山東專用2024新高考數(shù)學一輪復習第五章數(shù)列5.1數(shù)列的概念與簡單表示法學案含解析

PAGE第五章數(shù)列第一節(jié)數(shù)列的概念與簡潔表示法課標要求考情分析1.了解數(shù)列的概念和幾種簡潔的表示方法(列表、圖象、通項公式)．2．了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特別函數(shù)．1.本節(jié)在高考中主要考查簡潔數(shù)列的通項公式的求解、數(shù)列的前n項和Sn與通項an的關(guān)系以及簡潔的遞推數(shù)列等問題．2．命題形式多種多樣，三種題型都有可能出現(xiàn)，試題難度中等.學問點一數(shù)列的概念1．數(shù)列的定義：依據(jù)肯定依次排列的一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．2．數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)觀點看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})為定義域的函數(shù)an＝f(n)，當自變量依據(jù)從小到大的依次依次取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值．3．數(shù)列的表示法：列表法、圖象法和通項公式法．學問點二數(shù)列的分類學問點三數(shù)列的通項公式1．通項公式：假如數(shù)列{an}的第n項an與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子an＝f(n)來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式．數(shù)列通項公式的留意點(1)并不是全部的數(shù)列都有通項公式；(2)同一個數(shù)列的通項公式在形式上未必唯一；(3)對于一個數(shù)列，假如只知道它的前幾項，而沒有指出它的改變規(guī)律，是不能確定這個數(shù)列的．2．遞推公式：假如已知數(shù)列{an}的第1項(或前幾項)，且從其次項(或某一項)起先的任一項an與它的前一項an－1(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.1．思索辨析推斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)相同的一組數(shù)按不同依次排列時都表示同一個數(shù)列．(×)(2)依據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出數(shù)列的通項公式可能不止一個．(√)(3)1,1,1,1，…，不能構(gòu)成一個數(shù)列．(×)(4)任何一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列．(×)(5)假如數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則對?n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(√)2．小題熱身(1)已知數(shù)列eq\f(1,1×2)，eq\f(1,2×3)，eq\f(1,3×4)，…，eq\f(1,nn＋1)，…，下列各數(shù)中是此數(shù)列中的項的是(B)A.eq\f(1,35)B.eq\f(1,42)C.eq\f(1,48)D.eq\f(1,54)(2)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝1＋eq\f(1,an－1)(n≥2)，則a4＝(B)A.eq\f(3,2)B.eq\f(5,3)C.eq\f(7,4)D.eq\f(8,5)(3)依據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點數(shù)，寫出點數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個通項公式an＝5n－4.(4)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2，則a7＋a8的值為28.(5)已知數(shù)列{an}滿意a1＝1，an＋1＝aeq\o\al(2,n)－2an＋1(n∈N*)，則a2018＝0.解析：(2)由題意知，a1＝1，a2＝2，a3＝eq\f(3,2)，a4＝eq\f(5,3).(3)由a1＝1＝5×1－4，a2＝6＝5×2－4，a3＝11＝5×3－4，…，歸納an＝5n－4.(4)a7＋a8＝S8－S6＝82－62＝28.(5)∵a1＝1，∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知數(shù)列{an}是以2為周期的數(shù)列，∴a2018＝a2＝0.考點一由數(shù)列的前幾項歸納數(shù)列的通項公式【例1】(1)數(shù)列1，－4,9，－16,25，…的一個通項公式是()A．a(chǎn)n＝n2 B．a(chǎn)n＝(－1)nn2C．a(chǎn)n＝(－1)n＋1n2 D．a(chǎn)n＝(－1)n(n＋1)2(2)把1,3,6,10,15，…，這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因為這些數(shù)目的圓點可以排成一個正三角形(如圖所示)．則第7個三角形數(shù)是()A．27B．28C．29D．30【解析】(1)解法1：該數(shù)列中第n項的肯定值是n2，正負交替的符號是(－1)n＋1，故選C.解法2：將n＝2代入各選項，解除A，B，D，故選C.(2)視察三角形數(shù)的增長規(guī)律，可以發(fā)覺每一項比它的前一項多的點數(shù)正好是該項的序號，即an＝an－1＋n(n≥2)．所以依據(jù)這個規(guī)律計算可知，第7個三角形數(shù)是a7＝a6＋7＝a5＋6＋7＝15＋6＋7＝28.故選B.【答案】(1)C(2)B方法技巧由數(shù)列的前幾項歸納數(shù)列通項公式的常用方法：視察視察規(guī)律、比較比較已知數(shù)列、歸納、轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為特別數(shù)列、聯(lián)想聯(lián)想常見的數(shù)列等方法.同時也可以運用添項、還原、分割等方法，轉(zhuǎn)化為一個常見數(shù)列，通過常見數(shù)列的通項公式求得所給數(shù)列的通項公式.1．在數(shù)列1,2，eq\r(7)，eq\r(10)，eq\r(13)，…中2eq\r(19)是這個數(shù)列的第26項．解析：數(shù)列1,2，eq\r(7)，eq\r(10)，eq\r(13)，…，即數(shù)列eq\r(1)，eq\r(3×1＋1)，eq\r(3×2＋1)，eq\r(3×3＋1)，eq\r(3×4＋1)，…，所以該數(shù)列的通項公式為an＝eq\r(3n－1＋1)＝eq\r(3n－2)，所以eq\r(3n－2)＝2eq\r(19)＝eq\r(76)，所以n＝26，故2eq\r(19)是這個數(shù)列的第26項．2．若有窮數(shù)列a1，a2，…，an(n∈N*)滿意an＋an＋1＝an＋2＋an＋3，就稱該數(shù)列為“相鄰等和數(shù)列”，已知各項都為正整數(shù)的數(shù)列{an}是項數(shù)為8的“相鄰等和數(shù)列”，且a1＋a2＝8，a2＋a3＝9，則滿意條件的數(shù)列{an}有4個．解析：設(shè)a1＝a，由題意知，a2＝8－a，a3＝1＋a，a4＝7－a，a5＝2＋a，a6＝6－a，a7＝3＋a，a8＝5－a.因為數(shù)列{an}各項都為正整數(shù)，所以1≤a≤4，a∈N*，則滿意條件的數(shù)列{an}有4個．考點二由an與Sn的關(guān)系求通項公式【例2】(1)數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2＋n＋1，bn＝(－1)nan(n∈N*)，則數(shù)列{bn}的前50項和為()A．49B．50C．99D．100(2)數(shù)列{an}滿意eq\f(1,2)a1＋eq\f(1,22)a2＋eq\f(1,23)a3＋…＋eq\f(1,2n)an＝2n＋1，則數(shù)列{an}的通項公式為________．【解析】(1)當n＝1時，a1＝S1＝3.當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n(n≥2)，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3，n＝1，,2n，n≥2，))∴b1＋b2＋…＋b50＝(－3＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－98＋100)＝1＋2×24＝49，故選A.(2)當n≥2時，eq\f(1,2)a1＋eq\f(1,22)a2＋eq\f(1,23)a3＋…＋eq\f(1,2n－1)an－1＝2n－1，與已知等式相減得eq\f(1,2n)an＝2，即an＝2n＋1.又當n＝1時，由eq\f(1,2)a1＝3，得a1＝6，不滿意上式，故an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6，n＝1，,2n＋1，n≥2.))【答案】(1)A(2)an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6，n＝1，,2n＋1，n≥2))方法技巧已知Sn求an的常用方法是利用an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的關(guān)系式，再求通項公式．主要分三個步驟完成：(1)先利用a1＝S1，求得a1.(2)用n－1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系式，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當n≥2，n∈N*時的通項公式．(3)對n＝1時的結(jié)果進行檢驗，看是否符合n≥2，n∈N*時an的表達式，假如符合則可以把數(shù)列的通項公式合寫；假如不符合，則應(yīng)當分n＝1與n≥2兩段來寫．1．已知數(shù)列{an}滿意a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋1(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,\f(1,n)，n≥2)).解析：已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋1.將n＝1代入，得a1＝2；當n≥2時，將n－1代入得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝n，兩式相減得nan＝(n＋1)－n＝1，所以an＝eq\f(1,n)，所以an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,\f(1,n)，n≥2.))2．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，求an.解：由已知得an＋1＝Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，兩邊同時除以Sn＋1Sn，得eq\f(1,Sn＋1)－eq\f(1,Sn)＝－1，故數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是以－1為首項，－1為公差的等差數(shù)列，則eq\f(1,Sn)＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－eq\f(1,n).當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－eq\f(1,n)＋eq\f(1,n－1)＝eq\f(1,nn－1)，故an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1n＝1，,\f(1,nn－1)n≥2.))考點三由數(shù)列的遞推公式求通項公式【例3】(1)設(shè)數(shù)列{an}滿意a1＝1，且an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式為________．(2)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(n－1,n)an－1(n≥2)，則數(shù)列{an}的通項公式為________．(3)已知數(shù)列{an}滿意a1＝1，an＋1＝3an＋2，則數(shù)列{an}的通項公式為________．【解析】(1)累加法由題意得a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…，an＝an－1＋n(n≥2)，以上各式相加，得an＝a1＋2＋3＋…＋n.又∵a1＝1，∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n2＋n,2)(n≥2)．∵當n＝1時，a1＝1也滿意上式，∴an＝eq\f(n2＋n,2)(n∈N*)．(2)累乘法∵an＝eq\f(n－1,n)an－1(n≥2)，∴an－1＝eq\f(n－2,n－1)an－2，an－2＝eq\f(n－3,n－2)an－3，…，a2＝eq\f(1,2)a1.以上(n－1)個式子相乘得an＝a1·eq\f(1,2)·eq\f(2,3)·…·eq\f(n－1,n)＝eq\f(a1,n)＝eq\f(1,n).當n＝1時，a1＝1，上式也成立．∴an＝eq\f(1,n)(n∈N*)．(3)構(gòu)造法∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝3，∴數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1(n∈N*)．【答案】(1)an＝eq\f(n2＋n,2)(n∈N*)(2)an＝eq\f(1,n)(n∈N*)(3)an＝2·3n－1－1(n∈N*)方法技巧1正確選用方法求數(shù)列的通項公式①對于遞推關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為an＋1＝an＋fn的數(shù)列，通常采納累加法逐差相加法求其通項公式.②對于遞推關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為eq\f(an＋1,an)＝fn的數(shù)列，并且簡潔求數(shù)列{fn}前n項的積時，采納累乘法求數(shù)列{an}的通項公式.③對于遞推關(guān)系式形如an＋1＝pan＋qp≠0，1，q≠0的數(shù)列，采納構(gòu)造法求數(shù)列的通項.2避開兩種失誤①利用累乘法，易出現(xiàn)兩個方面的問題：一是在連乘的式子中只寫到eq\f(a2,a1)，漏掉a1而導致錯誤；二是依據(jù)連乘求出an之后，不留意檢驗a1是否成立.②利用構(gòu)造法求解時應(yīng)留意數(shù)列的首項的正確求解以及精確確定最終一個式子的形式.1．設(shè)數(shù)列{an}滿意a1＝3，an＋1＝an＋eq\f(1,nn＋1)，則通項公式an＝4－eq\f(1,n).解析：原遞推公式可化為an＋1＝an＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，則a2＝a1＋eq\f(1,1)－eq\f(1,2)，a3＝a2＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)，a4＝a3＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)，…，an－1＝an－2＋eq\f(1,n－2)－eq\f(1,n－1)，an＝an－1＋eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)，以上(n－1)個式子的等號兩端分別相加得，an＝a1＋1－eq\f(1,n)，故an＝4－eq\f(1,n).2．設(shè)數(shù)列{an}滿意a1＝1，an＋1＝2nan，則通項公式an＝2eq\s\up10(\f(nn－1,2)).解析：由an＋1＝2nan，得eq\f(an,an－1)＝2n－1(n≥2)，所以an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a2,a1)·a1＝2n－1·2n－2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝2eq\s\up10(\f(nn－1,2)).又a1＝1適合上式，故an＝2eq\s\up10(\f(nn－1,2)).3．在數(shù)列{an}中，a1＝3，且點Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直線4x－y＋1＝0上，則數(shù)列{an}的通項公式為an＝eq\f(10,3)·4n－1－eq\f(1,3).解析：因為點Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直線4x－y＋1＝0上，所以4an－an＋1＋1＝0，即an＋1＝4an＋1，得an＋1＋eq\f(1,3)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,3)))，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,3)))是首項為a1＋eq\f(1,3)＝eq\f(10,3)，公比為4的等比數(shù)列，所以an＋eq\f(1,3)＝eq\f(10,3)·4n－1，故an＝eq\f(10,3)·4n－1－eq\f(1,3).考點四數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用命題方向1周期性的應(yīng)用【例4】已知數(shù)列{an}中，a1＝3，a2＝7.當n∈N*時，an＋2是乘積an·an＋1的個位數(shù)，則a2019＝________.【解析】a1＝3，a2＝7，a1a2＝21，a3＝1，a2a3＝7，a4＝7，a3a4＝7，a5＝7，a4a5＝49，a6＝9，a5a6＝63，a7＝3，a6a7＝27，a8＝7，a7a8＝21，a9＝1，a8a9＝7，所以數(shù)列{an}是周期為6的數(shù)列，又2019＝6【答案】1命題方向2單調(diào)性的應(yīng)用【例5】(1)已知數(shù)列{an}滿意2Sn＝4an－1，當n∈N*時，{(log2an)2＋λlog2an}是遞增數(shù)列，則實數(shù)λ的取值范圍是________．(2)已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝(n＋2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))n，則當an取得最大值時，n＝________.【解析】(1)∵2Sn＝4an－1,2Sn－1＝4an－1－1(n≥2)，兩式相減可得2an＝4an－4an－1(n≥2)，∴an＝2an－1(n≥2)．又2a1＝4a∴a1＝eq\f(1,2)，∴數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列，∴an＝2n－2，設(shè)bn＝(log2an)2＋λlog2an＝(n－2)2＋λ(n－2)，∵{(log2an)2＋λlog2an}是遞增數(shù)列，∴bn＋1－bn＝2n－3＋λ>0恒成立，∴λ>3－2n恒成立，∵(3－2n)max＝1，∴λ>1，故實數(shù)λ的取值范圍是(1，＋∞)．(2)當an取得最大值時，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))n≥n＋1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))n－1，,n＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))n≥n＋3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))n＋1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n≤6，,n≥5，))∴當an取得最大值時，n＝5或6.【答案】(1)(1，＋∞)(2)5或6方法技巧(1)解決數(shù)列的單調(diào)性問題的三種方法作差比較法依據(jù)an＋1－an的符號推斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列作商比較法依據(jù)eq\f(an＋1,an)(an>0或an<0)與1的大小關(guān)系進行推斷數(shù)形結(jié)合法結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀推斷(2)解決數(shù)列周期性問題的方法先依據(jù)已知條件求出數(shù)