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2025屆內(nèi)蒙古烏海市重點(diǎn)中學(xué)高考臨考沖刺數(shù)學(xué)試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若,則實(shí)數(shù)的大小關(guān)系為()A. B. C. D.2.已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件,若的最大值為2,則實(shí)數(shù)k的值為()A.1 B. C.2 D.3.在中,,,,則邊上的高為()A. B.2 C. D.4.已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,且成等比數(shù)列,則()A.4 B.3 C.2 D.15.《九章算術(shù)》有如下問題:“今有金箠,長(zhǎng)五尺,斬本一尺,重四斤;斬末一尺,重二斤,問次一尺各重幾何?”意思是:“現(xiàn)在有一根金箠,長(zhǎng)五尺在粗的一端截下一尺,重斤;在細(xì)的一端截下一尺,重斤,問各尺依次重多少?”按這一問題的顆設(shè),假設(shè)金箠由粗到細(xì)各尺重量依次成等差數(shù)列,則從粗端開始的第二尺的重量是()A.斤 B.斤 C.斤 D.斤6.已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切,則的值為()A.1 B.2 C. D.47.已知函數(shù)的零點(diǎn)為m,若存在實(shí)數(shù)n使且,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.8.設(shè)一個(gè)正三棱柱,每條棱長(zhǎng)都相等,一只螞蟻從上底面的某頂點(diǎn)出發(fā),每次只沿著棱爬行并爬到另一個(gè)頂點(diǎn),算一次爬行,若它選擇三個(gè)方向爬行的概率相等,若螞蟻爬行10次,仍然在上底面的概率為,則為()A. B.C. D.9.是虛數(shù)單位,則()A.1 B.2 C. D.10.設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是()A.若,,則 B.若,,則C.若,,則 D.若,,則11.()A. B. C. D.12.某地區(qū)教育主管部門為了對(duì)該地區(qū)模擬考試成進(jìn)行分析,隨機(jī)抽取了200分到450分之間的2000名學(xué)生的成績(jī),并根據(jù)這2000名學(xué)生的成績(jī)畫出樣本的頻率分布直方圖,如圖所示,則成績(jī)?cè)冢瑑?nèi)的學(xué)生人數(shù)為()A.800 B.1000 C.1200 D.1600二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)向量,,且,則_________.14.某班有學(xué)生52人,現(xiàn)將所有學(xué)生隨機(jī)編號(hào),用系統(tǒng)抽樣方法,抽取一個(gè)容量為4的樣本,已知5號(hào)、31號(hào)、44號(hào)學(xué)生在樣本中,則樣本中還有一個(gè)學(xué)生的編號(hào)是__________.15.已知直角坐標(biāo)系中起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的向量滿足,且,,,存在,對(duì)于任意的實(shí)數(shù),不等式,則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.16.已知實(shí)數(shù),滿足,則的最大值為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在中,.(1)求的值;(2)點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)重合),設(shè),求的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù),設(shè)為的導(dǎo)數(shù),.(1)求,;(2)猜想的表達(dá)式,并證明你的結(jié)論.19.(12分)在中,為邊上一點(diǎn),,.(1)求;(2)若,,求.20.(12分)的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知.(1)求B;(2)若,求的面積的最大值.21.(12分)已知數(shù)列滿足,,,且.(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列,并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.22.(10分)等差數(shù)列的公差為2,分別等于等比數(shù)列的第2項(xiàng),第3項(xiàng),第4項(xiàng).(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前2020項(xiàng)的和.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
將化成以為底的對(duì)數(shù),即可判斷的大小關(guān)系;由對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可判斷出與1的大小關(guān)系,從而可判斷三者的大小關(guān)系.【詳解】依題意,由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得.又因?yàn)椋?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).兩個(gè)對(duì)數(shù)型的數(shù)字比較大小時(shí),底數(shù)相同,則構(gòu)造對(duì)數(shù)函數(shù),結(jié)合對(duì)數(shù)的單調(diào)性可判斷大??;若真數(shù)相同,則結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像或者換底公式可判斷大小;若真數(shù)和底數(shù)都不相同,則可與中間值如1,0比較大小.2、B【解析】
畫出約束條件的可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,求出最優(yōu)解,轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】可行域如圖中陰影部分所示,,,要使得z能取到最大值,則,當(dāng)時(shí),x在點(diǎn)B處取得最大值,即,得;當(dāng)時(shí),z在點(diǎn)C處取得最大值,即,得(舍去).故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查由目標(biāo)函數(shù)最值求解參數(shù)值,數(shù)形結(jié)合思想,分類討論是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.3、C【解析】
結(jié)合正弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,求得邊長(zhǎng),由此求得邊上的高.【詳解】過作,交的延長(zhǎng)線于.由于,所以為鈍角,且,所以.在三角形中,由正弦定理得,即,所以.在中有,即邊上的高為.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理解三角形,考查三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,屬于中檔題.4、A【解析】
根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列公式直接計(jì)算得到答案.【詳解】由成等比數(shù)列得,即,已知,解得.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列,等比數(shù)列的基本量的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.5、B【解析】
依題意,金箠由粗到細(xì)各尺重量構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列,則,由此利用等差數(shù)列性質(zhì)求出結(jié)果.【詳解】設(shè)金箠由粗到細(xì)各尺重量依次所成得等差數(shù)列為,設(shè)首項(xiàng),則,公差,.故選B【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】
因?yàn)閳A與拋物線的準(zhǔn)線相切,則圓心為(3,0),半徑為4,根據(jù)相切可知,圓心到直線的距離等于半徑,可知的值為2,選B.【詳解】請(qǐng)?jiān)诖溯斎朐斀猓?、D【解析】
易知單調(diào)遞增,由可得唯一零點(diǎn),通過已知可求得,則問題轉(zhuǎn)化為使方程在區(qū)間上有解,化簡(jiǎn)可得,借助對(duì)號(hào)函數(shù)即可解得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】易知函數(shù)單調(diào)遞增且有惟一的零點(diǎn)為,所以,∴,問題轉(zhuǎn)化為:使方程在區(qū)間上有解,即在區(qū)間上有解,而根據(jù)“對(duì)勾函數(shù)”可知函數(shù)在區(qū)間的值域?yàn)椋?故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題,考查了方程有解問題,分離參數(shù)法及構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用,考查了利用“對(duì)勾函數(shù)”求參數(shù)取值范圍問題,難度較難.8、D【解析】
由題意,設(shè)第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有兩條路,其概率為;②若上一步在下面,則第步不在上面的概率是.如果爬上來,其概率是,兩種事件又是互斥的,可得,根據(jù)求數(shù)列的通項(xiàng)知識(shí)可得選項(xiàng).【詳解】由題意,設(shè)第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有兩條路,其概率為;②若上一步在下面,則第步不在上面的概率是.如果爬上來,其概率是,兩種事件又是互斥的,∴,即,∴,∴數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列,而,所以,∴當(dāng)時(shí),,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體中的概率問題,關(guān)鍵在于運(yùn)用遞推的知識(shí),得出相鄰的項(xiàng)的關(guān)系,這是常用的方法,屬于難度題.9、C【解析】
由復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則求出,再由模長(zhǎng)公式,即可求解.【詳解】由.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法和模,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
在A中,與相交或平行;在B中,或;在C中,由線面垂直的判定定理得;在D中,與平行或.【詳解】設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,則:在A中,若,,則與相交或平行,故A錯(cuò)誤;在B中,若,,則或,故B錯(cuò)誤;在C中,若,,則由線面垂直的判定定理得,故C正確;在D中,若,,則與平行或,故D錯(cuò)誤.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),是中檔題.11、A【解析】
分子分母同乘,即根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則求解即可.【詳解】解:,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】
由圖可列方程算得a,然后求出成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率,最后根據(jù)頻數(shù)=總數(shù)×頻率可以求得成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生人數(shù).【詳解】由頻率和為1,得,解得,所以成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率,所以成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生人數(shù).故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率直方圖的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)向量的數(shù)量積的計(jì)算,以及向量的平方,簡(jiǎn)單計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:且由所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)計(jì)算,主要考查計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.14、18【解析】
根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法,所抽取的4個(gè)個(gè)體的編號(hào)成等差數(shù)列,故可根據(jù)其中三個(gè)個(gè)體的編號(hào)求出另一個(gè)個(gè)體的編號(hào).【詳解】解:根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法,所抽取的4個(gè)個(gè)體的編號(hào)成等差數(shù)列,已知其中三個(gè)個(gè)體的編號(hào)為5,31,44,故還有一個(gè)抽取的個(gè)體的編號(hào)為18,故答案為:18【點(diǎn)睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的定義和方法,屬于簡(jiǎn)單題.15、【解析】
由題意可設(shè),,,由向量的坐標(biāo)運(yùn)算,以及恒成立思想可設(shè),的最小值即為點(diǎn),到直線的距離,求得,可得不大于.【詳解】解:,且,可設(shè),,,,可得,可得的終點(diǎn)均在直線上,由于為任意實(shí)數(shù),可得時(shí),的最小值即為點(diǎn)到直線的距離,可得,對(duì)于任意的實(shí)數(shù),不等式,可得,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的模的求法,以及兩點(diǎn)的距離的運(yùn)用,考查直線方程的運(yùn)用,以及點(diǎn)到直線的距離,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.16、【解析】
畫出不等式組表示的平面區(qū)域,將目標(biāo)函數(shù)理解為點(diǎn)與構(gòu)成直線的斜率,數(shù)形結(jié)合即可求得.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下所示:因?yàn)榭梢岳斫鉃辄c(diǎn)與構(gòu)成直線的斜率,數(shù)形結(jié)合可知,當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí),斜率取得最大值,故的最大值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查目標(biāo)函數(shù)為斜率型的規(guī)劃問題,屬基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)先利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求得,再由求解即可;(2)在中,由正弦定理可得,則,再由求解即可.【詳解】解:(1)在中,,所以,所以(2)由(1)可知,所以,在中,因?yàn)?所以,因?yàn)?所以,所以.【點(diǎn)睛】本題考查已知三角函數(shù)值求值,考查正弦定理的應(yīng)用.18、,;,證明見解析【解析】
對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),并通過三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化求得的表達(dá)式,對(duì)函數(shù)再進(jìn)行求導(dǎo)并通過三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化求得的表達(dá)式;根據(jù)中,的表達(dá)式進(jìn)行歸納猜想,再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【詳解】(1),其中,[,其中,(2)猜想,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:①當(dāng)時(shí),成立,②假設(shè)時(shí),猜想成立即當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),猜想成立由①②對(duì)成立【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、三角恒等變換、歸納與猜想和數(shù)學(xué)歸納法;考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力;熟練掌握用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明的步驟是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.19、(1);(2)4【解析】
(1),利用兩角差的正弦公式計(jì)算即可;(2)設(shè),在中,用正弦定理將用x表示,在中用一次余弦定理即可解決.【詳解】(1)∵,∴,所以,.(2)∵,∴設(shè),,在中,由正弦定理得,,∴,∴,∵,∴∴.【點(diǎn)睛】本題考查兩角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,是一道容易題.20、(1)(2)【解析】
(1)由正弦定理邊化角化簡(jiǎn)已知條件可求得,即可求得;(2)由余弦定理借助基本不等式可求得,即可求出的面積的最大值.【詳解】(1),,所以,所以,,,,.(2)由余弦定理得.,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等,.所以的面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了三角形面積的最值問題,難度較易.21、(1)證明見解析;(2)【解析】
(1)根據(jù)題目所給遞推關(guān)系式得到,由此證得數(shù)列為等比數(shù)列,并求得其通項(xiàng)公式.然后利用累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)利用錯(cuò)位相減求和法求得數(shù)列的前項(xiàng)和【詳解】(1)已知,則,且,則為以3為首相,3為公比的等比數(shù)列,所以,.(2)由(1)得:,,①,②①-②可得,則即.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列,考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查錯(cuò)位相減求和法,屬于中檔題.22、(1),;(2).【解析】
(1)根據(jù)題意同時(shí)利用等差、等
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