2024數(shù)學(xué)核按鈕考點(diǎn)突破第九章 概率與統(tǒng)計(jì)

第九章概率與統(tǒng)計(jì)

9.1兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列與組合

課程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢

1.通過實(shí)例，了解分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義.

2.通過實(shí)例，理解排列、組合的概念；能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組

合數(shù)公式.

必備知識(shí)?溫故知新

【教材梳理】

1.分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

（1）分類加法計(jì)數(shù)原理

①定義：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有小種不同的方

法，在第2類方案中有ri種不同的方法，那么完成這件事共有N=m+n種不同

的方法.

②拓展：完成一件事，如果有幾類方案，且：第1類方案中有種不同的方

法，第2類方案中有加2種不同的方法，…，第九類方案中有小n種不同的方法，那

么完成這件事共有N=+62+…+犯？種不同的方法.

（2）分步乘法計(jì)數(shù)原理

①定義：完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有加種不同的方法，做第2

步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=mxn種不同的方法.

②拓展:完成一件事，如果需要分成幾個(gè)步驟，做第1步有加1種不同的方

法，做第2步有巾2種不同的方法，…，做第九步有巾.種不同的方法，那么完成這

件事共有N=叫xgx…xw種不同的方法.

2.排列與組合

（1）排列:一般地，從n個(gè)不同元素中取出機(jī)（機(jī)W九）個(gè)元素，并按照一定

的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出小個(gè)元素的一個(gè)排列.兩個(gè)排列相

同的充要條件是：兩個(gè)排列的元素完全相同，且元素的排列順序也相同.

（2）排列數(shù)

定義及表示從n個(gè)不同元素中取出＜n）個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù),

叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示.

全排列的概念n個(gè)不同的元素全部取出的一個(gè)排列.

階乘的概念正整數(shù)1至舊的連乘積，用山_表示.A；；=n!,0!=1.

排列數(shù)公式(n,me...(n—m+1).

N*,m<n),階乘式A,=)一.

n(n-m)!

(3)組合:一般地，從n個(gè)不同元素中取出771(771Wn)個(gè)元素作為一組，叫

做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.

(4)組合數(shù)

定義及表示從n個(gè)不同元素中取出7n(rn<n)個(gè)元素的所有不同組合的

個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出小個(gè)元素的組合數(shù)，用符

號(hào)表示.

組合數(shù)公式乘積式pm_An—九(九一1)(/一2)…(n-m+l)

n_A*________ml_________*

階乘式_加________

n~ml(n-m)!*

pm_pn—m

兩個(gè)性質(zhì)性質(zhì)15-,

性質(zhì)pm_pm1pm-1

2un+l—十5—?

【常用結(jié)論】

3.A肥=(n—m+=n崛二;；

(n+1)!-n!=n-n!.

4.fcC^=nC^Zj；C/=C^1+C的i+…+謂二；.

自主評(píng)價(jià)

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“J”，錯(cuò)誤的畫“X”.

(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事.(J)

(2)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步

驟都能完成這件事.(X)

(3)所有元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列.(X)

(4)(n+1)!-n!=n-n!.(V)

(5)kC±=九C。二；.(J)

2.公共汽車上有10位乘客，沿途5個(gè)車站，所有乘客下車的可能方式有(D)

510

A.A?。種B.Cf0種C.10種D.5種

［解析］解：所有乘客下車的可能方式有51。種.故選D.

3.(教材改編題)已知集合M={1,-2,3},N=［-4,5,6,-7)，從M,N這兩

個(gè)集合中各選一個(gè)元素分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在直角坐

標(biāo)系中可表示第一、第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(C)

A.12B.8C.6D.4

［解析］解：分兩步：第一步先確定橫坐標(biāo)，有3種情況，第二步再確定縱坐

標(biāo)，有2種情況，因此第一、二象限內(nèi)不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3X2=6.故選C.

4.已知九，m為正整數(shù)，月刀2小，則下列各式中正確的個(gè)數(shù)是(C)

①A寵=120；②&2=C；2Az；③印4-C%=C骷1；

④印=CL.

A.1B.2C.3D.4

［解析］解：對(duì)于①，A1=6x5x4=120,故①正確；

對(duì)于②，因?yàn)镃；2=警，所以Ab=C；2A弓，故②正確；

A7

對(duì)于③，因?yàn)閮?yōu)+C/-1=，所以優(yōu)+1+邛=C霜1,故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，c7=邛-爪，故④正確.故選C.

核心考點(diǎn)

考點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

例1

(1)滿足a,bG{-1,0,1,2},且關(guān)于％的方程a/+2x+b=0有實(shí)數(shù)解的有

序數(shù)對(duì)(a,b)的個(gè)數(shù)為12.

［解析］解：當(dāng)a=0時(shí)，b的值可以是—1,0,1,2,故(a,b)的個(gè)數(shù)為4；當(dāng)

aHO時(shí)，要使方程a/+2%+b=0有實(shí)數(shù)解，需使d=4-4ab20,即

ab<1.

若a=-l,則b的值可以是一1,0,1,2,(a,b)的個(gè)數(shù)為4；

若a=1,則b的值可以是一1,0,1,(a,b)的個(gè)數(shù)為3；

若a=2,則b的值可以是一1,0,(a,b)的個(gè)數(shù)為2.

由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，(a,b)的個(gè)數(shù)為4+4+3+2=13.故填13.

(2)某旅游景區(qū)有如圖所示A至H共8個(gè)停車位，現(xiàn)有2輛不同的白色車和2

輛不同的黑色車，要求相同顏色的車不停在同一行也不停在同一列，則不同的

停車方法總數(shù)為(B)

ABCD

EFGH

A.288B.336C.576D.1680

［解析］解：第一步:排白車，第一行選一個(gè)位置，則第二行有三個(gè)位置可選，由于車

是不相同的，故白車的停法有4X3X2=24（種）.第二步：排黑車，若白車選

AF,則黑車有BE,BG,BH,CE,CH,DE,DG共7種選擇，黑車是不相同的，故黑車的

停法有2x7=14（種）.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有24x14=336（種），故選B

（3）（教材改編題）某兒童游樂園有5個(gè)區(qū)域要涂上顏色，現(xiàn)有四種不同顏

色的油漆可供選擇，要求相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則符合條件的涂色方案

種數(shù)為（D）

A.36B.48C.54D.72

［解析］解：如圖，將五個(gè)區(qū)域分別記為①，②，③，④，⑤.

涂色分為5步完成，前三步涂區(qū)域①②③，有4x3x2=24（種）方法.后兩

步涂區(qū)域④⑤，可分為兩類：區(qū)域②④涂色相同，有l(wèi)x2種方案；區(qū)域②，④

涂色不相同，有1X1種方案.

所以不同的涂色方案共有24x（1X2+1xl）=72（種）.故選D.

【點(diǎn)撥】解答計(jì)數(shù)應(yīng)用問題的總體思路：根據(jù)完成事件所需的過程，對(duì)事件進(jìn)

行整體分類，確定可分為幾大類，整體分類以后，再確定在每類中完成事件要

分幾個(gè)步驟，這些問題都弄清楚了，就可以根據(jù)兩個(gè)基本原理解決問題了.此

外，還要掌握一些非常規(guī)計(jì)數(shù)方法，如：①枚舉法：將各種情況一一列舉出

來，它適用于種數(shù)較少且計(jì)數(shù)對(duì)象不規(guī)律的情況；②轉(zhuǎn)換法：轉(zhuǎn)換問題的角度

或轉(zhuǎn)換成其他已知問題；③間接法：若用直接法比較復(fù)雜，難以計(jì)數(shù)，則可考

慮利用正難則反的策略，先計(jì)算其反面情形，再用總數(shù)減去即得.

變式1.

（1）從2,3,4,5,6,7,8,9這8個(gè)數(shù)中任取2個(gè)不同的數(shù)分別作為

一個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則可以組成不同對(duì)數(shù)值的個(gè)數(shù)為（D）

A.56B.54C.53D.52

［解析］解：在8個(gè)數(shù)中任取2個(gè)不同的數(shù)共有8x7=56個(gè)對(duì)數(shù)值，但在這56

個(gè)數(shù)值中，log24=log39,log42=log93,log23=log49,log32=log94,

即滿足條件的對(duì)數(shù)值共有56-4=52（個(gè)）.故選D.

（2）某學(xué)校有東、南、西、北四個(gè)校門.翻新改造期間，學(xué)校對(duì)進(jìn)入四個(gè)校門

做出如下規(guī)定：學(xué)生只能從東門或西門進(jìn)入校園，教師只能從南門或北門進(jìn)入

校園.現(xiàn)有3名教師和4名學(xué)生要進(jìn)入校園（不分先后順序），請(qǐng)問進(jìn)入校園的

方式共有121種.（用數(shù)字作答）

［解析］解：因?yàn)閷W(xué)生只能從東門或西門進(jìn)入校園，所以4名學(xué)生進(jìn)入校園的方

式共2,=16種.因?yàn)榻處熤荒軓哪祥T或北門進(jìn)入校園，所以3名教師進(jìn)入校園

的方式共有23=8種.所以3名教師和4名學(xué)生要進(jìn)入校園的方式共有16X8=

128種.故填128.

（3）［2023屆湖南長(zhǎng)郡中學(xué)高三入學(xué)考試］某城市在中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃，

花圃分為6個(gè)部分，如圖所示.現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一

種，且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有（B）

A.80種B.120種C.160種D.240種

［解析］解：第一步，對(duì)1號(hào)區(qū)域栽種，有4種選擇.第二步，對(duì)2號(hào)區(qū)域栽種，

有3種選擇.第三步，對(duì)3號(hào)區(qū)域栽種，有2種選擇.第四步，對(duì)5號(hào)區(qū)域栽種,

分為三種情況：

①5號(hào)與2號(hào)顏色相同，則4號(hào)僅有1種選擇，6號(hào)有2種選擇；

②5號(hào)與3號(hào)顏色相同，情況與①類似；

③5號(hào)與2,3號(hào)顏色都不同，則4,6號(hào)只有1種選擇.

所以共有4X3X2X（1x2x24-1x1）=120（種）.

故選B.

考點(diǎn)二排列、組合的基本問題

命題角度1排列的基本問題

例2有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù).

（1）選其中5人排成一排；

［答案］解：從7個(gè)人中選5個(gè)人排，排法總數(shù)有=7x6x5x4x3=2520

（種）.

（2）排成前后兩排，前排3人，后排4人；

［答案］分兩步完成，先選3人排在前排，有種方法，余下4人排在后排，有

At種方法，故共有A弘々=5040（種）.

另解：本題即為7人排成一排的全排列.

（3）全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾；

［答案］（優(yōu)先法）

（方法一）甲為特殊元素.先排甲，有5種方法，其余6人有A旨種方法，故共有

5xA|=3600（種）.

（方法二）排頭與排尾為特殊位置.排頭與排尾從除甲的其余6個(gè)人中選2個(gè)排

列，有A看種方法，中間5個(gè)位置由余下4人和甲進(jìn)行全排列，有A&種方法，

共有空xAg=3600（種）.

（4）全體排成一排，女生必須站在一起；

［答案］（捆綁法）將女生看成一個(gè)整體，與3名男生一起全排列，有A*種方

法，再將4名女生進(jìn)行全排列，也有A1種方法，故共有A：A：=576（種）.

（5）全體排成一排，男生互不相鄰；

［答案］（插空法）男生不相鄰，而女生不作要求，所以應(yīng)先排女生，有A1種方

法，再在女生之間及首尾空出的5個(gè)空位中任選3個(gè)空位排男生，有Ag種方

法，故共有A1Ag=1440（種）.

（6）全體排成一排，甲、乙兩人中間恰好有3人；

［答案］（捆綁法）把甲、乙及中間3人看作一個(gè)整體，第一步：先排甲乙兩

人，有種方法；第二步：從余下5人中選3人排在甲乙中間，有Ag種；第

三步：把這個(gè)整體與余下2人進(jìn)行全排列，有Ag種方法.故共有A'AgA多=720

（種）.

（7）全體排成一排，甲必須排在乙前面（可不相鄰）；

［答案］（消序法）7人的全排列有A%種，其中甲在乙前面與乙在甲前面各占］

A7

故共有年=2520（種）.

另解：7個(gè)位置中任選5個(gè)排除甲、乙外的5人，余下的兩個(gè)位置甲、乙的排

法即定，故有A：=2520（種）.

（8）全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端.

［答案］甲、乙為特殊元素，左、右兩端為特殊位置.

（方法一）（特殊元素法）甲在最右端時(shí)，其他的可全排，有AE種；甲不在最

右端時(shí)，可從余下5個(gè)位置中任選一個(gè)，有Ag種，而乙可排在除去最右端位置

后剩余的5個(gè)中的任意一個(gè)上，有Ag種，其余人全排列，共有AgAgAg種.由分

類加法計(jì)數(shù)原理，共有被+AgAgAg=3720（種）.

（方法二）（特殊位置法）先排最左端，除去甲外，有A2種，余下6個(gè)位置全

排，有A3種，但應(yīng)剔除乙在最右端時(shí)的排法AgAg種，因此共有A%AS-AgAg=

3720（種）.

方法三（間接法）：7個(gè)人全排，共A弓種，其中，不合條件的有甲在最左端

時(shí)，有A3種，乙在最右端時(shí)，有A3種，其中都包含了甲在最左端，同時(shí)乙在

最右端的情形，有A&種.因此共有AZ-2A|+A1=3720（種）.

【點(diǎn)撥】有約束條件的排列問題一般有以下幾種基本類型與方法：①特殊元素

優(yōu)先考慮；②對(duì)于相鄰問題采用“捆綁法”，整體參與排序后，再考慮“捆

綁”部分的排序；③對(duì)于不相鄰問題，采用“插空”法，先排其他元素，再將

不相鄰元素插入空檔；④對(duì)于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后再除以

定序元素的全排列數(shù).

變式2.【多選題】某學(xué)院學(xué)生會(huì)的3名男生和2名女生在社區(qū)參加志愿者活

動(dòng)，結(jié)束后這5名同學(xué)排成一排合影留念，則下列說法正確的是（BCD）

A.若讓其中的男生甲排在兩端，則這5名同學(xué)共有24種不同的排法

B.若要求其中的2名女生相鄰，則這5名同學(xué)共有48種不同的排法

C.若要求其中的2名女生不相鄰，則這5名同學(xué)共有72種不同的排法

D.若要求其中的1名男生排在中間，則這5名同學(xué)共有72種不同的排法

［解析］解：對(duì)于A,男生甲排在兩端，共有2A1=48（種）不同的排法，A錯(cuò)

誤.

對(duì)于B,2名女生相鄰，共有A5AZ=48（利1）不同的排法，B正確.

對(duì)于C,2名女生不相鄰，共有Ap^=72（種）不同的排法，C正確；

對(duì)于D,要求1名男生排在中間，則這5名同學(xué)共有3Az=72（種）不同的排

法，D正確.故選BCD.

命題角度2組合的基本問題

例3課外活動(dòng)小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一

名隊(duì)長(zhǎng).現(xiàn)從中選5人主持某種活動(dòng)，依下列條件各有多少種選法？

（1）只有1名女生；

［答案］解：1名女生，4名男生，故共有瑪瑪=350（種）.

（2）兩隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選；

［答案］將兩隊(duì)長(zhǎng)作為一類,其他11個(gè)作為一類，故共有C犯:1=165（種）.

（3）至少有1名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選；

［答案］至少有1名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選含有兩類：只有1名隊(duì)長(zhǎng)和2名隊(duì)長(zhǎng).故共有GCK+

C雞1=825（種）.

或采用間接法：Cf3-Cfi=825（種）.

（4）至多有2名女生當(dāng)選；

［答案］至多有2名女生含有三類：有2名女生、只有1名女生、沒有女生，故選

法有髭碇+CgC?+瑞=966（種）.

（5）既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女生當(dāng)選.

［答案］分兩類：第一類女隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選，有C名種選法；

第二類女隊(duì)長(zhǎng)不當(dāng)選，有瑪a+c2+以G+c：種選法.

故選法共有C，2+禺G+鬃&+第G+第=790（種）.

【點(diǎn)撥】解組合問題時(shí)要注意：①分類時(shí)不重不漏；②注意間接法的使用，在

涉及“至多”“至少”等問題時(shí)，多考慮用間接法（排除法）；③應(yīng)防止出現(xiàn)

如下常見錯(cuò)誤：如第3小題，先選1名隊(duì)長(zhǎng)，再?gòu)氖Ｏ碌娜酥羞x4人得的第2力

825,請(qǐng)同學(xué)們自己找錯(cuò)因.

變式3.【多選題】為響應(yīng)政府部門號(hào)召，某紅十字會(huì)安排甲、乙、丙、丁四名

志愿者奔赴A,B,C三地參加健康教育工作，則下列說法正確的是（BCD）

A.不同的安排方法共有64種

B.若恰有一地?zé)o人去，則不同的安排方法共有42種

C.若甲必須去A地，且每地均有人去，則不同的安排方法共有12種

D.若甲、乙兩人都不能去A地，且每地均有人去，則不同的安排方法共有14

種

［解析］解：四人到三地去，一人只能去一地，方法數(shù)為34=81,A錯(cuò)誤.

若恰有一地?zé)o人去，則不同的安排方法數(shù)是仔（第+鬣+或）=42,B正確.

若甲必須去A地，且每地均有人去，則不同的安排方法數(shù)為A§+禺+髭=

12,C正確.

若甲、乙兩人都不能去A地，且每地均有人去，分甲、乙去同一個(gè)地方和不去

同一個(gè)地方，則不同的安排方法數(shù)為2x5+2A^=14,D正確.

故選BCD.

考點(diǎn)三排歹（）、組合的綜合問題

命題角度1分堆與分配問題

例4按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配方式？

（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；

［答案］解：無(wú)序不均勻分組問題.

先選1本，有禺種選法；再?gòu)挠嘞碌?本中選2本，有髭種選法；最后余下3

本全選，有或種選法.

故共有瑪髭C=60（種）.

（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本;

［答案］有序不均勻分組問題.

由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)題基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配，共有

C|C|C|A1=360(種).

(3)平均分成三份，每份2本；

［答案］無(wú)序均勻分組問題.

先分三步，則應(yīng)是髭底此種方法，但是這里出現(xiàn)了重復(fù).不妨記六本書為/,

B,C,D,E,F,若第一步取了第二步取了CO,第三步取了EE,記

該種分法為(AB,CD,EF),則髭C犯專種分法中還有(/B,EF,CD),

(CD.AB.EF),(CD,EF,AB),(EF,C0,4B),(EF,AB,CD),共有Ag種情況，

而這Ag種情況僅是/B,CD,EF的順序不同，因此只能作為一種分法，故分

配方式有筆龔=15(種).

A3

(4)平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本；

［答案］有序均勻分組問題.

在(3)的基礎(chǔ)上再分配給3個(gè)人，

共有分配方式笑空通之=髭第第=90(種).

A3

(5)分成三份，1份4本，另外兩份每份1本；

［答案］無(wú)序部分均勻分組問題.共有笑抖=15(種).

(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本；

［答案］有序部分均勻分組問題.

在(5)的基礎(chǔ)上再分配給3個(gè)人，

共有分配方式里6=90(種).

(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本.

［答案］直接分配問題.

甲選1本，有墨種方法；乙從余下的5本中選1本，有禺種方法，余下4本留

給丙,有第種方法，故共有分配方式禺禺以=30(種).

【點(diǎn)撥】平均分配給不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆數(shù)的全排列.分堆

到位相當(dāng)于分堆后各堆再全排列，平均分堆不到指定位置，其分法數(shù)為：

平均公黎譽(yù)置.對(duì)于分堆與分配問題應(yīng)注意：①處理分配問題要注意先分堆再

分配；②被分配的元素是不同的（如“名額”等則是相同元素，不適用），位

置也應(yīng)是不同的（如不同的“盒子”）；③分堆時(shí)要注意是否均勻，如6分成

（2,2,2）為均勻分組，分成（1,2,3）為非均勻分組，分成（4,1,1）為部分均勻分組.

變式4.

（1）［2020年新高考I卷］6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)

只去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1名，乙場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同

的安排方法共有（C）

A.120種B.90種C.60種D.30種

［解析］解：首先從6名同學(xué)中選1名去甲場(chǎng)館，方法數(shù)為最；然后從其余5名

同學(xué)中選2名去乙場(chǎng)館，方法數(shù)為量；最后剩下的3名同學(xué)去丙場(chǎng)館.故不同的

安排方法共有C髭=6x10=60種.故選C.

（2）【多選題】2022年北京冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”有著可愛的外表和豐富

的寓意，現(xiàn)有5個(gè)不同造型的“冰墩墩”，則下列說法正確的是（BCD）

A.把這5個(gè)“冰墩墩”裝入3個(gè)不同的盒內(nèi)，共有129種不同的裝法

B.從這5個(gè)“冰墩墩”中選出3個(gè)分別送給3位志愿者，每人1個(gè)，共有60種

選法

C.從這5個(gè)“冰墩墩”中隨機(jī)取出3個(gè)，共有10種不同的取法

D.把這5個(gè)“冰墩墩”裝入3個(gè)不同的盒內(nèi)，每盒至少裝一個(gè)，共有150種不

同的裝法

［解析］解：對(duì)于A,每個(gè)“冰墩墩”可選擇3個(gè)盒子中的任意一個(gè)，根據(jù)分步

乘法原理共有35=243（種）不同的裝法，故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,共有底Ag=60（種）選法，故B正確.

對(duì)于C,共有髭=10（種）不同的取法，故C正確.

對(duì)于D,若3個(gè)盒子中“冰墩墩”的數(shù)量為1,1,3,則有篇*A^=60

（種）不同的裝法；若3個(gè)盒子中“冰墩墩”的數(shù)量為1,2,2,則有

C|C|Ci=90（種）.共有60+90=150（種），故D正確.故選BCD.

命題角度2數(shù)字排列問題

例5用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字：

（1）能組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？

［答案］解：先排個(gè)位數(shù)，有的種方法，然后排千位數(shù)，有最種方法，剩下百位

和十位任意排，有A4種方法，故所求為禺禺A?=144個(gè).

（2）能組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且比1325大的四位數(shù)？

［答案］分為三類，第一類是千位是2,3,4,5中任意一個(gè)，有個(gè)數(shù);第二類是

千位是1,且百位是4,5中的一個(gè)，有個(gè)數(shù)；第三類是千位是1,且百位

是3和十位是4,5中的一個(gè)，有個(gè)數(shù).故所求為A；Ag++=270

個(gè).

【點(diǎn)撥】對(duì)于有限制條件的數(shù)字排列問題，先滿足特殊元素或特殊位置的要

求，再考慮其他元素或位置，同時(shí)注意隱含條件：0不能在首位.

變式5.

（1）設(shè)集合A={0,2,4},B={1,3,6}.現(xiàn)分別從/,B中任取2個(gè)元素組成無(wú)重

復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中不能被5整除的數(shù)共有（C）

A.64個(gè)B.96個(gè)C.144個(gè)D.152個(gè)

［解析］解：所求的四位數(shù)中，數(shù)字含0的數(shù)有?髭CA^=72個(gè)，數(shù)字不含。的

數(shù)有最髭A*=72個(gè)，共有72+72=144個(gè).故選C.

（2）用1,2,3,4,5,6組成六位數(shù)（沒有重復(fù)數(shù)字），要求任何相鄰兩

個(gè)數(shù)字的奇偶性不同，且1和2不相鄰，這樣的六位數(shù)的個(gè)數(shù)是套.（用數(shù)字作

答）

［解析］解：任何相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同，且1和2相鄰，可分三步：

第一步:先將3,5排列，共有A孑種排法;

第二步：再將4,6插空排列，共有2A芻種排法；

第三步：將1,2捆綁放到3,5,4,6形成的空中，共有瑪種排法.

共有A,2A,禺=40（種）排法.又任何相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同，共有

2A1A1=72（種）排法,

所以所求為72-40=32.故填32.

課時(shí)作業(yè)?知能提升

【鞏固強(qiáng)化】

1.體育場(chǎng)南側(cè)有3個(gè)大門，北側(cè)有2個(gè)大門，某學(xué)生到該體育場(chǎng)練跑步，每個(gè)

門都可進(jìn)出，則他進(jìn)出體育場(chǎng)的方案共有（D）

A.6種B.10種C.5種D.25種

［解析］解：該學(xué)生進(jìn)出體育場(chǎng)都有5種可能，故他進(jìn)出體育場(chǎng)的方案共有5X

5=25（種）.故選D.

2.某學(xué)校為落實(shí)“雙減政策”，在每天放學(xué)后開設(shè)拓展課程供學(xué)生自愿選擇,

開學(xué)第一周的安排如下表.

周一周二周三周四周五

演講、繪畫、編程、繪畫、編程、書法、書法、演講、書法、演講、

舞蹈、足球舞蹈、足球舞蹈、足球舞蹈、足球舞蹈、足球

每位同學(xué)每天最多選一門課，每門課一周內(nèi)最多選一次，若小明同學(xué)要在這一

周內(nèi)選擇編程、書法、足球三門課，則不同的選課方案共有（A）

A.15種B.10種C.8種D.5種

［解析］解：若周二選編程，則選課方案有瑪瑪=9（種）；若周三選編程，則

選課方案有GQ=6（種）.綜上，不同的選課方案共有9+6=15（種）.故

選A.

3」2023屆安徽高三開學(xué)考試］如圖，“天宮空間站”是我國(guó)自主建設(shè)的大型空

間站，其基本結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙三個(gè)部分.假設(shè)有

6名航天員（4男2女）在天宮空間站開展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排4人，問

天實(shí)驗(yàn)艙與夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙各安排1人，且兩名女航天員不在一個(gè)艙內(nèi)，則不同的

安排方案種數(shù)為（B）

A.14B.18C.30D.36

1解析］解：將6名航天員安排在3個(gè)實(shí)驗(yàn)艙的方案種數(shù)為第6*=30（種），

其中兩名女航天員在一個(gè)艙內(nèi)的方案種數(shù)為第GC；=12（種）.所求為30-

12=18（種）.故選B.

4.給如圖所示的5塊區(qū)域A,B,C,D,E涂色，要求同一區(qū)域用同一種顏

色，有公共邊的區(qū)域使用不同的顏色，現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠、橙5種顏色可供

選擇，則不同的涂色方法有（D）

A.120種D.960種

［解析］解：A有5種顏色可選，B有4種顏色可選，D有3種顏色可選，C,E

均可涂除D的涂色外的其它顏色，均有4種可選.故共有5x4x3x4x4=

960（種）不同的涂色方法.故選D.

5.語(yǔ)文里流行一種特別的句子，正和反讀起來都一樣的，比如：“清水池里池

水清”“中山自鳴鐘鳴自山中”，那么在所有的四位數(shù)中符合這個(gè)規(guī)律且四個(gè)

數(shù)字不能都相同的四位數(shù)有（A）

A.81個(gè)B.90個(gè)C.100個(gè)D.729個(gè)

［解析］解：設(shè)符合題意的四位數(shù)為盯yx,

則當(dāng)％=1時(shí)，y=0,2,3,.“,9,共9個(gè)；

當(dāng)％=2時(shí)，y=0,1,3,“.,9,共9個(gè)；

當(dāng)％=9時(shí)，y=0,1,2,...,8,共9個(gè).

由分類加法計(jì)數(shù)原理可知滿足條件的四位數(shù)有9x9=81（個(gè)）.故選A.

6.某校選定甲、乙、丙、丁、戊共5名教師去3個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教（每地至少1

人），其中甲和乙一定不同地，甲和丙必須同地，則不同的選派方案共有（D）

A.27種B.36種C.33種D.30種

［解析］解：因?yàn)榧缀鸵乙欢ú煌?，甲和丙必須同地，所以有?,2,1）和（3,1,1）

兩種分配方案：①分成（2,2,1）三組，其中甲和丙為一組，從余下3人選出2人

組成一組，然后排列，有C翔=3x3x2=18（種）；②分成（3,1,1）三組，

在丁、戊中選出1人，與甲丙組成一組，然后排列，有?A多=2X3X2=12

（種）.

共有18+12=30（種）.故選D.

7.

（1）若量>第，則九的取值集合是{6,789}.

［解析］解：因?yàn)榈?gt;C>所以且所以30>5-

"n4!（n-4）!6!（n-6）!'

4）（71—5）,gp（n-10）（n+1）<0,解得一1<n<10.綜上，6W幾<10.故n

的取值集合是{6,7,8,9}.

（2）C^+C1+C^+-+C20=165.

［解析］解：C2+Cj+C4+—FCj0=C3+C3+C4+…+CJO=C4+C4+,,1+

C10=…=Cj0+C；?！狢：i=165.

8.【多選題】上海某校舉辦了主題為“黨在我心中”的詩(shī)歌朗誦比賽.該校高三

年級(jí)準(zhǔn)備從包括甲、乙、丙在內(nèi)的7名學(xué)生中選派4名學(xué)生參加，要求甲、

乙、丙這3名同學(xué)中至少有1人參加，且當(dāng)這3名同學(xué)都參加時(shí)，甲和乙的朗

誦順序不能相鄰，則下列結(jié)論正確的是（BCD）

A.若甲、乙、丙三名同學(xué)全參加，則不同的朗誦排列順序有36種

B.若甲、乙、丙三名同學(xué)恰有一人參加，則不同的朗誦排列順序有288種

C.若甲、乙、丙三名同學(xué)恰有二人參加，則不同的朗誦排列順序有432種

D.選派的4名學(xué)生不同的朗誦排列順序有768種

［解析］解：對(duì)于A,甲、乙、丙三名同學(xué)全參加，有禺A%=96（種）情況，由

捆綁法易得其中甲、乙相鄰的有禺=48（種）情況.所以甲、乙、丙三名

同學(xué)全參加時(shí)，甲和乙的朗誦排列順序不能相鄰有96-48=48（種）情況，

故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,甲、乙、丙三名同學(xué)恰有一人參加，不同的朗誦排列順序有第=

288（種）情況，故B正確.

對(duì)于C,甲、乙、丙三名同學(xué)恰有二人參加時(shí)，不同的朗誦排列順序有

CjCfA1=432（種）情況,故C正確.

對(duì)于D,選派的4名學(xué)生不同的朗誦排列順序有288+432+48=768（種）

情況，故D正確.

故選BCD.

【綜合運(yùn)用】

9.直線上(+(=1,ae{135,7},be{2,4,6,8}.若［與坐標(biāo)軸圍成的三角形的

面積不小于10,則這樣的直線的條數(shù)為(B)

A.6B.7C.8D.16

1解析〕解：［與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S=jab210,即abN20.當(dāng)a=

1時(shí)，不滿足；當(dāng)a=3時(shí)，b=8,即1條；當(dāng)a€{5,7}時(shí)，bE{4,6,8),此

時(shí)a的取法有2種，b的取法有3種，則直線2的條數(shù)為2x3=6.故滿足條件

的直線的條數(shù)為1+6=7.故選B.

10.洛書，古稱龜書，是陰陽(yáng)五行術(shù)數(shù)之源，在古代傳說中有神龜出于洛水，其

甲殼上有此圖象(如圖)，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為

足，以五居中，五方白圈皆陽(yáng)數(shù)，四隅黑點(diǎn)為陰數(shù)(圖中白圈表示的數(shù)為陽(yáng)

數(shù)，黑點(diǎn)表示的數(shù)為陰數(shù)).現(xiàn)利用陰數(shù)和陽(yáng)數(shù)構(gòu)成一個(gè)四位數(shù)，規(guī)則如下：

(從左往右數(shù))第一位數(shù)是陽(yáng)數(shù)，第二位數(shù)是陰數(shù)，第三位數(shù)和第四位數(shù)一陰

一陽(yáng)和為7,則這樣的四位數(shù)的個(gè)數(shù)有(A)

A.120個(gè)B.90個(gè)C.48個(gè)D.12個(gè)

［解析］解：根據(jù)題意，陽(yáng)數(shù)為1,3,5,7,9,陰數(shù)為2,4,6,8.第一位

數(shù)的選擇有5種，第二位數(shù)的選擇有4種，第三位數(shù)和第四位數(shù)的組合可以為

(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)共6種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原

理，這樣的四位數(shù)共有5x4x6=120(個(gè)).故選A.

11.如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面

對(duì)”.在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的

“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是(D)

A.48B.18C.24D.36

［解析］解：第1類，對(duì)于每一條棱，都可以與兩個(gè)面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這

樣的“正交線面對(duì)”有2X12=24(個(gè))；第2類，對(duì)于每一條面對(duì)角線，都

可以與一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有12個(gè).所以

正方體中“正交線面對(duì)”共有24+12=36（個(gè)）.故選D.

12.【多選題】從1,2,3,4,5,6中任取三個(gè)不同的數(shù)組成一個(gè)三位數(shù)，

則在所組成的數(shù)中（ACD）

A.偶數(shù)有60個(gè)B.比300大的奇數(shù)有48個(gè)

C.個(gè)位和百位數(shù)字之和為7的數(shù)有24個(gè)D.能被3整除的數(shù)有48個(gè)

［解析］解：對(duì)于A,先從2,4,6中任取一個(gè)數(shù)放在個(gè)位，再任取兩個(gè)數(shù)放在

十位和百位，共有3A2=60（個(gè)），故A正確.

對(duì)于B,若百位數(shù)字為3或5,有2X2X4=16（個(gè)）三位奇數(shù)；若百位數(shù)字為

4或6,有2x3X4=24（個(gè)）三位奇數(shù).則符合題意的三位數(shù)有16+24=40

（個(gè)），故B錯(cuò)誤.

對(duì)于C,個(gè)位和百位的數(shù)可以是{1,6},{2,5},{3,4}順序可以交換，再?gòu)氖Ｏ?/p>

的數(shù)中任選一個(gè)放在十位上，共有AUG=24（個(gè)），故C正確.

對(duì)于D,要使組成的數(shù)能被3整除，則各位數(shù)之和為3的倍數(shù)，取出的數(shù)有

［1,2,3},{1,2,6},{1,3,5},{1,5,6},{2,3,4},{2,4,6）,{3,4,5},{4,5,6},共8

種情況，所以組成的能被3整除的數(shù)有8Ag=48（個(gè)），故D正確.

故選ACD.

13.中國(guó)古代十進(jìn)制的算籌計(jì)數(shù)法，在數(shù)學(xué)史上是一個(gè)偉大的創(chuàng)造，算籌實(shí)際上

是一根根同長(zhǎng)短的小木棍.如圖是利用算籌表示數(shù)1-9的一種方法.

—===_L_Li=

123456789

例如：3可以表示為“三”，26可以表示為“=_L”.現(xiàn)有6根算籌，據(jù)此

表示方法，若算籌不能剩余，則可以用1-9這9個(gè)數(shù)字表示兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為K.

［解析］解：根據(jù)題意，6根算籌可以表示的數(shù)字組合為15,19,24,28,

33,37,46,68,77.數(shù)字組合15,19,24,28,37,46,68中，每組

可以表示2個(gè)兩位數(shù)，則可以表示2x7=14（個(gè)）兩位數(shù)；數(shù)字組合33,77

共可表示2個(gè)兩位數(shù).則共可表示14+2=16（個(gè)）兩位數(shù).故填16.

【拓廣探索】

14.【多選題】A,B,C,D,E,F六名同學(xué)參加一項(xiàng)比賽，決出第一到第六

的名次.A,B,C三人去詢問比賽結(jié)果，裁判對(duì)A說“你和B都不是第一

名"，對(duì)B說‘'你不是最差的”，對(duì)C說“你比A,B的成績(jī)都好”.據(jù)此回答

分析，下列說法正確的有（ABC）

A.若B為第二名，則C必為第一名，此時(shí)比賽結(jié)果有24種情況

B.若B為第三名，則C為第一名或第二名，此時(shí)比賽結(jié)果有42種情況

C.若B為第四名，則C可能為第一、二、三名，此時(shí)比賽結(jié)果有54種情況

D.若B為第五名，則此時(shí)比賽結(jié)果有78種情況

［解析］解：對(duì)于A,若B為第二名，則C必為第一名，比賽結(jié)果有A：=24

（種）情況，A正確.

對(duì)于B,若B為第三名，則C為第一名或第二名，比賽結(jié)果有A1+=42

（種）情況，B正確.

對(duì)于C,若B為第四名，則當(dāng)C為第一名時(shí)，比賽結(jié)果有A%=24（種）情

況；當(dāng)C為第二名時(shí)，比賽結(jié)果有禺A§=18（種）情況；當(dāng)C為第三名時(shí)，

比賽結(jié)果有最A(yù)g=12（種）情況，共有24+18+12=54（種）情況,C正確.

對(duì)于D,因?yàn)锳的名次排在C之后，所以C為第n（n=l,2,3,4）名時(shí)，A的

名次有（6-n-1）種情況，余下3個(gè)位次的情況共有Ag種情況.所以B為第五

名時(shí)，比賽結(jié)果有（4+3+2+1）A多=60（種）情況，D不正確.

故選ABC.

9.2二項(xiàng)式定理

課程標(biāo)準(zhǔn)?有的放矢

1.能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.

2.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問題.

必備知識(shí)溫故知新

【教材梳理】

1.二項(xiàng)式定理

概念公式（a4-b）n=C°an+4陵-1戶+…+C^an-kbk+…+C?"（neN*）叫做二

項(xiàng)式定理.

二項(xiàng)式系各項(xiàng)的系數(shù)d（k=0,1,2,…?。┙凶龆?xiàng)式系數(shù).

數(shù)

通項(xiàng)跚叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，是展開式中的第任1項(xiàng)，可記做熱+1=

慧心?一）（、=0,1,2,...?

nn

二項(xiàng)展開C°a+“a"-%】+鬃a"2b2+...+函由/+…+C^（nGN*）叫做（a+

式b}n的二項(xiàng)展開式.

2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

二項(xiàng)式系數(shù)是一組僅與二項(xiàng)式的基指數(shù)九有關(guān)的n+1個(gè)組合數(shù)，與a,b無(wú)

關(guān).其性質(zhì)如下：

（1）對(duì)稱性：在二項(xiàng)展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)

相等.事實(shí)上，這一性質(zhì)可直接由弱得到.直線r=；將函數(shù)f（r）=禺的

圖象分成對(duì)稱的兩部分，它是圖象的對(duì)稱軸.

（2）增減性與最大值：當(dāng)?shù)葧r(shí)，（：與隨k的增加而增大；當(dāng)k＞等

時(shí)，喘隨k的增加而減少.如果二項(xiàng)式的基指數(shù)71是偶數(shù)，那么其展開式中間一

項(xiàng)，即』的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果n是奇數(shù)，那么其展開式中間兩項(xiàng)&與

22

兀+,1的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大.

2

（3）各二項(xiàng)式系數(shù)的和：C?+M+鬣+…+喘=22，且奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)

式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和，即叫+鬣+第+…=*+或+?+

…=2吁1.

【常用結(jié)論】

3.楊輝三角是二項(xiàng)式系數(shù)組成的三角形數(shù)表（如下），是我國(guó)數(shù)學(xué)史上一個(gè)

偉大成就，教材設(shè)專題“探究”，這里列出一些最基本的結(jié)論.

第0行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第布14641

第5行15101051

第6行1615201561

??

（1）最外層全是1,第二層（含1）是自然數(shù)列1,2,3,4,…,第三層（含

1,3）是三角形數(shù)列1,3,6,10,15,....

（2）對(duì)稱性：每行中與首末兩端“等距離”之?dāng)?shù)相等，即禺=邙-'

（3）遞歸性：除1以外的數(shù)都等于肩上兩數(shù)之和，即喘=C-；+C/i.

（4）第ri行奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和相等，即喘+鬃+第+???=*+

（5）第n行所有數(shù)的和為2n,BPC°+禺+鬣+…+0=2而.

（6）自左（右）腰上的某個(gè)1開始平行于右（左）腰的一條線上的連續(xù)71

個(gè)數(shù)的和等于最后一個(gè)數(shù)斜左（右）下方的那個(gè)數(shù).

自主評(píng)價(jià)

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“，錯(cuò)誤的畫“X”.

（1）C^an-kbk是二項(xiàng)展開式的第k項(xiàng).（X）

（2）二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為中間一項(xiàng)或中間兩項(xiàng).（X）

（3）（a+b）”的展開式中某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與a,b無(wú)關(guān).（J）

（4）（a+b嚴(yán)某項(xiàng)的系數(shù)是該項(xiàng)中非字母因數(shù)部分，包括符號(hào)等，與該項(xiàng)的

二項(xiàng)式系數(shù)不同.（V）

（5）楊輝三角各行中除1以外的每個(gè)數(shù)字，等于其“肩上”兩數(shù)之和.（V）

2」2020年北京卷］在（五一2）5的展開式中，/的系數(shù)為（C）

A.-5B.5C.-10D.10

［解析］解：展開式的通項(xiàng)為Tr+1=CK4）5-r（—2）r=（-2）P女子，令子=2

可得,r=1,則的系數(shù)為（一2）1禺=（-2）x5=-10.故選C.

3.［2020年全國(guó)III卷］（/+例的展開式中常數(shù)項(xiàng)是（D）

A.60B.120C.160D.240

［解析］解：因?yàn)椋ㄐ?|）6展開式的通項(xiàng)為7；+1=品.（/）6-r?（|）r=2rCl-

爐2-3r,令i2—3r=0,解得r=4,所以（7+?的展開式中常數(shù)項(xiàng)是

24Ct=240.故選D.

776

4.若（3%-I）=a7x+a6xH--Fatx+a0,則a7+a6H---F的的值是（D）

A.-1B.127C.128D.129

［解析］解：因?yàn)椋?%-I）,=a7/+@6”H-----Farx+a0,令x=0,可得=

（-I）7=-1,令％=1,可得a7++…+%+=（3—I）7=128,所以

CL-j+dg+…+a［=128+1=129.故選D.

核心考點(diǎn)

考點(diǎn)一展開式的特定項(xiàng)

命題角度1二項(xiàng)展開式

例1

(1)［2021年天津卷］在(2/+》6的展開式中，”的系數(shù)是160.

［解析］解：(2%3+》6的展開式的通項(xiàng)為圖+1=髭(2/)6-r(3r=26-ry.

%18-針，令18-4r=6,解得r=3,所以K的系數(shù)是23髭=160.故填160.

(2)若(后+；產(chǎn)的展開式中含。3項(xiàng)，則最小自然數(shù)幾是3,此時(shí)的系數(shù)

為±1.

［解析］解：可得(、④+;)n的展開式的通項(xiàng)為Tr+l=G?(必)71-r.弓)r=

C??|a|n-r-a~r,令九一2r=3,即zi=2r+3,則當(dāng)r=0時(shí)，九取得最小值

為3,此時(shí)含°3項(xiàng)為Cg|a|3=±a3,故°3的系數(shù)為±1.故填3；±1.

【點(diǎn)撥】求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略：①求展開式中的特定

項(xiàng)，可依據(jù)條件寫出第r+1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出r值即可；②已知展開

式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù)，可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第r+1項(xiàng)，

由特定項(xiàng)得出r值，最后求出其系數(shù).

變式1.

(1)［2021年北京卷］(二一》4的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是口.

［解析］解：展開式的通項(xiàng)7；+1=C"3(4-r)(_》r=(一1/品爐2-什,令「=3,得

展開式的常數(shù)項(xiàng)為北=(一1尸巧=-4.故填一4.

(2)已知(7+專產(chǎn)的展開式中，第4項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第4項(xiàng)的系數(shù)之比為

則小的值為7.

2一

［解析］解：由題意得(^23=］(：/-32機(jī)-3,即23=2加-4,解得加=7故填7.

命題角度2兩個(gè)多項(xiàng)式積的展開式

例2

-.2

(1)［2020年全國(guó)I卷］(%+?)(*+y)5的展開式中％3y3的系數(shù)為(c)

A.5B.10C.15D.20

［解析］解：(%+yT展開式的通項(xiàng)公式為7V+1=CgX5-ryr(reN且r<5),

所以(％+?)的各項(xiàng)與(％+y)5展開式的通項(xiàng)的乘積可表示為=

22

srr6rrsrr4rr+2

xC^x-y=C^x-y和?Tr+i=^C5x-y=C^x~y.在％〃+［=

C^x6~ryr中，令r=3，可得%北=C勿3y3,該項(xiàng)中％3y3的系數(shù)為10；在

22

4rr+2

~Tr+1=C^X~y中，令r=1，可得?72=c我3y3,該項(xiàng)中芯3丫3的系數(shù)

為5.所以％3y3的系數(shù)為10+5=15.故選C.

(2)［2022屆湖南高三開學(xué)考試］已知(%2+a)Q-孑的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的

和為-3,則該展開式中》的系數(shù)為(A)

A.0B.-120C.120D.-160

［解析］解：令％=1,由題意得一(a+1)=-3,解得a=2.因?yàn)?x-1)5的展

5rr5

開式通項(xiàng)為Tr+i=C5x-(-j),r=O,l,2,3,4,5,則(產(chǎn)+a)(x-|)的展開

式中含％的項(xiàng)為"xC|x2(-|)3+2xCs%3(-1)2=0,故x的系數(shù)為0.故選A.

【點(diǎn)撥】對(duì)于兩個(gè)多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)問題，一般都可以根據(jù)因式連乘

的規(guī)律，結(jié)合組合定義求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類方法，以免重復(fù)或遺漏.

變式2.

(1)1)(%+：)6的展開式中/的系數(shù)為(D)

A.-60B.60C.12D.-12

［解析］解：因?yàn)?％+：)6的展開式的通項(xiàng)為7；+］=C/6-6廠=2「C"6-2r1=

0,1,2，

令6-2r=4,解得r=1,

令6-2廠=3,解得r=|(舍去)，

所以Q-1)(%+：)6的展開式中X4的系數(shù)為一21聒=-12.故選D.