2025年人教版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：空間幾何體的表面積和體積（六大考點(diǎn)）

考點(diǎn)鞏固卷14空間幾何體的表面積和體積

（六大考點(diǎn)）

空間幾何體的表面積和體積

■方桀技巧4考點(diǎn)利稱

考點(diǎn)01:斜二測畫法及應(yīng)用

1、畫空間圖形的直觀圖，一般先用斜二測畫法畫出水平放置的平面圖形，再畫Z軸，

并確定豎直方向上的相關(guān)的點(diǎn)，最后連點(diǎn)成圖便可；

2、直觀圖畫法口訣可以總結(jié)為：“橫長不變，縱長減半，豎長不變，平行關(guān)系不變”；

3、當(dāng)幾何體的形狀確定后，用斜二測畫法畫出相應(yīng)幾何體的直觀圖.注意用實(shí)線表示看得見的部分，用虛

線表示看不見的部分，畫完直觀圖后還應(yīng)注意檢驗(yàn)；

結(jié)論：直觀圖與原圖面積之間的關(guān)系：若一個(gè)平面多邊形的面積為S,其直觀圖的面積為￡,

則有S'=*S或S=2巾S'；利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面

積；

1.一水平放置的平面四邊形Q4BC的直觀圖O‘A'3'C'如圖所示，其中O'A=O'C'=2,O'C'Lx'軸，A'B'±x'

軸，？C7/y'軸，則四邊形Q4BC的面積為（）

c.12V2D.12

2.如圖，直角梯形O'A'B'C滿足O'Al.O'C',O'A'=A'B'=2,O'C'=3，它是水平放置的平面圖形的直觀圖，則該

平面圖形的周長是（）

A.7+石B.5+273+>/17

C.11+V41D.10A/2

3.如圖所示，正方形的邊長為2cm,它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原平面圖形的周

C.8cmD.4+46cm

4.用斜二測畫法畫出的水平放置的AABC的直觀圖如圖所示，其中DC是3'。’的中點(diǎn)，且AO7/y'軸，B'C'h

軸，AD=9C=2,那么（）

A.丘B(yǎng).2C.2A/2D.4

5.如圖，AA'3'C'是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，若A'C'=2cm,且△/ID則V2原圖形中

AC邊上的高為（）

6.已知梯形ABCO按斜二測畫法得到的直觀圖為如圖所示的梯形AB'C'O',且A?=l,O'A=2,O'C'=4,

現(xiàn)將梯形A5c。繞。4槌轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，則該幾何體的側(cè)面積為（）

7.如圖，△O'A3'是水平放置的用斜二測畫法畫出的直觀圖（圖中虛線分別與V軸和y'軸平行）,

O'B'=2（yD'=6,OC'=8,貝必。4B的面積為（）

C.三邊中只有兩邊相等的等腰三角形D.三邊互不相等的三角形

9.一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是一個(gè)底角為45。，腰和上底長均為1的等腰梯形，則該平面圖形的

面積等于（）.

A.1+V2B.2+V2C.L也D.1+正

222

10.如圖所示，一個(gè)水平放置的四邊形。48c的斜二測畫法的直觀圖是邊長為2的正方形O'AZC,則原四

考點(diǎn)02:空間幾何體的表面積

側(cè)面積和表面積

幾何體棱柱棱錐棱臺(tái)

\/、

卜-T-r-T-r-I--1

帝;????11

側(cè)面展開圖h::電；；；

1111t1

111111

11二____1__|____1____1__1__1

S=g（c+c'）h'

S=chS=—chf

2

側(cè)面積公式（c為底面周長，人為側(cè)（c為底面周長，〃為側(cè)面等腰三（c',c分別為上、下底面周長，

棱長）角形底邊上的高）〃'為側(cè)面等腰梯形的高）

表面積公式S棱柱表=S棱柱側(cè)+2s底s棱錐表二s棱錐側(cè)+s底s棱臺(tái)表=s棱臺(tái)側(cè)+s上底+S下底

幾何體圓柱圓錐圓臺(tái)球

側(cè)面展開圖

$側(cè)=加（廠+/）

側(cè)面積公式S側(cè)=2幾丫1s側(cè)=?力

2

表面積公式S表二2萬r（尸+/）s表="(「+/)S表=?(/+r+r7+r/)3球=4萬R?

11.蒙古包是我國蒙古族牧民居住的房子，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活.如圖所示的蒙古包由圓柱和圓錐組

合而成，其中圓柱的高為2m,底面半徑為4m,。是圓柱下底面的圓心.若圓錐的側(cè)面與以。為球心，半徑

為4m的球相切，則圓錐的側(cè)面積為（）

A.8\/57rm2B.16V57tm2C.207cm2D.407im2

12.某圓臺(tái)的下底面周長是上底面周長的4倍，母線長為10,該圓臺(tái)的側(cè)面積為100兀，則該圓臺(tái)的體積為

（）

A.184兀B.208兀C.224KD.248兀

13.已知正三棱臺(tái)ABC-A瓦C的上底面積為。，下底面積為46,高為2,則該三棱臺(tái)的表面積為（）

A.573+3739B.3屈C.573+18D.18

14.在正四棱臺(tái)ABC。-44GA中，4^=2481,44,=2有，若正四棱臺(tái)的高為20，則其表面積為（）

A.246B.1275C.24+246D.40+24君

15.已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為。，48為底面直徑，ZAPB=120°,上4=2,點(diǎn)C在底面圓周上，

且二面角P—AC—O為45。，貝|（）

A.該圓錐的側(cè)面積為兀B.該圓錐的體積為2兀

C.△PAC的面積為6D.AC=2近

16.已知圓錐的底面半徑為2,其側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角4為7r三的扇形，則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.6兀B.8兀C.10TID.12兀

17.在一個(gè)圓錐中，。為圓錐的頂點(diǎn)，。為圓錐底面圓的圓心，P為線段。。的中點(diǎn)，AE為底面圓的直

徑，AABC是底面圓的內(nèi)接正三角形，AB=AD=m

①BE〃平面PAC；

②m_L平面P3C；

③圓錐的側(cè)面積為其；

④三棱錐尸-ABC的內(nèi)切球表面積為（2-6）兀.

其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

7

18.已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線亂1,四所成角的余弦值為《，且該圓錐的母線是底面半徑的0倍，若

O

的面積為5b，則該圓錐的表面積為（）

A.40技B.卜0+40夜）兀C.80缶D.（40+808）兀

19.《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)專著，是“算經(jīng)十書”（漢唐之間出現(xiàn)的十部古算書）中非常重要的一部.在

《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.已知“塹堵”ABC-A與G的所有頂點(diǎn)都在球

。的球面上，且AB=AC=1.若球。的表面積為4兀，則這個(gè)三棱柱的表面積是（）

A.2+20B.272C.3+20D.3+2如

20.如圖，為球形物品設(shè)計(jì)制作正四面體、正六面體、正八面體形狀的包裝盒，最少用料分別記為立邑、$3,

則它們的大小關(guān)系為（）

C.53<<S2D.S2<S3<Sx

考點(diǎn)03：空間幾何體的體積

幾何體體積

柱v^=Sh（S為底面面積，而為高）

崛=gs/z（S為底面面積，衣為高），

錐

=』（）、分別為上、下底面面積，人為高），

臺(tái)LS'+JSM+S/26S

口3

4o

3

球唳=-7iR（H為球的半徑）

21.某小區(qū)花園內(nèi)現(xiàn)有一個(gè)圓臺(tái)型的石碑底座，經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)該石碑底座上底面圓的半徑為1,且上底面圓直

徑的一端點(diǎn)的投影為下底面圓半徑的中點(diǎn)，高為3,則這個(gè)圓臺(tái)的體積為（）

A.3itB.5無C.7兀D.8兀

22.如圖，04是圓錐底面中心。到母線的垂線，繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面將圓錐分成體積相等的兩部分，

則母線與軸的夾角余弦值為（）

23.中國載人航天技術(shù)發(fā)展日新月異.目前，世界上只有3個(gè)國家能夠獨(dú)立開展載人航天活動(dòng).從神話“嫦娥

奔月”到古代“萬戶飛天”，從詩詞“九天攬?jiān)隆钡奖诋嫛笆伺w天”……千百年來，中國人以不同的方式表達(dá)著

對(duì)未知領(lǐng)域的探索與創(chuàng)新.如圖，可視為類似火箭整流罩的一個(gè)容器其內(nèi)部可以看成由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓

柱組合而成的幾何體.圓柱和圓錐的底面半徑均為2,圓柱的高為6,圓錐的高為4.若將其內(nèi)部注入液體，已

知液面高度為7,則該容器中液體的體積為（）

占］

；7

一一1一」

___,

325K-76兀-215兀「325兀

A.------B.——C.-------D.------

24.設(shè)四棱臺(tái)ABC。-AAGA的上、下底面積分別為H，邑，側(cè)面積為S,若一個(gè)小球與該四棱臺(tái)的每個(gè)

面都相切，則（）

2

A.S=StS2B.S=St+S2

C.S=2y[S^D.V?=廓+￡

25.最早的測雨器記載見于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的《數(shù)書九章》（1247年）.該書第二章為“天時(shí)類”，收錄

了有關(guān)降水量計(jì)算的例子，其中“天池測雨”法是下雨時(shí)用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆收集雨水來測量平地降雨量

（盆中水的體積與盆口面積之比）已知天池盆盆口直徑為一尺四寸，盆底直徑為六寸，盆深一尺二寸.當(dāng)盆

中積水深六寸（注：1尺=10寸）時(shí)，平地降雨量是（）

A.1寸B.2寸C.3寸D.4寸

26.苗澤市博物館里，有一條深埋600多年的元代沉船，對(duì)于研究元代的發(fā)展提供了不可多得的實(shí)物資料.

沉船出土了豐富的元代瓷器，其中的白地褐彩龍風(fēng)紋罐（如圖）的高約為36cm,把該瓷器看作兩個(gè)相同的

圓臺(tái)拼接而成（如圖），圓臺(tái)的上底直徑約為20cm,下底直徑約為40cm,忽略其壁厚，則該瓷器的容積約

為（）

A.42007icm3C.1680071cm3D.336OO7rcm3

27.如圖，圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為2cm的水，若放入3個(gè)相同的鐵球（球的半徑與圓柱底面半徑相等）

后，水恰好淹沒最上面的鐵球，則一個(gè)鐵球的表面積為（）

B.4兀C.57rD.6兀

28.已知△SAB是圓錐5。的軸截面，點(diǎn)C在SA上，且AC=6.若過點(diǎn)C且平行于S3的平面恰過點(diǎn)0,

且該平面與圓錐底面所成的二面角等于:，則該圓錐的體積為（）

71一

A.—B.兀C.3兀D.9兀

3

29.若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球.在四棱錐尸-ABCD

中，側(cè)面P鉆是邊長為1的等邊三角形，底面ABC。為矩形，且平面的，平面A3CD.若四棱錐尸-ABCD

存在一個(gè)內(nèi)切球，設(shè)球的體積為匕，該四棱錐的體積為匕，則孑的值為（）

Ae兀B6KQ口611

'~6~'~12'IT'

30.泉州花燈技藝源于唐朝中期從形式上有人物燈、宮物燈、宮燈，繡房燈、走馬燈、拉提燈、錫雕元宵

燈等多種款式.在2024年元宵節(jié)，小明制做了一個(gè)半正多面體形狀的花燈，他將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三

條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共截去八個(gè)三棱錐，得到一個(gè)有十四個(gè)面的半正多面體，如圖所示.已知該

半正多面體的體積為年，/為44BC的中心，過M截該半正多面體的外接球的截面面積為S,則S的最大

55

考點(diǎn)04:空間幾何體的外接球

球的外接問題

1、公式法

正方體或長方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)

2、補(bǔ)形法（補(bǔ)長方體或正方體）

①墻角模型（三條線兩個(gè)垂直）

題設(shè)：三條棱兩兩垂直（重點(diǎn)考察三視圖）

②對(duì)棱相等模型（補(bǔ)形為長方體）

題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對(duì)棱分別相等，求外接球半徑（A5=CD,AD^BC,AC=BD）

3、單面定球心法（定+算）

步驟：①定一個(gè)面外接圓圓心：選中一個(gè)面如圖：在三棱錐P-ABC中，選中底面AABC,確定其外接圓

圓心。?（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜邊中點(diǎn)上，普通三角形用正弦定理定外心

sinA

②過外心。i做（找）底面AABC的垂線，如圖中PQ，面ABC,則球心一定在直線（注意不一定在線段尸。1

上）尸。上；

③計(jì)算求半徑R：在直線尸。1上任取一點(diǎn)。如圖：則0P=Q4=R,利用公式?？捎?jì)算

出球半徑R.

4、雙面定球心法（兩次單面定球心）

如圖：在三棱錐尸—ABC中：

①選定底面AABC,定AABC外接圓圓心。?

②選定面AB4B,定AfAB外接圓圓心。2

③分別過。?做面ABC的垂線，和。2做面叢8的垂線，兩垂線交點(diǎn)即為外接球球心。.

31.如圖，已知在四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD為等腰梯形，BC//AD,PD=2AD=4BC=4,

底面積為主叵，PDLAD且P8=M，則四棱錐尸-ABCD外接球的表面積為（）

A.9nB.126兀C.39兀D.20兀

32.若某圓錐的內(nèi)切球與外接球的球心重合，且內(nèi)切球表面積為4兀，則該圓錐的體積為（）

A.2兀B.3兀C.4無D.6兀

33.已知圓錐的軸截面&IB是一個(gè)正三角形，其中S是圓錐頂點(diǎn)，A3是底面直徑.若C是底面圓。上一點(diǎn)，

尸是母線SC上一點(diǎn)，AB=6,AC=S尸=2,則三棱錐尸-A5c外接球的表面積是（）

.107兀c109?！?12兀-116兀

A.-----B.-------C.-------D.------

3333

34.在棱長為2的正方體48CD-ABCA中，M,N分別為CO,AG的中點(diǎn)，則三棱錐外接球

的表面積為（）

A56?！?2兀―76?！?6兀

A.——B.——C.——D.——

9399

35.已知在直三棱柱ABC-中，AB1BC,AB=BC=^AA,=2,N為線段CQ的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線

段AG上，若MN〃平面AfC,則三棱錐B-AAW外接球的體積為（）

A.2。局B.—C.5后D.2071

33

36.在梯形ABGD中，AB//CD,AB±BD,S.\AB\=\BD\=4,\BC\=2y[5,沿對(duì)角線BO將三角形ABD折起,

所得四面體A-BCD外接球的表面積為32兀，則異面直線A3與8所成角為（）

A.30'B.45°C.600D.90,

37.在直三棱柱ABC-A用G中，AABC為等邊三角形，AB=2&BB、=2出,則三棱柱ABC-A用C的外

接球的體積為（）

A.25兀B.29兀C.32兀D.36兀

38.“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱

美.如圖是以正方體的各條棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的多面體，這是一個(gè)有八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿

基米德多面體”，若該多面體的棱長為血，則該多面體外接球的表面積為（）

B.4K

4

C.2兀D.一兀

3

39.樟卯結(jié)構(gòu)是中國古代建筑文化的瑰寶，在連接部分通過緊密的拼接，使得整個(gè)結(jié)構(gòu)能夠承受大量的重

量，并且具有較高的抗震能力.這其中木楔子的運(yùn)用，使得樺卯配合的牢度得到最大化滿足，木楔子是一種

簡單的機(jī)械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木撅、木片等.如圖為一個(gè)木楔子的直觀圖，其中四邊形

是邊長為2的正方形，且AADEAH#均為正三角形，EF//CD,EF=4,則該木楔子的外接球的體

積為（）

40.如圖，在矩形A3CD中，AB=4,AD=3,F,G分別在線段AB,上，BF=BG=1,將△毋G沿

FG折起，使B到達(dá)M的位置，且平面FGM_L平面ADCG/，則四面體ADFM的外接球的表面積為（）

D_____________C

一

G

AFBA

.”D“后C10071CIOOA/STT

A.20KB.20,5兀C.--—D.—

考點(diǎn)05:空間幾何體的內(nèi)切球

球的內(nèi)切問題（等體積法）

例如：在四棱錐P-A5CD中，內(nèi)切球?yàn)榍颉?，求球半徑廠.方法如下：

XP-ABCD=^O-ABCD+^O-PBC+^O-PCD+^O-PAD+^O-PAB

即：^P-ABCD=2SABCD.廠+§SpBC'rPCD,廠+§SpAD,'+§SpAB,r,可求出廠.

41.六氟化硫，化學(xué)式為SR,在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在

電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個(gè)面都是正三角形，可以看

作是將兩個(gè)棱長均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）.如圖所示，正八面體E-ABCD-R的棱長

為。，此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為（）

A.3也B.2省C.3收D.20

42.已知球。內(nèi)切于圓臺(tái)（即球與該圓臺(tái)的上、下底面以及側(cè)面均相切），且圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為

小r2,且弓=4々=4,則圓臺(tái)的體積與球的體積之比為（）

7r21-63

A.—B.—C.—D.—

4828

43.已知圓錐P。的頂點(diǎn)為尸，其三條母線必，PB,尸C兩兩垂直，且母線長為6,則圓錐P。的內(nèi)切球表

面職與圓錐側(cè)面積之和為（）

A.12。0-3?）兀B.24（20-776）7tC.60（8-3旬itD.3（40-7^）7i

44.六氟化硫，化學(xué)式為SR,在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在

電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個(gè)面都是正三角形，可以看作

是將兩個(gè)棱長均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）.如圖所示，正八面體E-ABCD-b的棱長為

a,下列說法中正確的個(gè)數(shù)有（）

①異面直線AE與跖所成的角為45。；

②此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為34；

③若點(diǎn)尸為棱班上的動(dòng)點(diǎn)，則AP+CP的最小值為26a；

④若點(diǎn)。為四邊形ABC。的中心，點(diǎn)。為此八面體表面上動(dòng)點(diǎn)，且=則動(dòng)點(diǎn)。的軌跡長度為半師.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

45.已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱長都等于2,則該四棱錐的內(nèi)切球的表面積為

（）

A.（8—46）nB.12兀C.（8+46）無D.8兀

46.已知圓臺(tái)存在內(nèi)切球。（與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面都相切的球），若圓臺(tái)。02的上、下底面面積

之和與它的側(cè)面積之比為5:8,設(shè)圓臺(tái)與球。的體積分別為匕%,則芥=（）

A.-B.-C.—D.—

341113

47.六氟化硫，化學(xué)式為SR,在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在

電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個(gè)

氟原子分別位于正八面體的6個(gè)頂點(diǎn)，若相鄰兩個(gè)氟原子之間的距離為加，則下列錯(cuò)誤的是（）

A.該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積為2m/

B.該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為衛(wèi)

3

C.該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積為26m2

D.該正八面體結(jié)構(gòu)的體積為后3

48.如圖，已知四棱錐尸-ABCD的底面是邊長為2的菱形，。為AC,8。的交點(diǎn)，平面ABCD,

ZPBA=ZABC=60°,則四棱錐P-ABCD的內(nèi)切球的體積為（）

A后1B娓71c瓜兀D倔1

'亍'~'丁'

r1

49.已知一圓臺(tái)內(nèi)切球G與圓臺(tái)各個(gè)面均相切，記圓臺(tái)上、下底面半徑為小勺若j=則圓臺(tái)的體積與

球的體積之比為（）

A.—B.-C.2D.—

6212

50.如圖，該幾何體為兩個(gè)底面半徑為1,高為1的相同的圓錐形成的組合體，設(shè)它的體積為匕，它的內(nèi)切

球的體積為％,則匕：%=（）

p

A.2:73B.2在3

C.1:72D.72:1

考點(diǎn)06：空間幾何體的截面問題

在立體幾何中，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，歷來是立體幾何的一個(gè)基本問題.過已知不共線三點(diǎn)，作

幾何體的截面，既是轉(zhuǎn)化為平面問題一個(gè)方法，也是深化理解空間點(diǎn)、線、面關(guān)系的一個(gè)很好的途徑.

1、確定截面的主要依據(jù)有

(1)平面的四個(gè)公理及推論.(2)直線和平面平行的判定和性質(zhì).

(3)兩個(gè)平面平行的性質(zhì).(4)球的截面的性質(zhì).

2、作截面的幾種方法

(1)直接法：有兩點(diǎn)在幾何體的同一個(gè)面上，連接該兩點(diǎn)即為幾何體與截面的交線，找截面實(shí)際就是找交

線的過程。

(2)延長線法：同一個(gè)平面有兩個(gè)點(diǎn)，可以連線并延長至與其他平面相交找到交點(diǎn)。

(3)平行線法：過直線與直線外一點(diǎn)作截面，拖直線所在的面與點(diǎn)

51.已知直四棱柱4c■的側(cè)棱長為3,底面ABCD是邊長為2的菱形，44。=：JT,“為棱叩

上的一點(diǎn)，且為底面ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)(含邊界)，則下列命題正確的是()

TT27r

A.若PM與平面ABC。所成的角為:，則點(diǎn)尸的軌跡與直四棱柱的交線長為三

B.若點(diǎn)A到平面燈加的距離為若，則三棱錐R4D體積的最大值為冬8

3

冗

C.若以。為球心的球經(jīng)過點(diǎn)則該球與直四棱柱的公共部分的體積為4三

D.經(jīng)過反CM三點(diǎn)的平面截直四棱柱所得的截面面積為4

52.正方體ABCD-A4GA的棱長為6,P,Q分別是棱4月，4P的中點(diǎn)，過P，Q，C作正方體的截

面，則()

A.該截面是五邊形

B.四面體CC7。外接球的球心在該截面上

C.該截面與底面ABCD夾角的正切值為逑

3

D.該截面將正方體分成兩部分，則較小部分的體積為75

53.已知一圓錐的底面半徑為由，該圓錐的母線長為2,A,2為底面圓的一條直徑上的兩個(gè)端點(diǎn)，則下列

說法正確的是（）

A.其側(cè)面展開圖是圓心角為泡兀的扇形

B.該圓錐的體積為7T

C.從A點(diǎn)經(jīng)過圓錐的側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)的最短距離為2百

D.過該圓錐的頂點(diǎn)作圓錐的截面，則截面面積的最大值為2

54.已知正方體ABCD-A4GR的棱長為2,棱48的中點(diǎn)為過點(diǎn)M作正方體的截面且

若點(diǎn)N在截面。內(nèi)運(yùn)動(dòng)（包含邊界），則（）

A.當(dāng)|阿最大時(shí)，跖V與BC所成的角為:

B.三棱錐A-BNC\的體積為定值|

C.若|DN|=2,則點(diǎn)N的軌跡長度為2兀

D.若Ne平面4水4，則忸N|+|NCj的最小值為《6+2石

55.已知正方體A8CO-A耳G2的棱長為3,點(diǎn)E是線段A8上靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，尸是AA中點(diǎn)，則（）

A.該正方體外接球的表面積為27兀

B.直線班與CD所成角的余弦值為國

61

C.平面耳石方截正方體所得截面為等腰梯形

D.點(diǎn)F到平面\BCX的距離為走

2

56.如圖，在棱長為4的正方體ABCD-A4GR中，E,尸分別是棱4月，的中點(diǎn)，G為底面45co上

的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)G為AD的中點(diǎn)時(shí)，EFLCG

B.若G在線段80上運(yùn)動(dòng)，三棱錐A-GEF的體積為定值

C.存在點(diǎn)G,使得平面跖G截正方體所得的截面面積為128

D.當(dāng)G為4）的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐4-瓦6的外接球表面積為魯

57.在棱長為1的正方體48C。-4月￡，中，E為A8的中點(diǎn)，貝I（）

A.QE1B.C

B.CE〃平面

C.平面4EC截正方體ABCD-AB|GR所得截面面積為好

2

D.四棱錐與四棱錐E-BBQQ的體積相等

58.在三棱錐A-BCD中，已知5CLBD,棱AC,BC,的中點(diǎn)分別是E,F,G,AB=AC=AD=CD=2,

則（）

A.過點(diǎn)E,F,G的平面截三棱錐所得截面是菱形

B.平面ADC_L平面BCD

C.異面直線AC,碩互相垂直

D.三棱錐A—BCD外接球的半徑為亞

3

59.與那些英雄們的墓志銘相比，大概只有數(shù)學(xué)家的墓志銘最為言簡意賅.他們的墓碑上往往只是刻著一

個(gè)圖形或?qū)懼粋€(gè)數(shù)，這些形和數(shù)，展現(xiàn)著他們一生的執(zhí)著追求和閃光的業(yè)績.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德就

是這樣，他的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱里內(nèi)切著一個(gè)球.這個(gè)球的直徑恰與圓柱的高相等.這個(gè)稱為“等

邊圓柱”的圖形如圖所示，記內(nèi)切球的球心為0,圓柱上、下底面的圓心分別為。一。2，四邊形ABCD是

圓柱的一個(gè)軸截面，所為底面圓。2的一條直徑，若圓柱的高為4,則（）

A.內(nèi)切球的表面積與圓柱的表面積之比為2：3

B.圓柱的外接球的體積與圓柱的體積之比為4：3

C.四面體CD吹的體積的最大值為:

D.平面CEF截得球。的截面面積的取值范圍為警，4萬

60.如圖，透明塑料制成的直三棱柱容器ABC-A用G內(nèi)灌進(jìn)一些水，ZABC=^,AC=AAi=8,若水的

體積恰好是該容器體積的一半，容器厚度忽略不計(jì)，則（）

A.當(dāng)?shù)酌?41GC水平放置后，固定容器底面一邊CG于水平地面上，將容器繞著CG轉(zhuǎn)動(dòng)，則沒有水

的部分一定是棱柱

B.轉(zhuǎn)動(dòng)容器，當(dāng)平面A41c0水平放置時(shí)，容器內(nèi)水面形成的截面與各棱的交點(diǎn)都是所在棱的中點(diǎn)

C.在翻滾、轉(zhuǎn)動(dòng)容器的過程中，有水的部分可能是三棱錐

D,容器中水的體積與直三棱柱外接球體積之比至多為還

16兀

參考答案與試題解析

考點(diǎn)鞏固卷14空間幾何體的表面積和體積

（六大考點(diǎn)）

空間幾何體的表面積和體積

朦方力技巧4考點(diǎn)制推

考點(diǎn)01:斜二測畫法及應(yīng)用

1、畫空間圖形的直觀圖，一般先用斜二測畫法畫出水平放置的平面圖形，再畫Z軸，

并確定豎直方向上的相關(guān)的點(diǎn)，最后連點(diǎn)成圖便可；

2、直觀圖畫法口訣可以總結(jié)為：“橫長不變，縱長減半，豎長不變，平行關(guān)系不變”；

3、當(dāng)幾何體的形狀確定后，用斜二測畫法畫出相應(yīng)幾何體的直觀圖.注意用實(shí)線表示看得見的部分，用虛

線表示看不見的部分，畫完直觀圖后還應(yīng)注意檢驗(yàn)；

結(jié)論：直觀圖與原圖面積之間的關(guān)系：若一個(gè)平面多邊形的面積為S,其直觀圖的面積為9,

則有S'=*S或S=2巾S'；利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面

積；

1.一水平放置的平面四邊形Q4BC的直觀圖O'AZC'如圖所示，其中O'A=O'C'=2,O'C'Lx'軸，A'B'±x'

軸，B'C7/y'軸，則四邊形Q4BC的面積為（）

【答案】C

【分析】根據(jù)梯形面積公式求出直觀圖的面積，然后由直觀圖面積與平面圖面積之間的關(guān)系可得.

【詳解】記AE與y'軸的交點(diǎn)為。，

因?yàn)镺'C'^x’軸，軸，所以O(shè)'C7/3Z）,

又8'C7/y'軸，所以四邊形。D?C為平行四邊形，OC=B，D=2,

TT

由題意可知：ZA'O'D=~,

4

因?yàn)锳3'_Lx',O'A=2,所以AD=2,AB'=4,

則四邊形O'AB'C的面積為SO.A,B,C,=1x（2+4）x2=6,

所以四邊形OABC的面積為SOABC=20so?pc，=120.

故選：c.

2.如圖，直角梯形O'AB'C滿足O'A」O，UO,4=A'B'=2,OC=3,它是水平放置的平面圖形的直觀圖，則該

平面圖形的周長是（）

A.7+*\/5B.5+2用?

c.11+V41D.10V2

【答案】C

【分析】結(jié)合斜二測畫法的規(guī)則,將直觀圖即直角梯形O'AB'C'還原成平面圖形,結(jié)合勾股定理算出各邊長度

即可求解.

【詳解】由題意O'C=OC=3,A2'=AB=2,由AB'〃O'C'可得AB〃OC,

由O'A'lO'C,ZB'O'C'=45°,A!B'/1O'C,

可得ZB'O'A'=ZA'B'O'=45。，所以ZO'AB'=90。,

而OrA=ABr—2,

所以O(shè)B=2O'B'=2xV2z+22=40，

結(jié)合斜二測畫法的規(guī)則,將直觀圖即直角梯形O'A'B'C'還原成平面圖形,

如圖所示：

由勾股定理可得AO=J(4可+2?=6,3C=?4用+3。=而，

所以滿足題意的平面圖形的周長是2+6+3+百T=11+"L

故選:C.

3.如圖所示，正方形OAQC的邊長為2cm,它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原平面圖形的周

C.8cmD.4+4V§cm

【答案】A

【分析】根據(jù)斜二測畫法畫直觀圖的性質(zhì)，即平行于天軸的線段長度不變，平行于y軸的線段的長度減半,

結(jié)合圖形求得原圖形的各邊長，可得周長?.

【詳解】

V直觀圖正方形OAB'C的邊長為2cm,.-.O'B'=2J5cm，

原圖形為平行四邊形OLBC,如圖：

其中0A=2cm,IWJOB=2x2>/2=40cm,

AB=CO=小2。+卜=6cm,

二原圖形的周長L=2x（2+6）=16cm.

故選：A.

1

4.用斜二測畫法畫出的水平放置的AABC的直觀圖如圖所示，其中OC是B'C’的中點(diǎn)，且A'D〃y'軸，B'CV/x

軸，A'D'=B'C'=2,那么S/BC=（）

C.2A/2D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)斜二測畫法確定原圖形，求解即可.

【詳解】根據(jù)題意，把直觀圖還原出原平面圖形為等腰三角形，如圖所示,

其中AD=2A￡>'=4,BC=B'C'=2,

原平面圖形的面積為S-WbC.AoGxZxdML

5.如圖，AA'3'C是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，若A'C'=2cm,且△ziI?V2則原圖形中

22

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，由三角形面積公式求出功。的長，結(jié)合斜二測畫法可得原圖中瓦）的長.

【詳解】畫出平面直角坐標(biāo)系xOy,在x軸上取=0A'，即CA=C'A'，

在圖①中，過8'作笈。'〃y軸，交V軸于冰，在x軸上取0￡）=0力，，

過點(diǎn)。作軸，并使=2D%'，

原圖形中，BDLAC于點(diǎn)。，

則BD為原圖形中AC邊上的高，且班）=25'D,

在直觀圖③中作B'E'LAC'于點(diǎn)E',則^AB'C的面積S△ADC=-A'C'xB'E'=B'E'=—2,

在直角三角形BED'中，B'D'=JiBE=—,

2

所以BD=2B'D'=&,

故原圖形中AC邊上的高為次.

故選：D.

6.已知梯形ABCO按斜二測畫法得到的直觀圖為如圖所示的梯形AB'C'O',且Aa=l,O'A'=2,O'C'=4,

現(xiàn)將梯形ABCO繞。4槌轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，則該幾何體的側(cè)面積為（）

A.15TIB.18KC.25兀D.28兀

【答案】c

【分析】將梯形AB'C'O'復(fù)原為原圖即直角梯形A8C0,確定相關(guān)的邊長,結(jié)合題意以及圓臺(tái)的側(cè)面積公式,

即可求得答案.

【詳解】由題意將梯形AB'C'O'復(fù)原為原圖，即直角梯形A8C0,

其中AB=1,OA=4,OC=4,則8C=J（4-1）2+4e=5,

故將梯形A5c。繞04棍轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體為圓臺(tái)，

圓臺(tái)上底面半徑為1,下底面半徑為4,高為4,母線長為5,

故該幾何體的側(cè)面積為兀（1+4）x5=2571,

故選：C

7.如圖，△O'A'B'是水平放置的AOAB用斜二測畫法畫出的直觀圖（圖中虛線分別與V軸和y'軸平行）,

O'B'=2O'D'=6,OC'=8,貝以。18的面積為（）

【分析】由直觀圖得到平面圖形，再求出相應(yīng)的線段長，最后由面積公式計(jì)算可得.

【詳解】由直觀圖可得如下平面圖形：

其中03=03'=6,OD=O'O'=3,OC=2O'C'=16,A￡)//y軸，且AD=OC=16,

所以心鉆=：x6xl6=48.

8.水平放置的AABC的直觀圖如圖，其中3'。=C'O'=1,A'O'=—,那么原AABC是一個(gè)(

C.三邊中只有兩邊相等的等腰三角形D.三邊互不相等的三角形

【答案】A

【分析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則求解即可.

【詳解】由圖形知，在原AABC中，AO1BC,如圖，

A

因?yàn)锳O'='^,所以AO=5/^,

2

■,BO=CO'=1,:.BC=2,

又ABUJAO+BO?=^/^n=2,AC=y]AO2+CO2=y/3+l=2-

.?.△ABC為等邊三角形.

故選:A

9.一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是一個(gè)底角為45。，腰和上底長均為1的等腰梯形，則該平面圖形的

面積等于（）,

A.1+72B.2+0C.L交D.1+—

222

【答案】B

【分析】根據(jù)斜二測直觀圖的特點(diǎn)可知原圖形為一直角梯形，由梯形面積公式求解.

【詳解】解：如圖，恢復(fù)后的原圖形為一直角梯形，

故選：B.

10.如圖所示，一個(gè)水平放置的四邊形0ABe的斜二測畫法的直觀圖是邊長為2的正方形O'AB'C',則原四

A.160B.8A/2C.16D.8

【答案】B

【分析】根據(jù)斜二測畫法規(guī)則求出A。,3。，判斷Q4BC的形狀，確定由此求出原四邊形Q4BC的

面積.

【詳解】在正方形O'AB'C中可得B'O'=040=2>/2,

由斜二測畫法可知BO=2B'O'=472,AO=AO'=2,

且OA_LO3,OA//BC,ABIICO,

所以四邊形OLFC為平行四邊形，

所以加,二叱40=40x2=80.

故選：B.

考點(diǎn)02:空間幾何體的表面積

側(cè)面積和表面積

幾何體棱柱棱錐棱臺(tái)

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1/、

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側(cè)面展開圖h

111111

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