中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破與經(jīng)典模型精講練(全國(guó)用)專題21最值問(wèn)題中的阿氏圓模型含答案及解析

Page專題21最值問(wèn)題中的阿氏圓模型【模型展示】特點(diǎn)“PA+k·PB”型的最值問(wèn)題是近幾年中考考查的熱點(diǎn)更是難點(diǎn)。當(dāng)k值為1時(shí)，即為“PA+PB”之和最短問(wèn)題，用“飲馬問(wèn)題”模型來(lái)處理，即可以轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱問(wèn)題來(lái)處理。當(dāng)k取不為1的正數(shù)時(shí)，再以常規(guī)的軸對(duì)稱思想來(lái)解決問(wèn)題，則無(wú)法進(jìn)行，因此必須轉(zhuǎn)換思路。此類問(wèn)題的處理通常以動(dòng)點(diǎn)P所在圖像的不同來(lái)分類：點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)和點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)。其中點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“胡不歸”問(wèn)題；點(diǎn)P在圓周上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“阿氏圓”問(wèn)題?！鞍⑹蠄A”又稱“阿波羅尼斯圓”，已知平面上兩點(diǎn)A、B，則所有滿足PA=k·PB（k≠1）的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”。如圖1所示，圓O的半徑為r，點(diǎn)A、B都在圓O外，P為圓O上一動(dòng)點(diǎn)，已知r=kOB，連接PA、PB，則當(dāng)“PA+kPB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？如圖2，在線段OB上截取OC使△BPO與△PCO相似，即k·PB=PC。故本題中“PA+k·PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值，其中A與C為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“PA+PC”值最小，如圖3一般將含有k的線段兩端點(diǎn)分別與圓心O相連，即連接OB、OP；計(jì)算出線段OP與OB及OP與OA的線段比，找到線段比為k的情況連接AC，與圓O的交點(diǎn)即為點(diǎn)P將圖2中△BPO單獨(dú)提取出，如圖4，△PCO∽△BPO（母子型相似模型）（構(gòu)造出△PCO∽△BPO，就可以得到OC/OP=OP/OB，進(jìn)而推出OP2=OB·OC，即“半徑的平方＝原有線段×構(gòu)造線段”，確定C的位置后，連接AC，求出AC的長(zhǎng)度“阿氏圓”即可破解）結(jié)論“PA+k·PB”型的最值【題型演練】一、單選題1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP，則AP＋BP的最小值為（

）A．7 B．5 C． D．二、填空題2．如圖，在中，，以點(diǎn)B為圓心作圓B與相切，點(diǎn)P為圓B上任一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是___________．3．如圖，已知正方ABCD的邊長(zhǎng)為6，圓B的半徑為3，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_______．4．如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，則PA＋PB的最小值為________．5．【新知探究】新定義：平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,B，所有滿足k(k為定值)的P點(diǎn)形成的圖形是圓，我們把這種圓稱之為“阿氏圓”，【問(wèn)題解決】如圖，在△ABC中，CB4，AB2AC，則△ABC面積的最大值為_____．6．如圖，在Rt中，AB＝AC＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是扇形AEF的上任意一點(diǎn)，連接BP，CP，則BP+CP的最小值是_____．7．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，⊙B的半徑為2，點(diǎn)P是⊙B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PD﹣PC的最大值為_____．8．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以點(diǎn)C為圓心，6為半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D.連接AD、BD、CD，則2AD+3BD的最小值是________.三、解答題9．如圖1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圓C的半徑為2，點(diǎn)P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，BP，求：①，②，③，④的最小值．10．如圖，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C為頂點(diǎn)的正方形CDEF（C、D、E、F四個(gè)頂點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校┛梢岳@點(diǎn)C自由轉(zhuǎn)動(dòng)，且CD＝，連接AF，BD（1）求證：△BDC≌△AFC（2）當(dāng)正方形CDEF有頂點(diǎn)在線段AB上時(shí)，直接寫出BD＋AD的值；（3）直接寫出正方形CDEF旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BD＋AD的最小值．11．如圖，點(diǎn)A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)D在OB上，且OD＝4，動(dòng)點(diǎn)P在上．求2PC＋PD的最小值．12．婆羅摩芨多是公元7世紀(jì)古印度偉大的數(shù)學(xué)家，他在三角形、四邊形、零和負(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，二次方程等方面均有建樹，他也研究過(guò)對(duì)角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形，我們把這類對(duì)角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形稱為“婆氏四邊形”．（1）若平行四邊形ABCD是“婆氏四邊形”，則四邊形ABCD是．（填序號(hào)）①矩形；②菱形；③正方形（2）如圖1，RtABC中，∠BAC=90°，以AB為弦的⊙O交AC于D，交BC于E，連接DE、AE、BD，AB=6，，若四邊形ABED是“婆氏四邊形”，求DE的長(zhǎng)．（3）如圖2，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知∠BOC+∠AOD=180°．①求證：四邊形ABCD是“婆氏四邊形”；②當(dāng)AD+BC=4時(shí)，求⊙O半徑的最小值．13．閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)任務(wù)．阿波羅尼斯（ApolloniusofPerga），古希臘人（公元前262~190年），數(shù)學(xué)家，寫了八冊(cè)圓錐曲線論著，其中有七冊(cè)流傳下來(lái)，書中詳細(xì)討論了圓錐曲線的各種性質(zhì)，阿波羅尼斯圓是他的論著中一個(gè)著名的問(wèn)題．一動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比等于定比，則點(diǎn)的軌跡是以定比內(nèi)分和外分線段的兩個(gè)分點(diǎn)的連線為直徑的圓，這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱“阿氏圓”．如圖1，點(diǎn)，為兩定點(diǎn)，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，滿足，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上且，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為直徑的圓．下面是“阿氏圓”的證明過(guò)程（部分）：過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．∴，．∴．∴．又∵，∴．∴．∴．∴．如圖2，在圖1（隱去，）的基礎(chǔ)上過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，可知，……任務(wù)：（1）判斷是否平分，并說(shuō)明理由；（2）請(qǐng)根據(jù)上面的部分證明及任務(wù)（1）中的結(jié)論，完成“阿氏圓”證明的剩余部分；（3）應(yīng)用：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，則點(diǎn)所在圓的圓心坐標(biāo)為________．14．如圖1，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線的對(duì)稱軸是直線．(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)是直線下方的拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使四邊形的面積為16，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖2，過(guò)點(diǎn)作交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，2為半徑作，點(diǎn)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．15．如圖1所示，⊙O的半徑為r，點(diǎn)A、B都在⊙O外，P為⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，已知r＝k·OB．連接PA、PB，則當(dāng)“PA＋k·PB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？16．問(wèn)題提出：如圖①，在中，，，，⊙C的半徑為2，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP，求的最小值．（1）嘗試解決：為了解決這個(gè)問(wèn)題，下面給出一種解題思路：如圖①，連接CP，在CB上取一點(diǎn)D，使，則．又，所以∽．所以．所以，所以．請(qǐng)你完成余下的思考，并直接寫出答案：的最小值為________；（2）自主探索：在“問(wèn)題提出”的條件不變的前提下，求的最小值；（3）拓展延伸：如圖②，已知在扇形COD中，，，，，P是上一點(diǎn)，求的最小值．17．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣5x+5與x軸，y軸分別交于A，C兩點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B（1）求拋物線解析式及B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)M為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接MA、MB、BC，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，四邊形AMBC面積最大，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及四邊形AMBC的面積；（3）如圖2，若P點(diǎn)是半徑為2的⊙B上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PA，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，PC+PA的值最小，請(qǐng)求出這個(gè)最小值，并說(shuō)明理由．18．如圖，拋物線與軸交于，，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，且，的平分線交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是軸下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，交直線于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，求的值；（3）當(dāng)直線為拋物線的對(duì)稱軸時(shí)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作，點(diǎn)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．19．閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù).已知平面上兩點(diǎn)，則所有符合且的點(diǎn)會(huì)組成一個(gè)圓.這個(gè)結(jié)論最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓.阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似.【問(wèn)題】如圖1，在平面直角坐標(biāo)中，在軸，軸上分別有點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，設(shè)，求的最小值.阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟：第一步：如圖1，在上取點(diǎn)，使得；第二步：證明；第三步：連接，此時(shí)即為所求的最小值.下面是該題的解答過(guò)程(部分)：解：在上取點(diǎn)，使得，又.任務(wù)：將以上解答過(guò)程補(bǔ)充完整.如圖2，在中，為內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，滿足，利用中的結(jié)論，請(qǐng)直接寫出的最小值.20．?dāng)?shù)學(xué)概念如圖①，AE是△ABC的角平分線，D是直線BC上一點(diǎn)，如果點(diǎn)D滿足DA＝DE，那么點(diǎn)D叫做△ABC的邊BC上的“阿氏點(diǎn)”．概念理解（1）在圖②中，利用直尺和圓規(guī)作△ABC的邊BC上的“阿氏點(diǎn)”，用字母D表示（不寫作法，保留作圖痕跡）；性質(zhì)探究（2）在（1）中，求證：△DAB∽△DCA；知識(shí)運(yùn)用（3）如圖③，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)E，以D為圓心，DA為半徑的圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且與BD交于點(diǎn)F．①求證：點(diǎn)D是△ABE的邊BE上的“阿氏點(diǎn)”；②若BE，DE＝2，AE＝3，則⊙D和⊙O的半徑長(zhǎng)分別為，．Page專題21最值問(wèn)題中的阿氏圓模型【模型展示】特點(diǎn)“PA+k·PB”型的最值問(wèn)題是近幾年中考考查的熱點(diǎn)更是難點(diǎn)。當(dāng)k值為1時(shí)，即為“PA+PB”之和最短問(wèn)題，用“飲馬問(wèn)題”模型來(lái)處理，即可以轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱問(wèn)題來(lái)處理。當(dāng)k取不為1的正數(shù)時(shí)，再以常規(guī)的軸對(duì)稱思想來(lái)解決問(wèn)題，則無(wú)法進(jìn)行，因此必須轉(zhuǎn)換思路。此類問(wèn)題的處理通常以動(dòng)點(diǎn)P所在圖像的不同來(lái)分類：點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)和點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)。其中點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“胡不歸”問(wèn)題；點(diǎn)P在圓周上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“阿氏圓”問(wèn)題?！鞍⑹蠄A”又稱“阿波羅尼斯圓”，已知平面上兩點(diǎn)A、B，則所有滿足PA=k·PB（k≠1）的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”。如圖1所示，圓O的半徑為r，點(diǎn)A、B都在圓O外，P為圓O上一動(dòng)點(diǎn)，已知r=kOB，連接PA、PB，則當(dāng)“PA+kPB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？如圖2，在線段OB上截取OC使△BPO與△PCO相似，即k·PB=PC。故本題中“PA+k·PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值，其中A與C為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“PA+PC”值最小，如圖3一般將含有k的線段兩端點(diǎn)分別與圓心O相連，即連接OB、OP；計(jì)算出線段OP與OB及OP與OA的線段比，找到線段比為k的情況連接AC，與圓O的交點(diǎn)即為點(diǎn)P將圖2中△BPO單獨(dú)提取出，如圖4，△PCO∽△BPO（母子型相似模型）（構(gòu)造出△PCO∽△BPO，就可以得到OC/OP=OP/OB，進(jìn)而推出OP2=OB·OC，即“半徑的平方＝原有線段×構(gòu)造線段”，確定C的位置后，連接AC，求出AC的長(zhǎng)度“阿氏圓”即可破解）結(jié)論“PA+k·PB”型的最值【題型演練】一、單選題1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP，則AP＋BP的最小值為（

）A．7 B．5 C． D．【答案】B【詳解】思路引領(lǐng)：如圖，在CA上截取CM，使得CM＝1，連接PM，PC，BM．利用相似三角形的性質(zhì)證明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解決問(wèn)題．答案詳解：如圖，在CA上截取CM，使得CM＝1，連接PM，PC，BM．∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM?CA，∴，∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴，∴PMPA，∴AP+BP＝PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，∴BM5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值為5．故選：B．二、填空題2．如圖，在中，，以點(diǎn)B為圓心作圓B與相切，點(diǎn)P為圓B上任一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是___________．【答案】【分析】作BH⊥AC于H，取BC的中點(diǎn)D，連接PD，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得BH為⊙B的半徑，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BHAC，接著證明△BPD∽△BCP得到PDPC，所以PAPC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（當(dāng)且僅當(dāng)A、P、D共線時(shí)取等號(hào)），從而計(jì)算出AD得到PA的最小值．【詳解】解：作BH⊥AC于H，取BC的中點(diǎn)D，連接PD，如圖，∵AC為切線，∴BH為⊙B的半徑，∵∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，∴ACBA＝2，∴BHAC，∴BP，∵，，而∠PBD＝∠CBP，∴△BPD∽△BCP，∴，∴PDPC，∴PAPC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（當(dāng)且僅當(dāng)A、P、D共線時(shí)取等號(hào)），而AD，∴PA+PD的最小值為，即PA的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．解決問(wèn)題的關(guān)鍵是利用相似比確定線段PDPC．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．3．如圖，已知正方ABCD的邊長(zhǎng)為6，圓B的半徑為3，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_______．【答案】【分析】如圖，連接，在上取一點(diǎn)，使得，進(jìn)而證明,則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的任意時(shí)刻，均有PM=，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求PD-PM的最大值．連接PD，在△PDM中，PD-PM＜DM，故當(dāng)D、M、P共線時(shí)，PD-PM=DM為最大值，勾股定理即可求得．【詳解】如圖，連接，在上取一點(diǎn)，使得，，在△PDM中，PD-PM＜DM，當(dāng)D、M、P共線時(shí)，PD-PM=DM為最大值，四邊形是正方形在中，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，構(gòu)造是解題的關(guān)鍵．4．如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，則PA＋PB的最小值為________．【答案】【分析】PA＋PB＝（PA＋PB），利用相似三角形構(gòu)造PB即可解答．【詳解】解：設(shè)⊙O半徑為r，OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中點(diǎn)I，連接PI，∴OI＝IB＝，∵，，∴，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴，∴PI＝PB，∴AP＋PB＝AP＋PI，∴當(dāng)A、P、I在一條直線上時(shí)，AP＋PB最小，作IE⊥AB于E，∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB?BE＝3，∴AI＝，∴AP＋PB最小值＝AI＝，∵PA＋PB＝（PA＋PB），∴PA＋PB的最小值是AI＝．故答案是．【點(diǎn)睛】本題是“阿氏圓”問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形．5．【新知探究】新定義：平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,B，所有滿足k(k為定值)的P點(diǎn)形成的圖形是圓，我們把這種圓稱之為“阿氏圓”，【問(wèn)題解決】如圖，在△ABC中，CB4，AB2AC，則△ABC面積的最大值為_____．【答案】【分析】以A為頂點(diǎn)，AC為邊，在△ABC外部作∠CAP=∠ABC，AP與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，證出△APC∽△BPA，列出比例式可得BP=2AP，CP=AP，從而求出AP、BP和CP，即可求出點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡，最后找出距離BC最遠(yuǎn)的A點(diǎn)的位置即可求出結(jié)論．【詳解】解：以A為頂點(diǎn)，AC為邊，在△ABC外部作∠CAP=∠ABC，AP與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，∵∠APC=∠BPA，AB2AC∴△APC∽△BPA，∴∴BP=2AP，CP=AP∵BP－CP=BC=4∴2AP－AP=4解得：AP=∴BP=，CP=，即點(diǎn)P為定點(diǎn)∴點(diǎn)A的軌跡為以點(diǎn)P為圓心，為半徑的圓上，如下圖所示，過(guò)點(diǎn)P作BC的垂線，交圓P于點(diǎn)A1，此時(shí)A1到BC的距離最大，即△ABC的面積最大S△A1BC=BC·A1P=×4×=即△ABC面積的最大值為故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查的是相似三角形的判定及性質(zhì)、確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡和求三角形的面積，掌握相似三角形的判定及性質(zhì)、圓的定義和三角形的面積公式是解決此題的關(guān)鍵．6．如圖，在Rt中，AB＝AC＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是扇形AEF的上任意一點(diǎn)，連接BP，CP，則BP+CP的最小值是_____．【答案】．【分析】在AB上取一點(diǎn)T，使得AT＝1，連接PT，PA，CT．證明，推出＝＝，推出PT＝PB，推出PB+CP＝CP+PT，根據(jù)PC+PT≥TC，求出CT即可解決問(wèn)題．【詳解】解：在AB上取一點(diǎn)T，使得AT＝1，連接PT，PA，CT．∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，∴PA2＝AT?AB，∴＝，∵∠PAT＝∠PAB，∴，∴＝＝，∴PT＝PB，∴PB+CP＝CP+PT，∵PC+PT≥TC，在Rt中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，∴CT＝＝，∴PB+PC≥，∴PB+PC的最小值為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，三角形的三邊關(guān)系，圓的基本性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．7．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，⊙B的半徑為2，點(diǎn)P是⊙B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PD﹣PC的最大值為_____．【答案】5【詳解】分析:由PD?PC＝PD?PG≤DG，當(dāng)點(diǎn)P在DG的延長(zhǎng)線上時(shí)，PD?PC的值最大，最大值為DG＝5．詳解:在BC上取一點(diǎn)G，使得BG＝1，如圖，∵，，∴，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴，∴PG＝PC，當(dāng)點(diǎn)P在DG的延長(zhǎng)線上時(shí)，PD?PC的值最大，最大值為DG＝＝5．故答案為5點(diǎn)睛:本題考查圓綜合題、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短解決，題目比較難，屬于中考?jí)狠S題．8．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以點(diǎn)C為圓心，6為半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D.連接AD、BD、CD，則2AD+3BD的最小值是________.【答案】【分析】如下圖，在CA上取一點(diǎn)E，使得CE=4，先證△DCE∽△ACD，將轉(zhuǎn)化為DE，從而求得的最小距離，進(jìn)而得出2AD+3BD的最小值．【詳解】如下圖，在CA上取一點(diǎn)E，使得CE=4∵AC=9，CD=6，CE=4∴∵∠ECD=∠ACD∴△DCE∽△ACD∴∴ED=在△EDB中，ED+DB≥EB∴ED+DB最小為EB，即ED+DB=EB∴在Rt△ECB中，EB=∴∴2AD+3DB=故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求最值問(wèn)題，解題關(guān)鍵是構(gòu)造出△DCE∽△ACD．三、解答題9．如圖1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圓C的半徑為2，點(diǎn)P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，BP，求：①，②，③，④的最小值．【答案】①；②；③；④．【分析】①在CB上取點(diǎn)D，使，連接CP、DP、AD．根據(jù)作圖結(jié)合題意易證，即可得出，從而推出，說(shuō)明當(dāng)A、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值即為長(zhǎng)．最后在中，利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)即可；②由，即可求出結(jié)果；③在CA上取點(diǎn)E，使，連接CP、EP、BE．根據(jù)作圖結(jié)合題意易證，即可得出，從而推出，說(shuō)明當(dāng)B、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值即為長(zhǎng)．最后在中，利用勾股定理求出BE的長(zhǎng)即可；④由，即可求出結(jié)果．【詳解】解：①如圖，在CB上取點(diǎn)D，使，連接CP、DP、AD．∵，，，∴．又∵，∴，∴，即，∴，∴當(dāng)A、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值即為長(zhǎng)．∵在中，．∴的最小值為；②∵，∴的最小值為；③如圖，在CA上取點(diǎn)E，使，連接CP、EP、BE．∵，，，∴．又∵，∴，∴，即，∴，∴當(dāng)B、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值即為長(zhǎng)．∵在中，．∴的最小值為；④∵，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．正確的作出輔助線，并且理解三點(diǎn)共線時(shí)線段最短是解答本題的關(guān)鍵．10．如圖，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C為頂點(diǎn)的正方形CDEF（C、D、E、F四個(gè)頂點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校┛梢岳@點(diǎn)C自由轉(zhuǎn)動(dòng)，且CD＝，連接AF，BD（1）求證：△BDC≌△AFC（2）當(dāng)正方形CDEF有頂點(diǎn)在線段AB上時(shí)，直接寫出BD＋AD的值；（3）直接寫出正方形CDEF旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BD＋AD的最小值．【答案】（1）見解析；（2）或；（3）【分析】（1）利用SAS，即可證明△FCA≌△DCB；（2）分兩種情況當(dāng)點(diǎn)D，E在AB邊上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)在邊AB上時(shí)，討論即可求解；（3）取AC的中點(diǎn)M．連接DM，BM．則CM＝1，可證得△DCM∽△ACD，可得DM＝AD，從而得到當(dāng)B，D，M共線時(shí)，BD+AD的值最小，即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形CDEF是正方形，∴CF＝CD，∠DCF＝∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠DCB，∵AC＝CB，∴△FCA≌△DCB（SAS）；（2）解：①如圖2中，當(dāng)點(diǎn)D，E在AB邊上時(shí)，∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴，∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝，∴BD+AD＝；②如圖3中，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)在邊AB上時(shí)．BD＝CF＝，AD＝＝，∴BD+AD＝，綜上所述，BD＋AD的值或；（3）如圖4中．取AC的中點(diǎn)M．連接DM，BM．則CM＝1，∵CD＝，CM＝1，CA＝2，∴CD2＝CM?CA，∴＝，∵∠DCM＝∠ACD，∴△DCM∽△ACD，∴＝＝，∴DM＝AD，∴BD+AD＝BD+DM，∴當(dāng)B，D，M共線時(shí)，BD+AD的值最小，最小值．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．11．如圖，點(diǎn)A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)D在OB上，且OD＝4，動(dòng)點(diǎn)P在上．求2PC＋PD的最小值．【答案】【分析】連接OP，在射線OA上截取AE=6，連接PE．由題意易證，即得出，從而得出，由此可知當(dāng)P、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為DE的長(zhǎng)，最后在中利用勾股定理求出DE的長(zhǎng)即可．【詳解】如圖，連接OP，在射線OA上截取AE=6，連接PE．∵C是OA的中點(diǎn)，∴．∴在△OPC和△OEP中，，∴，∴，即，∴，.∴當(dāng)P、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值即為DE的長(zhǎng)，如圖，在中，，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查同圓半徑相等、三角形相似的判定和性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)．正確作出輔助線并理解當(dāng)P、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為DE的長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵．12．婆羅摩芨多是公元7世紀(jì)古印度偉大的數(shù)學(xué)家，他在三角形、四邊形、零和負(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，二次方程等方面均有建樹，他也研究過(guò)對(duì)角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形，我們把這類對(duì)角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形稱為“婆氏四邊形”．（1）若平行四邊形ABCD是“婆氏四邊形”，則四邊形ABCD是．（填序號(hào)）①矩形；②菱形；③正方形（2）如圖1，RtABC中，∠BAC=90°，以AB為弦的⊙O交AC于D，交BC于E，連接DE、AE、BD，AB=6，，若四邊形ABED是“婆氏四邊形”，求DE的長(zhǎng)．（3）如圖2，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知∠BOC+∠AOD=180°．①求證：四邊形ABCD是“婆氏四邊形”；②當(dāng)AD+BC=4時(shí)，求⊙O半徑的最小值．【答案】（1）③；（2）3；（3）①見解析；②【分析】（1）根本圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)和平行四邊形對(duì)角相等可得∠ABC=∠ADC=90°，從而可證明四邊形ABCD為矩形，再根據(jù)對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形即可判斷；（2）根據(jù)垂徑定理和圓周角定理可得AD=DE，∠DEB=∠DEC=90°，設(shè)AD=DE=m，則DC=8-m，EC=10-6=4，在Rt△DEC中解直角三角形即可；（3）①根據(jù)圓周角定理即可得出，從而可得∠CED=90°，繼而證明結(jié)論；②作OM，ON分別垂直與AD，BC，證明△OAM≌△BON，設(shè)，則，，，在Rt△BON中，根據(jù)勾股定理和二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出半徑的最小值．【詳解】解：（1）如下圖，∵平行四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ABC=∠ADC，∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴平行四邊形ABCD為矩形，∵四邊形ABCD是“婆氏四邊形”，∴AC⊥BD，∴矩形ABCD為正方形，故答案為：③；（2）∵∠BAC=90°，AB=6，，∴，,BD為直徑，∴∠BED=∠DEC=90°，∵四邊形ABED是“婆氏四邊形”，∴AE⊥BD，∴AD=DE，AB=BE=6，設(shè)AD=DE=m，則DC=8-m，EC=10-6=4，在Rt△EDC中，根據(jù)勾股定理,,即，解得，即DE=3；（3）①設(shè)AC，BD相交于點(diǎn)E如圖所示∵，，∠BOC+∠AOD=180°，∴，∴∠CED=90°，即AC⊥BD，又∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴四邊形ABCD是“婆氏四邊形”；②如下圖，作OM，ON分別垂直與AD，BC，∴，，∠AMO=∠BNO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，∵OA=OB=OC=OD，∴,，∵∠BOC+∠AOD=180°，∴，∴，在△OAM和△BON中∵∴△OAM≌△BON（AAS），∴，∵AD+BC=4設(shè)，則，，，在Rt△BON中，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，即⊙O半徑的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、垂徑定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的判定定理、二次函數(shù)的性質(zhì)等．（1）中能正確證明出四邊形的一個(gè)角是90°是解題關(guān)鍵；（2）中能正確表示出Rt△EDC的三個(gè)邊是解題關(guān)鍵；（3）中①正確利用圓周角定理是解題關(guān)鍵；②正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．13．閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)任務(wù)．阿波羅尼斯（ApolloniusofPerga），古希臘人（公元前262~190年），數(shù)學(xué)家，寫了八冊(cè)圓錐曲線論著，其中有七冊(cè)流傳下來(lái)，書中詳細(xì)討論了圓錐曲線的各種性質(zhì)，阿波羅尼斯圓是他的論著中一個(gè)著名的問(wèn)題．一動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比等于定比，則點(diǎn)的軌跡是以定比內(nèi)分和外分線段的兩個(gè)分點(diǎn)的連線為直徑的圓，這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱“阿氏圓”．如圖1，點(diǎn)，為兩定點(diǎn)，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，滿足，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上且，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為直徑的圓．下面是“阿氏圓”的證明過(guò)程（部分）：過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．∴，．∴．∴．又∵，∴．∴．∴．∴．如圖2，在圖1（隱去，）的基礎(chǔ)上過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，可知，……任務(wù)：（1）判斷是否平分，并說(shuō)明理由；（2）請(qǐng)根據(jù)上面的部分證明及任務(wù)（1）中的結(jié)論，完成“阿氏圓”證明的剩余部分；（3）應(yīng)用：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，則點(diǎn)所在圓的圓心坐標(biāo)為________．【答案】（1）平分．理由見解析；（2）點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為直徑的圓，見解析；（3）【分析】（1）利用相似三角形的判定及性質(zhì)仿照?qǐng)D1的證明即可得證；（2）根據(jù)90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑即可證得點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為直徑的圓；（3）結(jié)合題目所給的材料分別求得AB的內(nèi)分點(diǎn)和外分點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得點(diǎn)所在圓的圓心坐標(biāo)．【詳解】解：（1）平分．理由如下：∵，，∴．∴．∴．∵，∴，．∴，即平分．（2）∵，，且，∴．∴為直徑．∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為直徑的圓．（3）∵，，∴AB＝3，且AO＝2OB，∵，∴點(diǎn)O為AB的內(nèi)分點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C為AB的外分點(diǎn)時(shí)，CA＝2CB，∴CB＝AB＝3，∴OC＝OB+BC＝4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），∴點(diǎn)所在圓的圓心坐標(biāo)為（2，0）．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，直徑的判定，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．14．如圖1，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線的對(duì)稱軸是直線．(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)是直線下方的拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使四邊形的面積為16，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖2，過(guò)點(diǎn)作交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，2為半徑作，點(diǎn)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線的對(duì)稱軸是直線．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可，（2）先求得直線解析式，設(shè)，則，過(guò)點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，根據(jù)等于16建立方程，解一元二次方程即可求得的值，然后求得的坐標(biāo)，（3）在上取，過(guò)點(diǎn)作，構(gòu)造，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小值為，勾股定理解直角三形即可．（1）解：∵拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線的對(duì)稱軸是直線，∴，，解得，拋物線解析式為：，（2）當(dāng)，即，解得，，，設(shè)直線解析式為，，解得，直線解析式為，設(shè)，過(guò)點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，則，，四邊形的面積為16，，解得，或，（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，2為半徑作，是拋物線的對(duì)稱軸，，，，，，，在上取，過(guò)點(diǎn)作，交軸于點(diǎn)，交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)，則，，，，，，，，，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小值為，．則的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)與相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．15．如圖1所示，⊙O的半徑為r，點(diǎn)A、B都在⊙O外，P為⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，已知r＝k·OB．連接PA、PB，則當(dāng)“PA＋k·PB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？【答案】見解析【詳解】1：連接動(dòng)點(diǎn)至圓心0（將系數(shù)不為1的線段兩端點(diǎn)分別與圓心相連接），即連接OP、OB；2：計(jì)算連接線段OP、OB長(zhǎng)度；3：計(jì)算兩線段長(zhǎng)度的比值；4：在OB上截取一點(diǎn)C，使得構(gòu)建母子型相似：5：連接AC，與圓0交點(diǎn)為P，即AC線段長(zhǎng)為PA＋K*PB的最小值．本題的關(guān)鍵在于如何確定“k·PB”的大小，（如圖2）在線段OB上截取OC使OC＝k·r，則可說(shuō)明△BPO與△PCO相似，即k·PB＝PC．∴本題求“PA＋k·PB”的最小值轉(zhuǎn)化為求“PA＋PC”的最小值，即A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)最?。ㄈ鐖D3），時(shí)AC線段長(zhǎng)即所求最小值．16．問(wèn)題提出：如圖①，在中，，，，⊙C的半徑為2，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP，求的最小值．（1）嘗試解決：為了解決這個(gè)問(wèn)題，下面給出一種解題思路：如圖①，連接CP，在CB上取一點(diǎn)D，使，則．又，所以∽．所以．所以，所以．請(qǐng)你完成余下的思考，并直接寫出答案：的最小值為________；（2）自主探索：在“問(wèn)題提出”的條件不變的前提下，求的最小值；（3）拓展延伸：如圖②，已知在扇形COD中，，，，，P是上一點(diǎn)，求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）13．【分析】（1）根據(jù)題意可知最小值為AD長(zhǎng)度，利用勾股定理即可求出AD長(zhǎng)度．（2）連接CP，在CA上取一點(diǎn)D，使，即可證明∽，得到，即，所以的最小值為BD長(zhǎng)度，利用勾股定理即可求出BD長(zhǎng)度．（3）延長(zhǎng)OC到E，使，連接PE，OP，即可證明∽，得到，即，所以的最小值為BE長(zhǎng)度，利用勾股定理即可求出BE長(zhǎng)度．【詳解】（1）根據(jù)題意可知，當(dāng)A、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值．故答案為：．（2）連接CP，在CA上取一點(diǎn)D，使，則有，∵，∴∽，得，∴，故，僅當(dāng)B、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，的最小值．（3）延長(zhǎng)OC到E，使，連接PE，OP，則，∵，∴∽，∴，∴，∴，僅當(dāng)E、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，，即的最小值為13．【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)閱讀材料的思路構(gòu)造出∽和∽是解題的關(guān)鍵．本題較難．17．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣5x+5與x軸，y軸分別交于A，C兩點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B（1）求拋物線解析式及B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)M為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接MA、MB、BC，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，四邊形AMBC面積最大，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及四邊形AMBC的面積；（3）如圖2，若P點(diǎn)是半徑為2的⊙B上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PA，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，PC+PA的值最小，請(qǐng)求出這個(gè)最小值，并說(shuō)明理由．【答案】（1）y＝x2﹣6x+5，B（5，0）；（2）當(dāng)M（3，﹣4）時(shí)，四邊形AMBC面積最大，最大面積等于18；（3）PC+PA的最小值為，理由詳見解析.【分析】（1）由直線y＝﹣5x+5求點(diǎn)A、C坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求拋物線解析式，進(jìn)而求得點(diǎn)B坐標(biāo)．（2）從x軸把四邊形AMBC分成△ABC與△ABM；由點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)求△ABC面積；設(shè)點(diǎn)M橫坐標(biāo)為m，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線段MH，則能用m表示MH的長(zhǎng)，進(jìn)而求△ABM的面積，得到△ABM面積與m的二次函數(shù)關(guān)系式，且對(duì)應(yīng)的a值小于0，配方即求得m為何值時(shí)取得最大值，進(jìn)而求點(diǎn)M坐標(biāo)和四邊形AMBC的面積最大值．（3）作點(diǎn)D坐標(biāo)為（4，0），可得BD＝1，進(jìn)而有，再加上公共角∠PBD＝∠ABP，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等可證△PBD∽△ABP，得等于相似比，進(jìn)而得PD＝AP，所以當(dāng)C、P、D在同一直線上時(shí)，PC+PA＝PC+PD＝CD最?。脙牲c(diǎn)間距離公式即求得CD的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）直線y＝﹣5x+5，x＝0時(shí)，y＝5∴C（0，5）y＝﹣5x+5＝0時(shí)，解得：x＝1∴A（1，0）∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)∴

解得：∴拋物線解析式為y＝x2﹣6x+5當(dāng)y＝x2﹣6x+5＝0時(shí)，解得：x1＝1，x2＝5∴B（5，0）（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥x軸于點(diǎn)H∵A（1，0），B（5，0），C（0，5）∴AB＝5﹣1＝4，OC＝5∴S△ABC＝AB?OC＝×4×5＝10∵點(diǎn)M為x軸下方拋物線上的點(diǎn)∴設(shè)M（m，m2﹣6m+5）（1＜m＜5）∴MH＝|m2﹣6m+5|＝﹣m2+6m﹣5∴S△ABM＝AB?MH＝×4（﹣m2+6m﹣5）＝﹣2m2+12m﹣10＝﹣2（m﹣3）2+8∴S四邊形AMBC＝S△ABC+S△ABM＝10+[﹣2（m﹣3）2+8]＝﹣2（m﹣3）2+18∴當(dāng)m＝3，即M（3，﹣4）時(shí)，四邊形AMBC面積最大，最大面積等于18（3）如圖2，在x軸上取點(diǎn)D（4，0），連接PD、CD∴BD＝5﹣4＝1∵AB＝4，BP＝2∴∵∠PBD＝∠ABP∴△PBD∽△ABP∴∴PD＝AP∴PC+PA＝PC+PD∴當(dāng)點(diǎn)C、P、D在同一直線上時(shí)，PC+PA＝PC+PD＝CD最小∵CD＝∴PC+PA的最小值為【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的性質(zhì)、圓的性質(zhì)及相似三角形的判斷與性質(zhì).18．如圖，拋物線與軸交于，，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，且，的平分線交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是軸下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，交直線于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，求的值；（3）當(dāng)直線為拋物線的對(duì)稱軸時(shí)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作，點(diǎn)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．【答案】（1）yx2x﹣3；（2）；（3）．【分析】對(duì)于（1），結(jié)合已知先求出點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可；對(duì)于（2），在Rt△OAC中，利用三角函數(shù)的知識(shí)求出∠OAC的度數(shù)，再利用角平分線的定義求出∠OAD的度數(shù)，進(jìn)而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；接下來(lái)求出直線AD的解析式，表示出點(diǎn)P，H，F(xiàn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式可完成解答；對(duì)于（3），首先求出⊙H的半徑，在HA上取一點(diǎn)K，使得HK=14，此時(shí)K（-，）；然后由HQ2=HK·HA，得到△QHK∽△AHQ，再利用相似三角形的性質(zhì)求出KQ=AQ，進(jìn)而可得當(dāng)E、Q、K共線時(shí)，AQ+EQ的值最小，據(jù)此解答.【詳解】（1）由題意A（，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+3）（x），把C（0，﹣3）代入得到a，∴拋物線的解析式為yx2x﹣3．（2）在Rt△AOC中，tan∠OAC，∴∠OAC＝60°．∵AD平分∠OAC，∴∠OAD＝30°，∴OD＝OA?tan30°＝1，∴D（0，﹣1），∴直線AD的解析式為yx﹣1，由題意P（m，m2m﹣3），H（m，m﹣1），F(xiàn)（m，0）．∵FH＝PH，∴1m﹣1﹣（m2m﹣3）解得m或（舍棄），∴當(dāng)FH＝HP時(shí)，m的值為．（3）如圖，∵PF是對(duì)稱軸，∴F（，0），H（，﹣2）．∵AH⊥AE，∴∠EAO＝60°，∴EOOA＝3，∴E（0，3）．∵C（0，﹣3），∴HC2，AH＝2FH＝4，∴QHCH＝1，在HA上取一點(diǎn)K，使得HK，此時(shí)K（）．∵HQ2＝1，HK?HA＝1，∴HQ2＝HK?HA，∴．∵∠QHK＝∠AHQ，∴△QHK∽△AHQ，∴，∴KQAQ，∴AQ+QE＝KQ+EQ，∴當(dāng)E、Q、K共線時(shí)，AQ+QE的值最小，最小值．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例、兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是本題解題的關(guān)鍵.19．閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù).已知平面上