安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2025屆高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析

安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2025屆高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)．下列命題：①函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②函數(shù)是周期函數(shù)；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值；④函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象沒(méi)有公共點(diǎn)，其中正確命題的序號(hào)是（）A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④2．已知函數(shù)，，若對(duì)，且，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．2019年10月1日，為了慶祝中華人民共和國(guó)成立70周年，小明、小紅、小金三人以國(guó)慶為主題各自獨(dú)立完成一幅十字繡贈(zèng)送給當(dāng)?shù)氐拇逦瘯?huì)，這三幅十字繡分別命名為“鴻福齊天”、“國(guó)富民強(qiáng)”、“興國(guó)之路”，為了弄清“國(guó)富民強(qiáng)”這一作品是誰(shuí)制作的，村支書(shū)對(duì)三人進(jìn)行了問(wèn)話，得到回復(fù)如下：小明說(shuō)：“鴻福齊天”是我制作的；小紅說(shuō)：“國(guó)富民強(qiáng)”不是小明制作的，就是我制作的；小金說(shuō)：“興國(guó)之路”不是我制作的，若三人的說(shuō)法有且僅有一人是正確的，則“鴻福齊天”的制作者是（）A．小明 B．小紅 C．小金 D．小金或小明4．中國(guó)的國(guó)旗和國(guó)徽上都有五角星，正五角星與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的正五角星中，以、、、、為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形，且，則（）A． B． C． D．5．若直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，則（）A． B． C．2 D．6．如圖，平面四邊形中，，，，為等邊三角形，現(xiàn)將沿翻折，使點(diǎn)移動(dòng)至點(diǎn)，且，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．7．是正四面體的面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，為棱中點(diǎn)，記與平面成角為定值，若點(diǎn)的軌跡為一段拋物線，則（）A． B． C． D．8．若的展開(kāi)式中的系數(shù)為-45，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B．2 C． D．9．已知復(fù)數(shù)，若，則的值為（）A．1 B． C． D．10．在中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，且，，則（）A． B． C． D．11．在邊長(zhǎng)為的菱形中，，沿對(duì)角線折成二面角為的四面體（如圖），則此四面體的外接球表面積為（）A． B．C． D．12．正三棱柱中，，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知盒中有2個(gè)紅球，2個(gè)黃球，且每種顏色的兩個(gè)球均按，編號(hào)，現(xiàn)從中摸出2個(gè)球（除顏色與編號(hào)外球沒(méi)有區(qū)別），則恰好同時(shí)包含字母，的概率為_(kāi)_______.14．在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，若，，則的取值范圍是_____．15．的展開(kāi)式中含的系數(shù)為_(kāi)_________．（用數(shù)字填寫(xiě)答案）16．雙曲線的焦距為_(kāi)_________，漸近線方程為_(kāi)_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，其中，．（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）當(dāng)?shù)淖钚≌芷跒闀r(shí)，求在上的值域．18．（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知等差數(shù)列中，，數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）求；（2）若，求的前項(xiàng)和.20．（12分）已知函數(shù)，．（1）若，，求實(shí)數(shù)的值．（2）若，，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．21．（12分）已知凸邊形的面積為1，邊長(zhǎng)，，其內(nèi)部一點(diǎn)到邊的距離分別為.求證：.22．（10分）下表是某公司2018年5~12月份研發(fā)費(fèi)用（百萬(wàn)元）和產(chǎn)品銷量（萬(wàn)臺(tái)）的具體數(shù)據(jù)：月份56789101112研發(fā)費(fèi)用（百萬(wàn)元）2361021131518產(chǎn)品銷量（萬(wàn)臺(tái)）1122.563.53.54.5（Ⅰ）根據(jù)數(shù)據(jù)可知與之間存在線性相關(guān)關(guān)系，求出與的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；（Ⅱ）該公司制定了如下獎(jiǎng)勵(lì)制度：以（單位：萬(wàn)臺(tái)）表示日銷售，當(dāng)時(shí)，不設(shè)獎(jiǎng)；當(dāng)時(shí)，每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)200元；當(dāng)時(shí)，每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)300元；當(dāng)時(shí)，每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)400元.現(xiàn)已知該公司某月份日銷售（萬(wàn)臺(tái)）服從正態(tài)分布（其中是2018年5-12月產(chǎn)品銷售平均數(shù)的二十分之一），請(qǐng)你估計(jì)每位員工該月（按30天計(jì)算）獲得獎(jiǎng)勵(lì)金額總數(shù)大約多少元.參考數(shù)據(jù)：，，，，參考公式：相關(guān)系數(shù)，其回歸直線中的，若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)奇偶性的定義可判斷出①正確；由周期函數(shù)特點(diǎn)知②錯(cuò)誤；函數(shù)定義域?yàn)?，最值點(diǎn)即為極值點(diǎn)，由知③錯(cuò)誤；令，在和兩種情況下知均無(wú)零點(diǎn)，知④正確.【詳解】由題意得：定義域?yàn)椋?，為奇函?shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，①正確；為周期函數(shù)，不是周期函數(shù)，不是周期函數(shù)，②錯(cuò)誤；，，不是最值，③錯(cuò)誤；令，當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)與無(wú)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)與無(wú)交點(diǎn)；綜上所述：與無(wú)交點(diǎn)，④正確.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)奇偶性和周期性的判斷、函數(shù)最值的判斷、兩函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題的求解；本題綜合性較強(qiáng)，對(duì)于學(xué)生的分析和推理能力有較高要求.2、D【解析】

先求出的值域，再利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)值域，由方程有兩個(gè)根求參數(shù)范圍即可.【詳解】因?yàn)?，故，?dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得，故在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.又，且當(dāng)趨近于零時(shí)，趨近于正無(wú)窮；對(duì)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；根據(jù)題意，對(duì)，且，使得成立，只需，即可得，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究由方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍的問(wèn)題，涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)值域的問(wèn)題，屬綜合困難題.3、B【解析】

將三個(gè)人制作的所有情況列舉出來(lái)，再一一論證.【詳解】依題意，三個(gè)人制作的所有情況如下所示：123456鴻福齊天小明小明小紅小紅小金小金國(guó)富民強(qiáng)小紅小金小金小明小紅小明興國(guó)之路小金小紅小明小金小明小紅若小明的說(shuō)法正確，則均不滿足；若小紅的說(shuō)法正確，則4滿足；若小金的說(shuō)法正確，則3滿足.故“鴻福齊天”的制作者是小紅，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查推理與證明，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

利用平面向量的概念、平面向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，便可解決問(wèn)題．【詳解】解：.故選：A【點(diǎn)睛】本題以正五角星為載體，考查平面向量的概念及運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解析】

計(jì)算拋物線的交點(diǎn)為，代入計(jì)算得到答案.【詳解】可化為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的焦點(diǎn)，屬于簡(jiǎn)單題.6、A【解析】

將三棱錐補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上，在中，計(jì)算半徑即可.【詳解】由，，可知平面．將三棱錐補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同．由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上，記的外心為，由為等邊三角形，可得．又，故在中，，此即為外接球半徑，從而外接球表面積為．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐外接球的表面積，考查了學(xué)生空間想象，邏輯推理，綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.7、B【解析】

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出面的法向量，設(shè)的坐標(biāo)，求出向量，求出線面所成角的正弦值，再由角的范圍，結(jié)合為定值，得出為定值，且的軌跡為一段拋物線，所以求出坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而求出正切值．【詳解】由題意設(shè)四面體的棱長(zhǎng)為，設(shè)為的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，以為軸，過(guò)垂直于面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則可得，，取的三等分點(diǎn)、如圖，則，，，，所以、、、、，由題意設(shè)，，和都是等邊三角形，為的中點(diǎn)，，，，平面，為平面的一個(gè)法向量，因?yàn)榕c平面所成角為定值，則，由題意可得，因?yàn)榈能壽E為一段拋物線且為定值，則也為定值，，可得，此時(shí)，則，.故選：B.【點(diǎn)睛】考查線面所成的角的求法，及正切值為定值時(shí)的情況，屬于中等題．8、D【解析】

將多項(xiàng)式的乘法式展開(kāi)，結(jié)合二項(xiàng)式定理展開(kāi)式通項(xiàng)，即可求得的值.【詳解】∵所以展開(kāi)式中的系數(shù)為，∴解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理展開(kāi)式通項(xiàng)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，指定項(xiàng)系數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】由復(fù)數(shù)模的定義可得：，求解關(guān)于實(shí)數(shù)的方程可得：.本題選擇D選項(xiàng).10、A【解析】

根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得,利用及，計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?所以，所以，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算，向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量數(shù)量積的性質(zhì)，屬于中檔題.11、A【解析】

畫(huà)圖取的中點(diǎn)M，法一：四邊形的外接圓直徑為OM，即可求半徑從而求外接球表面積；法二：根據(jù)，即可求半徑從而求外接球表面積；法三：作出的外接圓直徑，求出和，即可求半徑從而求外接球表面積；【詳解】如圖，取的中點(diǎn)M，和的外接圓半徑為，和的外心，到弦的距離（弦心距）為.法一：四邊形的外接圓直徑，，；法二：，，；法三：作出的外接圓直徑，則，，，，，，，，，.故選：A【點(diǎn)睛】此題考查三棱錐的外接球表面積，關(guān)鍵點(diǎn)是通過(guò)幾何關(guān)系求得球心位置和球半徑，方法較多，屬于較易題目.12、C【解析】

取中點(diǎn)，連接，，根據(jù)正棱柱的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，得出//，則即為異面直線與所成角，求出，即可得出結(jié)果.【詳解】解：如圖，取中點(diǎn)，連接，，由于正三棱柱，則底面，而底面，所以，由正三棱柱的性質(zhì)可知，為等邊三角形，所以，且,所以平面，而平面，則，則//，，∴即為異面直線與所成角，設(shè)，則，，，則，∴.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查通過(guò)幾何法求異面直線的夾角，考查計(jì)算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)組合數(shù)得出所有情況數(shù)及兩個(gè)球顏色不相同的情況數(shù)，讓兩個(gè)球顏色不相同的情況數(shù)除以總情況數(shù)即為所求的概率．【詳解】從袋中任意地同時(shí)摸出兩個(gè)球共種情況，其中有種情況是兩個(gè)球顏色不相同；故其概率是故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求事件概率，解題關(guān)鍵是掌握概率的基礎(chǔ)知識(shí)和組合數(shù)計(jì)算公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

計(jì)算出角的取值范圍，結(jié)合正弦定理可求得的取值范圍.【詳解】，則，所以，，由正弦定理，.因此，的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，正弦函數(shù)圖象和性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】由題意得，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，則，所以得系數(shù)為．16、6【解析】由題得所以焦距,故第一個(gè)空填6.由題得漸近線方程為.故第二個(gè)空填.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)，得到函數(shù)，然后，直接求解的值；（2）首先，化簡(jiǎn)函數(shù)，然后，結(jié)合周期公式，得到，再結(jié)合，及正弦函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）因?yàn)?，所以?）因?yàn)榧匆驗(yàn)椋运砸驗(yàn)樗运援?dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，（最大值）當(dāng)時(shí)，在是增函數(shù)，在是減函數(shù)．的值域是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡(jiǎn)單角的三角函數(shù)值的求解方法，兩角和與差的正弦、余弦公式，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．18、（1）或；（2）.【解析】

（1）利用絕對(duì)值的幾何意義，將不等式，轉(zhuǎn)化為不等式或或求解.（2）根據(jù)-2在R上恒成立，由絕對(duì)值三角不等式求得的最小值即可.【詳解】（1）原不等式等價(jià)于或或，解得：或，∴不等式的解集為或.（2）因?yàn)?2在R上恒成立，而，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法和不等式恒成立問(wèn)題，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.19、（1），；（2）.【解析】

（1）由條件得出方程組，可求得的通項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，，得出是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，可求得的通項(xiàng)；（2）由（1）可知，，分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)分別求得.【詳解】（1）由條件知，，，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，；（2）由（1）可知，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，綜上，【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)的求得，以及其前n項(xiàng)和，注意分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)兩種情況分別求得其數(shù)列的和，屬于中檔題.20、（1）1（2）【解析】

（1）求得和，由，，得，令，令導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，利用，即可求解．（2）解法一：令，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為，令（），利用導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性，分類討論，即可求解．解法二：可利用導(dǎo)數(shù)，先證明不等式，，，，令（），利用導(dǎo)數(shù)，分類討論得出函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解．【詳解】（1）由題意，得，，由，…①，得，令，則，因?yàn)椋栽趩握{(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故方程①有且僅有唯一解，實(shí)數(shù)的值為1．（2）解法一：令（），則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減;故．令（），則．（i）若時(shí)，，在單調(diào)遞增，所以，滿足題意．（ii）若時(shí)，，滿足題意．（iii）若時(shí)，，在單調(diào)遞減，所以．不滿足題意．綜上述：．解法二：先證明不等式，，，…（*）．令，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，即．變形得，，所以時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，.又由上式得，當(dāng)時(shí)，，，.因此不等式（*）均成立．令（），則，（i）若時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減;故．（ii）若時(shí)，，在單調(diào)遞增，