討論,根據(jù)單調(diào)性,結(jié)合零點存在性定理,即可求出結(jié)論.【詳解】(1)由題意得,則,當函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增時,在區(qū)間上恒成立.∴(其中),解得.當函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減時,在區(qū)間上恒成立,∴(其中),解得.綜上所述,實數(shù)的取值范圍是.(2).由,知在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點,設(shè)該零點為,則在區(qū)間內(nèi)不單調(diào).∴在區(qū)間內(nèi)存在零點,同理在區(qū)間內(nèi)存在零點.∴在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點.由(1)易知,當時,在區(qū)間上單調(diào)遞增,故在區(qū)間內(nèi)至多有一個零點,不合題意.當時,在區(qū)間上單調(diào)遞減,故在區(qū)間內(nèi)至多有一個零點,不合題意,∴.令,得,∴函數(shù)在區(qū)間上單凋遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.記的兩個零點為,∴,必有.由,得.∴又∵,∴.綜上所述,實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及到函數(shù)的單調(diào)性、零點問題,意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計算能力,屬于較難題.19、(Ⅰ);(Ⅱ)最小值和最大值.【解析】試題分析:(1)由已知利用兩角和與差的三角函數(shù)公式及倍角公式將的解析式化為一個復(fù)合角的三角函數(shù)式,再利用正弦型函數(shù)的最小正周期計算公式,即可求得函數(shù)的最小正周期;(2)由(1)得函數(shù),分析它在閉區(qū)間上的單調(diào)性,可知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù),由此即可求得函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.也可以利用整體思想求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.由已知,有的最小正周期.(2)∵在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù),,,∴函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為,最小值為.考點:1.兩角和與差的正弦公式、二倍角的正弦與余弦公式;2.三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性.20、(1);(2).【解析】
(1)將代入函數(shù)的解析式,將
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