【八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)華師大版】專題03 全等三角形的證明與計(jì)算（解析版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages2222頁(yè)試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages2222頁(yè)全等三角形的證明與計(jì)算邏輯推理是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。各地期末考試必考幾何推理計(jì)算。華師版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)期末考試，通常用“全等三角形的證明與計(jì)算”，作為解答題的第二題。該題由于是第二個(gè)解答題，難度不大。關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)。1．如圖，相交于點(diǎn)，，．求證：．【答案】見(jiàn)解析【詳解】證明：在與△BOC中，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，在與△BAC中，，∴．2．如圖，點(diǎn)E在上，于點(diǎn)A，于點(diǎn)B，，．(1)說(shuō)明的理由；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)詳解；(2)【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴DE=CE；（2）∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵DE=CE，∴△DEC是等腰直角三角形，∴．3．如圖，△ABC中，，兩條高和交于．求證：．【答案】見(jiàn)解析；【詳解】證明：由題意可得：∴∴又∵∴在和中∴∴4．如圖，E為上一點(diǎn)，，，．求證：．【答案】見(jiàn)解析【詳解】證明：∵，∴，∵，，，∴，在△ABC與，，∴(AAS)，∴．5．如圖，點(diǎn)，，，在直線上（點(diǎn)，之間不能直接測(cè)量），點(diǎn)，在的異側(cè)，，，測(cè)得．(1)求證：△ABC≌△DEF；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)【詳解】（1）證明：，，在△ABC與△DEF中∴△ABC≌△DEF(ASA)；（2）解：∵△ABC≌△DEF，，，，．6．如圖、已知在同一條直線上，，，，相交于點(diǎn)．求證：(1)；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，即，在△ABC與△DEF中，，∴△ABC≌△DEF(SAS)；（2）∵，∴，，∴．7．如圖所示，，，．求證：．【答案】見(jiàn)解析【詳解】解：，，即，在和中，，，．（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）8．如圖，，，，求證：．【答案】見(jiàn)解析【詳解】解：∵,∴即又∵∴，在和中，∴,∴．9．如圖，已知點(diǎn)，，，在一條直線上，，，且．(1)求證：△ABC≌；(2)若，，求的長(zhǎng)【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)9【詳解】（1）證明：∵∴∵∴在和中∴（2）由題意可得：10．如圖，為了測(cè)量凹槽的寬度，把一塊等腰直角三角板放置在凹槽內(nèi)，三個(gè)頂點(diǎn)分別落在凹槽內(nèi)壁上，若，測(cè)得，，則該凹槽的寬度的長(zhǎng)．【答案】該凹槽的寬度的長(zhǎng)為【詳解】解：是等腰直角三角形，，，，，，，在和中，，，，，．故該凹槽的寬度的長(zhǎng)為．11．如圖，P為等邊的邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，．(1)說(shuō)明的理由；(2)判別是什么特殊三角形？并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)詳解；(2)是等邊三角形，理由見(jiàn)詳解【詳解】（1）∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，∵，，∴；（2）是等邊三角形，理由如下：∵，∴，，∴，∴，∵，∴，又∵，∴是等邊三角形．12．如圖，，相交于點(diǎn)O，且，．(1)求證：；(2)若在直線上截取，求證：．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析【詳解】（1）∵，∴．∵，，∴．∴；（2）∵，，∴，即．∵，且在（1）中，有，∴，∴．∴．13．如圖，為上任意一點(diǎn)，且，．(1)求證：△BPC≌；(2)求證：．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：在和中，∴()（2）∵∴

在和中，∴()

14．已知：如圖，△ABC中，平分交于點(diǎn)，且平分，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，說(shuō)明的理由．【答案】見(jiàn)解析【詳解】解：∵，∴，

∵平分，∴，∴，∴，∵平分，∴，在和中，∴∴，∵，∴15．將兩個(gè)大小不一的等腰直角三角板如圖①放置，圖②是由它抽象出的幾何圖形，B、C、E三點(diǎn)在同一直線上，連接DC．(1)請(qǐng)找出圖②中的全等三角形，并說(shuō)明理由．(2)試問(wèn)：DC與BE的位置關(guān)系如何？并說(shuō)明理由．【答案】(1)，理由見(jiàn)解析；(2)，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）解：圖2中．理由如下：∵與均為等腰直角三角形，∴，，，∴，即，∴在和中，，；（2）．理由如下：由（1）知，∴，又∵，∴，∴．16．如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)為邊上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接交于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)求證：△AMD是等邊三角形；(2)求證：；(3)若AB=a，求線段的長(zhǎng)（結(jié)果用含a的代數(shù)式表示）．【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3)【詳解】（1）在等邊△ABC中，，∵，∴，∴是等邊三角形，（2）∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∵∴在和中，，∴，∴；（3）∵是等邊三角形，且，∴，∵，∴，∴，∵，∴．17．如圖，在等腰直角三角形中，，是斜邊上任一點(diǎn)，于，交的延長(zhǎng)線于，于，交于．求證：(1)；(2)．【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析【詳解】（1）∵等腰直角三角形∴，∵，∴∵，∴，在和中，∴；（2）是等腰直角三角形，，，．，，．，，．在和中，，．．18．如圖，在△ABC中，已知，，是的平分線，，垂足是E，和的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．(1)在圖中找出與全等的三角形，并證明你的結(jié)論；(2)證明：．【答案】(1)，見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析【詳解】（1）解：，證明如下：∵，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴．（2）∵是的平分線，∴，∵，∴，∴，∴為等腰三角形，∴，∵，∴，∴．19．如圖，在△ABC中，是的中點(diǎn)，于，于點(diǎn)，且，求證：平分．【答案】見(jiàn)解析【詳解】證明：，，，是的中點(diǎn)，，在和中，，，，于，于點(diǎn)，平分．20．如圖，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且點(diǎn)A、C、E在一條直線上，與相交于點(diǎn)M，與相交于點(diǎn)N．求證：是等邊三角形．【答案】見(jiàn)解析【詳解】證明：∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，∴，在和中，∴；∴，∵，，在和中，，∴，∴，∵，∴是等邊三角形．21．如圖，在△ABC中，是中線，于點(diǎn)E，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：．【答案】見(jiàn)解析【詳解】解：，，，是中線，，在和中，，，．22．如圖，，，，，與交于點(diǎn)F．(1)求證：△ACE≌△BCD．(2)求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)【詳解】（1）∵，，∴，∴，即，在和中，\∴；（2）∵，∴，設(shè)與交于點(diǎn)O，∴，∵∴∴．23．如圖，與相交于點(diǎn)C，，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向以的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿方向以的速度運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(1)求證：;(2)寫出線段的長(zhǎng)（用含t的式子表示），(3)連接，當(dāng)線段經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，求t的值【答案】(1)見(jiàn)解析;(2);(3)【詳解】（1）證明：在和中，，∴，∴，∴．（2）∵點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向以的速度運(yùn)動(dòng)，∴．（3）當(dāng)線段經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，如圖：在和中，，∴，∴，∵點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿方向以的速度運(yùn)動(dòng)，∴，∴，∴，解得：．24．如圖，在△ABC中，，，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，交BC于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F．(1)求證；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)45°【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴（AAS），∴，，∴；（2）解：∵，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴．25．如圖所示，在△ABC中，于D，于E，與交于點(diǎn)F，且，(1)求證；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)11【詳解】（1）解：，，，，，在和中，，；（2）解：，，，，，，．26．在等腰△ABC中，，為中線，，．(1)求證：；(2)直接寫出4對(duì)相等的線段．（不包括）【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)，，，．【詳解】（1）證明：∵，為中線，∴平分，∵，，∴；（2）解：由（1）可得，∵是中線，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴．∴4對(duì)相等的線段分別為：，，，．27．如圖，點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)，和是等邊三角形．(1)求證：．(2)求證：為等邊三角形．(3)求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3)【詳解】（1）證明：∵和是等邊三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）證明：，∴，∵，∴，∴，∵，∴為等邊三角形；（3）解：∵，∴，∵，∴．28．如圖，，，，，垂足分別為點(diǎn)D，E．求證：(1)△ACD≌△CBE；(2)．【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析【詳解】（1）解：∵，，，，∴，∵，，在△ACD和△CBE中，∴△ACD≌△CBE；（2）∵，∴，，∴，．29．如圖所示，，，，，求證：(1)；(2)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析．【詳解】（1）證明：∵，，∴，在和中，∴．（