中考數(shù)學(xué)幾何專項(xiàng)沖刺專題13幾何變換之翻折（軸對(duì)稱）鞏固練習(xí)（提優(yōu)）含答案及解析

幾何變換之翻折（軸對(duì)稱）鞏固練習(xí)1．已知，在10×10網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，△ABC是格點(diǎn)三角形（三角形的頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)）．（1）面出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1；（2）畫出△A1B1C1向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到的△A2B2C2；若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），請(qǐng)直接寫出B2的坐標(biāo)．2．如圖，直線m是△ABC中BC邊的垂直平分線，點(diǎn)P是直線m上的一動(dòng)點(diǎn)，若AB＝6，AC＝4，BC＝7，（1）求PA+PB的最小值，并說(shuō)明理由；（2）求△APC周長(zhǎng)的最小值．3．如圖，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M，連接MB．（1）若∠ABC＝70°，則∠MNA的度數(shù)是．（2）若AB＝8cm，△MBC的周長(zhǎng)是14cm．①求BC的長(zhǎng)度；②若點(diǎn)P為直線MN上一點(diǎn)，請(qǐng)你直接寫出△PBC周長(zhǎng)的最小值．4．如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱的點(diǎn)為E，點(diǎn)P是直線EB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，作∠APQ＝60°，交射線BC于點(diǎn)Q．（1）如圖1，連接AQ，求證：△APQ為等邊三角形；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段EB延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)你補(bǔ)全圖形，并寫出線段BQ、AB、BP之間的數(shù)量關(guān)系（無(wú)需證明）．5．國(guó)慶期間，廣場(chǎng)上對(duì)一片花圃做了美化造型（如圖所示），整個(gè)造型構(gòu)成花的形狀．造型平面呈軸對(duì)稱，其正中間“花蕊”部分（區(qū)域①）擺放紅花，兩邊“花瓣”部分（區(qū)域②）擺放黃花．（1）兩邊“花瓣”部分（區(qū)域②）的面積是．（用含a的代數(shù)式表示）（2）已知a＝2米，紅花價(jià)格為220元/平方米，黃花價(jià)格為180元/平方米，求整個(gè)造型的造價(jià)（π取3）．6．如圖，在?ABCD中，AD的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，AD與BE相交于點(diǎn)O，連接AE，BD．（1）求證：四邊形ABDE為菱形；（2）若AD＝8，問(wèn)在BC上是否存在點(diǎn)P，使得PE+PD最?。咳舸嬖冢缶€段BP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在長(zhǎng)方形內(nèi)點(diǎn)F處，連接DF，且DF＝6．（1）求證：AF⊥DF．（2）求BE的長(zhǎng)．8．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°．D是邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為E，連接EC并延長(zhǎng)EC至點(diǎn)F，且CF＝EC．連接AE，BF．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）猜想線段AB，AE，BF的數(shù)量關(guān)系并證明．9．如圖，在△ABC中．AB＝AC，點(diǎn)E在線段BC上，連接AE并延長(zhǎng)到G，使得EG＝AE，過(guò)點(diǎn)G作GD∥BA分別交BC，AC于點(diǎn)F，D．（1）求證：△ABE≌△GFE；（2）若GD＝3，CD＝1，求AB的長(zhǎng)度；（3）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H，P是直線DH上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AF，AP，F(xiàn)P，若∠C＝45°，在（2）的條件下，求△AFP周長(zhǎng)的最小值．10．如圖，在直角坐標(biāo)系中，A（5，0），B（3，4），C（0，4），點(diǎn)D在OA上，∠ABD＝∠1，BH⊥OA于H．（1）判斷△OAB的形狀，并說(shuō)明理由．（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)．（3）若P是BH上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PCD的周長(zhǎng)最小時(shí)，求△PCD的面積．11．如圖，AC為矩形ABCD的對(duì)角線，將邊AB沿AE折疊，使點(diǎn)B落在AC上的點(diǎn)M處，將邊CD沿CF折疊，使點(diǎn)D落在AC上的點(diǎn)N處．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）若AB＝6，AC＝10，求四邊形AECF的面積及AE與CF之間的距離．12．問(wèn)題提出：（1）如圖①，在△ABC中，AD是ABC邊BC的高，點(diǎn)E是BC上任意點(diǎn)，若AD＝3，則AE的最小值為；（2）如圖②，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE是AC的垂直平分線，分別交BC、AC于點(diǎn)D、E，DE＝1cm，求△ABD的周長(zhǎng)；問(wèn)題解決：（3）如圖③，某公園管理員擬在園內(nèi)規(guī)劃一個(gè)△ABC區(qū)域種植花卉，且為方便游客游覽，欲在各頂點(diǎn)之間規(guī)劃道路AB、BC和AC，滿足∠BAC＝90°，點(diǎn)A到BC的距離為2km．為了節(jié)約成本，要使得AB、BC、AC之和最短，試求AB+BC+AC的最小值（路寬忽略不計(jì)）．幾何變換之翻折（軸對(duì)稱）鞏固練習(xí)1．已知，在10×10網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，△ABC是格點(diǎn)三角形（三角形的頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)）．（1）面出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1；（2）畫出△A1B1C1向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到的△A2B2C2；若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），請(qǐng)直接寫出B2的坐標(biāo)．【分析】（1）分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1即可．（2）分別作出點(diǎn)A1，B1，C1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2，B2，C2即可．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．（2）如圖，△A2B2C2即為所求．B2（﹣4，﹣3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣軸對(duì)稱變換，平移變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．2．如圖，直線m是△ABC中BC邊的垂直平分線，點(diǎn)P是直線m上的一動(dòng)點(diǎn)，若AB＝6，AC＝4，BC＝7，（1）求PA+PB的最小值，并說(shuō)明理由；（2）求△APC周長(zhǎng)的最小值．【分析】（1）根據(jù)線段的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意知點(diǎn)C關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，故當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，AP+CP值的最小，求出AB長(zhǎng)度即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）PA+PB＝AB＝6；原因：兩點(diǎn)之間，線段最短；（2）∵m是BC的垂直平分線，點(diǎn)P在m上，∴點(diǎn)C關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)B且PB＝PC，∵C△ABC＝AP+PC+AC，∵AC＝4，要使△APC周長(zhǎng)最小，即AP+PC最小，當(dāng)點(diǎn)P是m與AB的交點(diǎn)時(shí)，PA+PB最小，即PA+PB＝AB，此時(shí)C△ABC＝AB+AC＝6+4＝10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是找出P的位置．3．如圖，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M，連接MB．（1）若∠ABC＝70°，則∠MNA的度數(shù)是50°．（2）若AB＝8cm，△MBC的周長(zhǎng)是14cm．①求BC的長(zhǎng)度；②若點(diǎn)P為直線MN上一點(diǎn)，請(qǐng)你直接寫出△PBC周長(zhǎng)的最小值．【分析】（1）依據(jù)△ABC是等腰三角形，即可得到∠ACB的度數(shù)以及∠A的度數(shù)，再根據(jù)MN是垂直平分線，即可得到∠ANM的度數(shù)，進(jìn)而得出∠AMN的度數(shù)；（2）①依據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，即可得到AM＝BM，進(jìn)而得出△BCM的周長(zhǎng)＝AC+BC，再根據(jù)AB＝AC＝8cm，△MBC的周長(zhǎng)是14cm，即可得到BC的長(zhǎng)；②依據(jù)PB+PC＝PA+PC，PA+PC≥AC，即可得到當(dāng)P與M重合時(shí)，PA+PC＝AC，此時(shí)PB+PC最小，進(jìn)而得出△PBC的周長(zhǎng)最小值．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝70°，∴∠A＝40°，∵AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)N，∴∠ANM＝90°，∴∠NMA＝50°，故答案為：50°；（2）①∵M(jìn)N是AB的垂直平分線，∴AM＝BM，∴△BCM的周長(zhǎng)＝BM+CM+BC＝AM+MC+BC＝AC+BC，∵AB＝AC＝8cm，△MBC的周長(zhǎng)是14cm，∴BC＝14﹣8＝6（cm）；②當(dāng)P與M重合時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最?。碛桑骸逷B+PC＝PA+PC，PA+PC≥AC，∴當(dāng)P與M重合時(shí)，PA+PC＝AC，此時(shí)PB+PC最小值等于AC的長(zhǎng)，∴△PBC的周長(zhǎng)最小值＝AC+BC＝8+6＝14（cm）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了最短路線問(wèn)題以及等腰三角形的性質(zhì)，凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．4．如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱的點(diǎn)為E，點(diǎn)P是直線EB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，作∠APQ＝60°，交射線BC于點(diǎn)Q．（1）如圖1，連接AQ，求證：△APQ為等邊三角形；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段EB延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)你補(bǔ)全圖形，并寫出線段BQ、AB、BP之間的數(shù)量關(guān)系（無(wú)需證明）．【分析】（1）如圖1中，作∠BPF＝60°交AB于點(diǎn)F，連接AQ．證明△PBQ≌△PFA（ASA），可得結(jié)論．（2）結(jié)論：BQ＝BP+AB．如圖2中，在BD上取一點(diǎn)F，使得BF＝PB，連接AQ．證明△BPA≌△FPQ（SAS），推出AB＝QF，可得結(jié)論．【解答】（1）證明：如圖1中，作∠BPF＝60°交AB于點(diǎn)F，連接AQ．∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∵點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱，∴∠EBA＝∠CBA＝60°＝∠BPF，∴∠PFB＝60°．∴△PBF是等邊三角形，∴PB＝PF，AFP＝120°＝∠PBQ．∵∠BPQ+∠QPF＝60°，∠APF+∠QPF＝60°，∴∠BPQ＝∠APF，在△PBQ和△PFA中，∠BPQ=∠APFPB=PF∴△PBQ≌△PFA（ASA），∴PQ＝PA，∵∠APQ＝60°，∴△APQ是等邊三角形．（2）解：補(bǔ)全圖形，如圖2所示：②解：結(jié)論：BQ＝BP+AB．理由：如圖3中，在BD上取一點(diǎn)F，使得BF＝PB，連接AQ．∵∠FBP＝60°，BF＝BP，∴△FBP是等邊三角形，∴∠BPF＝∠APQ＝60°，∴∠APB＝∠FPQ，∵PB＝PF，PA＝PQ，∴△BPA≌△FPQ（SAS），∴AB＝QF，∴BQ＝BF+FQ＝BP+AB．【點(diǎn)評(píng)】考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．5．國(guó)慶期間，廣場(chǎng)上對(duì)一片花圃做了美化造型（如圖所示），整個(gè)造型構(gòu)成花的形狀．造型平面呈軸對(duì)稱，其正中間“花蕊”部分（區(qū)域①）擺放紅花，兩邊“花瓣”部分（區(qū)域②）擺放黃花．（1）兩邊“花瓣”部分（區(qū)域②）的面積是2a2+π2?a2．（用含（2）已知a＝2米，紅花價(jià)格為220元/平方米，黃花價(jià)格為180元/平方米，求整個(gè)造型的造價(jià)（π取3）．【分析】（1）區(qū)域②的面積＝三個(gè)正方形的面積+應(yīng)該半圓的面積．（2）分別求出區(qū)域①，②的面積，再乘以單價(jià)即可．【解答】解：（1）區(qū)域②的面積＝2a2+12?π?a2＝2a2+π2故答案為：2a2+π2?a（2）整個(gè)造型的造價(jià)：220（2×22?π2×22）+180（2×22+12【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱，正方形的性質(zhì)，代數(shù)式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．6．如圖，在?ABCD中，AD的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，AD與BE相交于點(diǎn)O，連接AE，BD．（1）求證：四邊形ABDE為菱形；（2）若AD＝8，問(wèn)在BC上是否存在點(diǎn)P，使得PE+PD最??？若存在，求線段BP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)題意得出AO＝DO，AD⊥BE．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB∥CD．即可得出∠ABE＝∠BED．從而證得△AOB≌△DOE（AAS），得到BO＝EO．即可證得四邊形ABDE是平行四邊形．由AD⊥BE，證得四邊形ABDE是菱形；（2）作點(diǎn)D關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D'，DD′交BC于點(diǎn)G，延長(zhǎng)EB，過(guò)D'作DM⊥BE于點(diǎn)M，連接ED'交BC于點(diǎn)P，此時(shí)PD+PE最小；根據(jù)題意得到BO＝DG．BM＝GD．即可得到MD'＝DO=12AD＝4．進(jìn)一步得到BO＝EO＝BM．通過(guò)證得△BEP∽△MED′，得到BPMD'=【解答】（1）證明：∵BE垂直平分AD，.∴AO＝DO，AD⊥BE．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD．∴∠ABE＝∠BED．∵∠AOB＝∠DOE，又AO＝DO，∴△AOB≌△DOE（AAS），∴BO＝EO．又AO＝DO，∴四邊形ABDE是平行四邊形．∵AD⊥BE，∴四邊形ABDE是菱形；（2）解：如圖所示：作點(diǎn)D關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D'，DD′交BC于點(diǎn)G，延長(zhǎng)EB，過(guò)D'作DM⊥BE于點(diǎn)M，連接ED'交BC于點(diǎn)P，此時(shí)PD+PE最??；∵∠B0D＝∠OBC＝∠BGD＝90°，∴四邊形ODGB是矩形．∴BO＝DG．同理BM＝GD．∴MD'＝DO=12又BO＝EO，∴BO＝EO＝BM．∵∠EBP＝∠M＝90°，∠BEP＝∠MED'，∴△BEP∽△MED′，∴BPMD'∴BP4=23【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角形求得的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在長(zhǎng)方形內(nèi)點(diǎn)F處，連接DF，且DF＝6．（1）求證：AF⊥DF．（2）求BE的長(zhǎng)．【分析】（1）由折疊的性質(zhì)和勾股定理的逆定理證出△ADF是直角三角形即可；（2）設(shè)BE＝x，則EF＝x，DE＝6+x，EC＝10﹣x，在Rt△DCE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】（1）證明：∵將△ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在長(zhǎng)方形內(nèi)點(diǎn)F處，∴AF＝AB＝8，∵AF2+DF2＝62+82＝100＝102＝AD2，∴△ADF是直角三角形，∠AFD＝90°∴AF⊥DF；（2）解：由折疊的性質(zhì)得：BE＝FE，∠B＝∠AFE＝90°，又∵∠AFD＝90°，∴∠AFE+∠AFD＝180°，∴點(diǎn)D，F(xiàn)，E在一條直線上，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝10，CD＝AB＝8，∠C＝90°，設(shè)BE＝x，則EF＝x，DE＝6+x，EC＝10﹣x，在Rt△DCE中，由勾股定理得：CE2+CD2＝DE2，即（10﹣x）2+82＝（6+x）2．解得：x＝4．∴BE＝4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)和勾股定理以及逆定理是解題的關(guān)鍵．8．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°．D是邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為E，連接EC并延長(zhǎng)EC至點(diǎn)F，且CF＝EC．連接AE，BF．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）猜想線段AB，AE，BF的數(shù)量關(guān)系并證明．【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形即可．（2）結(jié)論：AB＝AE+BF．想辦法證明AD＝AE，BD＝BF即可．【解答】解：（1）圖形如圖所示：（2）結(jié)論：AB＝AE+BF．理由：∵D，E關(guān)于AC對(duì)稱，∴DE⊥AC，CE＝CD，AE＝AD，∵EC＝CF，∴CD＝CE＝CF，∴∠EDF＝90°，∴ED⊥FD，∴AC∥DF，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∴DF⊥BC，∵CD＝CF，∴CB垂直平分線段DF，∴BD＝BF，∵AB＝AD+BD，AD＝AE，BD＝BF，∴AB＝AE+BF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣軸對(duì)稱變換，線段的垂直平分線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．9．如圖，在△ABC中．AB＝AC，點(diǎn)E在線段BC上，連接AE并延長(zhǎng)到G，使得EG＝AE，過(guò)點(diǎn)G作GD∥BA分別交BC，AC于點(diǎn)F，D．（1）求證：△ABE≌△GFE；（2）若GD＝3，CD＝1，求AB的長(zhǎng)度；（3）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H，P是直線DH上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AF，AP，F(xiàn)P，若∠C＝45°，在（2）的條件下，求△AFP周長(zhǎng)的最小值．【分析】（1）根據(jù)AAS證明三角形全等即可．（2）求出FG的長(zhǎng)，利用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．（3）證明點(diǎn)F與點(diǎn)C關(guān)于直線PD對(duì)稱，推出當(dāng)點(diǎn)P與D重合時(shí)，△PAF的周長(zhǎng)最小，最小值＝△ADF的周長(zhǎng)．【解答】（1）證明：如圖1中，∵GD∥AB，∴∠B＝∠EFG，在△ABE和△GFE中，∠B=∠EFG∠AEB=∠GEF∴△ABE≌△GFE（AAS）．（2）解：如圖1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵DF∥AB，∴∠DFC＝∠B，∴∠DFC＝∠DCF，∴DC＝DF＝1，∵DG＝3，∴FG＝DG﹣DF＝2，∵△ABE≌△GFE，∴AB＝GF＝2．（3）解：如圖2中，∵AB＝AC＝2，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠BAC＝90°，∵AB∥FD，∴∠FDC＝∠BAC＝90°，即FD⊥AC∵AC＝AB＝2，CD＝1，∴DA＝DC，∴FA＝FC，∴∠C＝∠FAC＝45°，∴∠AFC＝90°，∴DF＝DA＝DC＝1，∴AF=2∵DH⊥CF，∴FH＝CH，∴點(diǎn)F與點(diǎn)C關(guān)于直線PD對(duì)稱，∴當(dāng)點(diǎn)P與D重合時(shí)，△PAF的周長(zhǎng)最小，最小值＝△ADF的周長(zhǎng)＝2+2【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱最短問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．10．如圖，在直角坐標(biāo)系中，A（5，0），B（3，4），C（0，4），點(diǎn)D在OA上，∠ABD＝∠1，BH⊥OA于H．（1）判斷△OAB的形狀，并說(shuō)明理由．（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)．（3）若P是BH上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PCD的周長(zhǎng)最小時(shí)，求△PCD的面積．【分析】（1）依據(jù)勾股定理即可得到OB的長(zhǎng)，依據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)即可得到OA的長(zhǎng)，進(jìn)而得出△AOB是等腰三角形；（2）依據(jù)四邊形BCOH是矩形，即可得到OH＝BC＝3，進(jìn)而得出AH＝AO﹣HO＝2，再根據(jù)△ABD是等腰三角形，即可得到DH的長(zhǎng)，進(jìn)而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）連接AC，交BH于P，連接PD，依據(jù)PD＝PA，可得PC+PD+CD＝PC+PA+CD＝AC+CD，此時(shí)，△PCD的周長(zhǎng)最小，求得PH=85，再根據(jù)S△PCD＝S梯形PHOC﹣S△COD﹣S△【解答】解：（1）△AOB是等腰三角形，理由如下：∵B（3，4），C（0，4），∴BC∥OA，OC＝4，∴Rt△BOC中，OB=3∵A（5，0），∴OA＝5，∴OA＝OB，即△AOB的等腰三角形；（2）如圖1，∵BH⊥AO，BC∥OA，∴∠BHO＝90°＝∠COH＝∠BCO，∴四邊形BCOH是矩形，∴OH＝BC＝3，∴AH＝AO﹣HO＝2，∵∠ABD＝∠1，∴∠ABO＝∠CBD，由BC∥AO可得∠3＝∠CBD，由（1）可得∠2＝∠ABO，∴∠3＝∠2，∴AB＝DB，∴AH＝DH＝2，∴OD＝OH﹣DH＝3﹣2＝1，∴D（1，0）；（3）如圖2，連接AC，交BH于P，連接PD，由（2）可得，PD＝PA，∴PC+PD+CD＝PC+PA+CD＝AC+CD，此時(shí)，△PCD的周長(zhǎng)最小，設(shè)AC的解析式為y＝kx+b（k≠0），把A（5，0），C（0，4）代入可得，0=5k+b4=b解得k=?∴直線AC的解析式為y=?4當(dāng)x＝3時(shí)，y=8∴P（3，85），即PH=∴S△PCD＝S梯形PHOC﹣S△COD﹣S△PHD=(=425?=24【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理、三角形的面積以及最短路線問(wèn)題，凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．11．如圖，AC為矩形ABCD的對(duì)角線，將邊AB沿AE折疊，使點(diǎn)B落在AC上的點(diǎn)M處，將邊CD沿CF折疊，使點(diǎn)D落在AC上的點(diǎn)N處．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）若AB＝6，AC＝10，求四邊形AECF的面積及AE與CF之間的距離．【分析】（1）首先由矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證得AB＝CD，AD∥BC，∠ANF＝90°，∠CME＝90°，易得AN＝CM，由平行四邊形的判定定理可得結(jié)論；（2）由AB＝6，AC＝10，可得BC＝8，設(shè)CE＝x，則EM＝8﹣x，CM＝10﹣6＝4，在Rt△CEM中，利用勾股定理可解得x，由平行四邊形的面積公式可得結(jié)果．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠CAB＝∠ACD．由折疊的性質(zhì)可得∠EAB＝∠EAC，∠ACF＝∠FCD，又∵∠CAB＝∠ACD，∴∠EAC＝∠ACF，∴AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形；（2）解：在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝10，則根據(jù)勾股定理得，BC＝8．∵AM＝AB﹣6，∴CM＝AC﹣AM＝AC﹣AB＝4．設(shè)CE＝x，則BE＝EM＝8﹣x，在Rt△EMC中，利用勾股定理可得EM2+CM2＝CE2，即（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，故四邊形AECF的面積＝AB?CE＝6×5＝30．在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=35設(shè)AE與CF之間的距離為h，則AE?h＝30，即35∴?=2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定定理和勾股定理等，綜合運(yùn)用各定理是解答此題的關(guān)鍵．12．問(wèn)題提出：（1）如圖①，在△ABC中，AD是ABC邊BC的高，點(diǎn)E是BC上任意點(diǎn)，若AD＝3，則AE的最小值為3；（2）如圖②，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE是AC的垂直平分線，分別交BC、AC于點(diǎn)D、E，DE＝1cm，求△ABD的周長(zhǎng)；問(wèn)題解決：（3）如圖③，某公園管理員擬在園內(nèi)規(guī)劃一個(gè)△ABC區(qū)域種植花卉，且為方便游客游覽，欲在各頂點(diǎn)之間規(guī)劃道路AB、BC和AC，滿足∠BAC＝90°，點(diǎn)A到BC的距離為2km．為了節(jié)約成本，要使得AB、BC、AC之和最短，試求AB+BC+AC的最小值（路寬忽略不計(jì)）．【分析】（1）根據(jù)AD是ABC邊BC的高，點(diǎn)E是BC上任意點(diǎn)，AD